Как найти середину прямой по координатам

Содержание:

• Что такое середина отрезка
• Правила нахождения координат середины отрезка, формулы
  • Середина отрезка на координатной прямой
  • Середина отрезка на плоскости
  • Середина отрезка в пространстве
• Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка
• Примеры решения задач

Что такое середина отрезка

Отрезок — это геометрическая фигура, представляющая собой ограниченный с двух сторон участок прямой. 

Пусть точки A и B не совпадают. Если провести через них прямую, то образуется отрезок AB или BA, который ограничен точками A и B. Данные точки являются концами отрезка.

Длина отрезка — это расстояние между двумя точками, ограничивающими данный отрезок. Длина отрезка AB обозначается как модуль данной геометрической фигуры, то есть |AB|.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Серединой отрезка является такая точка C, принадлежащая отрезку AB, которая расположена в центре данного отрезка, то есть |AC|=|CB|.

Правила нахождения координат середины отрезка, формулы

Середина отрезка на координатной прямой

Предположим, что несовпадающие точки A и B лежат на координатной прямая Ох. Известно, что A и B соответствуют действительные числа x_A и x_B, а точка С делит AB пополам. Определите координату x_C, соответствующую С. 

Так как C — это середина AB, то справедливо следующее равенство:

(left|ACright|=left|CBright|)

Вычислим расстояние между A и C, а также между C и B. Для этого определим модуль разницы их координат. На математическом языке это будет иметь вид:

(left|ACright|=left|CBright|Leftrightarrowleft|x_C-x_Aright|=left|x_B-x_Cright|)

Опустим знак модуля и получим справедливость двух выражений:

(x_C-x_A=x_B-x_C)

(x_C-x_A=-left(x_B-x_Cright))

Исходя из первого равенства, получим формулу нахождения x_C, согласно которой координата точки С равна половине суммы координат A и B:

(x_C=frac{x_A+x_B}2)

Следствием второго равенства будет следующее утверждение: 

(x_A=x_B)

Это противоречит заданным условиям, следовательно, формула определения координат середины отрезка выглядит так:

(x_C=frac{x_A+x_B}2)

Середина отрезка на плоскости

В декартовой системе координат Oxy расположены две точки A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), которые не совпадают между собой. Точка C является центром AB. Необходимо произвести вычисление координат x_C и y_C, соответствующих С.

Пусть произвольные точки А и В лежат на одной координатной прямой, а также не принадлежат прямым, располагающимся перпендикулярно к оси абсцисс или ординат. Опустим от заданных точек A, B, C перпендикуляры на ось x на ось y. Полученные точки пересечения с осями координат A_x, A_y; B_x, B_y; C_x, C_y — это проекции исходных точек.

По построению прямые AA_x, BB_x, CC_x относительно друг друга находятся параллельно. Прямые AA_y, BB_y, CC_y не пересекаются, то есть являются параллельными. Согласно равенству AB=BC, далее применим теорему Фалеса и получим:

(A_xC_x=C_xB_x)

(A_yC_y=C_yB_y)

Это значит, что C_x и C_y являются серединами отрезков A_xB_x и A_yB_y соответственно. Теперь воспользуемся формулой определения координат середины отрезка на координатной прямой и получим:

(x_C=frac{x_A+x_B}2)

(y_C=frac{y_A+y_B}2)

Данные формулы подходят для вычисления координат середины отрезка в случае его расположения на осях абсцисс и ординат, а также при перпендикулярности одной из них. Следовательно, координаты центра отрезка AB, находящегося в плоскости и ограниченного точками A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), вычисляются следующим образом:

(left(frac{x_A+x_B}2,frac{y_A+y_B}2right))

Середина отрезка в пространстве

Допустим, что в трехмерной системе координат Oxyz любые две точки с соответствующими им координатами A(x_A, y_A, z_A) и B(x_B, y_B, z_B). C(x_C, y_C, z_C) — это центр АВ. Задание заключается в том, чтобы определить x_C, y_C, z_C.

Проведем от исходных точек перпендикуляры к прямым Ox, Oy и Oz. Образовавшиеся точки пересечения с координатными осями — A_x, A_y, A_z; B_x, B_y, B_z; C_x, C_y, C_z — проекции точек A, B, C на них.

Воспользуемся теоремой Фалеса:

(left|A_xC_xright|=left|C_xB_xright|)

(left|A_yC_yright|=left|C_yB_yright|)

(left|A_zC_zright|=left|C_zB_zright|)

Исходя из полученных равенств следует, что C_x, C_y, C_z — делят A_xB_x, A_yB_y, A_zB_z пополам, то есть являются серединами перечисленных отрезков. Значит, для определения координат центра AB с концами A(x_A,y_A,z_A) и B(x_B,y_B,z_B) используем формулу:

(left(frac{x_A+x_B}2,frac{y_A+y_B}2,;frac{z_A+z_B}2right))

Метод с использованием координат радиус-векторов концов отрезка

Трактовка векторов в алгебре позволяет составить формулу для расчета координат середины отрезка.

Дано: прямоугольная система координат Oxy, в которой лежат произвольные точки A(x_A,y_A) и B(x_B,y_B), а также C, делящая пополам отрезок, ограниченный A и B.

По определению действий над вектором в геометрии:

((1);overrightarrow{OC}=frac12timesleft(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}right))

В рассматриваемой ситуации в точке C пересекаются диагонали параллелограмма с основаниями: (overrightarrow{OA},;overrightarrow{OB}

).

Это значит, что С — это центр диагоналей.

Поскольку координаты радиус вектора совпадают с координатами точки, имеем: (overrightarrow{OA}=left(x_A,;y_Aright),;overrightarrow{OB}=left(x_B,;y_Bright)

).

Произведем подстановку в формулу (1):

(overrightarrow{OC}=frac12timesleft(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}right)=left(frac{x_A+x_B}2,;frac{y_A+y_B}2right)

).

Получили формулу определения координат середины отрезка, находящегося в декартовой системе координат:

(left(frac{x_A+x_B}2,;frac{y_A+y_B}2right))

По аналогично схеме можно вывести формулу для расчета координат центра отрезка, лежащего в пространстве:

(left(frac{x_A+x_B}2,frac{y_A+y_B}2,;frac{z_A+z_B}2right))

Примеры решения задач

Решение:

Пусть точка O — центр MN. Тогда вычислим ее координаты, подставив в формулы:

(x_O=frac{x_A+x_B}2=frac{5+1}2=frac62=3)

(y_O=frac{y_A+y_B}2=frac{4+left(-2right)}2=frac{4-2}2=frac22=1)

Точка O имеет координаты (3,1).

Ответ: (3,1).

Решение:

Поскольку АМ является медианой треугольника ABC, то точка М делит сторону ВС на два равных отрезка, то есть является серединой отрезка ВС. Отсюда можно вычислить координат точки М:

(x_М=frac{x_В+x_С}2=frac{-3+2}2=frac{-1}2=-0,5)

(y_М=frac{y_В+y_С}2=frac{1+4}2=frac52=2,5)

Теперь, зная координаты начала и конца отрезка АМ, применим формулу нахождения расстояния между точками:

(AM=sqrt{left(x_M-x_Aright)^2+left(y_M-y_Aright)^2}=sqrt{left(-0,5-7right)^2+left(-2,5-3right)^2}=sqrt{-7,5^2+left(-5,5right)^2}=sqrt{56,25+30,25}=sqrt{86,5}

).

Ответ: √86,5.