Загрузить PDF
Загрузить PDF
Поиск середины отрезка – легкая задача когда вам известны координаты двух конечных точек. Самый распространенный способ сделать это состоит в использовании формулы для нахождения середины отрезка; но есть еще один способ найти середину отрезка, если линия вертикальная или горизонтальная. Если вы хотите знать, как найти середину отрезка в течение нескольких минут, выполните следующие действия.
-
1
Определение. Середина отрезка — точка, которая находится на равном расстоянии от конечных точек отрезка и лежит на нем. Таким образом, ее координаты – среднее из двух координат х и двух координат у.
-
2
Формула. Формула записывается в виде суммы двух координат х (конечных точек), деленной на два, и суммы двух координат у (конечных точек), деленной на два. Это даст среднее значение х и у координат. Формула:[(x1 + x2)/2,( y1 + y2)/2]
-
3
Найдите координаты конечных точек. Вы не можете использовать формулу, не зная х и у координаты конечных точек. Например, необходимо найти середину (точку О) отрезка, ограниченного точками М (5,4 ) и N (3, -4). Таким образом, (x1, y1) = (5, 4) и (x2, y2) = (3, -4).
- Обратите внимание, что любая пара координат может обозначаться как (x1, y1) или (x2, y2). Так как вы будете просто складывать координаты и делить результат на два, не имеет значения, какую пару координат выбрать в первую очередь.
-
4
Подставьте координаты в формулу. Теперь, когда вам известны координаты конечных точек, подставьте их в формулу. Вот как это делается:
- [(5 + 3)/2, (4 + -4)/2]
-
5
Решите. После того как вы подставили координаты в формулу, проделайте арифметические действия для вычисления середины. Вот как это делается:
- [(5 + 3)/2, (4 + -4)/2] =
- [(8/2), (0/2)] =
- (4, 0)
- Середина отрезка между точками (5,4) и (3, -4) есть точка (4,0).
Реклама
-
1
Рассмотрим вертикальную или горизонтальную линию.
- Линия горизонтальная, если две у- координаты конечных точек равны. Например, отрезок с концами ( -3 , 4) и (5, 4) расположен горизонтально.
- Линия расположена вертикально, если две х -координаты конечных точек равны. Например, отрезок с концами (2, 0 ) и (2 , 3) находится в вертикальном положении.
- Линия горизонтальная, если две у- координаты конечных точек равны. Например, отрезок с концами ( -3 , 4) и (5, 4) расположен горизонтально.
-
2
Найдите длину отрезка. Вот как это сделать:
- Длина горизонтального отрезка с конечными точками (-3 , 4) и ( 5, 4) равна 8. Вы можете найти это сложением абсолютных величин координат х: | -3| + |5| = 8.
- Длина вертикального отрезка с конечными точками (2 ,0) и (2,3) равна 3. Вы можете найти это сложением абсолютных величин координат у: |0| + |3| = 3.
- Длина горизонтального отрезка с конечными точками (-3 , 4) и ( 5, 4) равна 8. Вы можете найти это сложением абсолютных величин координат х: | -3| + |5| = 8.
-
3
Разделите длину отрезка на два. Теперь, когда вы нашли длину отрезка, нужно разделить его на два.
- 8/2 = 4
- 3/2 = 1,5
- 8/2 = 4
-
4
Вычислите координаты середины. Вот как это делается:
- Чтобы найти середину отрезка, ограниченного точками (-3,4) и (5,4), прибавьте или вычтите 4 из х-координаты первой или второй конечной точки соответственно. Для точки (-3 , 4) это будет -3+4=1 и координаты середины: (1, 4) (Вам не нужно менять у- координаты, так как линия горизонтальная и у-координаты постоянны). Итак, середина отрезка (-3,4) и (5,4) есть точка (1,4).
- Чтобы найти середину отрезка, ограниченного точками (2, 0) и (2,3), прибавьте или вычтите 1,5 из у-координаты первой или второй конечной точки соответственно. Для точки (2 ,0) это будет -0+1,5=1,5 и координаты середины: (2,1,5) (Вам не нужно менять х-координаты, так как линия вертикальная и х-координаты постоянны). Итак, середина отрезка (2, 0 ) и (2,3) есть точка (2,1,5).
Реклама
- Чтобы найти середину отрезка, ограниченного точками (-3,4) и (5,4), прибавьте или вычтите 4 из х-координаты первой или второй конечной точки соответственно. Для точки (-3 , 4) это будет -3+4=1 и координаты середины: (1, 4) (Вам не нужно менять у- координаты, так как линия горизонтальная и у-координаты постоянны). Итак, середина отрезка (-3,4) и (5,4) есть точка (1,4).
Что вам понадобится
- Карандаш
- Лист бумаги
- Линейка
Об этой статье
Эту страницу просматривали 31 374 раза.
Была ли эта статья полезной?
Определение.
Середина отрезка — это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.
В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, …
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
- Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:
xc = xa + xb yc = ya + yb 2 2 - Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:
xc = xa + xb yc = ya + yb zc = za + zb 2 2 2
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости
Пример 1.
Найти координаты точки С, середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3) и B(6, 5).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4).
Пример 2.
Найти координаты точки В, если известны координаты точки C(1; 5), середины отрезка AB и точки A(-1, 3).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc — xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc — ya = 2·5-3=10-3=7
Ответ: B(3, 7).
Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве
Пример 3.
Найти координаты точки С середины отрезка AB заданного точками A(-1, 3, 1) и B(6, 5, -3).
Решение.
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
| zc = | za + zb | = | 1 + (-3) | = | -2 | = -1 |
| 2 | 2 | 2 |
Ответ: С(2.5, 4, -1).
Пример 4.
Найти координаты точки В если известны координаты точки C(1, 5, 2), середины отрезка AB и точки A(-1, 3, 10).
Решение.
xc =
xa + xb2
=> xb = 2xc — xa = 2·1-(-1)=2+1=3
yc =
ya + yb2
=> yb = 2yc — ya = 2·5-3=10-3=7
zc =
za + zb2
=> zb = 2zc — za = 2·2-10=4-10=-6
Ответ: B(3, 7, -6).
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Середина отрезка. Координаты середины отрезка
В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, .
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.
Формулы вычисления расстояния между двумя точками:
- Формула вычисления координат середины отрезка с концами A( xa , ya ) и B( xb , yb ) на плоскости:
| xc = | xa + xb | yc = | ya + yb |
| 2 | 2 |
Формула вычисления координат середины отрезка с концами A( xa , ya , za ) и B( xb , yb , zb ) в пространстве:
| xc = | xa + xb | yc = | ya + yb | zc = | za + zb |
| 2 | 2 | 2 |
Примеры задач на вычисление середины отрезка
Примеры вычисления координат середины отрезка на плоскости
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
Примеры вычисления координат середины отрезка в пространстве
| xc = | xa + xb | = | -1 + 6 | = | 5 | = 2.5 |
| 2 | 2 | 2 |
| yc = | ya + yb | = | 3 + 5 | = | 8 | = 4 |
| 2 | 2 | 2 |
| zc = | za + zb | = | 1 + (-3) | = | -2 | = -1 |
| 2 | 2 | 2 |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения
В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.
Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .
Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .
Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .
Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B
И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.
Середина отрезка на координатной прямой
Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B : необходимо определить координату x C .
Поскольку точка C является серединой отрезка А В , верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.
| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C
Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — ( x B — x C )
Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).
Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A ( x A ) и B ( x B ):
Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.
Середина отрезка на плоскости
Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .
Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y ).
Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:
x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2
Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:
Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) определяются как:
( x A + x B 2 , y A + y B 2 )
Середина отрезка в пространстве
Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .
A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.
Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:
x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2
Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.
Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов
Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.
Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , x B ) . Точка C – середина отрезка A B .
Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) , O B → = ( x B , y B ) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Следовательно, точка C имеет координаты:
x A + x B 2 , y A + y B 2
По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:
C ( x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )
Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка
Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.
Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А ( — 7 , 3 ) и В ( 2 , 4 ) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В .
Решение
Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .
x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Ответ: координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .
Исходные данные: известны координаты треугольника А В С : А ( — 1 , 0 ) , В ( 3 , 2 ) , С ( 9 , — 8 ) . Необходимо найти длину медианы А М .
Решение
- По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M :
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + ( — 8 ) 2 = — 3
- Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М ), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М :
A M = ( 6 — ( — 1 ) ) 2 + ( — 3 — 0 ) 2 = 58
Ответ: 58
Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 ( 1 , 1 , 0 ) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M ( 4 , 2 , — 4 ) . Необходимо рассчитать координаты точки А .
Решение
Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А : x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · ( — 4 ) — 0 = — 8
Ответ: координаты точки А ( 7 , 3 , — 8 ) .
Нахождение координат середины отрезка
В данной публикации мы рассмотрим, что такое середина отрезка, по какой формуле считаются ее координаты (в плоскости и пространстве). Также разберем примеры решения задач по этой теме.
Расчет координат середины отрезка
Серединой называется точка, лежащая на отрезке и находящаяся на одинаковом расстоянии от его концов.
Если концы отрезка и расположены в одной плоскости, то координаты его середины (точки C) считаются по формуле:
Если отрезок с концами и находится в трехмерном пространстве, координаты его середины рассчитываются следующим образом:
Примеры задач
Задание 1
Вычислим координаты точки C, которая является серединой отрезка AB, образованного точками и .
Решение:
В данном случае нам подойдут формулы для плоскости:
xc = (5 + 11) / 2 = 8
yc = (-2 + 10) / 2 = 4
Таким образом, точка C имеет координаты (8, 4).
Задание 2
Найдем координаты точки B, являющейся одним из концов отрезка AB. При этом известны координаты точки и середины отрезка – .
Решение:
Нужные нам формулы можно вывести из выражений для расчета координат середины отрезка:
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-serediny-otrezka/
Download Article
Download Article
Finding the midpoint of a line segment is easy as long as you know the coordinates of the two endpoints. The most common way to do this is to use the midpoint formula, but there’s another way to find the midpoint of a line segment if it’s vertical or horizontal. If you want to know how to find the midpoint of a line segment in just a few minutes, just follow these steps.
-
1
Understand the midpoint. The midpoint of a line segment is the point that is located on the exact midpoint of the two endpoints. Therefore, it’s the average of the two endpoints, which is the average of the two x-coordinates and the two y-coordinates.[1]
-
2
Learn the midpoint formula. The midpoint formula can be used by adding the x-coordinates of the two endpoints and dividing the result by two and then adding the y-coordinates of the endpoints and dividing them by two.[2]
This is how you will find the average of the x and y coordinates of the endpoints.[3]
This is the formula: [(x1 + x2)/2,( y1 + y2)/2]Advertisement
-
3
Locate the coordinates of the endpoints. You can’t use the midpoint formula without knowing the x and y-coordinates of the endpoints. In this example, you want to find the midpoint, point O, which is between the two endpoints M (5,4) and N (3,-4). Therefore, (x1, y1) = (5, 4) and (x2, y2) = (3, -4).[4]
- Note that either pair of coordinates can serve as (x1, y1) or (x2, y2) — since you’ll just be adding the coordinates and dividing by two, it doesn’t matter which pair is first.
-
4
Plug the corresponding coordinates into the formula. Now that you know the coordinates of the endpoints, you can plug them into the formula. Here’s how you do it:[5]
- [(5 + 3)/2, (4 + -4)/2]
-
5
Solve. Once you’ve plugged the appropriate coordinates into the formula, all you have to do is the simple arithmetic that will give you the midpoint of the two line segments.[6]
Here’s how you do it:- [(5 + 3)/2, (4 + -4)/2] =
- [(8/2), (0/2)] =
- (4, 0)
- The midpoint of the endpoints (5,4) and (3, -4) is (4,0).
Advertisement
-
1
Find a vertical or horizontal line. Before you can use this method, you’ll need to know how to locate a vertical or horizontal line.[7]
Here’s how to spot it:- A line is horizontal if the two y-coordinates of the endpoints are equal. For example, the line segment with the endpoints (-3, 4) and (5, 4) is horizontal.
- A line is vertical if the two x-coordinates of the endpoints are equal. For example, the line segment with the endpoints (2, 0) and (2, 3) is vertical.
- A line is horizontal if the two y-coordinates of the endpoints are equal. For example, the line segment with the endpoints (-3, 4) and (5, 4) is horizontal.
-
2
Find the length of the segment. You can easily find the length of the segment just by counting how many horizontal spaces it takes up if it’s horizontal, and counting how many vertical spaces it takes up if it’s vertical. Here’s how to do it:[8]
- The horizontal line segment with the end points (-3, 4) and (5, 4) is 8 units long. You can find this by counting the spaces it takes up or by adding the absolute values of the x-coordinates: |-3| + |5| = 8
- The vertical line segment with the end points (2, 0) and (2, 3) is 3 units long. You can find this by counting the spaces it takes up or by adding the absolute values of the y-coordinates: |0| + |3| = 3
- The horizontal line segment with the end points (-3, 4) and (5, 4) is 8 units long. You can find this by counting the spaces it takes up or by adding the absolute values of the x-coordinates: |-3| + |5| = 8
-
3
Divide the length of the segment by two. Now that you know the length of the line segment, you can divide it by two.[9]
- 8/2 = 4
- 3/2 = 1.5
- 8/2 = 4
-
4
Count that value from either of the endpoints. This is the last step to finding the endpoint of the line segment. Here’s how you do it:[10]
- To find the midpoint of the points (-3, 4) and (5, 4), just shift over 4 units either from the left or right to reach the middle of the segment. (-3, 4) shifted over 4 x-coordinates is (1, 4). You won’t need to change the y-coordinates since you know the midpoint will be on the same y-coordinate as the endpoints. The midpoint of (-3, 4) and (5, 4) is (1, 4).
- To find the midpoint of the points (2, 0) and (2, 3), just shift over 1.5 units either from the top or bottom to reach the middle of the segment. (2, 0) shifted up 1.5 y-coordinates is (2, 1.5). You won’t need to change the x-coordinates since you know the midpoint will be on the same x-coordinate as the endpoints. The midpoint of (2, 0) and (2, 3) is (2, 1.5).
- To find the midpoint of the points (-3, 4) and (5, 4), just shift over 4 units either from the left or right to reach the middle of the segment. (-3, 4) shifted over 4 x-coordinates is (1, 4). You won’t need to change the y-coordinates since you know the midpoint will be on the same y-coordinate as the endpoints. The midpoint of (-3, 4) and (5, 4) is (1, 4).
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do I find the other end of the line segment if I’m given one end and the midpoint?
The line segment extends beyond the midpoint a distance equal to the distance between the given end point and the midpoint. As a simple example, if the line segment begins at (0,0) and has a midpoint at (2,3), the line segment extends 2 x-units and 3 y-units beyond (2,3), meaning that the line segment ends at (4,6).
-
Question
How do I find the point that is one forth of the way from (2,4) to (10,8)?
Solve this by inspection: the point’s x-coordinate is one-quarter of the way from 2 to 10, which is 4. The point’s y-coordinate is one-quarter of the way from 4 to 8, which is 5. Thus, the point’s coordinates are (4,5).
-
Question
What is the midpoint of a line segment with endpoint at (0,8) and (-8,0)?
As shown in the above article, the midpoint’s x-coordinate is halfway between the x-coordinates of the endpoints, 0 and -8 (i.e., -4), and the midpoint’s y-coordinate is halfway between the y-coordinates of the endpoints, 8 and 0 (i.e., 4) Thus, the midpoint is located at (-4,4).
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
Thanks for submitting a tip for review!
Things You’ll Need
- Pencil
- A sheet of paper
- Ruler
- Scissors
- Calculator
References
About This Article
Article SummaryX
In order to find the midpoint of a line segment, you first have to understand that it’s the point located on the exact midpoint of the 2 endpoints, so it’s the average of the endpoints. To use the midpoint formula, add the x-coordinates of the endpoints and divide the result by 2. Then, add the y-coordinates of the endpoints and divide them by 2. Once you know the coordinates of the endpoints, you can plug them into the formula and solve. To learn how to find the midpoint of the vertical and horizontal lines, keep reading!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 166,081 times.
Did this article help you?
Пусть A(x1;y1) и B(x2;y2) — две произвольные точки, C(x;y) — середина отрезка AB.
Чтобы найти координаты середины отрезка через координаты его концов используется формула:
![[x = frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};y = frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c5d2d759e65a021b0bf0c51f7912f0d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Доказательство:
I. Если отрезок AB не пересекает ось Ox.
1) При x2>x1.
Проведём через точки A, B и C прямые AA1, BB1, CC1, перпендикулярные оси Ox.
Прямые AA1, BB1 и CC1 параллельны оси Oy (по признаку параллельности прямых). Эти прямые пересекают ось Ox соответственно в точках A1(x1;0), B1(x2;0) и C1(x;0).
Так как AC=CB и прямые AA1, BB1 и CC1 параллельны, то A1C1=C1B1 (по теореме Фалеса).
![[{A_1}{C_1} = x - {x_1},{C_1}{B_1} = {x_2} - x,]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b31fbfb42b2317e91e1e38504ca832b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
откуда
![[x - {x_1} = {x_2} - x,2x = {x_1} + {x_2},]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aff1d4df45ed1ad2fb49a940f49a49ee_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[x = frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8819c5cc6f687977e8db3199b8eda776_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2) При x2<x1
рассуждения аналогичны.
![[{B_1}{C_1} = x - {x_2},{C_1}{A_1} = {x_1} - x,]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fedf6cd38b461ab0b541d5fde682682f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[x - {x_2} = {x_1} - x, Rightarrow x = frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ceba842181832205bde7b975e1742f29_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3) 
При x1=x2 абсциссы точек A, B и C одинаковы:
x1=x2=x.
Формула
![[x = frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5a5cec874b20730fd99aa12e5440d25_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
также выполняется:
![[x = frac{{x + x}}{2}.]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2658d976a40f347756618b1a6599c82_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
II. Если отрезок AB пересекает ось абсцисс,
рассуждения повторяются.
Формула
![[y = frac{{{y_1} + {y_2}}}{2}]](https://www.treugolniki.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8c91b800e3b56074217c001c38ef6ece_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
доказывается аналогично.
Что и требовалось доказать.