Как найти ширину диапазона

2016-12-18   

Найти ширину спектра первого порядка с длинами волн в диапазоне от $lambda_{ф} = 0,38 мкм$ до $lambda_{кр} = 0,76 мкм$, полученного на экране с помощью линзы с фокусным расстоянием $F = 3 м$. Дифракционная решетка имеет 100 штрихов на 1 мм.

Решение:

Прошедший через дифракционную решетку свет разлагается на параллельные пучки, которые направлены под углами, определяемыми формулой дифракционной решетки. Как известно, параллельный пучок света, падающий на собирающую линзу, фокусируется в ее фокальной плоскости (то есть в плоскости, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через фокус линзы). Следовательно, для получения четкого изображения спектра необходимо расположить экран в фокальной плоскости линзы (расстояние между линзой и экраном равно фокусному расстоянию линзы). Для спектра первого ($k = 1$) порядка имеем картину, представленную на рисунке.

Запишем формулу дифракционной решетки для спектра первого порядка для длин волн $lambda_{ф}$ и $lambda_{кр}$:

$d sin phi_{кр} = lambda_{кр}$ (1)

$d sin phi_{ф} = lambda_{ф}$. (2)

Из геометрических соображений ширина спектра $l$ определяется соотношением:

$l = F ( tg phi_{кр} — tg phi_{ф})$. (3)

Учитывая, что для малых $phi sin phi approx tg phi approx phi$, из (3) находим:

$l = frac{F}{d}( lambda_{кр} — lambda_{ф}) = 11 см$.

Эффективная длительность и эффективная ширина спектра сигнала

Литература: [Л.1], с 50-51

Для решения практических задач радиотехники крайне важно знать значения длительности и ширины спектра сигнала, а также соотношение между ними. Знание длительности сигнала позволяет решать задачи эффективного использования времени, предоставляемого для передачи сообщений, а знание ширины спектра – эффективного использования диапазона радиочастот.

Решение указанных задач требует строгого определения понятий «эффективная длительность» и «эффективная ширина спектра». На практике существует большое число подходов к определению длительности. В том случае, когда сигнал ограничен во времени (финишный сигнал), как это имеет место, например, для прямоугольного импульса, определение длительности не встречает затруднений. Иначе обстоит дело, когда теоретически сигнал имеет бесконечную длительность, например, экспоненциальный импульс

В этом случае в качестве эффективной длительности может быть принят интервал времени , в течение которого значение сигнала . При другом способе в качестве выбирают интервал времени, в течение которого . То же самое можно сказать и в отношении определения эффективной ширины спектра .

Хотя в дальнейшем, некоторые из этих способов будут использоваться при анализе радиотехнических сигналов и цепей, следует отметить, что выбор способа существенно зависит от формы сигнала и структуры спектра. Так для экспоненциального импульса более предпочтителен первый из указанных способов, а для сигнала колоколообразной формы – второй способ.

Более универсальным является подход, использующий энергетические критерии. При таком подходе в качестве эффективной длительности и эффективной ширины спектра рассматриваются соответственно интервал времени и диапазон частот, в пределах которых сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала

, (2.52)

, (2.53)

где – коэффициент, показывающий, какая часть энергии сосредоточена в интервалах или . Обычно величину выбирают в пределах .

Применим критерии (2.52) и (2.53) для определения длительности и ширины спектра прямоугольного и экспоненциального импульсов. Для прямоугольного импульса вся энергия сосредоточена в интервале времени или , поэтому его длительность . Что касается эффективной ширины спектра, то установлено, что более 90% энергии импульса сосредоточено в пределах первого лепестка спектра. Если рассматривать односторонний (физический) спектр импульса, то ширина первого лепестка спектра составляет в круговых частотах или в циклических частотах. Отсюда следует, что эффективная ширина спектра прямоугольного импульса равна

или .

Перейдем к определению и экспоненциального импульса. Полная энергия импульса составляет

.

Воспользовавшись (2.52), получим

.

Вычислив интеграл в левой части уравнения и решив его, можно прийти к следующему результату

.

Спектр экспоненциального импульса найдем, воспользовавшись преобразованием Фурье

,

.

Подставляя это выражение в (2.53) и решая уравнение, получим

.

Найдем произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра. Для прямоугольного импульса это произведение составляет

,

или для циклических частот

.

Для экспоненциального импульса

.

Таким образом, произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра одиночного сигнала есть постоянная величина, зависящая только от формы сигнала и величины коэффициента . Это означает, что при уменьшении длительности сигнала его спектр расширяется и наоборот. Этот факт уже отмечался пи рассмотрении свойства (2.46) преобразования Фурье. На практике это означает, что невозможно сформировать короткий сигнал, обладающий узким спектром, что является проявлением физического принципа неопределенности.

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

Источник

Определение сигнала восьмизначным равномерным кодом (11101001). Расчет ЛИС-цепи , страница 2

Для перехода описания сигнала во времени к описанию в частотной области используют прямое преобразование Фурье:

Таким образом, одиночный импульс, заданный на всей бесконечной оси времени, имеет сплошной спектр в виде непрерывной функции частоты , которая называется спектральной плотностью.

Значение спектральной плотности прямоугольного импульса находится из формулы:

Используем, одну из основных теорем о спектрах: теорему о спектре сигнала смещённого во времени :

Найдём длительность и задержку исходного сигнала:

Тогда выражение для спектральной плотности будет иметь вид:

Построим АЧХ и ФЧХ для функции спектральной плотности:

График модуля спектральной плотности сигнала

График аргумента спектральной плотности сигнала

· Найти спектр периодической последовательности, полученной повторением данного сигнала, относительно комплексного базиса Фурье, построить амплитудную и фазовую спектральные диаграммы

Рассмотрим непериодический сигнал конечной длительности . Спектральная плотность сигнала определяется выражением прямого преобразования Фурье:

Повторение финитного сигнала с периодом , большим, чем длительность , дает периодический сигнал , который в силу своей периодичности может быть представлен рядом Фурье со спектральными коэффициентами, определяемыми выражением:

Сравнивая последние два равенства и учитывая, что интеграл в бесконечных пределах от финитной функции равен интегралу по интервалу, содержащему носитель функции, можно записать равенство:

Таким образом, спектральная плотность импульсного сигнала имеет форму огибающей спектральных коэффициентов ряда Фурье периодической последовательности, образованной повторением данного импульсного сигнала с произвольным периодом.

Коэффициенты ряда Фурье даже для вещественного сигнала в общем случае являются комплексными. Для удобства графического представления рассматривают отдельно модули и аргументы коэффициентов , при этом совокупность называется амплитудным спектром, а — фазовым спектром сигнала. Если сигнал принимает вещественные значения, амплитудный спектр обладает свойством четности, а фазовый – свойством нечетности.

Для наглядности на графиках амплитудный и фазовый спектр совместим соответственно с модулем и аргументом спектральной плотности сигнала.

Амплитудный спектр сигнала

Фазовый спектр сигнала

· Найти автокорреляционную функцию сигнала, построить график

Одной из важных временных характеристик детерминированных сигналов, устанавливающих энергетическую связь сигнала с его сдвинутой на величину копией , является автокорреляционная функция (АКФ). Для сигналов с ограниченной областью АКФ вычисляется по формуле:

В теории сигналов также доказывается, что АКФ и энергетический спектр связаны парой преобразований Фурье:

Графически изобразим принцип метода определения АКФ. Для этого покажем степень связи (корреляции) сигнала со своей копией, сдвинутой на величину по оси времени. На данном графике можно наблюдать оригинал и копию сигнала без смещения. Затем будем смещать копию на величину (пусть )

На промежутках АКФ равна нулю:

По данным графикам сигнала и его сдвинутой копии, легко построить АКФ. Для этого необходимо посчитать площадь пересечения сигнала и его сдвинутой копии. Ясно, что функция достигнет своего максимума при , так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала. Точки для построения АКФ можно найти умозрительно, т.к. пересечения прямоугольного импульса с его сдвинутой копией представляется суммой определенных интегралов функции с амплитудой 10.

Построим график АКФ:

· Определить эффективную ширину спектра

Энергия одиночного импульса может быть вычислена либо во временной области, либо в частотной в соответствии с равенством Парсеваля:

В частотной области можно определить эффективную ширину спектра сигнала. Это такой частотный интервал, в котором сосредоточена подавляющая часть полной энергии сигнала. Обычно 90% или 95%.

Эффективную ширину спектра определим по формуле:

Для определения эффективной частоты построим график квадрата модуля спектральной плотности сигнала:

График функции

Из графика видно, что основная часть энергии сигнала сосредоточена в частотном интервале . Где — эффективная частота.

• АлтГТУ 419
• АлтГУ 113
• АмПГУ 296
• АГТУ 267
• БИТТУ 794
• БГТУ «Военмех» 1191
• БГМУ 172
• БГТУ 603
• БГУ 155
• БГУИР 391
• БелГУТ 4908
• БГЭУ 963
• БНТУ 1070
• БТЭУ ПК 689
• БрГУ 179
• ВНТУ 120
• ВГУЭС 426
• ВлГУ 645
• ВМедА 611
• ВолгГТУ 235
• ВНУ им. Даля 166
• ВЗФЭИ 245
• ВятГСХА 101
• ВятГГУ 139
• ВятГУ 559
• ГГДСК 171
• ГомГМК 501
• ГГМУ 1966
• ГГТУ им. Сухого 4467
• ГГУ им. Скорины 1590
• ГМА им. Макарова 299
• ДГПУ 159
• ДальГАУ 279
• ДВГГУ 134
• ДВГМУ 408
• ДВГТУ 936
• ДВГУПС 305
• ДВФУ 949
• ДонГТУ 498
• ДИТМ МНТУ 109
• ИвГМА 488
• ИГХТУ 131
• ИжГТУ 145
• КемГППК 171
• КемГУ 508
• КГМТУ 270
• КировАТ 147
• КГКСЭП 407
• КГТА им. Дегтярева 174
• КнАГТУ 2910
• КрасГАУ 345
• КрасГМУ 629
• КГПУ им. Астафьева 133
• КГТУ (СФУ) 567
• КГТЭИ (СФУ) 112
• КПК №2 177
• КубГТУ 138
• КубГУ 109
• КузГПА 182
• КузГТУ 789
• МГТУ им. Носова 369
• МГЭУ им. Сахарова 232
• МГЭК 249
• МГПУ 165
• МАИ 144
• МАДИ 151
• МГИУ 1179
• МГОУ 121
• МГСУ 331
• МГУ 273
• МГУКИ 101
• МГУПИ 225
• МГУПС (МИИТ) 637
• МГУТУ 122
• МТУСИ 179
• ХАИ 656
• ТПУ 455
• НИУ МЭИ 640
• НМСУ «Горный» 1701
• ХПИ 1534
• НТУУ «КПИ» 213
• НУК им. Макарова 543
• НВ 1001
• НГАВТ 362
• НГАУ 411
• НГАСУ 817
• НГМУ 665
• НГПУ 214
• НГТУ 4610
• НГУ 1993
• НГУЭУ 499
• НИИ 201
• ОмГТУ 302
• ОмГУПС 230
• СПбПК №4 115
• ПГУПС 2489
• ПГПУ им. Короленко 296
• ПНТУ им. Кондратюка 120
• РАНХиГС 190
• РОАТ МИИТ 608
• РТА 245
• РГГМУ 117
• РГПУ им. Герцена 123
• РГППУ 142
• РГСУ 162
• «МАТИ» — РГТУ 121
• РГУНиГ 260
• РЭУ им. Плеханова 123
• РГАТУ им. Соловьёва 219
• РязГМУ 125
• РГРТУ 666
• СамГТУ 131
• СПбГАСУ 315
• ИНЖЭКОН 328
• СПбГИПСР 136
• СПбГЛТУ им. Кирова 227
• СПбГМТУ 143
• СПбГПМУ 146
• СПбГПУ 1599
• СПбГТИ (ТУ) 293
• СПбГТУРП 236
• СПбГУ 578
• ГУАП 524
• СПбГУНиПТ 291
• СПбГУПТД 438
• СПбГУСЭ 226
• СПбГУТ 194
• СПГУТД 151
• СПбГУЭФ 145
• СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
• ПИМаш 247
• НИУ ИТМО 531
• СГТУ им. Гагарина 114
• СахГУ 278
• СЗТУ 484
• СибАГС 249
• СибГАУ 462
• СибГИУ 1654
• СибГТУ 946
• СГУПС 1473
• СибГУТИ 2083
• СибУПК 377
• СФУ 2424
• СНАУ 567
• СумГУ 768
• ТРТУ 149
• ТОГУ 551
• ТГЭУ 325
• ТГУ (Томск) 276
• ТГПУ 181
• ТулГУ 553
• УкрГАЖТ 234
• УлГТУ 536
• УИПКПРО 123
• УрГПУ 195
• УГТУ-УПИ 758
• УГНТУ 570
• УГТУ 134
• ХГАЭП 138
• ХГАФК 110
• ХНАГХ 407
• ХНУВД 512
• ХНУ им. Каразина 305
• ХНУРЭ 325
• ХНЭУ 495
• ЦПУ 157
• ЧитГУ 220
• ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник

1. Определение активной длительности сигнала и активной ширины его спектра

При
практических расчетах длительности
сигнала
и шири­ны его спектрав ряде случаев удобно пользоваться
энергетиче­ским критерием . Активную
длительность импульсаи
активную ширину спектра
(или
)
определяют
как интервал времени и диапазон частот
соответственно, внутри которых
сосре­доточена подавляющая часть
полной энергии Э
импульса (напри­мер, 95%). Если сигнал
s(t)
задан
на интервале времени
,
то его активная длительность рассчитывается
из условия

В
левой части равенства записана энергия
сигнала, сосредоточен­ная в интервале
времени 0 –
(рис. 4.33,а). В правой части равенства –
доля (определяемая заданным коэффициентом
полной
энергии сигнала.

Исходя
из равенства Парсеваля, аналогично
рассчиты­вается активная ширина
спектра сигнала

Таким
образом, активная ширина спектра сигнала
соответствует полосе частот, в пределах
которой заключена

доля
полной энергии сигнала (рис. 4.33, б).

В
случае простых видеоимпульсов (например,
прямоугольного, треугольного,
косинусоидального), спектр которых
сосредоточен в области низких частот,
можно считать с достаточной для прак­тики
точностью, что

где,
— постоянная величина, зависящая от
формы импульса и критерия оценки величини
.

Рис.4.33. Сигнал (а)
и его спектр (б)

Как
видно из (4.61), уменьшение длительности
импульса неиз­бежно приводит к
увеличению ширины его спектра, и наоборот.
Пользуясь соотношением (4.61), можно
рассчитать полосу частот, занимаемую
спектром сигнала в зависимости от его
длительности.

Рис
4.34. Прямоугольный импульс (а) и его спектр
(б)

Для перечисленных
выше типов видеоимпульсов зна­чение
близко к единице. В частности, если
оцени­вать активную ширину спе­ктра
прямоугольного им­пульса длительностью(рис. 4.34, а) как полосу частотf= 0 и тем значением частоты, когда
спектральная плотность первый раз
обращается в нуль (рис. 4.34, б), т. е. когда
аргумент спектральной плотности (4.42)
прини­мает
значение
,то = 1.
Следовательно, для пря­моугольного
импульса
=
1.

Пользуясь
соотношением (4.60),
можно
показать, что в полосе (0,
)
(в
первом лепестке) сосредоточено свыше
90% полной энергии сигнала.

1. Вопросы и задания для самопроверки:

1. Из каких
   тригонометрических функций можно
   сформировать периодический сигнал?

2. Что такое постоянная
   и основная составляющие, гармоники
   сигнала?

3. Какие формулы
   ряда Фурье используют для описания
   периодических сигналов?

4. Записать ряд Фурье
   (4.4) в тригонометрической и комплексных
   формах, ограничившись третьей гармоникой.

5. Что такое спектр
   амплитуд?

6. Периодический
   сигнал задан рядом Фурье в форме

Представить этот
ряд в тригонометрической форме (4.10).

1. Каким образом
   длительность периодических импульсов,
   период их следования и скважность
   влияют на спектр сигнала?

2. Как определить
   реакцию цепи на периодическое воздействие?

3. Как рассчитывается
   комплексная передаточная функция цепи,
   на вход которой поступает периодический
   сигнал?

4. Каков физический
   смысл коэффициента передачи и фазового
   сдвига цепи на частотах гармоник?

5. Сформулировать
   задачу спектрального анализа цепи при
   периодическом воздействии.

6. Как рассчитывается
   спектр реакции цепи на периодическое
   воздействие?

7. Что понимается
   под тригонометрическим рядом Фурье?
   Какие формы этого ряда Вы знаете?

8. Что понимается
   под комплексным рядом Фурье? Запишите
   формулу определения коэффициентов
   комплексного ряда Фурье.

9. Как
   рассчитывается комплексная спектральная
   плотность непериодического сигнала?

10. Как
    восстановить непериодический сигнал
    по его комплексной спектральной
    плотности?

11. Что
    такое спектральная плотность амплитуд
    и спектральная плотность фаз?

12. Как
    изменится график спектральной плотности
    амплитуд прямоугольного импульса, если
    его длительность уменьшить в три раза?

13. Как
    связаны между собой спектры непериодического
    и периодического сигналов?

14. В
    чем заключается интегральное
    преобразование Фурье? Приведите формулы
    прямого и обратного преобразования
    Фурье. При каких условиях можно
    пользоваться формулой прямого
    преобразования Фурье?

15. Как
    определяется частотный спектр
    непериодического сигнала? Какой
    физический смысл имеет модуль спектральной
    плотности сигнала? Чем определяются
    амплитудный и фазовый спектры
    непериодического сигнала?

16. Как
    выражается связь между спектральной
    плотностью одиночного импульса
    и комплексной амплитудойряда Фурье, описывающего периодическую
    последовательность, составленную из
    таких импульсов?

17. Как
    измениться спектральная функция
    при умножении сигналаs(t)
    на
    ?

18. Как
    измениться функция
    при умножении сигналаs(t)
    на
    ?

19. Что
    происходит со спектром при сжатии
    (растяжении) сигнала?

20. Как
    изменяются амплитудный и фазовый
    спектры сигнала при его запаздывании?

21. Как
    выражается спектральная плотность
    произведения двух функций, если известны
    спектральные плотности сомножителей?

22. Какой
    физический смысл имеет квадрат
    спектральной плотности сигнала
    ?

23. Как
    формулируется равенство Парсеваля для
    непериодического сигнала?

Соседние файлы в папке РАДИОТЕХНИКА

• #
• #
• #