Как найти середину вектора через координаты

Середина вектора

Формула

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно вычислить сумму координат начала и конца вектора и разделить на два.

Например, пусть на плоскости заданы точки $ A(x_1;y_1) $ и $ B(x_2;y_2) $ вектора $ overline{AB} $. Тогда его середина находится по формуле: $$ O (x;y) = O bigg(frac{x_1+x_2}{2};frac{y_1+y_2}{2}bigg) $$

Если вектор задан в пространстве трёмя координатами $ A (x_1;y_1;z_1),B (x_2;y_2;z_2) $, то середину можно найти по аналогичной формуле: $$ O (x;y,z) = O bigg(frac{x_1+x_2}{2};frac{y_1+y_2}{2}; frac{z_1+z_2}{2} bigg) $$

Откуда выведена формула? Если вектор спроецировать на координатную ось $ Ox $, то можно будет применить формулу для нахождения середины отрезка к самому вектору. По сути вектор это направленный отрезок, который имеет начало и конец.

Примеры решений

Пример

Пусть вектор $ overline{AB} $ задан в пространстве трёмя точками $ A(1,3,5) $ и $ B(3,7,1) $. Найти середину вектора.

Решение

Итак, как найти середину вектора? По правилу мы должны сложить соответствующие координаты точек начала и конца вектора и разделить пополам: $$ O = bigg (frac{1+3}{2};frac{3+7}{2};frac{5+1}{2} bigg) = (2;5;3) $$ Точка $ O (2;5;3) $ — является серединой вектора $ overline{AB} $ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ O (2;5;3) $$

Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок A B .

Если отрезок A B продолжить в обе стороны от точек A и B , мы получим прямую A B . Тогда отрезок A B – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B . Отрезок A B объединяет точки A и B , являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K , лежащую между точками A и B , можно сказать, что точка K лежит на отрезке A B .

Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка A B обозначим следующим образом: A B .

Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка A B обозначить точкой C , то верным будет равенство: A C = C B

И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C ) при заданных координатах концов отрезка ( A и B ), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

Середина отрезка на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая O x и несовпадающие точки на ней: A и B . Этим точкам соответствуют действительные числа x A и x B . Точка C – середина отрезка A B : необходимо определить координату x C .

Поскольку точка C является серединой отрезка А В , верным будет являться равенство: | А С | = | С В | . Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

| А С | = | С В | ⇔ x C — x A = x B — x C

Тогда возможно два равенства: x C — x A = x B — x C и x C — x A = — ( x B — x C )

Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : x C = x A + x B 2 (полусумма координат концов отрезка).

Из второго равенста получим: x A = x B , что невозможно, т.к. в исходных данных — несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка A B с концами A ( x A ) и B ( x B ):

Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

Середина отрезка на плоскости

Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости О x y , две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами A x A , y A и B x B , y B . Точка C – середина отрезка A B . Необходимо определить координаты x C и y C для точки C .

Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. A x , A y ; B x , B y и C x , C y — проекции точек A , B и C на оси координат (прямые О х и О y ).

Согласно построению прямые A A x , B B x , C C x параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства А С = С В следуют равенства: А x С x = С x В x и А y С y = С y В y , и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка С x – середина отрезка А x В x , а С y – середина отрезка А y В y . И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

x C = x A + x B 2 и y C = y A + y B 2

Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка A B на плоскости с координатами концов A ( x A , y A ) и B ( x B , y B ) определяются как:

( x A + x B 2 , y A + y B 2 )

Середина отрезка в пространстве

Исходные данные: система координат О x y z и две произвольные точки с заданными координатами A ( x A , y A , z A ) и B ( x B , y B , z B ) . Необходимо определить координаты точки C , являющейся серединой отрезка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z и C x , C y , C z — проекции всех заданных точек на оси системы координат.

Согласно теореме Фалеса верны равенства: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Следовательно, точки C x , C y , C z являются серединами отрезков A x B x , A y B y , A z B z соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

Исходные данные: прямоугольная декартова система координат O x y , точки с заданными координатами A ( x A , y A ) и B ( x B , x B ) . Точка C – середина отрезка A B .

Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов O A → и O B → , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = ( x A , y A ) , O B → = ( x B , y B ) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах и получим:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Следовательно, точка C имеет координаты:

x A + x B 2 , y A + y B 2

По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

C ( x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2 )

Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А ( — 7 , 3 ) и В ( 2 , 4 ) . Необходимо найти координаты середины отрезка А В .

Решение

Обозначим середину отрезка A B точкой C . Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B .

x C = x A + x B 2 = — 7 + 2 2 = — 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Ответ: координаты середины отрезка А В — 5 2 , 7 2 .

Исходные данные: известны координаты треугольника А В С : А ( — 1 , 0 ) , В ( 3 , 2 ) , С ( 9 , — 8 ) . Необходимо найти длину медианы А М .

Решение

1. По условию задачи A M – медиана, а значит M является точкой середины отрезка B C . В первую очередь найдем координаты середины отрезка B C , т.е. точки M :

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + ( — 8 ) 2 = — 3

1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М ), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы А М :

A M = ( 6 — ( — 1 ) ) 2 + ( — 3 — 0 ) 2 = 58

Ответ: 58

Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Заданы координаты точки C 1 ( 1 , 1 , 0 ) , а также определена точка M , являющаяся серединой диагонали B D 1 и имеющая координаты M ( 4 , 2 , — 4 ) . Необходимо рассчитать координаты точки А .

Решение

Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка А С 1 . Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А : x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M — x C 1 = 2 · 4 — 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M — y C 1 = 2 · 2 — 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M — z C 1 = 2 · ( — 4 ) — 0 = — 8

Ответ: координаты точки А ( 7 , 3 , — 8 ) .

Как найти середину вектора?

Как обозначить середину отрезка в геометрии?

Концы отрезка и его середину обычно обозначают латинскими буквами: A и B — концы, C — середина, C и D — концы, E — середина и т.

Как найти середину вектора AB?

Середина вектора

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно вычислить сумму координат начала и конца вектора и разделить на два.

Как найти координаты середины отрезка 9 класс?

Если даны координаты конечных точек отрезка, знания о действиях с векторами и координатами векторов дают возможность определить координаты серединной точки отрезка. Для этого расположим отрезок AB в системе координат. A x 1 ; y 1 , B x 2 ; y 2 — конечные точки отрезка с данными координатами.

Как найти середину между двумя числами?

Чтобы найти число, находящееся между двумя числами на прямой, нужно найти среднее арифметическое двух чисел, то есть их полусумму. Если это числа a и b, то середина между ними это (a + b) / 2.

Как обозначить длину отрезка?

Отрезок можно обозначить двумя заглавными буквами – отрезок АВ. Или можно обозначить отрезок одной строчной буквой – отрезок с. Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина может быть выражена натуральным или дробным числом.

Как найти координаты середины отрезка в пространстве?

Используйте формулу вычисления расстояния между двумя точками, а именно формулу вычисления координат середины отрезка с концами A(Xa, Ya) b B(Xb, Yb) на плоскости: xc = (xa + xb)/2 и yc = (ya + yb)/2. Если подставите координаты ваших точек М и N, то получите координаты точки k — (-0.5; -3).

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Длина вектора в пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы и .

Произведение вектора на число:

Скалярное произведение векторов:

Косинус угла между векторами:

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и K — середины ребер соответственно A₁B₁ и B₁C₁. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами и . Для этого нужны их координаты.

Запишем координаты векторов:

и найдем косинус угла между векторами и :

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Координаты точек A, B и C найти легко:

Из прямоугольного треугольника AOS найдем

Координаты вершины пирамиды:

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Найдем координаты векторов и

и угол между ними:

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A₁B₁. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC₁

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Запишем координаты точек:

Точка D — середина A₁B₁. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Найдем координаты векторов и , а затем угол между ними:

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

То есть A + C + D = 0.

Аналогично для точки K:

Получили систему из трех уравнений:

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Решив систему, получим:

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Вектор — это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку имеет вид:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины ребер соответственно A₁B₁ и A₁D₁. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD₁.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD₁ пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD₁.

Сначала — нормаль к плоскости BDD₁. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D₁ в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ — это диагональное сечение куба. Вектор перпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть:

Напишем уравнение плоскости AEF.

Берем уравнение плоскости и по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF:

Нормаль к плоскости AEF:

Найдем угол между плоскостями:

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA₁D₁D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D, если расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике»

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A₁C₁ и BD равно √3». Прямые A₁C₁ и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A₁C₁ и BD — это, очевидно, OO₁, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O₁ — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO₁ и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA₁ D₁ D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор или, еще проще, вектор .

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B₁D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B₁D — значит, B₁D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B₁ и D известны:

Координаты вектора — тоже:

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Получим:

Ответ:

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть — вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), — нормаль к плоскости α.

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

6. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка E — середина ребра A₁B₁. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD₁.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Находим координаты вектора .

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD₁? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор .

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Ответ:

Расстояние от точки M с координатами x₀, y₀ и z₀ до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA₁B₁C₁D₁ лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = , AD = . Высота параллелепипеда AA₁ = . Найдите расстояние от точки A до плоскости A₁DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Запишем уравнение плоскости A₁DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A₁, D и B в уравнение A_x + B_e + C_z + D

Решим эту систему. Выберем

Тогда

Уравнение плоскости A₁DB имеет вид:

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A₁DB:

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.

Как найти середину вектора

Вектор – это величина, характеризуемая своим численным значением и направлением. Другими словами, вектор – это направленный отрезок. Положение вектора AB в пространстве задается координатами точки начала вектора A и точки конца вектора B. Рассмотрим, как определить координаты середины вектора.

Инструкция

Для начала определимся с обозначениями начала и конца вектора. Если вектор записан как AB, то точка A является началом вектора, а точка B – концом. И наоборот, для вектора BA точка B является началом вектора, а точка A – концом. Пусть нам задан вектор AB с координатами начала вектора A = (a1, a2, a3) и конца вектора B = (b1, b2, b3). Тогда координаты вектора AB будут следующими: AB = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3), т.е. из координаты конца вектора необходимо вычесть соответствующую координату начала вектора. Длина вектора AB (или его модуль) вычисляется как корень квадратный из суммы квадратов его координат: |AB| = √((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).

Найдем координаты точки, являющейся серединой вектора. Обозначим ее буквой O = (o1, o2, o3). Находятся координаты середины вектора так же, как координаты середины обычного отрезка, по следующим формулам: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2 , o3 = (a3 + b3)/2. Найдем координаты вектора AO: AO = (o1 – a1, o2 – a2, o3 – a3) = ((b1 – a1)/2, (b2 – a2)/2, (b3 – a3)/2).

Рассмотрим пример. Пусть дан вектор AB с координатами начала вектора A = (1, 3, 5) и конца вектора B = (3, 5, 7). Тогда координаты вектора AB можно записать как AB = (3 – 1, 5 – 3, 7 – 5) = (2, 2, 2). Найдем модуль вектора AB: |AB| = √(4 + 4 + 4) = 2 * √3. Значение длины заданного вектора поможет нам для дальнейшей проверки правильности координат середины вектора. Далее найдем координаты точки O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Тогда координаты вектора AO рассчитываем как AO = (2 – 1, 4 – 3, 6 – 5) = (1, 1, 1).

Выполним проверку. Длина вектора AO = √(1 + 1 + 1) = √3. Вспомним, что длина исходного вектора равна 2 * √3, т.е. половина вектора действительно равна половине длины исходного вектора. Теперь рассчитаем координаты вектора OB: OB = (3 – 2, 5 – 4, 7 – 6) = (1, 1, 1). Найдем сумму векторов AO и OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Следовательно, координаты середины вектора были найдены верно.

Полезный совет

Выполнив вычисления координат середины вектора, обязательно выполните хотя бы самую простую проверку – посчитайте длину вектора и сравните ее с длиной данного вектора.

Источники:

• как найти первую координату

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

ОСИ КООРДИНАТ:

Для понимания темы «вектор», надо сначала разобраться с понятием «декартовы координаты».

• ось x — ось абсцисс;
• ось y — ось ординат,
• точка О — начало координат.

Любой точке плоскости сопоставляются два числа:

• абсцисса x₀,
• ордината y_0.

Эти числа называются декартовыми координатами данной точки.

ВЕКТОР:

Вектор — направленный отрезок прямой. То есть это отрезок, для которого указано, какая из его точек является началом, а какая — концом.

Пусть имеются две точки:

• A с координатами $(x_1;,y_1)$
• B с координатами $(x_2;,y_2)$.

Тогда мы имеем вектор $,overline {!AB,}$, который обозначим за $overline a.$

На примере вектора рассмотрим основные понятия, связанные с векторами.

Во-первых, для каждого вектора можно найти его координаты и модуль.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА И МОДУЛЬ ВЕКТОРА:

Координаты вектора — разности координат конца и начала вектора. На примере вектора $overline a$ его координатами будут: $(a_x;,a_y).$ Свойства координат вектора:

• Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
• У равных векторов соответствующие координаты равны.

Нахождение координат вектора:

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y)colon$

$begin{aligned}&a_x=x_2-x_1\&a_y=y_2-y_1end{aligned}$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора — длина вектора (обозначается ). Находится как квадратный корень из суммы квадратов координат вектора.

$|overline a|=sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2vphantom{bigl(}}=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2vphantom{bigl(}}$

Если рассмотреть пространственный вектор, то в эти формулы добавляется третья координата — z.

Координаты вектора $overline a;(a_x;,a_y;,a_z)$:

$begin{aligned}&a_x = x_2-x_1 \ &a_y = y_2-y_1 \ &a_z = z_2 — z_1end{aligned}$

То есть, координаты вектора $overline acolon (x_2-x_1;,y_2-y_1;,z_2-z_1).$

Модуль вектора $overline acolon$

$|overline a|=sqrt{(a_x)^2+(a_y)^2+(a_z)^2vphantom{bigl(}}=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2vphantom{bigl(}}$

СЕРЕДИНА ВЕКТОРА:

Чтобы найти середину вектора по координатам нужно:

1. Вычислить сумму координат начала и конца вектора.

2. Разделить на два.

НА ПЛОСКОСТИ	В ПРОСТРАНСТВЕ
O — середина вектора $,overline {!AB,}$
$begin{aligned}&A,(x_1;,y_1), B,(x_2;,y_2) \[3pt] &O(x;y)=left(frac{x_1+x_2}{2};,frac{y_1+y_2}{2}right)end{aligned}$	$begin{aligned}&A,(x_1;,y_1;,z_1), B,(x_2;, y_2;, z_2) \[3pt] &O(x;y;z)=left(frac{x_1+x_2}{2};,frac{y_1+y_2}{2};,frac{z_1+z_2}{2}right)end{aligned}$

ВИДЫ ВЕКТОРОВ:

Единичный вектор — вектор, длина которого равна 1.

Нулевой вектор — отдельные точки плоскости. У такого вектора конец и начало совпадают, а его длина (его модуль) равен нулю.

Коллинеарные и компланарные векторы

Коллинеарные векторы — векторы, которые параллельны одной прямой или которые лежат на одной прямой. Два коллинеарных вектора $|overline a| и |b|$ называются сонаправленными только тогда, когда их направления соответствуют друг другу: $|overline a|{small uparrowuparrow}|overline b|$

Компланарные векторы — векторы, которые параллельны одной плоскости или которые лежат на общей плоскости. В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельная двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются компланарными.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ:

	НА ПЛОСКОСТИ	В ПРОСТРАНСТВЕ
Координаты вектора $overline {c,}$	Сложение векторов: $overline {c,}=overline a + overline b$
$x$	$c_x = a_x + b_x$	$c_x = a_x + b_x$
$y$	$c_y = a_y + b_y$	$c_y = a_y + b_y$
$z$	—	$c_z = a_z + b_z$
Координаты вектора $overline {c,}$	Вычитание векторов: $overline {c,}=overline a — overline b$
$x$	$c_x = a_x — b_x$	$c_x = a_x — b_x$
$y$	$c_y = a_y — b_y$	$c_y = a_y — b_y$
$z$	—	$c_z = a_z — b_z$
Координаты вектора $overline {b}$	Умножение вектора на число: $overline b = lambdaoverline a$
$x$	$overline b_x = lambda a_x$	$overline b_x = lambda a_x$
$y$	$overline b_y = lambda a_y$	$overline b_y = lambda a_y$
$z$	—	$overline b_z = lambda a_z$
Значение числа $s$	Скалярное умножение векторов: $s = overline acdotoverline b$
$s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y$	$s=a_x!cdot b_x + a_y!cdot b_y + a_z!cdot b_z$

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ:

СЛОЖЕНИЕ

Сумма двух векторов находится с помощью правила треугольника или правила параллелограмма: $overline {c,} = overline a + overline b$.

${mathbf {Теоремаcolon}}\ Для любых трёх точек A,,B,,C справедливо соотношениеcolon overline{!AB,}+,overline{!BC,}=,overline{!AC,}!.$

${mathbf {РАЗНОСТЬ}}\Разность двух векторов overline a и overline b;— это вектор overline {c,}, который в сумме с вектором overline b даёт вектор overline a \ overline b + overline{c,} = overline aquadRightarrowquadoverline{c,} = overline a — overline b$

$Вектор overline {c,} можно найти также, складывая с вектором overline a вектор bigl(-overline bbigr), противоположный вектору overline bcolon \ overline {c,} = overline a + bigl(-overline bbigr)$