Как найти силу давления газов на поршень

Таблица 5 – Результаты динамического
расчета

, град	Pг, Мпа	Pг, кН	Pj, кН	P, кН	N, кН	T, кН	K, кН	Мкр, Нм	Rшш, кН
0	0,025	0,159	-17,932	-17,773	0,000	0,000	-17,773	0	29,296
30	-0,010	-0,064	-14,217	-14,280	-1,799	-8,698	-11,467	-409	24,581
60	-0,010	-0,064	-5,379	-5,443	-1,207	-5,317	-1,676	-250	14,230
90	-0,010	-0,064	3,586	3,523	0,910	3,523	-0,910	166	12,922
120	-0,010	-0,064	8,966	8,902	1,974	6,723	-6,161	316	18,919
150	-0,010	-0,064	10,630	10,567	1,331	4,130	-9,817	194	21,736
180	-0,010	-0,064	10,759	10,695	0,000	0,000	-10,695	0	22,219
210	0,096	0,612	10,630	11,242	-1,416	-4,394	-10,444	-207	22,402
240	0,120	0,764	8,966	9,730	-2,158	-7,347	-6,734	-345	19,680
270	0,186	1,182	3,586	4,768	-1,231	-4,768	-1,231	-224	13,617
300	0,399	2,532	-5,379	-2,848	0,632	2,782	-0,877	131	12,708
330	1,413	8,973	-14,217	-5,243	0,661	3,194	-4,211	150	16,055
360	5,612	35,636	-17,932	17,705	0,000	0,000	17,705	0	6,181
370	6,560	41,656	-17,497	24,159	1,050	5,229	23,609	246	13,169
390	4,678	29,703	-14,217	15,487	1,951	9,433	12,436	443	9,477
420	1,463	9,292	-5,379	3,913	0,868	3,822	1,205	180	11,004
450	0,727	4,617	3,586	8,203	2,118	8,203	-2,118	386	15,918
480	0,487	3,092	8,966	12,058	2,674	9,105	-8,345	428	21,855
510	0,397	2,521	10,630	13,151	1,657	5,141	-12,217	242	24,291
540	0,132	0,835	10,759	11,594	0,000	0,000	-11,594	0	23,117
570	0,025	0,159	10,630	10,789	-1,359	-4,217	-10,023	-198	21,955
600	0,025	0,159	8,966	9,125	-2,024	-6,890	-6,315	-324	19,123
630	0,025	0,159	3,586	3,745	-0,967	-3,745	-0,967	-176	13,040
660	0,025	0,159	-5,379	-5,221	1,158	5,100	-1,608	240	14,087
690	0,025	0,159	-14,217	-14,058	1,771	8,563	-11,289	402	24,366
720	0,025	0,159	-17,932	-17,773	0,000	0,000	-17,773	0	29,296

В общении автолюбителей часто встречаются такие слова, как механические потери в двигателе, соотношения диаметр поршня к ходу коленчатого вала, соотношения длины шатуна к ходу коленчатого вала, крутящий момент и силы инерции. К сожалению, подобные разговоры обычно дальше обмена звучными фразами не идут. И даже после трехчасовых дискуссий на эти темы ни у кого из собеседников не появляется чего-то нового в голове.

Сегодня мы окунемся в мир динамики кривошипно-шатунного механизма и уясним, как на деле все это работает. Немного вспомним векторы и обычную механику за 8 класс.

Итак, начнем с того, что же вращает двигатель, а именно:

1. Сила давления газов на поршень.

Эта та сила, которая лежит в основе работы любого ДВС, которая является «оживляющей» силой. Смесь сжалась, воспламенилась, началась химическая реакция и увеличились давление и температура в камере сгорания. Температура в динамике ДВС играет несущественную роль, но вот давление — наиважнейшую.

Итак, сила давления газов на поршень равна:

Fг = (Р — Рк) * п * D^2 / 4, где

Р — давление в цилиндре,
Рк — давление картерных газов,
D — диаметр поршня.

Какие выводы можно сделать?
— Чем больше диаметр цилиндра, тем больше сила давления газов при том же значении давления в цилиндре.
— Чем ниже давление картерных газов, тем больше сила давления газов при том же значении давления в цилиндре.

Каждый автолюбитель знает о сапуне, торчащем из головки блока цилиндров, но мало кто понимает его истинный смысл: снижение давления картерных газов за счет разряжения во впуске. Не раз встречал, как шланг выводили на улицу, а вход в коллектор глушили. Встречался, когда сапун пытались глушить, в итоге давление картерных газов становилось избыточным и мотор попросту глох. Особо серьезно к системе рециркуляции картерных газов относится Хонда, где имеется не только сапун с ГБЦ, есть клапана рециркуляции, шланги с блока, разряжение используется до и после дросселя и так далее — и все это не от нечего делать, а для повышения эффективности силовой установки.

2. Силы инерции движущихся масс.
Итак, мы рассмотрели силы, возникающие по причине изменения давления газов в цилиндре.Но в ДВС возникают и прочие силы, связанные с тем, что детали ШПГ имеют ненулевую массу, а именно: силы инерции.

Силы инерции делятся на два типа:
— Силы инерции возвратно-поступательно движущихся масс
— Силы инерции вращающихся масс.

2.1. Сила инерции возвратно-поступательно движущихся масс.

Данные силы порождаются движением поршня и шатуна. Но если с поршнем все понятно, то с шатуном не все так просто: шатун обычно представляют в виде гантели, представляющей собой две шейки с безмассовым стержнем. Тогда массы шеек гантели рассчитывают следующим образом:
Находится центр масс шатуна вывешиванием, т.е. шатун располагают горизонтально на некоторую ось таким образом. чтобы левая и правая часть шатуна были уравновешены. Это будет не середина шатуна, поэтому левое и правое плечо обозначим как lп и lк, где lп — плечо верхней головки шатуна, куда устанавливается поршневой палец, а lк — плечо нижней головки шатуна, соединяющаяся с шатунной шейкой коленчатого вала.
Тогда массы условной гантели равны:
Масса поршневой части шатуна:
mшп = mш * lк / l = mш * (l — lп) / l
Масса части шатуна, соединяющейся с коленчатым валом:
mшк = mш * lп / l

Таким образом, возвратно-поступательно движущиеся массы:
mвп = mп + mшп, где mп — масса поршня, mпш — масса поршневой части шатуна.

Так как сила есть произведение массы на ускорение,
сила инерции возвратно-поступательно движущихся масс равна:
Fивп = — (mп + mшп) * а, где а — ускорение поршня.

Запишем в общем виде:
Fивп = — (mп + mшп) * w^2 * r * ({ cosф + cos2ф * r / l } + е * r * { sinф + sin2ф * r / (2*l)})

При е = 0:
Fивп = — (mп + mшп) * w^2 * r * { cosф + cos2ф * r / l }

Тут должен оговориться, что в массу поршня входят также масса пальца и поршневых колец.

2.2. Сила инерции вращающихся масс.

Одной из вращающихся масс является приведенная масса нижней шейки шатуна. найденная ранее:
mшк = mш * lп / l

Второй массой является сумма масс неуравновешенных частей коленчатого вала, а именно: шатунная шейка и щеки.
С шатунной шейкой проблем нет — это mшш, а вот массы щек необходимо привести к центру оси шатунной шейки для удобства:
mщк = mщ * (r — rшш) / r, где mщ — реальная масса щек коленчатого вала, а rшш — радиус шатунной шейки коленчатого вала.
Так как щеки у одного цилиндра две, масса неуравновешенный частей коленчатого вала равны:
mшш + 2*mщк

Полная сумма вращающихся масс равна сумме масс неуравновешенных частей коленчатого вала и приведенной массы нижней шейки шатуна:
mшк + mшш + 2*mщк

Силы инерции вращающихся масс равны:
Fив = — (mшк + mшш + 2*mщк) * r * w^2

Тут должен отметить, что в массу шатунной шейки входит также масса шатунных вкладышей.

3. Преобразования сил:

Сила давления газов на поршень и сила инерции возвратно-поступательно движущихся масс в сумме дают силы, действующие на поршень по оси цилиндров. Тут важно отметить, что силы инерции возвратно-поступательно движущихся масс имеют знак «минус», т.е. действуют нам во вред (должен оговориться: во вред — часть цикла, в некоторый момент сила меняет знак и работает с пользой).

Т.е.:

Fп = Fг + Fивп = (Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * ({ cosф + cos2ф * r / l } + е * r * { sinф + sin2ф * r / (2*l)}),

или же при отсутствии ускорения коленчатого вала, т.е. при е(t) = 0:
Fп = Fг + Fивп = (Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * ({ cosф + cos2ф * r / l }

Сила, действующая на поршень, в динамике делится на две составляющие силы:
— Сила, направленная по оси шатуна,
Fш = Fп / cosb, где b — угол между осью цилиндра и осью шатуна
— Сила, перпендикулярная оси цилиндра и направленная в противоположную сторону силе по направлению шатуна,
N = Fп * tg b, где b — угол между осью цилиндра и осью шатуна

Сумма векторов данных сил даст опять нам вектор Fп.

Эффективной действующей силой из этих двух является Fш.

3.1. Сила, направленная по оси шатуна.

Fш = Fп / cosb, где b — угол между осью цилиндра и осью шатуна,

Или же (подставив Fп):
Fш = (Fг + Fивп) / cosb

Или же:

Fш = ((Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * ({ cosф + cos2ф * r / l } + е * r * { sinф + sin2ф * r / (2*l)})) / cosb

При отсутствии ускорения коленчатого вала, т.е. при е(t) = 0:

Fш = ((Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * { cosф + cos2ф * r / l }) / cosb

Как мы уяснили ранее, эта сила — остаток от силы, действующей на поршень, которая участвует в полезной работе ДВС.

Перенесем вектор Fш для удобства дальнейшего рассмотрения в центр шатунной шейки коленчатого вала. Теперь разложим и эту силу на две составляющие:
— Касательную силу, направленную по касательной к окружности вращения шатунной шейки:
Fкв = Fш * sin (ф + b), где ф — угол поворота коленчатого вала, b — угол между осью цилиндра и осью шатуна
— Перпендикулярную силу, направленную от шатунной шейки к оси коленчатого вала:
Fпв = Fш * cos (ф + b), где ф — угол поворота коленчатого вала, b — угол между осью цилиндра и осью шатуна

Здесь полезной силой является касательная сила.

3.2. Сила, направленная по касательной к окружности вращения шатунной шейки.

Fкв = Fш * sin (ф + b), где ф — угол поворота коленчатого вала, b — угол между осью цилиндра и осью шатуна

Подставим выражение для Fш и получим выражение Fкв через Fп:

Fкв = Fп * sin (ф + b) / cosb

Или же:

Fкв = (Fг + Fивп) * sin (ф + b) / cosb

Или же:

Fкв = ((Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * ({ cosф + cos2ф * r / l } + е * r * { sinф + sin2ф * r / (2*l)}))*sin (ф + b) / cosb

При отсутствии ускорения коленчатого вала, т.е. при е(t) = 0:

Fкв = ((Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * { cosф + cos2ф * r / l })*sin (ф + b) / cosb

Крайне неудобно, когда функция выражена через два угла, особенно, когда один угол явно зависит от другого, не смотря на то, что в таком виде функция более читаема.

Произведем математическое преобразование угла b через функцию от угла ф:

По теореме синусов:

l / sinф = r / sin b, где:

l — длина шатуна,
r — радиус кривошипа.

выражаем b через ф:

b = arcsin (r/l * sinф).

Перепишем Fкв = Fп * sin (ф + b) / cosb, подставив выажение для b:

Fкв = Fп * sin (ф + arcsin (r/l * sinф)) / cos (arcsin (r/l * sinф))

Или же более развернуто:

Fкв = ((Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * ({ cosф + cos2ф * r / l } + е * r * { sinф + sin2ф * r / (2*l)}))*sin (ф + arcsin (r/l * sinф)) / cos (arcsin (r/l * sinф))

Ну, и если отсутствует ускорение коленчатого вала, т.е. при е(t) = 0:

Fкв = ((Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * { cosф + cos2ф * r / l })*sin (ф + arcsin (r/l * sinф)) / cos (arcsin (r/l * sinф))

3.3. Силы, действующие на шатунную шейку коленчатого вала, или вращающая сила:

Суммарно вращающие силы можно представить в виде суммы силы, направленной по касательной к окружности вращения шатунной шейки, Fкв и силы инерции вращающихся масс Fив.

Опять же отмечу, что силы инерции вращающихся масс имеют знак минус, т.е. действуют нам во вред.

Итого, вращающая сила:

Fв = Fкв + Fив

Или же:

Fв = Fп * sin (ф + arcsin (r/l * sinф)) / cos (arcsin (r/l * sinф)) — (mшк + mшш + 2*mщк) * r * w^2

Или же более развернуто:

Fв = ((Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * ({ cosф + cos2ф * r / l } + е * r * { sinф + sin2ф * r / (2*l)}))*sin (ф + arcsin (r/l * sinф)) / cos (arcsin (r/l * sinф)) — (mшк + mшш + 2*mщк) * r * w^2

Если нет ускорения коленчатого вала, т.е. при е(t) = 0:

Fв = ((Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * { cosф + cos2ф * r / l })*sin (ф + arcsin (r/l * sinф)) / cos (arcsin (r/l * sinф)) — (mшк + mшш + 2*mщк) * r * w^2

4. Крутящий момент.

Произведение вращающей силы и радиуса кривошипа носит знакомое всем понятие «крутящего момента», т.е.

Мкр = Fв * r

Или же:
Мкр = r* (Fкв + Fив)

Или же:

Мкр = r * [Fп * sin (ф + arcsin (r/l * sinф)) / cos (arcsin (r/l * sinф)) — (mшк + mшш + 2*mщк) * r * w^2]

Или же более развернуто:

Мкр = r * [((Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * ({ cosф + cos2ф * r / l } + е * r * { sinф + sin2ф * r / (2*l)}))*sin (ф + arcsin (r/l * sinф)) / cos (arcsin (r/l * sinф)) — (mшк + mшш + 2*mщк) * r * w^2]

Если нет ускорения коленчатого вала, т.е. при е(t) = 0:

Мкр = r * [((Р — Рк) * п * D^2 / 4 — (mп + mшп) * w^2 * r * { cosф + cos2ф * r / l })*sin (ф + arcsin (r/l * sinф)) / cos (arcsin (r/l * sinф)) — (mшк + mшш + 2*mщк) * r * w^2]

Наряду с крутящим моментом существует реактивный момент двигателя, который стремится развернуть сам двигатель. Он противоположен по направлению крутящему моменту.

Итак, сегодня мы рассмотрели основные силы, возникающие в ШПГ работающего ДВС, выявили зависимости мгновенных значений сил и крутящего момента от давления газов, частоты вращения (в общем случае и ускорения) и угла поворота коленчатого вала. Но следует помнить, что помимо сил инерции и сил, порожденных давлением газов, существуют силы трения и силы сопротивления.

Не забываем поправлять, если заметили ошибку, писать пожелания и ставить лайки.

На сим все.
Продолжение следует;)

Давление газов на поршень определяется по индикаторной диаграмме, которая строится по результатам теплового расчёта либо снимается с двигателя внутреннего сгорания. Для этого индикаторную диаграмму p=f(α) лучше представить в развёрнутом виде [рис. 1]. Значения давления газов при этом снимаются через определённые угловые интервалы.

Рис. 1. Развёрнутая индикаторная диаграмма четырёхтактного двигателя p=f(α).

Сила давления газов на поршень определяется из выражения

P_r=F_п(p_r-p₀)H

* где F_п=(πD²)4 – площадь поршня (м²); p_r – давление газов на поршень, определяемое по индикаторной диаграмме в данный момент (Па); p₀ – давление газов под поршнем, то есть в картере двигателя (Па).

Из-за того, что давление газов в цилиндре двигателя является величиной переменной, сила давления газов на поршень —  функция P_r=f(α) угла поворота коленчатого вала [рис. 2].

Рис. 2. Изменение силы давления газов P_r, силы инерции P_i и суммарной силы P в зависимости от угла поворота коленчатого вала.

17*