Как найти шаг х по отрезку

  1. Метод равномерного распределения точек по отрезку.

Берем какое-то
число шагов по отрезку , вычисляем шаг
по аргументу , в полученных точках
определяем значения функции , из них
находим наименьшее. А какое число
промежутков надо взять , ведь функция
задана лишь в точках ? Критерия выбора
количества шагов для достижения заданной
погрешности в определении наименьшего
значения нет.

Рассмотрим рисунок:

Мы
не можем быть уверены в достоверности
получаемого результата , так как всегда
будет вероятность пропускания
действительного минимума из-за
«прерывного» характера рассматриваемых
значений.

Поэтому при решении
вопроса о числе точек и точности важно
максимально полно использовать всю
дополнительную информацию о свойствах
целевой функции. Также важна и интуиция
, чувство здравого смысла.

постоянное сравнение
результатов .

Многомерные задачи оптимизации.

Подавляющее число
задач оптимизации зависят от нескольких
параметров.

Характер задачи
и методы ее решения зависят от той
информации о целевой функции , которая
стала доступной в результате исследования.
Методы поиска наименьшего значения
функции:

Задачи
с ограничениями-равенствами. Множители
Лагранжа.

В рассмотрение
вводится функция

Заметим, что

Теорема:

Пусть функция f
дифференцируема в точке
,
отображение F
дифференцируемо в некоторой окрестности
этой точки, причем его производная
непрерывна в точке
.

Тогда если

является локальным решением задачи ,
то найдется такой элемент λ , для которого

.

Точка
называется
стационарной точкой задачи, если
.
Множитель λ называют множителем Лагранжа,
отвечающим точке
.

Систему уравнений


называют системой Лагранжа.

Пример:

Найти экстремальные
точки функции

на единичной окружности

Существование
точек глобального максимума и минимума
вытекает из теоремы Вейерштрасса.
Очевидно что для функции F(x)=

  1. Метод покоординатного спуска

Пусть надо найти
наименьшее значение целевой функции
f(x1,x2,….,xn)=f(M)

Точка М – некоторая
точка n-пространства.

Выбираем какую-то
точку пространства М0(x10,x20,x30,…,xn0)
и рассматриваем функцию f
при всех фиксированных переменных ,
кроме первой f(x1,x20,….,xn0)
получаем функцию одной переменной. По
первой переменной движемся в сторону
убывания функции , пока не достигнем
минимума. Переменную в этой точке
фиксируем как x11
, точку называем M1(x11,x20,x30,…,xn0)
Потом аналогично для переменной x2
находим точку М2
и так далее.

Для
наглядности рассмотрим рисунок. Здесь
функция двух переменных u=f(x,y)

Обозначены линии
уровня 9,7,5,3,1.

Конечно , надо
понимать , что приступая к решению
реальной задачи никакого рисунка мы
иметь не будем. Данный рисунок только
для иллюстрации метода .

  1. Метод градиентного спуска.

Рассмотрим
определение градиента и антиградиента
на примере функции трех переменных.

Вектор
градиента
дает представление о поведении функции
в окрестностях точки
.
Направление вектора градиента есть
направление наиболее быстрого возрастания
функции в этой точке. Соответственно
противоположное направление называют
антиградиентом.

Модуль
градиента
определяет скорость возрастания и
убывания функции в направлении градиента
и антиградиента. Для всех остальных
направлений скорость изменения функции
в точке
меньше
модуля градиента.

Суть
метода:
двигаться к минимуму в направлении
наиболее быстрого убывания функции,
которая определяется антиградиентом.

Каким-либо образом
выбираем начальную точку, в ней вычисляем
градиент функции и делаем шаг в обратном
антиградиентном направлении .Нашли
точку , в которой значение функции меньше
первоначального . Далее процесс
повторяется. В данном случае приближение
к наименьшему значению будет более
быстрым , чем в методе покоординатного
спуска.

В случае , если
функция задана не аналитически , частные
производные вычисляются приближенно
с помощью известных конечно-разностных
соотношений.

Приращение аргумента
не должно быть слишком малым , значения
функции должны быть вычислены с высокой
степенью точности.

Пример:

Соседние файлы в папке Vychmat_lektsii

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Пример 1

Дана функция:

Нужно построить ее график на промежутке [-5;5] с шагом равным 1.

Создание таблицы

Создадим таблицу, первый столбец назовем переменная x (ячейка А1), второй — переменная y (ячейка В1). Для удобства в ячейку В1 запишем саму функцию, чтобы было понятно, какой график будем строить. Введем значения -5, -4 в ячейки А2 и А3 соответственно, выделим обе ячейки и скопируем вниз. Получим последовательность от -5 до 5 с шагом 1.

Вычисление значений функции

Нужно вычислить значения функции в данных точках. Для этого в ячейке В2 создадим формулу, соответствующую заданной функции, только вместо x будем вводить значение переменной х, находящееся в ячейке слева (-5).

Важно: для возведения в степень используется знак ^, который можно получить с помощью комбинации клавиш Shift+6 на английской раскладке клавиатуры.               Обязательно между коэффициентами и переменной нужно ставить знак умножения * (Shift+8).

Ввод формулы завершаем нажатием клавиши Enter. Мы получим значение функции в точке x=-5. Скопируем полученную формулу вниз.

Мы получили последовательность значений функции в точках на промежутке [-5;5] с шагом 1.

Построение графика

Выделим диапазон значений переменной x и функции y. Перейдем на вкладку Вставка и в группе Диаграммы выберем Точечная (можно выбрать любую из точечных диаграмм, но лучше использовать вид с гладкими кривыми).

Мы получили график данной функции. Используя вкладки Конструктор, Макет, Формат, можно изменить параметры графика.

Пример 2

Даны функции:

и y=50x+2. Нужно построить графики этих функций в одной системе координат.

Создание таблицы и вычисление значений функций

Таблицу для первой функции мы уже построили, добавим третий столбец — значения функции y=50x+2 на том же промежутке [-5;5]. Заполняем значения этой функции. Для этого в ячейку C2 вводим формулу, соответствующую функции, только вместо x берем значение -5, т.е. ячейку А2. Копируем формулу вниз.

Мы получили таблицу значений переменной х и обеих функций в этих точках.

Построение графиков

Для построения графиков выделяем значения трёх столбцов, на вкладке Вставка в группе Диаграммы выбираем Точечная.

Мы получили графики функций в одной системе координат. Используя вкладки Конструктор, Макет, Формат, можно изменить параметры графиков.

Последний пример удобно использовать, если нужно найти точки пересечения функций с помощью графиков. При этом можно изменить значения переменной x, выбрать другой промежуток или взять другой шаг (меньше или больше, чем 1). При этом столбцы В и С менять не нужно, диаграмму тоже. Все изменения произойдут сразу же после ввода других значений переменной x. Такая таблица является динамической.

Кратко об авторе:

Шамарина Татьяна НиколаевнаШамарина Татьяна Николаевна — учитель физики, информатики и ИКТ, МКОУ «СОШ», с. Саволенка Юхновского района Калужской области. Автор и преподаватель дистанционных курсов по основам компьютерной грамотности, офисным программам. Автор статей, видеоуроков и разработок.

Спасибо за Вашу оценку. Если хотите, чтобы Ваше имя
стало известно автору, войдите на сайт как пользователь
и нажмите Спасибо еще раз. Ваше имя появится на этой стрнице.

Источник

0 / 0 / 0

Регистрация: 12.11.2010

Сообщений: 24

1

Вычисление функции с заданным шагом на определённом отрезке

26.11.2010, 15:31. Показов 22588. Ответов 3

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем привет. Помогите кодом программ (желательно с небольшим пояснением в виде комментариев).
Вобщем задания следущие:
1. Вычислить функцию y=x-tg(x) на отрезке [o,pi/2] с шагом h=pi/10. На каждом шаге выводить на экран значения переменных x,y.

2. Найти ср. арифметическое положительных значений функции y=(cos(x/3-tg(x))*e^-x на интервале изменения аргумента от Xn до Xk с шагом h.

Заранее спасибо за помощь!



0

Vorox

26 / 25 / 10

Регистрация: 26.11.2010

Сообщений: 57

26.11.2010, 16:21

2
C++ 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

#include <iostream>
#include <conio.h>
#include <math.h>
using namespace std;
#define PI 3.14159265358979 // определяем константу пи
int main()
{
    double p=PI/2; // создаем переменные р и h
    double h=PI/10; // 
    double y;
    for(double i=0;i<p;i+=h) // создаем цикл, здесь i играет роль х в уравнении, с каждой новой итерацией к переменной 
    {                       // i будет прибавлятся h пока мы не выйдем за пределы отрезка.
                            // В задании есть неточность, а именно tg(PI/2) = бесконечности, поэтому считает программа на 
                            // полуинтервале [0,PI/2).
        y=i-tan(i); // собственно уравнение
        cout<<"x = "<<i<<"  "<<"y = "<<y<<endl; // вывод на экран
    }
    double x1, x2;
    cout<<"Enter Xn and Xk:n"; 
    cin>>x1>>x2;
    double Sum=0; // переменная для хранения общей суммы положительных значений
    int count=0;
    for(double i=x1;i<=x2;i+=h)
    {
        double tmp=cos(i/3-tan(i))*exp(-i);
        if(tmp>0) // если функция больше 0 то прибавляем результат к сумме
        {
            Sum+=tmp;
            count++; // колличество положительных значений
        }
    }
    cout<<"The average arithmetic sum = "<<Sum/count<<endl; // вывод среднеого арифметического результата
    getch();
    return 0;
}



2

MyAdm001

0 / 0 / 0

Регистрация: 12.11.2010

Сообщений: 24

26.11.2010, 16:25

 [ТС]

3

Собственно говоря. Я посидел и подумал. Получилось что-то вроде:

C++ 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

#include <iostream>
#include "math.h"
using namespace std;
  int main ()
    {
        int x,y,h;
        h=3.14/10;
        x=0;
            if (x<=3.14/2)
                y=x-tan(x);
                cout<<"x: "<<x<<"y: "<<y<<endl;
                x=x+h;
            else
                cin<<"successfull, program completed"<<endl;
                system ("pause");
  }

запускаться и компиллироваться не хочет. В чем проблема?



0

Vorox

26 / 25 / 10

Регистрация: 26.11.2010

Сообщений: 57

26.11.2010, 17:38

4

Цитата
Сообщение от MyAdm001
Посмотреть сообщение

Собственно говоря. Я посидел и подумал. Получилось что-то вроде:

C++ 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

#include <iostream>
#include "math.h"
using namespace std;
  int main ()
    {
        int x,y,h;
        h=3.14/10;
        x=0;
            if (x<=3.14/2)
                y=x-tan(x);
                cout<<"x: "<<x<<"y: "<<y<<endl;
                x=x+h;
            else
                cin<<"successfull, program completed"<<endl;
                system ("pause");
  }

запускаться и компиллироваться не хочет. В чем проблема?

1. Т.к. обьявленная тобой функция int main() имеет тип int, то она должна возвращать значение. Возврат происходит с помощью оператора return. Пример:

C++ 
1
2
3
4
5

int main()
{
//тело функции
 return 0;
}

В твоем случае следует изменить тип функции с int на void:

C++ 
1
2
3
4

void main()
{
//тело функции
}

2. Сразу бросается в глаза то, что у тебя нет обхода по всем х, а именно программа выполнится 1 раз при х=0; Нужно сделать зацикливание до тех пор пока мы не пройдем весь отрезок.
3. Вкорне не правильно писать int h=3.14/10, так как число которое мы будем записывать в h имеет вещественный тип данных. В результате ты получишь h=0, т.к. вся дробная часть проигнорируется.
Тоже самое для х и у. Ты присваеваешь им вещественное значение, хотя тип данных у тебя целочисленный.



0
Источник

Цели урока:

  • научить строить графики элементарных
    математических функций с помощью табличного
    процессора Excel;
  • показать возможности использования программы
    Excel для решения задач по математике;
  • закрепить навыки работы с Мастером диаграмм.

Задачи урока:

  • образовательная – знакомство учащихся с
    основными приемами построения графиков функций
    в программе Excel;
  • развивающие – формирование у учащихся
    логического и алгоритмического мышления;
    развитие познавательного интереса к предмету;
    развитие умения оперировать ранее полученными
    знаниями; развитие умения планировать свою
    деятельность;
  • воспитательные – воспитание умения
    самостоятельно мыслить, ответственности за
    выполняемую работу, аккуратности при выполнении
    работы.

Тип урока:

  • комбинированный

Учебники:

Информатика. Базовый курс 2-е издание/Под ред.
С.В. Симоновича. — СПб.: Питер, 2004.-640с.:ил.

Технические и программные средства:

  • Персональные компьютеры;
  • Приложение Windows – электронные таблицы Excel.
  • Проектор

Раздаточный материал:

  • Карточки с индивидуальными заданиями на
    построение графиков функций.

План урока.

  1. Организационный момент – 3 мин.
  2. Проверка домашнего задания –10 мин.
  3. Объяснение нового материала –20 мин.
  4. Применение полученных знаний –20 мин.
  5. Самостоятельная работа. – 20 мин
  6. Подведение итогов урока. Домашнее задание – 7
    мин.

Ход урока

Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку, отметка
отсутствующих, объявление темы и цели урока

Проверка домашнего задания. (фронтальный
опрос)

Вопросы для проверки

  1. Что представляет собой рабочая область
    программы Excel?
  2. Как определяется адрес ячейки?
  3. Как изменить ширину столбца, высоту строки?
  4. Как ввести формулу в Excel?
  5. Что такое маркер заполнения и для чего он нужен?
  6. Что такое относительная адресация ячеек?
  7. Что такое абсолютная адресация ячеек? Как она
    задается?
  8. Что такое колонтитулы? Как они задаются?
  9. Как задать поля печатного документа? Как
    изменить ориентацию бумаги?
  10. Что такое функциональная зависимость у = f(х)?
    Какая переменная является зависимой, а какая
    независимой?
  11. Как ввести функцию в Excel?
  12. Что такое график функции у = f(х)?
  13. Как построить диаграмму в Excel?

Объяснение нового материала.

При объяснении нового материала может быть
использован файл Excel с шаблонами задач (Приложение 1), который
выводится на экран с помощью проектора

Сегодня мы рассмотрим применение табличного
процессора Excel для графиков функций. На
предыдущих практических вы уже строили
диаграммы к различным задачам, используя Мастер
диаграмм. Графики функций, так же как и диаграммы
строятся с помощью Мастера диаграмм программы
Excel.

Рассмотрим построение графиков функций на
примере функции у = sin x.

Вид данного графика хорошо известен вам по
урокам математики, попробуем построить его
средствами Excel.

Программа будет строить график по точкам: точки
с известными значениями будут плавно
соединяться линией. Эти точки нужно указать
программе, поэтому, сначала создается таблица
значений функции у = f(х).

Чтобы создать таблицу, нужно определить

  • отрезок оси ОХ, на котором будет строиться
    график.
  • шаг переменной х, т.е. через какой промежуток
    будут вычисляться значения функции.

Задача 1.Построить график функции у = sin
x на отрезке [– 2; 2] с шагом h = 0,5.

1. Заполним таблицу значений функции. В ячейку С4
введем первое значение отрезка: – 2
2. В ячейку D4 введем формулу, которая будет
добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4
3. Маркером заполнения ячейки D4 заполним влево
ячейки строки 4, до тех пор, пока получим значение
другого конца отрезка: 2.
4. Выделим ячейку С5, вызовем Мастер функций, в
категории математические выберем функцию SIN, в
качестве аргумента функции выберем ячейку С4.
5. Маркером заполнения распространим эту формулу
в ячейках строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, мы получили таблицу аргументов
(х) и значений (у) функции у = sin x на отрезке [-2;2] с
шагом h = 0,5 :

x -2 -1,75 -1,5 -1,25 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
y -0,9092 -0,9839 -0,9974 -0,9489 -0,8414 -0,6816 -0,4794 -0,2474 0 0,2474 0,4794 0,6816 0,8414 0,9489 0,9974 0,9839 0,9092

6. Следующий шаг. Выделим таблицу и вызовем
Мастер диаграмм. На первом шаге выберем во
вкладке Нестандартные Гладкие графики.
7. На втором шаге во вкладке Ряд выполним:

В поле Ряд необходимо выделить ряд х и нажать на
кнопку “Удалить” (график изменений х нам не
нужен. График функции – это график изменения
значений у)

В поле Подписи оси Х нажать на кнопку.
Выделить в таблице ячейки со значениями х и
нажмите на кнопку . Подписи по горизонтальной оси
станут такими, как у нас в таблице.

8. На третьем шаге заполним вкладку Заголовки.

9. Пример полученного графика.

На самом деле пока это мало похоже на график
функции в нашем привычном понимании.

Для форматирования графика:

  • Вызовем контекстное меню оси ОУ. Затем, выберем
    пункт Формат оси…. Во вкладке Шкала установим:
    цена основного деления: 1. Во вкладке Шрифт
    установим размер шрифта 8пт.
  • Вызовем контекстное меню оси ОХ. Выберем пункт
    Формат оси….

Во вкладке Шкала установим: пересечение с осью
ОУ установите номер категории 5 (чтобы ось ОУ
пересекала ось ОХ в категории с подписью 0, а это
пятая по счету категория).

Во вкладке шрифт установите размер шрифта 8пт.
Нажмите на кнопку ОК.

Остальные изменения выполняются аналогично.

Для закрепления рассмотрим еще одну задачу на
построение графика функций. Эту задачу
попробуйте решить самостоятельно, сверяясь с
экраном проектора.

Применение полученных знаний.

Пригласить к проектору студента и
сформулировать следующую задачу.

Задача 2. Построить график функции у = х3
на отрезке [– 3; 3] с шагом h = 0,5.

1. Создать следующую таблицу: Создать таблица
значений функции у = f(х).

2. В ячейку С4 ввести первое значение отрезка: –3
3. В ячейку D4 ввести формулу, которая будет
добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4
4. Маркером заполнения ячейки D3 заполнить влево
ячейки строки 3, до тех пор, пока не будет получено
значение другого конца отрезка: 3.
5. В ячейку С5 ввести формулу вычисления значения
функции: = С4^3
6. Маркером заполнения скопировать формулу в
ячейки строки 5 до конца таблицы.

Таким образом, должна получиться таблица
аргументов (х) и значений (у) функции у = х3 на
отрезке [–3;3] с шагом h = 0,5:

х -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
y -27 -15,625 -8 -3,375 -1 -0,125 0 0,125 1 3,375 8 15,625 27

7. Выделить таблицу и вызвать мастер диаграмм.
На первом шаге выбрать во второй вкладке Гладкие
графики.
8. На втором шаге во вкладке Ряд выполнить:

9. На третьем шаге заполнить вкладку Заголовки.

10. Пример полученного графика:
11. Оформить график.
12. Установить параметры страницы и размеры
диаграмм таким образом, что бы все поместилось на
одном листе альбомной ориентации.
13. Создать колонтитулы для данного листа (Вид
Колонтитулы…):
14. Верхний колонтитул слева: график функции у = x3

Сохранить документ своей папке под именем
График.

Самостоятельная работа.

Работа по карточкам с индивидуальными
заданиями. (Приложение 2)

Пример карточки, с задачей в общем виде,
выводится на экран с помощью проектора.

1. Построить график функции y=f(x) на отрезке [a;b] с
шагом h=c
2. Установить параметры страницы и размеры
графика таким образом, что бы все поместилось на
одном листе альбомной ориентации.
3. Создать колонтитулы для данного листа (Вид
Колонтитулы…):

  • Верхний колонтитул слева: график функции y=f(x)
  • Нижний колонтитул в центре: ваши Ф.И.О. и дата

4. Сохранить в своей папке под именем “Зачетный
график”
5. Вывести документ на печать.

После выполнения задания правильность каждого
варианта проверяется с помощью проектора.

Подведение итогов.

Домашнее задание.

Оценки за урок.

Источник

На этой странице вы узнаете

  • Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни?
  • Как быстро определить верное обозначение точки на прямой?
  • Как правильно чередовать знаки на числовой прямой?

Решая уравнение, мы стремимся к тому, чтобы обе части были равны. Но существуют такие примеры, где мы заведомо знаем, что два выражения не могут быть равны между собой. Они называются неравенствами. 

Метод интервалов

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором одна сторона имеет отличное от другой значение. В неравенствах обычно одна сторона больше другой.

Для записи неравенств используют знаки > , < , ≥ , ≤ . 

При этом “>” и “<” — это строгие знаки неравенства, а “≥” и “≤” — нестрогие знаки неравенства. 

Их отличие в том, что нестрогие знаки неравенства включают граничные точки в итоговый промежуток, а строгие — нет. 

Как мы ежедневно расставляем знаки неравенства в жизни?

Посмотрим на привычные ситуации с точки зрения строгости знаков неравенства.

Например, возьмем известную игру “Камень, ножницы, бумага”.
Правила игры говорят нам, что камень всегда побеждает ножницы, а бумага побеждает камень. Если перенести это на язык неравенства, то получится:

Теперь зайдем в магазин цифровой техники и попробуем выбрать себе новый мобильный телефон. Задачка непростая, не так ли? Две разные модели могут настолько незначительно отличаться друг от друга своими характеристиками, что будут казаться почти одинаковыми. Тогда мы можем сказать, что они практически равны между собой, то есть неравенство нестрогое. Но один из них всё-таки понравился нам больше.

И каждый наш выбор, каждый шаг – это расстановка знака неравенства в настоящей жизни. Просто по бокам от него не цифры и переменные, а существующие ситуации и вещи. 

Рассмотрим пример неравенства (х — 10)(х + 21) > 0. 

Его можно решить несколькими способами. Например, вспомним, что положительным будет произведение двух положительных или двух отрицательных множителей, тогда получается совокупность из двух систем. 

Однако этот способ решения очень трудоемкий и требует много времени. А если множителей будет больше, например, три или четыре, то время на решение в разы увеличивается. 

Небольшой секрет тайм-менеджмента: как сократить время при решении неравенств?  В таких случаях на помощь приходит метод интервалов.

Метод интервалов — специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

Интервал — это промежуток на числовой прямой, ограниченный двумя различными числами.

 

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1 шаг. Перенести все части неравенства в одну сторону так, чтобы с другой остался только 0. 

2 шаг. Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0. 

3 шаг. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы. 

4 шаг. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.

Расставляя полученные корни на прямой, необходимо отмечать их точками. При этом от того, какая отмечена точка (выколотая или закрашенная), будет зависеть ответ. 

  • Если в неравенстве стоит строгий знак неравенства, то все точки на прямой должны быть выколотыми. 

Таким образом, граничные точки не будут включены в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют круглые скобочки. Например, в промежуток (2;3) включаются все значения от 2 до 3, но не включаются граничные точки. 

  • Если в неравенстве стоит нестрогий знак неравенства, то найденные корни должны быть отмечены закрашенными точками. 

Это означает, что мы включаем их в итоговый промежуток. Для записи таких точек используют квадратные скобочки. Например, в промежуток [2;3] включаются все значения от 2 до 3, в том числе и граничные точки. 

  • Если в неравенстве появляются ограничения и некоторые точки нельзя взять в ответ, то такие точки должны быть выколотыми на числовой прямой, при этом знак самого неравенства может быть как строгим, так и нестрогим. 

Например, если необходимо решить неравенство с дробью, то нули знаменателя на числовой прямой обязательно должны быть обозначены выколотыми точками. 

Как быстро определить верное обозначение точки на прямой?

В случае сомнений мы всегда можем проверить себя по простой схеме.

Вывод:
— если знак неравенства строгий, то все точки будут выколотыми;
— если знак неравенства нестрогий, то точки будут закрашенными, кроме тех точек, которые нельзя взять в ответ (например, они не удовлетворяют ОДЗ).

Стоит отметить, что непрерывная функция будет менять знак только в точках, в которых она равна 0. Подробнее узнать про смену знака функции можно в статье «Определение и график функции». Именно поэтому в методе интервалов мы ищем и отмечаем нули функции на прямой — только при переходе через них будет меняться знак функции. 

При этом существует способ, с помощью которого можно быстро расставить знаки на прямой. Достаточно определить знак на одном из интервалов, а дальше чередовать знаки при переходе через каждую точку на прямой. 

Правила чередования знаков: 

  • Если корень повторяется нечетное количество раз (то есть его степень нечетная), то знак при переходе на следующий интервал меняется.
  • Если корень повторяется четное количество раз (его степень четная), то знак при переходе на следующий интервал не меняется. 
Как правильно чередовать знаки на числовой прямой?

Всегда будет нелишним перепроверить знак на каждом интервале, подставив значения в функцию, и  убедиться в правильности расстановки знаков на прямой. 

Но при расстановке можно пользоваться следующим алгоритмом, что значительно сократит время расстановки знаков. 

Методом интервалов можно решить практически любое неравенство в задании 14 из ЕГЭ по профильной математике, также он может понадобиться в заданиях 8, 11 и 17 «профиля» или в задании 17 ЕГЭ по базовой математике. 

На ОГЭ данным методом можно воспользоваться при решении неравенств из первой и второй частей — №13 и №20. 
Так что осваивайте метод и 2 балла ЕГЭ или 3 балла ОГЭ будут у вас в кармане. Обязательно следуйте алгоритму решения неравенств методом интервалов, тогда вы точно решите неравенство верно.

Практика

Рассмотрим несколько примеров, чтобы на практике разобрать применение метода интервалов для решения неравенств.  

Пример 1. Решить неравенство x2 + 8x — 33 > 0. 

Шаг 1. Первым шагом необходимо найти нули функции, для этого приравниваем выражение слева к 0: x2 + 8x — 33 = 0. 

Шаг 2. Находим корни уравнения, получаем х = 3 и х = -11. 

Шаг 3. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Поскольку знак неравенства строгий, то точки должны быть выколотыми:

Шаг 4. Дальше необходимо определить знаки на каждом интервале. Для этого подставим х = -12 в x2 + 8x — 33. Получаем: 

(-12)2 + 8*(-12) — 33 = 144 — 96 — 33 = 15. 

Получается положительное число, следовательно, интервал от минус бесконечности до -11 положительный. Поскольку все корни в неравенстве повторяются нечетное количество раз (по одному разу), то знаки чередуются. 

В ответ необходимо записать промежутки с положительным знаком, следовательно, ответом будет х ∈ (-∞; -11) U (3; +∞). 

Пример 2. Решить неравенство (frac{2х^2 + 22х — 204}{(х-3)(х+5)} ≤ 0). 

1. Находим нули функции. 

Нули числителя: 2х2 + 22х — 204 = 0. Решая уравнение, получаем х = 6 и х = -17. 

Нули знаменателя: (х — 3)(х + 5) = 0, следовательно, х = 3 и х = -5. 

2. Расставляем полученные корни на числовой прямой. Нули числителя будут обозначены закрашенными точками, поскольку знак неравенства нестрогий. А вот нули знаменателя — выколотыми, поскольку знаменатель не может равняться 0, следовательно, и нули знаменателя не должны входить в итоговый промежуток. 

3. Определяем знак на крайнем левом промежутке, подставляя х=-20 в дробь:

(frac{2(-20)^2 + 22(-20) — 204}{(-20 -3)(-20 +5)} = frac{2 * 400 — 440 — 204}{(-23) * (-15)} = 156345. )

Следовательно, промежуток положительный. 

4. Поскольку каждый корень встречается один раз, то есть нечетное количество раз, то знаки будут чередоваться. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки. Следовательно, ответом будет х ∈ [-17; -5) U (3; 6].

Пример 3. Решить неравенство (frac{1}{х^2} ≥ frac{1}{х+2})

1. Первым делом следует отметить, что знаменатели не могут быть равны 0, следовательно, х2 ≠ 0 и х + 2 ≠ 0, отсюда получаем х ≠ 0 и х ≠ -2. 

2. Теперь перенесем все части неравенства влево: 

(frac{1}{х^2} — frac{1}{х+2} ≥ 0). 

Приведем к общему знаменателю:

 (frac{х + 2 — х^2}{х^2 (х + 2)} ≥ 0). 

Для решения неравенства будет удобнее, если перед х2 в числителе будет стоять положительный знак, для этого умножим неравенство на -1. 

При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. 

Получаем:

(frac{х^2 — х — 2}{х^2 (х + 2)} ≤ 0). 

Теперь найдем нули функции. 

Нули числителя: х2 — х — 2 = 0. Тогда х = -1 и х = 2. 

Нули знаменателя: х = 0 и х = -2. 

2. Расставим корни на числовой прямой, при этом нули числителя будут обозначены закрашенными точками, а нули знаменателя — выколотыми. 

3. Определим знак на крайнем левом промежутке, подставив для этого х = -3 в дробь: 

(frac{(-3)^2 — (-3) — 2}{(-3)^2 ((-3) + 2)} = frac{9 + 3 — 2}{9 * (-1)} = frac{10}{-9})

Промежуток отрицательный. 

4. Дальше расставляем знаки, чередуя их. При этом следует заметить, что х = 0 — корень, повторяющийся четное количество раз (поскольку у х2 четная степень). Следовательно, при переходе через эту точку знак функции меняться не будет. 

В ответ необходимо включить отрицательные промежутки, следовательно: х ∈ (-∞; -2) U [-1; 0) U (0; 2]. 

Давайте подведем итог. Для чего мы это изучили?

Конечно же, эти знания пригодятся на экзаменах, а также в решении школьных примеров с 8 класса по 11 класс. 

Советуем после прочтения этой статьи попрактиковаться в рубрике «Проверь себя», чтобы закрепить полученные знания. После чего можете приступить к решению заданий посложнее, чтобы на экзамене у вас точно получилось решить подобные задания и набрать за них максимум баллов.

Фактчек

  • Метод интервалов позволяет упростить решение любого  неравенства, а также экономит время, которое ограничено на экзамене. 
  • Чтобы решить неравенство с помощью метода интервалов необходимо найти нули функции, расставить их на числовой прямой, а после определить знак каждого полученного интервала. 
  • Нули функции на прямой обозначаются точками, при этом закрашенные точки включают граничные значения в итоговый промежуток, а незакрашенные, напротив, исключают их из промежутка. 
  • Для определения знака на каждом интервале необходимо подставить любое значение из этого интервала в функцию. 
  • Для упрощения расстановки знаков можно пользоваться правилами чередования, определив знак только на одном интервале, а дальше менять знаки на каждом следующем. При этом если корень встречается в функции нечетное количество раз, то знак при переходе через эту точку на следующий интервал меняется, а если корень встречается четное количество раз, то знак на следующем интервале не меняется. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие знаки неравенства существуют?

  1. Строгие
  2. Нестрогие
  3. Строгие и нестрогие 
  4. Больше и меньше

Задание 2. 
Какой знак неравенства может встретиться в методе интервалов?

  1. Только больше или меньше. 
  2. Только “больше или равно” или “меньше или равно”. 
  3. Только “больше” и “больше или равно” или только “меньше” и “меньше или равно”.
  4. Любой. 

Задание 3. 
Какое утверждение верное?

  1. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой закрашены.
  2. Если в неравенстве строгий знак неравенства, то точки на числовой прямой выколоты.
  3. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой закрашены, даже если в неравенстве есть ограничения.
  4. Если в неравенстве нестрогий знак неравенства, то все точки на числовой прямой выколоты. 

Задание 4. 
Какое утверждение верное? 

  1. При переходе на числовой прямой на следующий интервал, знак на интервале всегда будет меняться.
  2. Если корень встречается в неравенстве четное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
  3. Если корень встречается в неравенстве нечетное количество раз, то при переходе через него на следующий интервал знак не меняется.
  4. Невозможно определить правильное чередование знаков на прямой, не подставляя значение из каждого интервала в функцию.

Задание 5. 
Если в неравенстве строгий знак неравенства, то какие скобочки могут встретиться в ответе? 

  1. Круглые
  2. Квадратные
  3. И круглые, и квадратные
  4. Ни один из перечисленных вариантов 

Ответы: 1. — 3 2. — 4 3. — 2 4. — 2 5. — 1 

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти мой иди вконтакте
  • Как найти инвалидов для трудоустройства
  • Как найти диагональ прямоугольника примеры
  • Как исправить время на телефоне на главном экране редми
  • Ошибки activex com как исправить windows 10 что это