Как найти шанс выигрыша

Была ли эта статья полезной?

На этой странице вы узнаете

• Как кот может быть одновременно жив и мертв? 
• Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой? 
• Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?

Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.

Вероятность

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…

Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться. 

Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов. 

Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат. 

Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:

• выпадет орел;
• выпадет решка. 

Эти два события образуют множество элементарных событий. 

Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента. 

В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации. 

Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран. 

Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности. 

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 

Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу. 

(P = frac{m}{n})

Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие. 

Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.

Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.

Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%. 

Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?

Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна 
(frac{49}{140} = 0,35)

Выразим в процентах:  
0,35 * 100% = 35%

Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ. 

Ответ: 0,35

Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой. 

(P = frac{m}{n} * 100%)

Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.

Равновозможные и противоположные события

Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными. 

Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие. 

Вероятности появления событий равны. 

Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий. 

Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. 

В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий. 

Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка. 

А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными. 

Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 

Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}). 

Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?

)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1) 

Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1. 

(P(A) + P(overline{A}) = 1)

Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить. 

Объединение и пересечение событий 

Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим? 

Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий. 

В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег. 

Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B). 

Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?

Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям. 

Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B). 

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно. 

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. 

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности. 

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий. 

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные. 

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. 

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят?  Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет. 

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”. 

Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}). 

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А. 

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги. 

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок. 

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике. 

Независимые и зависимые события 

Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем. 

Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95). 

Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?

Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга? 

Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми. 

Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. 

Определим вероятность независимых событий. 

Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95. 

А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:

(P(A cap B) = P(A) * P(B))

Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025. 

В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”. 

Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой. 

Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого. 

Но если автоматы стоят  рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого. 

Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?

Нужная последовательность может быть в двух случаях:

• сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
• сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый. 

Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}). 

Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}). 

В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы. 

Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.

Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.   

Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность. 

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}). 

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}). 

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k. 

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли. 

(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k}) 

Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики». 

Решим задачу, подставив значения в формулу:

(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1) 

Фактчек

• Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 
• События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 
• События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
• События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A). 
• Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие события являются несовместными?

1. Подбрасывание монетки.
2. Брак батареек в одной упаковке.
3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
4. Случайное вытаскивание конфет из вазы. 

Задание 2. 
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

1. 0,17
2. 1
3. 0,83
4. 1,17 

Задание 3. 
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

1. 1
2. 0,216
3. 0,45
4. 1,5 

Задание 4. 
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут. 

1. 0,3
2. 0,001
3. 2,7
4. 0,729 

Задание 5. 
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой. 

1. 0,77
2. 0,135
3. 0,23
4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1

Денис Пешехонов

По образованию магистр-технарь, в жизни занимается разработкой программ и иногда строит математические модели для игр.

В американском сериале «4исла» (Numb3rs) главный персонаж — математик, помогающий ФБР в раскрытии преступлений. В одной из серий он произносит фразу о том, что вероятность быть убитым по пути за лотерейным билетом выше, чем вероятность выиграть в лотерею. В конце статьи я приведу расчёт, связанный с этим утверждением, а сейчас хочу немного рассказать о математике, стоящей за массовыми азартными играми, и о том, как она может помочь чуть повысить свои шансы.

Правило 1. Оценивайте риски

Для современного просвещённого человека не секрет, что казино и различные игорные заведения рассчитывают все свои игры так, чтобы всегда быть в выигрыше и иметь прибыль. Делается это очень просто: человеку нужно вернуть выигрыш, который соотносится с его ставкой в меньшую сторону по сравнению с его шансами выиграть.

Да, так или иначе, даже самые сложные математические модели в среднем сводятся к одному: если вы ставите 1 рубль, а вам предлагают получить 1 000 рублей, значит, ваш шанс выиграть — меньше, чем 1/1 000.

Исключений нет, если только кто-то специально не хочет подарить вам денег. Держите в голове это простое правило, чтобы всегда трезво смотреть на ситуацию.

Теория игр оценивает любую стратегию аналогично: вероятность получить выигрыш умножается на его размер. Грубо говоря, математика считает, что гарантированно получить 1 000 рублей — это как получить 2 000 рублей с 50-процентным шансом. Этот принцип даёт вам возможность грубо сравнивать различные игры между собой. Что лучше: миллион долларов с шансом 1/100 000 или 50 долларов с шансом 1/4? Интуитивно кажется, что первое предложение интереснее, но математически выгоднее второе.

Если оставаться в рамках одной лишь математики, можно вычислить: выиграть в казино невозможно, ведь любая выбранная стратегия приводит к тому, что произведение вероятности победы на размер выплаты для игрока всегда ниже ставки, которую он уже сделал.

Однако люди играют потому, что выигрыш для них заключается не только в деньгах, но ещё и в эмоциях от процесса — и уж тем более от победы.

А ещё потому, что деньги для нас нелинейны: формально получить 1 рубль прямо сейчас — это как получить миллион рублей с шансом 1/1 000 000, но по факту потеря рубля никак не скажется на нашем состоянии, в жизни не изменится совершенно ничего, а вот получение миллиона — очень серьёзное событие.

Правило 2. Играйте в открытую

К сожалению, проникнуть на внутреннюю кухню лотереи мы не можем. Но полезно понимать хотя бы формальную процедуру того, как именно идёт розыгрыш.

Например, знаменитые игровые автоматы «Однорукий бандит» и другие слот-машины — это на самом деле немного обман: на колесе, которое видит игрок, нарисованы символы различной стоимости, но при этом всё устроено так, чтобы игрок подумал, будто шансы выпадения каждого символа одинаковые. На самом деле (в старых автоматах — механически, а в современных — с помощью программы) за каждым видимым колесом скрывается настоящее, на котором ценные символы встречаются редко, а дешёвые – часто.

Шансы выпадения 777 на слот-машине ниже, чем вероятность получить какие-нибудь три вишни, причём отличие может быть в десятки раз.

«Открытые» лотереи в этом смысле гораздо честнее. В США распространён формат, когда билет либо содержит в себе последовательность чисел, либо она выбирается покупателем самостоятельно. В России, например, предпочитают формат лото: на билете расположены несколько линий чисел, и нужно закрыть или одну из них (обычная победа), или все (джекпот). В теории проводящая лотерею фирма может «специально» печатать и продавать невыигрышные билеты, а потом подтасовывать порядок шаров, но на практике крупные компании этого не делают: организаторы лотереи и так всегда в выигрыше, а скандал в случае вскрытия недобросовестности будет огромен.

Если вы намерены сыграть в азартную игру, полезно будет понять её механику и убедиться в отсутствии влияния заинтересованных лиц на результаты.

Правило 3. Знайте свои шансы

Вероятность джекпота в любой лотерее считается, как правило, одной формулой. А вот расчёт вероятности, например, закрыть в лото хоть одну строчку весьма нетривиален и занял бы целую статью, а может, и не одну. Поэтому на самом деле шанс получить какие-то деньги в лотерее выше за счёт того, что в большинстве лотерей есть дополнительные призы помимо главного. Но я остановлюсь именно на джекпоте для простоты оценки.

Допустим, мы купили лотерейный билет со случайным набором чисел. Во время розыгрыша вытаскивают столько же шаров, и если числа на них совпали с числами в билете (в любом порядке, это важно!), то мы выиграли. Вероятность такого выигрыша рассчитывается так:

Вероятность выигрыша = 1 ÷ Количество комбинаций шаров.

Количество комбинаций без учёта порядка называется в математике числом сочетаний, и если формула для его расчёта вам известна и понятна, то из этой статьи вы, скорее всего, не узнаете ничего нового. Если вы не математик, то проще будет воспользоваться онлайн-сервисом, например вот этим. Подобные сервисы (и формула, лежащая в основе их работы) предлагают задать два числа:

• n — общее количество возможных вариантов одного предмета. В нашем случае предмет — это шар, а всего шаров столько, сколько чисел в лотерее, об этом ниже.
• k — количество предметов в одной выборке. В нашем случае — сколько шаров лотерея разыгрывает и сколько при этом чисел в билете (предполагается, что эти величины равны).

Итак, если у нас есть лотерея с розыгрышем 5 шаров, а всего в лотерее 50 шаров с числами от 1 до 50, то вероятность выиграть в неё будет равна единице к числу сочетаний при k = 5 и n = 50, то есть:

1 ÷ 2 118 760 = 0,00005%.

Рассмотрим более сложный случай — популярную американскую лотерею PowerBall, в которой величина джекпота превышала миллиард долларов. По правилам есть базовая выборка из 5 чисел (от 1 до 69), а также одно дополнительное число (от 1 до 26). Нужно получить совпадение всех 6 чисел, чтобы выиграть.

Несложно понять, что шанс получить первый набор равен единице к числу сочетаний при k = 5 и n = 69 (то есть 11 238 513), а шанс «поймать» последний шар — 1 к 26. Чтобы получить всё сразу, эти шансы нужно умножить, потому что события должны произойти одновременно:

(1 ÷ 11 238 513) × (1 ÷ 26) = 1 ÷ 292 201 338 = 0,0000003%.

Иными словами, если 300 миллионов человек купят билеты, то выиграет кто-то один. Это показывает, почему выигрыш джекпота зачастую вообще не состоится: организаторы лотереи просто не печатают так много билетов, чтобы среди них попался выигрышный.

Правило 4. Вовремя начинайте

Лотерейный билет PowerBall, кстати, стоит 2 доллара. Чтобы подсчитать выгоду, которая окупила бы покупку билета, нужно умножить цену билета на 292 201 338.

Подробнее о расчётах. Это отсылка к первому пункту, где говорится о том, что выгода от решения равна его ценности, умноженной на вероятность. Если у нас есть событие с вероятностью 1/X и ценностью N, то выгода будет N/X. Мы тратим 2 доллара и можем подсчитать, какого размера выигрыш окупил бы покупку билета:

• 2 = N ÷ X.
• N = 2 × X, а X тут как раз равен 292 201 338, как показали расчёты из предыдущей части

Ещё надо учесть налоги (узнать, какой процент от заявленной суммы фактически достанется победителю, обычно это около 70%). То есть джекпот должен составлять как минимум 850 миллионов долларов, и такое в этой лотерее бывает. Как же так, я ведь в начале сказал, что выигрыш при таком умножении всегда не в пользу игрока?

Дело в том, что если розыгрыш джекпота не состоялся, то он переходит на следующий раз, и поэтому какое-то время деньги копятся, а продажи билетов продолжаются.

В идеальной ситуации вам нужно пропускать все игры, не покупая билет, а потом купить именно на ту игру, в которой розыгрыш действительно состоится.

Но узнать это заранее невозможно. Однако можно начать покупать билеты, как только размер джекпота станет больше упомянутой суммы. В такой ситуации математически игра будет выгодной.

Ещё можно понять, что выгоднее: купить много билетов на одну игру или покупать по одному билету на много игр? Давайте подумаем.

В теории вероятностей есть понятие несвязанных событий. Это означает, что исход одного события никак не влияет на исход другого. Например, если вы кидаете два кубика, то выпадения чисел на них не связаны между собой: с точки зрения случайности, один кубик не влияет на поведение второго. А вот если вы тянете из колоды две карты, то эти события связаны, ведь от первой карты зависит то, какие карты останутся в колоде.

Популярное заблуждение по этому поводу так и называется — ошибка игрока. Оно возникает из-за интуитивного представления человека о связанности несвязанных событий.

Например, если монета много раз подряд выпадает орлом, то мы склонны считать, что шансы выпадения решки из-за этого увеличатся, но на самом деле это не так, шансы всегда одинаковые.

Возвращаясь к лотереям: разные игры — это несвязанные события, потому что последовательность шаров выбирается заново. Так что шансы выиграть в любую конкретную лотерею никак не зависят от того, сколько раз раньше вы в неё играли. Это очень сложно принять интуитивно, потому что человек каждый раз, покупая билет, думает: «Ну вот сейчас-то повезёт, сколько можно, я уже кучу времени играю!» Но нет, теория вероятностей — бессердечная штука.

А вот покупка нескольких билетов для одной игры увеличивает ваши шансы пропорционально, потому что билеты внутри одной игры связаны: если выиграет один, значит, другой (с другой комбинацией) точно не выиграет. Покупка 10 билетов увеличивает шансы в 10 раз, если все комбинации на билетах разные (по факту почти всегда так и есть). Иными словами, если у вас есть деньги на 10 билетов, лучше купить их на одну игру, чем покупать по билету на 10 игр.

После ваших уточнений в комментариях справедливо будет заметить, что вероятность выиграть хотя бы в одной игре в серии из N игр выше, чем вероятность выиграть в любой одной конкретной игре. Впрочем, она всё ещё немного меньше, чем шансы выиграть, купив N билетов на одну игру, но разрыв довольно небольшой.

Если вы просто с зарплаты раз в месяц берёте билетик азарта ради, то, скорее всего, значение для вас имеет сам процесс игры. Математически выгоднее скопить эти деньги и в конце года купить сразу 12 билетов, хотя, конечно, проигрыш в такой ситуации будет восприниматься более сокрушительно.

Правило 5. Вовремя останавливайтесь

Ну и напоследок хочу сказать, что даже вероятность 1/100 с точки зрения отдельного человека — это очень мало. Если вы проверяете такую вероятность раз в месяц, то 100 таких проверок сделаете за 8 лет. Представьте себе, во сколько раз ниже вероятность 1/1 000 000 или 1/100 000 000? Поэтому ставьте всегда только ту сумму, которую не боитесь полностью потерять, и ни рублём больше.

---

В заключение, как обещал, приведу оценку утверждению из начала статьи. Эти данные для США, потому что утверждение было сформулировано именно для этой страны, к тому же мы выше уже посчитали шансы для американской лотереи.

По статистике, за 2016 год в США было совершено около 17 000 убийств, будем считать это средней цифрой. А ещё предположим, что человек является потенциальной целью для убийства, когда он уже взрослый, но не старый — то есть около 50 лет в течение своей жизни. Значит, за эти 50 лет будет совершено около 850 000 убийств. Население США составляет 325,7 миллиона человек, то есть шансы попасть в случайную выборку размером 850 000 такие:

850 000 ÷ 325 700 000 = 1 ÷ 383 = 0,3%.

Но погодите, это просто шанс быть убитым. А именно по пути за лотерейным билетом? Предположим, вы выходите из дома на работу каждый будний день, в один выходной куда-то выбираетесь, а в другой остаётесь дома. В среднем получается 6 дней в неделю, или около 26 дней в месяц. И один раз в месяц вы покупаете лотерейный билет. Поэтому полученные числа нужно ещё и разделить на 26:

(1 ÷ 383) ÷ 26 = 1 ÷ 9 958 = 0,01%.

И даже при такой грубой оценке это существенно вероятнее, чем выигрыш. Если точнее, то в 30 000 раз вероятнее. На самом деле, конечно, числа будут другие: человек подвергается опасности не только на улице, одни люди больше рискуют, чем другие, женщин убивают почти в четыре раза реже, чем мужчин. Но принцип такой.

Хотя жить без веры в хорошие события и с постоянным ожиданием плохих, даже зная математику, — это не самый лучший выбор.

*Деятельность Meta Platforms Inc. и принадлежащих ей социальных сетей Facebook и Instagram запрещена на территории РФ.

Если надежда не имеет цены

Сразу оговоримся: если для вас ожидание чуда, надежда на большой выигрыш, азарт — самое ценное, что есть на свете, то дальше можно не читать. Размышления, расчёты и факты, которые последуют, трудно противопоставить страсти. Тем не менее, напомним, что не зря регулярные траты на лотерею называют налогом на глупость — шансы на обогащение эфемерны.

Шансы на выигрыш в лотерею: без цифр

Ещё один короткий раздел посвятим тем людям, которые не любят цифр, но здраво мыслят. Поставьте себя на место организатора любой лотереи. Очевидно, что его задача — не осчастливить игроков, а заработать на них. С чего вдруг кто-то будет разбрасывать деньги направо и налево, чтобы вы разбогатели, пусть даже и слегка?

Чем больше вокруг лотереи шума, рекламы, телевидения, приглашённых звёзд, тем меньше ваши шансы на победу: всё шоу должны оплатить игроки, расчитиывающие на успех. Игроки платят, шоу продолжается.

Зарплата для людей, которые организуют лотерею, огромные расходы на рекламу и телепередачи на государственных телеканалах — свидетельство того, что лотерея — действительно крайне выгодное дело. Для организаторов. Всё выше перечисленное требует немалых денег, но организатор идёт на это — потому как он (не вы) всё равно будет в большом плюсе. Это важно понимать во всех случаях, для всех лотерей, включая те, вероятности выигрыша в которых вам сложно подсчитать.

Шансы на крупный выигрыш — с цифрами

Готовимся к холодному душу: сейчас мы расскажем, как подсчитать шансы на джекпот. Вот прямо на вашем калькуляторе. Возьмём любую популярную лотерею вида «угадай X чисел из N». 5 из 36, 6 из 45, 7 из 49 и так далее. Все подобные лотереи проводятся по схожему принципу. Рассчитаем на примере 6 из 45.

Во время розыгрыша сначала определяется первое выигрышное число из доступных (у нас — от 1 до 45). Выигравшее число в этом розыгрыше уже не участвует, и следующее случайное число выбирается из всех чисел, за исключением уже отобранного — то есть, у нас останется не 45 вариантов, а 44. И так далее — потом числа будут выбираться из 43, 42, 41 и 40 вариантов.

Мы не станем с нуля рассчитывать всё по теории вероятностей, а дадим готовую формулу. Сделайте всего три действия:

1. 45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 = 5 864 443 200 (почти 6 миллиардов)
2. 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
3. Делим первое на второе: 5 864 443 200 : 720 = 8 145 060 (8 миллионов с небольшим).

Мы получили число всех возможных комбинаций из 6 чисел. Ваш шанс угадать все числа — 1 на более чем 8 миллионов. То есть на одного выигравшего джекпот человека будет 8 145 059 не выигравших и потративших (если билет стоит 50 рублей) более 400 миллионов рублей — на надежду.

Выигрыши других лотерей можете рассчитать сами. Скажем, для 5 из 36 вы посчитаете:

1. 36 × 35 × 34 × 33 × 32 = A
2. 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = B
3. A : B = C — число возможных комбинаций.

1 : C — ваш шанс угадать 5 номеров. Вы увидите, что для 5 из 36 шансы выигрыша намного выше. Однако сам выигрыш, соответственно, намного меньше, и вы можете не сомневаться только в одном — лотерея останется крайне невыгодным вложением для вас.

Все крупные лотереи, даже если брать те, которые проводятся полностью прозрачно и честно, подразумевают ничтожный шанс обогащения для игроков. Доля организатора лотереи в суммарной стоимости проданных билетов во много раз выше доли казино от ставок игроков на рулетке.

Не джекпот, а просто выигрыш — разумно ли надеяться

Для того, чтобы быть в плюсе, не обязательно срывать максимальный куш. Скажем, в популярной гослотерее 6 из 45, угадав два числа, можно вернуть стоимость билета, а за три — получить втрое больше потраченного. Четыре угаданных числа дадут аж тридцатикратную стоимость билета.

Однако шансы на то, что вы угадаете

• два числа — примерно 150 из 1000;
• три числа — 22 из 1000;
• четыре числа — 1 из 1000.

На каждую тысячу билетов стоимостью 50 рублей вы потратите 50 000 рублей. При этом в среднем вы выиграете 1 раз 1500 рублей, 21 раз — 150 рублей и 148 раз — 50 рублей. В сумме ваш выигрыш составит:

1500 + 21 × 150 + 148 × 50 = 12 050 рублей.

Итого вы потеряете почти 38 000 рублей. И вообще, разве вы станете класть деньги в банк, если он обещает вам их вернуть с вероятностью 15%?

Каждая ваша попытка угадать 6 чисел из 45 будет иметь одинаково мизерный шанс на успех. Увеличить шансы на выигрыш можно только увеличивая число попыток — то есть увеличивая ваши затраты на лотерею.

Хитрые схемы для выигрыша в лотерею

В интернете вы найдёте немало схем, по которым увлечённые, но игнорирующие математику люди стараются сделать свой выигрыш более вероятным.

Например, некоторые годами отмечают одни и те же числа (дескать, однажды и до них дойдёт очередь, нужно просто быть настойчивым). Некоторые анализируют результаты прошлых лотерей, строят графики и погружаются в создание прогнозов, которым не суждено сбыться. Но теорию вероятностей не обмануть. Предположим, шанс на джекпот в какой-то лотерее один к миллиону. Пусть некто сделал 999 999 попыток и не выиграл. Каковы его шансы выиграть в следующий раз? Правильный ответ — один к миллиону. Каждый раз. Каковы бы ни были прошлые попытки, и сколько бы их ни было.

Математик Евгений Пунинский рассказал, что такое теория вероятностей, как она связана с лотереями и можно ли просчитать выигрышную комбинацию.  

Портфолио эксперта

Евгений Пунинский

• Закончил мехмат МГУ, кафедра Высшей Алгебры.
• Больше 10 лет преподавал математику и высшую математику, в частности, теорию вероятностей и статистику в центре London Gates Education Group
• Подготовил множество студентов к поступлению а английские и международные вузы
• Занимается аналитикой данных и Data Science

Лотереи и теория вероятностей

Что такое теория вероятностей и как она связана с лотереями?

Теория вероятностей — это наука, изучающая случай и пытающаяся этот случай как-то предсказать. Свести кажущиеся хаотичными явления к чему-то предсказуемому. К каким-то математическим формулам, которые скажут нам, что примерно будет вот так. А лотерея — это пример использования теории вероятностей в жизни. 

Истоками теория вероятностей уходит в глубокую древность. Люди всегда интересовались случайностью. А аксиоматические основы современной теории вероятностей заложил советский математик Андрей Николаевич Колмогоров . Той теории вероятностей, которую мы сейчас изучаем, например, на мехмате МГУ. 

Можно на простом примере рассказать или показать, как работает теория вероятностей? 

Проще всего продемонстрировать на монетке. Это базовый пример, с чего начинается любая теория вероятностей. Если мы подбросим монетку, вероятность, что выпадет решка 50 на 50 — то есть 1/2.  И так каждый раз, когда я кидаю монетку.

Если мы кинем монетку два раза, вероятность того, что выпадет два раза решка, — 1/4. То есть 1/2 на одной монетке и 1/2 на другой монетке. Мы просто перемножаем эти две вероятности. 

Если в поисковике вбить запрос «Как выиграть в лотерею», то выпадет огромное количество ссылок на программы и сайты, где якобы помогают просчитать выигрышную комбинацию. Это вообще возможно? 

Нет, таких формул не существует. Это обман. Можно только оценить свой средний ожидаемый выигрыш. Например, ты сыграл миллион раз в одну и ту же лотерею. Один раз ты ничего не выиграл, в другой раз ты выиграл 100 рублей, в третий раз — 500 рублей, а потом опять ничего не выиграл. Все эти доходы мы складываем и делим на общее количество розыгрышей. 

По поводу оценки лотереи я могу привести простой, но показательный пример. Например,   ты можешь выиграть в лотерею 1000 рублей с вероятностью 1/1000. Или ты можешь выиграть 100 рублей, но с вероятностью 1/50. Какая из них лучше? Какая лотерея прибыльнее для тебя, ну вот в среднем? 

Я скажу, что, конечно, прибыльнее та, которая, где я выиграю тысячу рублей.

Потому что тебя привлекает большая сумма. Но ты должен учитывать, что вероятность выигрыша там 1/1000. Если умножить сумму выигрыша на вероятность, мы получим, что в среднем выигрыш на один билет— 1 рубль. То есть, если я куплю много-много билетов, у меня средний выигрышный билет будет 1 рубль. Во второй лотерее, где выигрыш 100 рублей с вероятностью 1/50, в среднем выигрыш на один билет — 2 рубля. Поэтому надо всего учитывать два параметра оценки — сумму выигрыша и вероятность выигрыша. 

А как насчёт счастливых чисел? Люди верят, что те или иные числа приносят им в жизни удачу. Поэтому часто отмечают их в своих билетах. Как это можно оценить с точки зрения математики?

Во-первых, скажу, что это нормально. Мне тоже какие-то числа больше нравятся, чем другие. Во-вторых, с точки зрения математики, в этом нет никакой проблемы. Одна лотерея никак не связана с другой, каждый тираж независим, поэтому вероятность выиграть с конкретным числом у вас фиксированная в каждом тираже.

В 2020 году житель штата Ноланд выиграл в лотерею 50 тысяч долларов. На протяжении многих лет он отмечал в лотерейных билетах одни и те же числа. Такой подход, он оправдан? 

В этом подходе нет ничего криминального. Как я уже говорил, в каждом новом тираже любое число имеет равновероятный шанс выпасть. И те числа, которые ты отмечал в прошлый раз, никак не влияют на вероятность выигрыша сейчас. Поэтому ты вправе выбирать любые, ничего не изменится. Это миф, что здесь какая-то есть связь. Если есть люди, которые думают, что когда-то у меня не выиграло это число, поэтому его не надо больше отмечать, то скажу, что с матаметической точки зрения — это абсурд.

В лотереях есть такое понятие, как развернутая ставка. Это когда ты отмечаешь в билете больше чисел, чем нужно. Это повышает твои шансы на выигрыш? 

Да, я знаком с этим понятием. Например, в выигрышной комбинации должно быть пять чисел, а ты выбираешь шесть. Это равнозначно тому, что ты шесть раз сыграешь в эту лотерею, у тебя будет шесть попыток, шесть комбинаций. Если ты так играешь несколько раз, то, да, у тебя математическое ожидание твоего выигрыша возрастает. 

Вопросы и претензии участников

Одна из частых претензий от участников лотерей, что все выигрышные билеты остаются в Москве и Санкт-Петербурге, а до регионов их просто не довозят. Поэтому выигрывают в столицах чаще и больше.  

Это утверждение, конечно, не выдерживает критики. В Москве, в Санкт-Петербурге и в любых крупных городах победителей больше, потому что там живёт больше людей. И, соответственно, там просто покупают больше билетов. 

Есть ещё такая претензия: иногда в тираже анонсируют предложение «Выигрывает каждый второй билет». Но участники потом пишут: «Я купил два билета и ни один не выиграл. Обман!». Почему так получается?

Здесь мы можем провести эксперимент на месте. У меня есть мешочек, в нём поровну розовых и синих конфет. То есть каждая вторая конфета точно синяя. Попробуй вытащить две конфеты. Смотри, у тебя оказалось две синих, а не одна. А должна была быть только одна. А сейчас я попробую вытащить — у меня оказался прогнозируемый вариант — одна синяя и одна розовая. 

Поэтому фраза «Каждый второй билет выигрышный» означает, что на тираж напечатали, например, миллион билетов, половина из которых выигрышные. Но когда вы будете доставать эти билеты из такого воображаемого общего мешка, то у вас могут быть разные исходы. Когда-то вы достанете два выигрышных, когда-то — два проигрышных или поровну. Но в общей массе, половина билетов здесь выигрышные. 

Некоторые участники пишут, что вероятность выигрыша в российских лотереях намного ниже, чем в иностранных. А выигрыши там намного больше. Это действительно так? 

Я думаю, что это не так. Вряд ли есть какая-то зависимость между странами. Возьмём для сравнения самую популярную в США лотерею — «Powerball». Во-первых, в США живёт гораздо больше людей и они чаще участвуют в лотереях. Поэтому билетов покупают больше и, соответственно, призовой фонд у лотереи намного больше. Во-вторых, что касается вероятности. Вероятность выиграть суперприз в «Powerball» 1 к 292 миллионам, а вероятность выиграть, например, в «Спортлото «6 из 45» — 1 к 8 миллионам. То есть разница в 36 раз. 

Нужно ещё не забывать о налоге на выигрыш. Поскольку выигрыш в лотерею — это мой доход, соответственно, я с дохода отдаю какой-то процент. В России налог на выигрыш 13% и 15%, на выигрыш от 5 миллионов. А в США налог может составлять 35% или даже 40%.  

Да, я тоже слышал, что за рубежом во многих странах очень высокие налоги на любые крупные выигрыши. Не только лотерейные на самом деле, любые. И там до 40% можно отдать государству.

«Новогодний миллиард»

1 января 2022 года в прямом пройдёт новогодний розыгрыш «Русского лото». В праздничном тираже гарантированно разыграют 1 000 000 000 ₽, 100 призов по миллиону и тысячи других денежных призов. Билеты «Новогоднего миллиарда» можно купить уже сейчас. 

Можно ли повысить вероятность выигрыша в «Новогоднем миллиарде»?

На самом деле, мне кажется, что нет никаких стратегий, которые реально работают. Математика этим не занимается, поэтому никакого особенного способа увеличить свои шансы нет. Можно купить больше билетов. Чем больше билетов ты покупаешь, тем выше шансы на выигрыш. Они вырастают пропорционально количеству купленных билетов. Всё. 

Будешь ли ты участвовать в новогоднем розыгрыше «Русского лото»?

Этот исход имеет свою вероятность. 

Можешь дать какой-то совет напоследок? 

Я советую людям изучать математику и теорию вероятностей. Сейчас довольно много качественной информации. Смотрите тематические YouTube-каналы, например, канал Савватеева. Очень много хороших онлайн-курсов доступно от МГУ, от МФТИ, от Высшей школы экономики. Это очень интересно.