Как найти шаг геометрической прогрессии - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Геометрическая прогрессия это некая последовательность чисел b1, b2, b3, и т.д.,

в которой каждое последующее число, начиная со второго числа, может быть получено из предыдущего числа, путем умножением его на определённое число q.

Число q называется знаменателем геометрической прогрессии или ее шагом.

Примеры геометрических прогрессий:

2, 4, 8, 16, 32, 64. Видно, что в этой геометрической прогрессии шаг=2.

3, 21, 147. Здесь мы имеем геометрическую прогрессию с шагом=7.

Источник

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность b₁, b₂, … , b_n, …, для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

b_n+1 = b_n ⋅ q

где q – это знаменатель геометрической прогрессии, q ≠ 0 и b_n ≠ 0.

Пример: последовательность чисел 3, 12, 48, 192, 768, … является геометрической прогрессией со знаменателем q = 4.

Знаменатель определяет вид геометрической прогрессии:

Если q > 0, тогда все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, равный знаку b₁

Пример: последовательность чисел 1, 2, 4, 8, 16, … со знаменателем q = 2.
Если q < 0, тогда знаки членов геометрической прогрессии чередуются

Пример: последовательность чисел 2, –6, 18, –54, 162, … со знаменателем q = –3.
Если –1 < q < 1, тогда геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей

Пример: последовательность чисел 400, 200, 100, 50, 25, … со знаменателем q = 0.5.

Основные формулы геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии

Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:

q = b_n+1 / b_n

Члены геометрической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:

b_n = b₁ ⋅ q^{n — 1}

Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:

b_n+1 = b_n ⋅ q

Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:

b_n-1 = b_n / q

Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

b_n = √b_n-1 ⋅ b_n+1, где n > 1

Сумма геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна

S_n = b₁ ⋅ (1 — qⁿ) / (1 — q), где q ≠ 1

Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:

S_n = (b₁ — b_n ⋅ q) / (1 — q), где q ≠ 1

Решение задач на геометрическую прогрессию

Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.

Задача 1:

Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, … . Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.

Решение:

b₁ = 3

q = 6 / 3 = 2

b₈ = b₁ ⋅ q⁷ = 3 ⋅ 2⁷ = 3 ⋅ 128 = 384

S₁₀ = b₁ ⋅ (1 — q¹⁰) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 2¹⁰) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1 — 1024) / (–1) = 3069

Ответ: 384 и 3069

Задача 2:

Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, … . Найдите его номер.

Решение:

Применив формулу для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии, можно получить n:

486 = 2 ⋅ 3^{n — 1}

243 = 3^{n — 1}

3⁵ = 3^{n — 1}

n — 1 = 5

n = 6

Ответ: 6

Задача 3:

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна –93. b₁ = –3, q = 2. Найти n.

Решение:

Чтобы вычислить число членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой ее суммы:

S_n = b₁ ⋅ (1 — qⁿ) / (1 — q)

–93 = –3 ⋅ (1 — 2ⁿ) / (1 — 2)

–93 = –3 ⋅ (1 — 2ⁿ) / (–1)

–31 = 1 — 2ⁿ

2ⁿ = 32

n = 5

Ответ: 5

Источник

запиши периодическую дробь (0,(8)) обыкновенной дробью.

Решение.

Достаточно очевидно, что (0,(8)=0,8+0,08+0,008+…) Слагаемые в правой части равенства образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен (0,8), знаменатель равен (0,1). Найдём сумму по формуле:

S=b11−q=0,81−0,1

Осталось выполнить нужные действия с десятичными дробями:

0,81−0,1=0,80,9=89

Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь (0,(8)) обращается в обыкновенную дробь (8/9).

Ответ: (0,(8)=8/9).

Источник

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел b₁, b₂, b₃,.. (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число q (знаменатель прогрессии), где b₁≠0 , q≠0.

b₁, b₂=b₁q, b₃=b₂q, …, b_n=b_n-1q…
где q знаменатель геометрической прогрессии (шаг),
b₁, b₂, b₃, …, b_n,.. — члены геометрической прогрессии

n-й член геометрической прогрессии b_n определяется по формуле:
- b_n=b₁q^n-1
Если b₁ > 0 и q > 1, прогрессия является возрастающей последовательностью,
если 0 < q < 1, — убывающей последовательностью,
а при q < 0 — знакопеременной.

Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии:

, что верно при q < 1

или

,что верно при q > 1

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

Если знаменатель геометрической прогрессии q < 1, то сумму первых n членов геометрической прогрессии (см. выше) можно записать как

Поскольку q < 1, при увеличении n, q уменьшится.

Величина [b₁/(1-q) ] называется суммой бесконечной геометрической прогрессии S_∞, она ограничивает значение суммы бесконечного количества членов прогрессии, т.е.

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии имеет вид

, что верно при -1 < q < 1
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел lim S_nпри n→∞ существует и конечен.
В противном случае прогрессия расходится.

Источник

Геометрическая прогрессия — ненулевая числовая последовательность, образованная в результате умножения каждого последующего члена на заданный коэффициент не равный нулю.

Определение последовательности

Прежде чем разбираться с прогрессией, следует понять определение числовой последовательности и закона, которым она задается. Вспомним натуральный ряд — первую числовую последовательность, которую мы изучаем еще в детском саду. Это целые числа, используемые для пересчета предметов. Начало выглядит так:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … n

Если каждому числу натурального ряда поставить в соответствие другое число, образованное согласно определенной формуле, мы получим новую последовательность:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 … an

Число an — общий член последовательности и закон, образующий элементы ряда. Очевидно, что формула задания натурального ряда это просто n. Для последовательности четных чисел каждый элемент и общий член задается формулой 2n, а для нечетных — 2n − 1.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Рассмотрим для начала арифметическую прогрессию, которая также является числовой последовательностью. Каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, суммированному с постоянным коэффициентом. Формула арифметической прогрессии представляет собой закон:

an = a1 + d × (n − 1),

где a1 — первое число ряда, d — разность прогрессии.

Простыми словами, каждый член прогрессии больше предыдущего на какое-либо число. К примеру, последовательность натуральных чисел является арифметической прогрессией с разностью d = 1.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, каждый последующий член которой равен предыдущему, умноженному на постоянный коэффициент q. Формула такого ряда выглядит как:

bn = b1 × q^{(n − 1)},

где b1 — первый элемент ряда, q — знаменатель прогрессии.

Проще говоря, каждый последующий член прогрессии больше предыдущего в q раз. К примеру, логарифмическая шкала для отображения графика величин на больших промежутках выглядит как:

1, 10, 100, 1000, 10000, 100000…

Очевидно, что каждый последующий элемент больше предыдущего в 10 раз. Кроме того, к геометрическим прогрессиям относятся последовательности квадратных (q = 2) и кубических (q = 3) чисел.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Если знаменатель геометрической прогрессии находится в диапазоне 0 < q < 1, то элементы последовательности постепенно убывают, а сумма ряда сходится к определенному значению. Сумма членов бесконечно убывающей прогрессии определяется по простой формуле:

S = b1 / (1 – q).

Существуют разные числовые последовательности, которые представляют собой арифметические или геометрические прогрессии. Одним из интересных рядов считается прогрессия вида:

π, π, π, π, π…

П — это всемирно известная математическая константа «пи», приблизительно равная 3,1415926. Последовательность из π переставляет собой одновременно арифметическую прогрессию с d = 0 и геометрическую прогрессию с q = 1.

История и применение прогрессий

Одним из первых проявлений геометрической прогрессии в реальности стало использование системы гирь в купеческом деле. Леонардо Фибоначчи занимался вопросом оптимизации количества гирь для взвешивания любого количества товара. Он пришел к выводу, что лучшего всего использовать меры со значением 1, 2, 4, 8, 16,.. что является прогрессией с q = 2.

Сегодня геометрическая прогрессия играет важную роль в расчете банковских депозитов. При оформлении денежного депозита под 11 % в год, вкладчик ежегодно будет получать прибыль в размере 1,11 от предыдущей суммы на банковском счету (q = 1,11). Например, если изначальный вклад составляет $1 000, то через год на счету вкладчика будет $ 1 110, через два — $1 232, а через три года $1 367. Данная формула в банковском деле носит название сложных процентов.

Еще одни примером работы геометрической прогрессии является эпидемическое распространение гриппа. К примеру, один больной за сутки может заразить 12 человек, каждый из 12 также заразит еще 12 человек, поэтому на второй день будет 144 больных, на третий — 1 728, а на четвертый — 20 736.

Наша программа генерирует геометрическую прогрессию выбранной величины. Для этого вам потребуется ввести значение первого члена в ячейку «Первое число», знаменатель прогрессии в ячейку «Разница (шаг)» и количество элементов последовательности в ячейку «Последнее число». После этого программа предоставит числа, соответствующие закону геометрической прогрессии.

Рассмотрим на примере

Денежная игра по почте

Во времена СССР существовала афера, основанная на принципе геометрической прогрессии. Суть аферы в следующем. Люди получали письма с указанием 5 адресов и инструкцией:

разослать по адресам по 1 рублю;
вычеркнуть первый адрес и пятым вписать свой;
разослать письма-приглашения с указанными адресами своим друзьям и знакомым.

Авантюристы предоставляли логичное объяснение механизма обогащения. Действительно, если приглашенные вами люди пришлют по 1 рублю, то вы вернете потраченные деньги. Пять приглашенных участников игры разошлют письма своим друзьям, в которых ваш адрес указан под номером 4. Количество таких писем уже 25, а следующая волна приглашенных пришлет вам в сумме 25 рублей. После чего 25 человек разошлют по 5 писем, где ваш адрес стоит третьим и это уже 125 конвертов по 1 рублю в каждом.

Сколько же денег обещали аферисты по окончанию круга приглашений? Ответ лежит в простой геометрической прогрессии. По их версии пройдет 5 волн приглашений с вашим адресом. Так как единицу мы не учитываем, а начинаем с 5 писем, то последнее число у нас будет равно 6. Первое, естественно, 1. Шаг нашей геометрической прогрессии составляет 5. Вбиваем эти данные в ячейки калькулятора и получаем последовательность:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

сумма элементов последовательности при этом составляет 3906. Именно прибыль в 3906 рублей обещали аферисты доверчивым гражданам. Естественно, что на практике все деньги уходили организаторам игры, так как на первом шаге аферисты отправляли не одно письмо, а сотни, в которых были указаны их собственные адреса. Даже если на первом шаге мошенники отправят всего 200 писем, то уже на пятом шаге в игру должны включиться 625 000 человек, а организаторы получат от них более 700 000 рублей. Дальнейшие шаги уже не имеют смысла.

Заключение

Геометрическая прогрессия часто встречается в реальности. Пользуйтесь нашим каталогом калькуляторов для решения интересных задачек или для проверки учебных примеров.

Источник