Как найти шаг разбиения

Как вычислить определенный интеграл методом трапеций?

Сначала формула
в общем виде. Возможно, она будет не всем
и не сразу понятна… да Карлссон с вами
– практические примеры всё прояснят!
Спокойствие. Только спокойствие.

Рассмотрим
определенный интеграл 
,
где 
 –
функция, непрерывная на отрезке 
. 
Проведём разбиение
отрезка 
 на 
 равных отрезков:

.
При этом, очевидно: 
 (нижний
предел интегрирования) и 
 (верхний
предел интегрирования). Точки 
 также
называют узлами.

Тогда
определенный интеграл можно вычислить
приближенно по
формуле трапеций:

,
где:

 –
длина каждого из маленьких отрезков
или шаг;

 –
значения подынтегральной функции в
точках 
.

Пример 1

Вычислить
приближенно определенный интеграл по
формуле трапеций. Результаты округлить
до трёх знаков после запятой.

а) Разбив отрезок
интегрирования на 3 части.

б) Разбив
отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение: 

а)
Специально для чайников я привязал
первый пункт к чертежу, который наглядно
демонстрировал принцип метода. Если
будет трудно, посматривайте на чертёж
по ходу комментариев, вот его кусок:

По
условию отрезок интегрирования нужно
разделить на 3 части, то есть 
.

Вычислим
длину каждого отрезка разбиения: 
.
Параметр 
,
напоминаю, также называется шагом.

Сколько
будет точек 
 (узлов
разбиения)? Их будет на
одну больше, чем
количество отрезков:

Таким
образом, общая формула трапеций
сокращается до приятных размеров:

Для
расчетов можно использовать обычный
микрокалькулятор:

Обратите
внимание, что, в
соответствии с условием задачи, все
вычисления следует округлять до 3-его
знака после запятой.

Окончательно:

Напоминаю, что
полученное значение – это приближенное
значение площади (см. рисунок выше).

б)
Разобьём отрезок интегрирования на 5
равных частей, то есть 
.
Зачем это нужно? Чтобы Фобос-Грунт не
падал в океан – увеличивая количество
отрезков, мы увеличиваем точность
вычислений.

Если 
,
то формула трапеций принимает следующий
вид:

Найдем
шаг разбиения:

,
то есть, длина каждого промежуточного
отрезка равна 0,6.

При
чистовом оформлении задачи все вычисления
удобно оформлять расчетной таблицей:

В первой строке
записываем «счётчик»

Как
формируется вторая строка, думаю, всем
видно – сначала записываем нижний
предел интегрирования 
,
остальные значения получаем, последовательно
приплюсовывая шаг 
.

По
какому принципу заполняется нижняя
строка, тоже, думаю, практически все
поняли. Например, если 
,
то 
.
Что называется, считай, не ленись.

В
результате:

Ну что
же, уточнение, и серьёзное, действительно
есть!

Если для 3-х отрезков разбиения 
,
то для 5-ти отрезков 
.
Таким образом, с большой долей уверенности
можно утверждать, что, по крайне мере 
.

Пример 2

Вычислить
приближенно определенный интеграл по
формуле трапеций с точностью до двух
знаков после запятой (до 0,01).

Решение: Почти
та же задача, но немного в другой
формулировке. Принципиальное отличие
от Примера 1 состоит в том, что мы не
знаем, НА СКОЛЬКО
отрезков разбивать отрезок интегрирования,
чтобы получить два верных знака после
запятой. Иными словами, мы не знаем
значение 
.

Существует
специальная формула, позволяющая
определить количество отрезков разбиения,
чтобы гарантированно достигнуть
требуемой точности, но практике она
часто трудноприменима. Поэтому выгодно
использовать упрощенный подход.

Сначала
отрезок интегрирования разбивается на
несколько больших отрезков, как правило,
на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования,
например, на те же 5 частей. Формула уже
знакома:

И шаг,
естественно, тоже известен: 

Но
возникает еще один вопрос, до какого
разряда округлять результаты 
?
В условии же ничего не сказано о том,
сколько оставлять знаков после запятой.
Общая рекомендация такова: к
требуемой точности нужно прибавить 2-3
разряда. В данном
случае необходимая точность 0,01. Согласно
рекомендации, после запятой для верности
оставим пять знаков (можно было и
четыре):

В
результате:

После
первичного результата количество
отрезков удваивают.
В данном случае необходимо провести
разбиение на 10 отрезков. И когда количество
отрезков растёт, то в голову приходит
светлая мысль, что тыкать пальцами в
микрокалькулятор уже как-то надоело.
Поэтому еще раз предлагаю закачать и
использовать мой калькулятор-полуавтомат
(ссылка в начале урока).

Для 
 формула
трапеций приобретает следующий вид:

В бумажной версии
запись можно спокойно перенести на
следующую строчку.

Вычислим
шаг разбиения: 

Результаты
расчётов сведём в таблицу:

При
чистовом оформлении в тетрадь длинную
таблицу выгодно превратить в двухэтажную.

В
результате:

Теперь
рассчитаем, на сколько улучшился
результат:

Здесь
используем знак модуля, поскольку нас
интересует абсолютная
разность, а не какой
результат больше, а какой – меньше.

Полученная
оценка погрешности больше, 
чем требуемая точность:

Поэтому
необходимо ещё раз удвоить количество
отрезков разбиения до 
,
и вычислить уже 
.
Ничего не придумываю, в реальных задачах
достаточно часто требуется провести
разбиение отрезка на 20 частей. С помощью
экселевского калькулятора готовый
результат можно получить в считанные
секунды: 
.

Снова
оцениваем погрешность:

Полученная
оценка погрешности меньше, 
чем требуемая точность:

Всё
что осталось сделать, округлить последний
(наиболее точный) результат 
 до
двух знаков после запятой и записать:

Ответ: 
 с
точностью до 0,01

Пример 3

Вычислить
приближенно определенный интеграл по
формуле трапеций с точностью до 0,001.

Перед
вами опять неберущийся интеграл (почти
интегральный косинус). В образце решения
на первом шаге проведено разбиение на
4 отрезка, то есть 
.
Полное решение и примерный образец
чистового оформления в конце урока.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  08.02.20157.31 Mб91.rtf

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вычисление определённых интегралов: базовые алгоритмы

В этой публикации описаны простейшие методы вычисления интегралов функций от одной переменной на отрезке, также называемые квадратурными формулами. Обычно эти методы реализованы в стандартных математических библиотеках, таких как GNU Scientific Library для C, SciPy для Python и других. Публикация имеет целью продемонстрировать, как эти методы работают «под капотом», и обратить внимание на некоторые вопросы точности и производительности алгоритмов. Также хотелось бы отметить связь квадратурных формул и методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, о которых хочу написать ещё одну публикацию.

Определение интеграла

Интегралом (по Риману) от функции на отрезке называется следующий предел:

где — мелкость разбиения, , , — произвольное число на отрезке .

Если интеграл от функции существует, то значение предела одно и то же вне зависимости от разбиения, лишь бы оно было достаточно мелким.

Более наглядно геометрическое определение — интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x, графиком функции и прямыми x = a и x = b (закрашенная область на рисунке).

Квадратурные формулы

Определение интеграла (1) можно переписать в виде

где — весовые коэффициенты, сумма которых должна быть равна 1, а сами коэффициенты — стремиться к нулю при увеличении числа точек, в которых вычисляется функция.

Выражение (2) — основа всех квадратурных формул (т.е. формул для приближенного вычисления интеграла). Задача состоит в том, чтобы выбрать точки и веса таким образом, чтобы сумма в правой части приближала требуемый интеграл как можно точнее.

Вычислительная задача

Задана функция , для которой есть алгоритм вычисления значений в любой точке отрезка (имеются в виду точки, представимые числом с плавающей точкой — никаких там функций Дирихле!).

Требуется найти приближённое значение интеграла .
Решения будут реализованы на языке Python 3.6.

Для проверки методов используется интеграл .

Кусочно-постоянная аппроксимация

Идейно простейшие квадратурные формулы возникают из применения выражения (1) «в лоб»:

Т.к. от метода разбиения отрезка точками и выбора точек значение предела не зависит, то выберем их так, чтобы они удобно вычислялись — например, разбиение возьмём равномерным, а для точек вычисления функции рассмотрим варианты: 1) ; 2) ; 3) .

Получаем методы левых прямоугольников, правых прямоугольников и прямоугольников со средней точкой, соответственно.

Для анализа производительности квадратурных формул построим график погрешности в координатах «число точек — отличие численного результата от точного».

Что можно заметить:

1. Формула со средней точкой гораздо точнее, чем с правой или левой точками
2. Погрешность формулы со средней точкой падает быстрее, чем у двух остальных
3. При очень мелком разбиении погрешность формулы со средней точкой начинает возрастать
   Первые два пункта связаны с тем, что формула прямоугольников со средней точкой имеет второй порядок аппроксимации, т.е. , а формулы правых и левых прямоугольников — первый порядок, т.е. .
   Возрастание погрешности при измельчении шага интегрирования связано с нарастанием погрешности округления при суммировании большого числа слагаемых. Эта ошибка растёт как , что не даёт при интегрировании достигнуть машинной точности.
   Вывод: методы прямоугольников с правой и левой точками имеют низкую точность, которая к тому же медленно растёт с измельчением разбиения. Поэтому они имеют смысл разве что в демонстрационных целях. Метод прямоугольников со средней точкой имеет более высокий порядок аппроксимации, что даёт ему шансы на использование в реальных приложениях (об этом чуть ниже).

Кусочно-линейная аппроксимация

Следующий логический шаг — аппроксимировать интегрируемую функцию на каждом из подотрезков линейной функцией, что даёт квадратурную формулу трапеций:

Иллюстрация метода трапеций для n=1 и n=2.

В случае равномерной сетки длины всех отрезков разбиения равны, и формула имеет вид

Построив график ошибки от числа точек разбиения, убеждаемся, что метод трапеций тоже имеет второй порядок аппроксимации и вообще даёт результаты, слабо отличающиеся от метода прямоугольников со средней точкой (в дальнейшем — просто метод прямоугольников).

Контроль точности вычисления

Задание в качестве входного параметра числа точек разбиения не слишком практично, поскольку обычно требуется вычислить интеграл не с заданной плотностью разбиения, а с заданной погрешностью. Если подынтегральная функция известна наперёд, то можно оценить погрешность заранее и выбрать такой шаг интегрирования, чтобы заданная точность заведомо достигалась. Но так редко бывает на практике (и вообще, не проще ли при известной наперёд функции и сам интеграл протабулировать наперёд?), поэтому необходима процедура автоматической подстройки шага под заданную погрешность.

Как это реализовать? Один из простых методов оценки погрешности — правило Рунге — разность значений интегралов, рассчитанных по n и 2n точкам, даёт оценку погрешности: . Метод трапеций удобнее для удвоения мелкости разбиения, чем метод прямоугольников с центральной точкой. При расчёте методом трапеций для удвоения числа точек нужны новые значения функции только в серединах отрезков предыдущего разбиения, т.е. предыдущее приближение интеграла можно использовать для вычисления следующего.

Метод прямоугольников не требует вычислять значения функции на концах отрезка. Это означает, что его можно использовать для функций, имеющих на краях отрезка интегрируемые особенности (например, sinx/x или x -1/2 от 0 до 1). Поэтому показанный далее метод экстраполяции будет работать точно так же и для метода прямоугольников. Отличие от метода трапеций лишь в том, что при уменьшении шага вдвое отбрасывается результат предыдущих вычислений, однако можно утроить число точек, и тогда предыдущее значение интеграла также можно использовать для вычисления нового. Формулы для экстраполяции в этом случае необходимо скорректировать на другое соотношение шагов интегрирования.

Отсюда получаем следующий код для метода трапеций с контролем точности:

С таким подходом подынтегральная функция не будет вычисляться по нескольку раз в одной точке, и все вычисленные значения используются для окончательного результата.

Но нельзя ли при том же количестве вычислений функции добиться более высокой точности? Оказывается, что можно, есть формулы, работающие точнее метода трапеций на той же самой сетке.

Кусочно-параболическая аппроксимация

Следующим шагом аппроксимируем функцию элементами парабол. Для этого требуется, чтобы число отрезков разбиения было чётным, тогда параболы могут быть проведены через тройки точек с абсциссами <(x₀=a, x₁, x₂), (x₂, x₃, x₄), . (x_n-2, x_n-1, x_n=b)>.

Иллюстрация кусочно-параболического приближения на 3 и 5 точках (n=2 и n=3).

Приближая интеграл от функции на каждом из отрезков [x_k;x_k+2] интегралом от параболической аппроксимации на этом отрезке и считая точки равномерно распределенными (x_k+1=x_k+h), получаем формулу Симпсона:

Из формулы (4) напрямую получается «наивная» реализация метода Симпсона:

Для оценки погрешности можно использовать точно так же вычисление интеграла с шагами h и h/2 — но вот незадача, при вычислении интеграла с более мелким шагом результат предыдущего вычисления придётся отбросить, хотя половина новых вычислений функции будет в тех же точках, что и раньше.

Бесполезной траты машинного времени, к счастью, можно избежать, если реализовать метод Симпсона более хитроумным образом. Присмотревшись повнимательнее, заметим, что интеграл по формуле Симпсона может быть представлен через два интеграла по формуле трапеций с разными шагами. Яснее всего это видно на базовом случае аппроксимации интеграла по трём точкам :

Таким образом, если реализовать процедуру уменьшения шага вдвое и хранить два последних вычисления методом трапеций, метод Симпсона с контролем точности реализуется более эффективно.

Сравним эффективность метода трапеций и парабол:

Как видим, обоими методами ответ можно получть с достаточно высокой точностью, но количество вызовов подынтегральной функции разительно отличается — метод более высокого порядка эффективнее в 32 раза!

Построив график погрешности интегрирования от числа шагов, можно убедиться, что порядок аппроксимации формулы Симпсона равен четырём, т.е. ошибка численного интегрирования (а интегралы от кубических многочленов с помощью этой формулы вычисляются с точностью до ошибок округления при любом чётном n>0!).

Отсюда и возникает такой рост эффективности по сравнению с простой формулой трапеций.

Что дальше?

Дальнейшая логика повышения точности квадратурных формул, в целом, понятна — если функцию продолжать приближать многочленами всё более высокой степени, то и интеграл от этих многочленов будет всё точнее приближать интеграл от исходной функции. Этот подход называется построением квадратурных формул Ньютона-Котеса. Известны формулы вплоть до 8 порядка аппроксимации, но выше среди весовых коэффициентов w_i в (2) появляются знакопеременные члены, и формулы при вычислениях теряют устойчивость.

Попробуем пойти другим путём. Ошибка квадратурной формулы представляется в виде ряда по степеням шага интегрирования h. Замечательное свойство метода трапеций (и прямоугольников со средней точкой!) в том, что для неё этот ряд состоит только из чётных степеней:

На нахождении последовательных приближений к этому разложению основана экстраполяция Ричардсона: вместо того, чтобы приближать подынтегральную функцию многочленом, по рассчитанным приближениям интеграла строится полиномиальная аппроксимация, которая при h=0 должна давать наилучшее приближение к истинному значению интеграла.

Разложение ошибки интегрирования по чётным степеням шага разбиения резко ускоряет сходимость экстраполяции, т.к. для аппроксимации порядка 2n нужно всего n значений интеграла методом трапеций.

Если считать, что каждое последующее слагаемое меньше предыдущего, то можно последовательно исключать степени h, имея приближения интеграла, рассчитанные с разными шагами. Поскольку приведённая реализация легко позволяет дробить разбиение вдвое, удобно рассматривать формулы для шагов h и h/2.

Легко показать, что исключение старшего члена погрешности формулы трапеций в точности даст формулу Симпсона:

Повторяя аналогичную процедуру для формулы Симпсона, получаем:

Если продолжить, вырисовывается такая таблица:

2 порядок	4 порядок	6 порядок	.
I0,0
I1,0	I1,1
I2,0	I2,1	I2,2
.	.	.

В первом столбце стоят интегралы, вычисленные методом трапеций. При переходе от верхней строки вниз разбиение отрезка становится вдвое мельче, а при переходе от левого столбца вправо повышается порядок аппроксимации интеграла (т.е. во втором столбце находятся интегралы по методу Симпсона и т.д.).

Элементы таблицы, как можно вывести из разложения (5), связаны рекуррентным соотношением:

Погрешность приближения интеграла можно оценить по разности формул разных порядков в одной строке, т.е.

Применение экстраполяции Ричардсона вместе с интегрированием методом трапеций называется методом Ромберга. Если метод Симпсона учитывает два предыдущих значения по методу трапеций, то метод Ромберга использует все ранее вычисленные методом трапеций значения для получения более точной оценки интеграла.

Дополнительный метод добавляется в класс Quadrature

Проверим, как работает аппроксимация высокого порядка:

Убеждаемся, что, по сравнению с методом парабол, число вызовов подынтегральной функции снизилось ещё в 8 раз. При дальнейшем увеличении требуемой точности преимущества метода Ромберга проявляются ещё заметнее:

Некоторые замечания

Замечание 1. Количество вызовов функции в этих задачах характеризует число суммирований при вычислении интеграла. Уменьшение числа вычислений подынтегрального выражения не только экономит вычислительные ресурсы (хотя при более оптимизированной реализации и это тоже), но и уменьшает влияние погрешностей округления на результат. Так, при попытке вычислить интеграл тестовой функции метод трапеций зависает при попытке достигнуть относительной точности 5×10 -15 , метод парабол — при желаемой точности 2×10 -16 (что является пределом для чисел в двойной точности), а метод Ромберга справляется с вычислением тестового интеграла вплоть до машинной точности (с ошибкой в младшем бите). То есть, повышается не только точность интегрирования при заданном числе вызовов функции, но и предельно достижимая точность вычисления интеграла.

Замечание 2. Если метод сходится при задании некоторой точности, это не означает, что вычисленное значение интеграла имеет ту же самую точность. В первую очередь, это относится к случаям, когда задаваемая погрешность близка к машинной точности.

Замечание 3. Хотя метод Ромберга для ряда функций работает почти магическим образом, он предполагает наличие у подынтегральной функции ограниченных производных высоких порядков. Это значит, что для функций с изломами или разрывами он может оказаться хуже простых методов. Например, проинтегрируем f(x)=|x|:

Замечание 4. Может показаться, что чем выше порядок аппроксимации, тем лучше. На самом деле, лучше ограничить число столбцов таблицы Ромберга на уровне 4-6. Чтобы понять это, посмотрим на формулу (6). Второе слагаемое представляет собой разность двух последовательных элементов j-1-го столбца, поделенную на примерно 4 j . Т.к. в j-1-м столбце находятся аппроксимации интеграла порядка 2j, то сама разность имеет порядок (1/n_i) 2j

4 —ij . C учётом деления получается

7 второе слагаемое в (6) теряет точность после приведения порядков при сложении чисел с плавающей точкой, и повышение порядка аппроксимации может вести к накоплению ошибки округления.

Замечание 5. Желающие могут ради интереса применить описанные методы для нахождения интеграла и эквивалентного ему . Как говорится, почувствуйте разницу.

Заключение

Представлено описание и реализация базовых методов численного интегрирования функций на равномерной сетке. Продемонстрировано, как с помощью несложной модификации получить на базе метода трапеций класс квадратурных формул по методу Ромберга, что значительно ускоряет сходимость численного интегрирования. Метод хорошо работает для интегрирования «обычных» функций, т.е. слабо меняющихся на отрезке интегрирования, не имеющих особенностей на краях отрезка (см. Замечание 5), быстрых осцилляций и т.д.

Продвинутые методы численного интегрирования для более сложных случаев можно найти в книгах из списка литературы (в [3] — с примерами реализации на C++).

Метод трапеций

Сегодня мы познакомимся с еще одним методом численного интегрирования, методом трапеций. С его помощью мы будем вычислять определенные интегралы с заданной степенью точности. В статье мы опишем суть метода трапеций, разберем, как выводится формула, сравним метод трапеции с методом прямоугольника, запишем оценку абсолютной погрешности метода. Каждый из разделов мы проиллюстрируем примерами для более глубокого понимания материала.

Метод трапеций

Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл ∫ a b f ( x ) d x , подынтегральная функция которого y = f ( x ) непрерывна на отрезке [ a ; b ] . Для этого разделим отрезок [ a ; b ] на несколько равных интервалов длины h точками a = x 0 x 1 x 2 . . . x n — 1 x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Найдем шаг разбиения: h = b — a n . Определим узлы из равенства x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n .

На элементарных отрезках рассмотрим подынтегральную функцию x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .

При бесконечном увеличении n сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:

Выделим отрезки x i — 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Заменим на каждом из графиков функцию y = f ( x ) отрезком прямой, который проходит через точки с координатами x i — 1 ; f x i — 1 и x i ; f x i . Отметим их на рисунках синим цветом.

Возьмем выражение f ( x i — 1 ) + f ( x i ) 2 · h в качестве приближенного значения интеграла ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x . Т.е. примем ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ f ( x i — 1 ) + f ( x i ) 2 · h .

Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.

Для того, чтобы вычислить площадь трапеции, необходимо умножить полусуммы ее оснований на высоту. В первом случае площадь криволинейной трапеции примерно равна трапеции с основаниями f ( x i — 1 ) , f ( x i ) высотой h . В четвертом из рассматриваемых нами случаев заданный интеграл ∫ x i — 1 x f ( x ) d x приближенно равен площади трапеции с основаниями — f ( x i — 1 ) , — f ( x i ) и высотой h , которую необходимо взять со знаком « — ». Для того, чтобы вычислить приближенное значение определенного интеграла ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x во втором и третьем из рассмотренных случаев, нам необходимо найти разность площадей красной и синей областей, которые мы отметили штриховкой на расположенном ниже рисунке.

Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл ∫ a b f ( x ) d x в виде суммы интегралов вида ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ f ( x i — 1 ) + f ( x i ) 2 · h .

Формула метода трапеций

Вспомним пятое свойство определенного интеграла: ∫ a b f ( x ) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x . Для того, чтобы получить формулу метода трапеций, необходимо вместо интегралов ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x подставить их приближенные значения: ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ ∑ i = 1 n f ( x i — 1 ) + f ( x i ) 2 · h = = h 2 · ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 2 ) + f ( x 3 ) + . . . + f ( x n ) ) = = h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n ) ⇒ ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n )

Формула метода трапеций: ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n )

Оценка абсолютной погрешности метода трапеций

Оценим абсолютную погрешность метода трапеций следующим образом:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · b — a 3 12 n 2

Графическая иллюстрация метода трапеций

Графическая иллюстрация метода трапеций приведена на рисунке:

Примеры вычислений

Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:

• вычисление определенного интеграла методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n;
• нахождение приближенного значения определенного интеграла с оговоренной точностью.

При заданном n все промежуточные вычисления необходимо проводить с достаточно высокой степенью точности. Точность вычислений должна быть те выше, чем больше n .

Если мы имеем заданную точность вычисления определенного интеграла, то все промежуточные вычисления необходимо проводить на два и более порядков точнее. Например, если задана точность до 0 , 01 , то промежуточные вычисления мы проводим с точностью до 0 , 0001 или 0 , 00001 . При больших n промежуточные вычисления необходимо проводить с еще более высокой точностью.

Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.

Итак, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g ( x ) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Вычислим по методу трапеций определенный интеграл ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x для n равным 10 .

Решение

Формула метода трапеций имеет вид ∫ x i — 1 x i f ( x ) d x ≈ h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n )

Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислить шаг h по формуле h = b — a n , определить узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n , вычислить значения подынтегральной функции f ( x ) = 7 x 2 + 1 .

Шаг разбиения вычисляется следующим образом: h = b — a n = 5 — 0 10 = 0 . 5 . Для вычисления подынтегральной функции в узлах x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n будем брать четыре знака после запятой:

i = 0 : x 0 = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 0 ) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1 : x 1 = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f ( x 1 ) = f ( 0 . 5 ) = 7 0 , 5 2 + 1 = 5 , 6 . . . i = 10 : x 10 = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f ( x 10 ) = f ( 5 ) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Внесем результаты вычислений в таблицу:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x i	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
f ( x i )	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

Подставим полученные значения в формулу метода трапеций: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n ) = = 0 , 5 2 · 7 + 2 · 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 2692 = 9 , 6117

Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.

Ответ: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Вычислим по методу трапеций значение определенного интеграла ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 d x с точностью до 0 , 01 .

Решение

Согласно условию задачи a = 1 ; b = 2 , f ( x ) = 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 ; δ n ≤ 0 , 01 .

Найдем n , которое равно количеству точек разбиения отрезка интегрирования, с помощью неравенства для оценки абсолютной погрешности δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · ( b — a ) 3 12 n 2 . Сделаем мы это следующим образом: мы найдем значения n , для которых будет выполняться неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · ( b — a ) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . При данных n формула трапеций даст нам приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью.

Для начала найдем наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [ 1 ; 2 ] .

f ‘ ( x ) = 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 ‘ = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f » ( x ) = 1 3 x 3 + 1 3 ‘ = x 2

Вторая производная функция является квадратичной параболой f » ( x ) = x 2 . Из ее свойств мы знаем, что она положительная и возрастает на отрезке [ 1 ; 2 ] . В связи с этим m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) = f » ( 2 ) = 2 2 = 4 .

В приведенном примере процесс нахождения m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) оказался достаточно простым. В сложных случаях для проведения вычислений можно обратиться к наибольшим и наименьшим значениям функции. После рассмотрения данного примера мы приведем альтернативный метод нахождения m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) .

Подставим полученное значение в неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · ( b — a ) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 · ( 2 — 1 ) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 , 7735

Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования n является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем n равное шести. Такое значение n позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.

Вычислим шаг: h = b — a n = 2 — 1 6 = 1 6 .

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 1 , 0 , . . . , n , определим значения подынтегральной функции в этих узлах:

i = 0 : x 0 = 1 + 0 · 1 6 = 1 ⇒ f ( x 0 ) = f ( 1 ) = 1 12 · 1 4 + 1 3 · 1 — 1 60 = 0 , 4 i = 1 : x 1 = 1 + 1 · 1 6 = 7 6 ⇒ f ( x 1 ) = f 7 6 = 1 12 · 7 6 4 + 1 3 · 7 6 — 1 60 ≈ 0 , 5266 . . . i = 6 : x 10 = 1 + 6 · 1 6 = 2 ⇒ f ( x 6 ) = f ( 2 ) = 1 12 · 2 4 + 1 3 · 2 — 1 60 ≈ 1 , 9833

Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

i	0	1	2	3	4	5	6
x i	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
f x i	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

Подставим полученные результаты в формулу трапеций:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 d x ≈ h 2 · f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n — 1 f ( x i ) + f ( x n ) = = 1 12 · 0 , 4 + 2 · 0 , 5266 + 0 , 6911 + 0 , 9052 + 1 , 1819 + 1 , 5359 + 1 , 9833 ≈ 1 , 0054

Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 — x 60 1 2 = 1

Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.

Ответ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x — 1 60 d x ≈ 1 , 0054

Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.

Обозначим приближенное значение определенного интеграла, которое было получено по методу трапеций для n узлов, как I n . Выберем произвольное число n . По формуле метода трапеций вычислим исходный интеграл при одинарном ( n = 10 ) и удвоенном ( n = 20 ) числе узлов и найдем абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений I 20 — I 10 .

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений меньше требуемой точности I 20 — I 10 δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений больше требуемой точности, то необходимо повторить действия с удвоенным количеством узлов ( n = 40 ) .

Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.

Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.

Необходимо вычислить определенный интеграл ∫ 0 2 x e x d x по методу трапеций с точностью до 0 , 001 .

Решение

Возьмем n равное 10 и 20 . По формуле трапеций получим I 10 = 8 , 4595380 , I 20 = 8 , 4066906 .

I 20 — I 10 = 8 , 4066906 — 8 , 4595380 = 0 , 0528474 > 0 , 001 , что требует продолжения вычислений.

Возьмем n равное 40 : I 40 = 8 , 3934656 .

I 40 — I 20 = 8 , 3934656 — 8 , 4066906 = 0 , 013225 > 0 , 001 , что также требует продолжения вычислений.

Возьмем n равное 80 : I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 — I 40 = 8 , 3901585 — 8 , 3934656 = 0 , 0033071 > 0 , 001 , что требует проведения еще одного удвоения числа узлов.

Возьмем n равное 160 : I 160 = 8 , 3893317 .

I 160 — I 80 = 8 , 3893317 — 8 , 3901585 = 0 , 0008268 0 , 001

Получить приближенное значение исходного интеграла можно округлив I 160 = 8 , 3893317 до тысячных: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: ∫ 0 2 x e x d x = e x · ( x — 1 ) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Требуемая точность достигнута.

Ответ: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389

Погрешности

Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · b — a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f » ( x ) · b — a 3 24 n 2 .

Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.

В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.

Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.

Вычисление интегралов по формулам прямоугольников и трапеций. Оценка погрешности

• Дидактическая цель. Познакомить учащихся с методами приближённого вычисления определённого интеграла.
• Воспитательная цель. Тема данного занятия имеет большое практическое и воспитательное значение. Наиболее просто к идее численного интегрирования можно подойти, опираясь на определение определённого интеграла как предела интегральных сумм. Например, если взять какое-либо достаточно мелкое разбиение отрезка [a; b] и построить для него интегральную сумму, то её значение можно приближённо принять за значение соответствующего интеграла. При этом важно быстро и правильно производить вычисления с привлечением вычислительной техники.

Основные знания и умения. Иметь понятие о приближённых методах вычисления определённого интеграла по формулам прямоугольников и трапеций.

• Раздаточный материал. Карточки-задания для самостоятельной работы.
• ТСО. Мультипроектор, ПК, ноутбуки.
• Оснащение ТСО. Презентации: “Геометрический смысл производной”, “Метод прямоугольников”, “Метод трапеций”. (Презентации можно взять у автора).
• Вычислительные средства: ПК, микрокалькуляторы.
• Методические рекомендации

Вид занятия. Интегрированное практическое.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально. Идея приближённого вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно “близкой” к ней кривой. В зависимости от выбора новой кривой можно использовать ту или иную приближённую формулу интегрирования.

1. Формула прямоугольников.
2. Формула трапеций.
3. Решение упражнений.

1. Повторение опорных знаний учащихся.

Повторить с учащимися: основные формулы интегрирования, сущность изученных методов интегрирования, геометрический смысл определённого интеграла.

Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.

Пусть, например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно. В этом случае можно заменить данную линию более простой, уравнение которой известно. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближённое значение искомого интеграла.

Простейшим приближённым методом является метод прямоугольников. Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции АВСD заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а друга — .

Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь криволинейной трапеции с недостатком [Рисунок1], то получим формулу:

то получим формулу:

Если с избытком

то

Значения у₀, у₁. у_n находят из равенств , к = 0, 1. n .Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.

Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно:

• разделить отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей точками х₀= а, х₁, х₂. х _{n -1}, х _n = b ;
• вычислить значения подынтегральной функции в точках деления, т.е. найти у ₀ =f (x₀), у ₁ =f (x₁), у ₂ =f (x₂), у _{n -1} =f (x_n-1), у _n =f (x_n) ;
• воспользоваться одной из приближённых формул.

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:

Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Разобьём отрезок [a, b] на несколько (например, на 6) равных частей. Тогда а = 0, b = 3 ,

х _k = a + k х
х₀ = 2 + 0 = 2
х₁ = 2 + 1 = 2,5
х₂ = 2 + 2 =3
х₃ = 2 + 3 = 3
х₄ = 2 + 4 = 4
х₅ = 2 + 5 = 4,5

х	2	2,5	3	3,5	4	4,5
у	4	6,25	9	12,25	16	20,25

Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

Вычисления проходили долго и мы получили довольно-таки грубое округление. Чтобы вычислить этот интеграл с меньшим приближением, можно воспользоваться техническими возможностями компьютера.

Для нахождения определённого интеграла методом прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции f(x) в рабочую таблицу Excel в диапазоне х [2 ;5 ] с заданным шагом х = 0,1.

1. Открываем чистый рабочий лист.
2. Составляем таблицу данных (х и f(x)). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями f(x). Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 – слово Функция. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента – левая граница диапазона (2). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг построения (2,1). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А32, до значения х=5).
3. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение. Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2 и с клавиатуры ввести формулу =А2^2 (при английской раскладке клавиатуры). Нажимаем клавишу Enter. В ячейке В2 появляется 4. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В32.
   В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
4. Теперь в ячейке В33 может быть найдено приближённое значение интеграла. Для этого в ячейку В33 вводим формулу = 0,1*, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)). В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В2:В31. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В33 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (37,955) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла (39), можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

= |39 — 37 , 955| = 1 ,045

Пример 2. Используя метод прямоугольников, вычислить с заданным шагом х = 0,05.

1. Для нахождения определённого интеграла значения подынтегральной функции f(x) должны быть введены в рабочую таблицу Excel в диапазоне с заданным шагом х = 0,05. В созданную уже таблицу данных в ячейку А2 вводится левая граница интегрирования (0). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг построения (0,05). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А33, до значения х=1,55).
2. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение. Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение косинуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения косинуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции ( f_х ) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию COS. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно COS. Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А). Указываем значение аргумента косинуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 1. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В33. В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
3. Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближённое значение интеграла. Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,05*, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции ( ( f_х )) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В2:В32. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В34 появляется приближённое значение искомого интеграла с избытком (1,024056).

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла , можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

Метод трапеций обычно даёт более точное значение интеграла, чем метод прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций и приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей трапеций

Пример 3. Методом трапеций найти с шагом х = 0,1.

1. Открываем чистый рабочий лист.
2. Составляем таблицу данных (х и f(x)). Пусть первый столбец будет значениями х, а второй соответствующими показателями f(x). Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент, а в ячейку В1 – слово Функция. В ячейку А2 вводится первое значение аргумента – левая граница диапазона (0). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг построения (0,1). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А33, до значения х=3,1).
3. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение (в примере синуса). Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции f(x). В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию SIN. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN. Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В33. В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
4. Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближённое значение интеграла по методу трапеций. Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,1*((В2+В33)/2+, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)). В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция — функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В3:В32. Нажимаем кнопку ОК и ещё раз ОК. В ячейке В34 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (1,997) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае вполне приемлемая для практики.

1. Решение упражнений.

1. Вычислить методом прямоугольников, разделив отрезок [0;1] на 20 равных частей.
   
2. Вычислить методом трапеций
3. Вычислить методом трапеций
4. Вычислить методом трапеций
5. Вычислить разделив отрезок [0;4] на 40 равных частей.
6. Вычислить разделив отрезок [0;8] на 40 равных частей.
7. Вычислить

Шаг разбиения на конечные элементы

Полезные ссылки

Вычисление определенного интеграла по формуле трапеций и методом Симпсона

Махсуд Тулкин угли Усмонов maqsudu32@gmail .com Ташкентский университет информационных технологий

Каршинский филиал

Аннотация: Численные методы — достаточно большой раздел высшей математики. Для решения некоторых задач по численным методам, и одной из распространенных задач является — приближенное вычисление определенных интегралов. В этой статье рассмотрено два метода приближенного вычисления определенного интеграла — метод трапеций и метод Симпсона.

Ключевые слова: Как вычислить определенный интеграл по формуле трапеций и методом Симпсона, Изобразим на чертеже график aподынтегральной функции.

Calculation of a definite integral using the trapezoidal formula

and the Simpson method

Mahsud Tulqin oglu Usmonov maqsudu32@gmail.com Tashkent University of Information Technologies

Karshi branch

Abstract: Numerical methods are a fairly large section of higher mathematics. To solve some problems by numerical methods, and one of the common problems is the approximate calculation of certain integrals. This article discusses two methods for the approximate calculation of a definite integral — the trapezium method and the Simpson method.

Keywords: How to calculate a definite integral using the trapezoidal formula and the Simpson method

Вычислить определённый интеграл:

г dx

/00=-^

Изобразим на чертеже график подынтегральной функции ш А»:

WWW.OPENSCIENCE.UZ 213 I WIE^HI

—3- !

…О: У i

…4- V j /(*) 1 In х

ty/уГу—у^^ //л !

1 i 1 3 4 $ Xi

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке

и определенный

j I

dx Ь х

интеграл 2111″ численно равен заштрихованной площади. Да вот только одна загвоздка — интеграл не берётся. И в подобных случаях на помощь как раз приходят численные методы. При этом задача встречается в двух формулировках:

1) Вычислить определенный интеграл приближенно, округляя результат до определённого знака после запятой. Например, до двух знаков после запятой, до трёх знаков после запятой и т.д. Предположим, получился приближенный ответ 5,347. На самом деле он может быть не совсем верным (в действительности, скажем, более точный ответ 5,343). Наша задача состоит лишь в том, чтобы округлить результат до трёх знаков после запятой.

2) Вычислить определенный интеграл приближенно, с определённой точностью. Например, вычислить определённый интеграл приближенно с точностью до 0,001. Что это значит? Это значит, мы должны отыскать такое приближенное значение, которое по модулю (в ту или другую сторону) отличается от истины не более чем на 0,001.

Существуют несколько основных методов приближенного вычисления определенного интеграла, который встречается в задачах:

Метод прямоугольников. Отрезок интегрирования разбивается на несколько частей и строится ступенчатая фигура, которая по площади близка к искомой площади:

В данном примере проведено разбиение отрезка интегрирования на три отрезка:

[2,з], [з,4], [4,5] Очевидно, что чем чаще разбиение (больше более мелких промежуточных отрезков), тем выше точность. «Ступенчатое» приближение является самым простым, и, видимо, поэтому довольно редко встречается в практических задачах.

Метод трапеций. Идея аналогична. Отрезок интегрирования разбивается на несколько промежуточных отрезков, и график подынтегральной функции приближается ломаной линией:

Таким образом, наша площадь (синяя штриховка) приближается суммой площадей трапеций (красный цвет). Отсюда и название метода. Легко заметить, что метод трапеций даёт значительно лучшее приближение, чем метод прямоугольников (при одинаковом количестве отрезков разбиения). И, естественно, чем больше более мелких промежуточных отрезков мы рассмотрим, тем будет выше точность. Метод трапеций время от времени встречается в практических заданиях, и в данной статье будет разобрано несколько примеров.

Метод Симпсона (метод парабол). Это более совершенный способ — график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков — столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Чертеж строить не вижу смысла, поскольку визуально приближение будет

накладываться на график функции 111 х (ломаная линия предыдущего

пункта — и то практически совпала).

Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона -самая популярное задание на практике. И методу парабол будет уделено значительное внимание.

Как вычислить определенный интеграл методом трапеций? Сначала формула в общем виде. Возможно, она будет не всем и не сразу понятна… да Карлссон с вами — практические примеры всё прояснят! Спокойствие. Только спокойствие.

£

Рассмотрим определенный интеграл

, где

непрерывная на отрезке отрезков:

Проведём разбиение отрезка на п равных

— функция,

этом, очевидно: а

(нижний предел

интегрирования) и

= ь

(верхний предел интегрирования). Точки

*о>*1>*з-*з—VI- хя также называют узлами.

Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций:

, где:

к =

ф-а)

п — длина каждого из маленьких отрезков или шаг;

/ ОО _ значения подынтегральной функции в точках > > > > ** Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

а) Разбив отрезок интегрирования на 3 части.

б) Разбив отрезок интегрирования на 5 частей. Решение:

а) Специально для чайников я привязал первый пункт к чертежу, который наглядно демонстрировал принцип метода. Если будет трудно, посматривайте на чертёж по ходу комментариев, вот его кусок:

По условию отрезок интегрирования нужно разделить на 3 части, то есть

к

Вычислим длину каждого отрезка разбиения: напоминаю, также называют шагом.

X;

. Параметр

Сколько будет точек = (узлов разбиения)? Их будет на одну больше, чем количество отрезков:

*0 = 2

ij = T:0 + ^= 2 + l = 3

= xl + h = 3 + 1=4

хъ=х2+к = 4+ = 5

Ну а общая формула трапеций сокращается до приятных размеров:

Для расчетов можно использовать обычный микрокалькулятор:

Обратите внимание, что, в соответствии с условием задачи, все вычисления следует округлять до 3-го знака после запятой. Окончательно:

» ,443+0,

Г

In

к

Л*0)+Л*3)

1-

■ + 0,910 + 0,721

= 2,664

С геометрической точки зрения мы вычислили сумму площадей трёх трапеций (см. рис. выше).

б) Разобьём отрезок интегрирования на 5 равных частей, то есть п = 5 . Зачем это нужно? Чтобы Фобос-Грунт не падал в океан — увеличивая количество отрезков, мы увеличиваем точность вычислений.

Если п ~ 5 , то формула трапеций принимает следующий вид:

Найдем шаг разбиения:

п 55 , то есть, длина каждого промежуточного отрезка

равна 0,6.

При чистовом оформлении задачи все вычисления удобно оформлять расчетной таблицей:

/ 0 1 3 4 5

X, *> 2.6 3.2 3.8 4.4 5

1.443 1,047 0.S60 0.~49 0.675 0.621

В первой строке записываем «счётчик».

Как формируется вторая строка, думаю, всем видно — сначала записываем

_ . _ Г

нижний предел интегрирования а ~ ~ , остальные значения получаем,

к = 0,6

последовательно приплюсовывая шаг

По какому принципу заполняется нижняя строка, тоже, думаю,

практически все поняли. Например, если ~ 3,8, то называется, считай, не ленись. В результате:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ну что же, уточнение, и серьёзное, действительно есть! Если для 3 отрезков разбиения приближённое значение составило^3 в , то для 5 отрезков ^н ^. Таким образом, с большой долей уверенности можно

In 2,6

утверждать, что, по крайне мере Пример 2

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до двух знаков после запятой (до 0,01).

Решение: Почти та же задача, но немного в другой формулировке. Принципиальное отличие от Примера 1 состоит в том, что мы не знаем, на сколько отрезков разбивать отрезок интегрирования, чтобы получить два верных знака после запятой. Иными словами, мы не знаем значение п .

Существует специальная формула, позволяющая определить количество отрезков разбиения, чтобы гарантированно достигнуть требуемой точности, но практике она часто трудноприменима. Поэтому выгодно использовать упрощенный подход.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 2-3-4-5. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей. Формула уже знакома:

И шаг, естественно, тоже известен: п 55

Но возникает еще один вопрос, до какого разряда округлять результаты

/ОО 7 з условии же ничего не сказано о том, сколько оставлять знаков после запятой. Общая рекомендация такова: к требуемой точности нужно прибавить 2-3 разряда. В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):

/ 0 1 ц 3 4 5

•у 2.6 3,2 3,8 4,4 5

1.44270 1.04656 0,85973 0.74906 0.67494 0,62133

В результате:

[А «0.6-

J1

In X

1,44270 + 0,62133

+ 1,04656 + 0,85973+0,74906 + 0,67494 U

н 2,61739

обозначим приближение через .

После первичного результата количество отрезков удваивают. В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков.

Для п = 10 формула трапеций приобретает следующий вид:

В бумажной версии запись можно спокойно перенести на следующую строчку.

Вычислим шаг разбиения: п Результаты расчётов сведём в таблицу:

/ 0 1 3 4 5

1 2.3 2.6 2.9 3,2 3,5

Д.т,) 1,44270 1.20061 1.04656 0,93922 0,85973 0,-9824

/ 6 8 9 10

3,8 4.1 4.4 4,7 5

/Ц) 0,74906 0.70872 0,67494 0.64618 0,62133

При чистовом оформлении в тетрадь длинную таблицу выгодно превратить в двухэтажную. В результате:

Теперь вычислим расхождение между приближениями:

Здесь используем знак модуля, поскольку нас интересует абсолютная разность, а не какой результат больше, а какой — меньше.

Что касается дальнейших действий, то лично мне на практике встречалось 2 пути решения:

1) Первый способ — это «сравнение в лоб». Поскольку полученная оценка погрешности больше, чем требуемая точность:10.02080 >0.01 т0

необходимо ещё

и

раз удвоить количество отрезков разбиения до п ~ и вычислить уже 20. С помощью экселевского калькулятора готовый результат можно получить в

считанные секунды: 2,59123^ Теперь снова оцениваем погрешность:

Ко Ас,N2,59123 2,59659|-1 0,0053б|- 0,00536 ^ Полученная оценка меньше, чем

требуемая точность: 0-00536 < 0,01 ^ след0вахельн0; вычисления закончены.

Осталось округлить последний (наиболее точный) результат ^20 н 2,59123 д0 двух знаков после запятой и дать ответ.

2) Другой, более эффективный способ основан на применении так называемого правила Рунге, согласно которому мы ошибаемся в оценке

определённого интеграла на самом деле не более чем на ^ ^ в нашей

задаче:

таким образом, надобность в

вычислении 20 отпадает. Однако за скорость решения в данном случае

А,

,59659 и 2,60

In

’10

пришлось расплатиться точностью: 2″»»» . Тем не менее,

такой результат приемлем, поскольку наш «лимит на ошибку» как раз и составляет одну сотую.

Что выбрать? Ориентируйтесь на вашу методичку или предпочтения преподавателя.

Ответ:

О г» |

с точностью до 0,01 (и ‘ при использовании

правила Рунге). Пример 3

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций с точностью до 0,001.

1,2

J- COS

Перед вами опять неберущийся интеграл (почти интегральный косинус). В образце решения на первом шаге проведено разбиение на 4 отрезка, то есть п ~ 4. Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.

Как вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона?

Если вы искали на данной страничке только метод Симпсона, то настоятельно рекомендую сначала прочитать начало урока и просмотреть хотя бы первый пример. По той причине, что многие идеи и технические приемы будут схожими с методом трапеций.

И снова, начнём с общей формулы.

НСПр^ришиал на их^олс . ± хр^ич^дъш ^иоип^нп^ jijjvoivu па

количество равных отрезков. Чётное количество отрезков обозначают через 2п . На практике отрезков может быть:

четыре: 2 л = 4

восемь: = 8 десять: 2и = 10 двадцать: 2л =20

Число 2и понимается как единое число. То есть, нельзя сокращать, например, 2л = 8 на два^ получая и = 4 Запись 2« лишь обозначает, что количество отрезков чётно.

Итак, наше разбиение имеет следующий вид:

Термины аналогичны терминам метода трапеций: Точки ■ ‘ — ■ — *2я-2’ называют узлами.

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид:

два: 2л- 2

а.

, где:

— длина каждого из маленьких отрезков или шаг;

значения подынтегральной функции в точках

Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:

/(*о)+/(*2Я) _ сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;

умножается на 2;

умножается на 4. Пример 4

Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,001. Разбиение начать с двух отрезков 2и= 2

сумма членов с чётными индексами сумма членов с нечётными индексами

Решение: Если у нас два отрезка разбиения 2, то узлов будет на один больше: ^ ^. И формула Симпсона принимает весьма компактный вид:

Вычислим шаг разбиения: 2п Заполним расчетную таблицу:

h_ (Ъ-а)_ (2-1,2) _ 0,8 _01

Еще раз комментирую, как заполняется таблица: В верхнюю строку записываем «счётчик» индексов

Во второй строке сначала пишем нижний предел интегрирования

я — -1>2 5 а затем последовательно приплюсовываем шаг ^ ~~ .

В третью строку заносим значения подынтегральной функции. Например,

если = то /(^1) — 2’О-6) «1,422670 (^колько оставлять знаков

после запятой? Действительно, в условии опять об этом ничего не сказано. Принцип тот же, что и в методе трапеций, смотрим на требуемую точность: 0,001. И прибавляем дополнительно 2-3 разряда. То есть, округлять нужно до 56 знаков после запятой. В результате:

Первичный результат получен. Теперь удваиваем количество отрезков до четырёх: 2л = 4 _ формула Симпсона для данного разбиения принимает

следующий вид:

А,

Вычислим шаг разбиения: 2п Заполним расчетную таблицу:

1 0 1 о 3 4

1.2 1,4 1.6 1,8 •>

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Яч) 1.466970 1.4-512″ 1.4226″ 4 1.283745 1

Таким образом:

Найдём абсолютное значение разности между приближениями:

Правило Рунге для метода Симпсона очень вкусное. Если при использовании метода средних прямоугольников и метода трапеций нам даётся «поблажка» в одну треть, то сейчас — аж в одну пятнадцатую:

15

я_. 0,002165 = 0,000144 <0,001 15

, и точность здесь уже не страдает:

JJT+:

U

I = I-Л+ 2*2 — Л3^ И /4 Н 1,089854 в 1,090

Но для полноты картины я приведу и «простецкое» решение, где придётся

21 больше требуемой точности: , то необходимо еще раз удвоить количество отрезков: 2л = 8 Формула Симпсона растёт, как на дрожжах:

сделать дополнительный шаг: так как

0,002165 >0,001

Вычислим шаг: 2л 8 8 И снова заполним расчетную таблицу:

/ 0 1 3 4 5 6 7 S

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.S 1.9 7

Дт,) 1.4669-0 1.4—498 1.4″5127 1.457738 1.4226-4 1.3663S2 1.2S3-45 1.166619 1

Таким образом:

2

J/l + 2 x’-^dxi

0,1

1,460970 + 1+ 2-(1,475127 +1,422674 + 1,283745 )+’ + 4 (1,477498 + 1,457738 +1,366382 + 1,166619 )

=-у ■ (2,466970 +8,363090 + 21,872948 ) = у -32,703008 = 1,090100 (/8)

Заметьте, что здесь вычисления желательно уже расписать более подробно, поскольку формула Симпсона достаточно громоздка, и если сразу бУхнуть:

ол

1,466970 +1+ 2 (1,475127 + 1,422674 + 1,283745 )+’ + 4 (1,477498 +1,457738 + 1,366382 + 1,166619 )

= 1,090100

, то выглядеть сие бухло будет как халтура. А при более детальной записи у преподавателя сложится благостное впечатление, что вы добросовестно стирали клавиши микрокалькулятора в течение доброго часа. Детальные вычисления для «тяжелых» случаев присутствуют в моём калькуляторе. Оцениваем погрешность:

гт Л 0 000247 <0 001 ^

Погрешность меньше требуемой точности: ‘ ‘ . Осталось взять

наиболее точное приближение н 1,050100 , округлить его до трёх знаков после запятой и записать:

Ответ:

с точностью до 0,001

Использованная литература

1. Киселёв, Андрей Петрович // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969— 1978.

2. Андронов И. К., А. П. Киселев. [Некролог], «Математика в школе», 1941, № 2

3. Маргулис А. Я., Андрей Петрович Киселев, «Математика в школе», 1948, № 4

4. Депман И. Я., История арифметики, М., 1959.

5. Моргулис А. Я., Тростников В. Законодатель школьной математики // Наука и жизнь. 1968. № 1

6. Пыльнев-Рогачёв, Лунёва М. И. Служитель «царицы-наук» // Кольцовский сквер. 2002. № 3

References

1. Kiselev, Andrey Petrovich // Great Soviet Encyclopedia: [in 30 volumes] / Ch. ed. A.M. Prokhorov. — 3rd ed. — M.: Soviet Encyclopedia, 1969-1978.

2. Andronov I.K., A.P. Kiselev. [Obituary], «Mathematics in School», 1941, no.

2

3. Margulis A. Ya., Andrey Petrovich Kiselev, «Mathematics at school», 1948,

no. 4

4. Depman I. Ya., History of arithmetic, M., 1959.

5. Morgulis A. Ya., Trostnikov V. Legislator of school mathematics // Science and life. 1968. No. 1

6. Pylnev-Rogachev, Luneva MI Servant of the «queen of sciences» // Koltsovsky square. 2002. No. 3