Как найти силу натяжения нити математического маятника

Математическим
маятником называют материальную точку,
закрепленную на невесомой и нерастяжимой
нити, совершающую свободные гармонические
колебания в вертикальной плоскости.

Математический
маятник имеет одну степень свободы –
еще один пример одномерного гармонического
осциллятора. На математический маятник
действуют две силы: сила тяжести
и сила натяжения нити(рис. 2.4)

Результирующая
этих сил (перпендикулярная составляющая
силы тяжести) и является той силой, под
действием которой маятник совершает
свободные гармонические колебания.

При
этом угол 
= 3 – 5^о
(рис. 2.4). Математический маятник при
колебаниях описывает часть дуги
окружности радиуса R
,
где–
длина нити.

Рис. 2.4

Для
вывода дифференциального уравнения
колебания математического маятника
воспользуемся дифференциальным
уравнением колебания физического
маятника [см. (2.15)], где момент инерции I
физического маятника заменим на момент
инерции материальной точки I=mR²,
где m – масса м. т. математического
маятника; R =

–
расстояние от м. т. до полюса 0.

После
подстановки получим дифференциальное
уравнение колебания математического
маятника в виде

(2.19)

Решением
данного уравнения является функция
вида


=
₀сos
(₀t
+ _o).
(2.20)

Сравнив
уравнения (2.16) и (2.19), найдем собственную
круговую частоту ₀
и период Т колебания математического
маятника:

.
(2.21)

Тогда

.
(2.22)

Период
колебания математического маятника
прямо пропорционален квадратному корню
длины маятника и обратно пропорционален
квадратному корню ускорения силы
тяжести.

2.5. Приведенная длина физического маятника

Анализ
формул периода колебания физического
и математического маятников показывает,
что можно найти приведенную длину
физического маятника (рис. 2.3), если
приравнять их периоды Т_физ
= Т_матем,
т. е.

.

Тогда приведенная
длина физического маятника

(2.23)

Приведенной
длиной физического маятника называют
длину такого математического маятника,
когда периоды их колебаний совпадают.

На
рис. 2.3 расстояние между точками 0 и 0^*
и есть приведенная длина

физического
маятника. Сами точки 0 и 0^*
взаимозаменяемы, т. е. при замене точки
0 на 0^*
и обратно период колебаний физического
маятника сохраняется неизменным.

2.6. Энергия гармонических механических колебаний

При
гармонических колебаниях любых
физических систем непрерывно и
периодически происходит превращение
кинетической энергии в потенциальную
и обратно.

Например,
при колебаниях физического или
математического маятников в крайних
положениях потенциальная энергия
максимальна, а при прохождении положения
равновесия максимальна кинетическая
энергия.

Найдем
математические выражения для кинетической,
потенциальной и полной механической
энергий физических систем, совершающих
гармонические колебания.

Спрятать решение

Источник: Са­вчен­ко О. Я. За­да­чи по фи­зи­ке, М.: «Наука», 1988 (№ 3.1.16)

Содержание:

Что такое математический маятник (осциллятор)

Колебания математического маятника

Свойства маятника

Период математического маятника

Практическое применение математического маятника

Математический маятник, видео

Что такое математический маятник (осциллятор)

Представьте себе некую механическую систему, которая состоит из некой материальной точки (тела), которая висит на нерастяжимой невесомой нити (при этом масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела). Вот такая механическая система и является маятником или осциллятором, как его еще называют. Впрочем, могут быть и другие виды такого устройства.

Чем же математический маятник, осциллятор интересен для нас? Дело в том, что с его помощью можно проникнуть в суть многих интересных природных явлений в физике.

[custom_ads_shortcode1]

Колебания математического маятника

Формула периода колебания математического маятника впервые была открыта голландским ученым Гюйгенсом в далеком XVII веке. Будучи современником Исаака Ньютона, Гюйгенс был очень увлечен такими вот маятниками, увлечен настолько, что даже изобрел специальные часы с маятниковым механизмам, и часы эти были одними из самых точных для того времени.

Маятниковые часы Гюйгенса.

Появление подобного изобретения сослужило большую пользу физике, особенно в сфере физических экспериментов, где точное измерение времени является весьма важным фактором. Но вернемся к маятнику, итак, в основе работы маятника лежат его колебания, которые можно выразить формулой, точнее следующим дифференциальным уравнением:

x + w2 sin x = 0Где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); w – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (w = √ g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Помимо, собственно колебаний маятник может пребывать и в положении равновесия, при этом сила тяжести, действующая на него, будет уравновешиваться силой натяжения нити. Обычный плоский маятник, пребывающий на нерастяжимой нити, является системой с двумя степенями свободы. Но если, к примеру, нитку заменить на стержень, тогда наш маятник станет системой лишь с одной степенью свободы, так как его движения будут двухмерными, а не трехмерными.

Но если же наш маятник все-таки пребывает на нити и при этом совершает интенсивные колебания вверх-вниз, тогда механическая система приобретает устойчивое положение, именуемое «верх тормашками», еще ее называют маятником Капицы.

[custom_ads_shortcode2]

Свойства маятника

У маятника есть ряд интересных свойств, подтвержденных физическими законами. Так период колебаний всякого маятника зависит от таких факторов, как его размер, форма тела, расстояние между центром тяжести и точкой подвеса. Поэтому определение периода маятника является не простой задачей. А вот период математического маятника можно рассчитать точно по формуле, которая будет приведена ниже.

В ходе наблюдений за маятниками были выведены следующие закономерности:

• Если к маятнику подвешивать разные грузы с разным весом, но при этом сохранять одинаковую длину маятника, то период его колебания будет одинаковым вне зависимости от массы груза.
• Если при запуске колебаний отклонить маятник на не очень большие, но все же разные углы, то он станет колебаться в одинаковым период, но по разным амплитудам. Следовательно, период колебания у подобного маятника не зависит от амплитуды колебания, такое явление было названо изохронизмом, что с древнегреческого можно перевести как «хронос» — время, «изо» — равный, то есть «равновременный».

[custom_ads_shortcode3]

Период математического маятника

Период маятника – показатель, который представляет период собственно колебаний маятника, их длительность. Формулу периода математического маятника можно записать следующим образом. T = 2π √L/gГде L – длина нити математического маятника, g – ускорение свободного падения, а π – число Пи, математическая константа.

Период малых колебания математического маятника никак не зависит от массы маятника и амплитуды колебания, в этой ситуации он двигается как математический маятник с заданной длинной.

[custom_ads_shortcode1]

Практическое применение математического маятника

Вот мы добрались и до самого интересного, зачем нужен математический маятник и какое его применение на практике в жизни. В первую очередь ускорение математического маятника используется для геологоразведки, с его помощью ищут полезные ископаемые. Как это происходит?

Дело в том, что ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, так как плотность коры в разных местах нашей планеты далеко не одинакова и там где залегают породы с большей плотностью, ускорение будет немножко больше. А значит, просто подсчитав количество колебаний маятника можно отыскать в недрах Земли руду или каменный уголь, так как они имеют большую плотность, нежели другие рыхлые горные породы.

Также математическим маятником пользовались многие выдающиеся ученые прошлого, начиная с античности, в частности Архимед, Аристотель, Платон, Плутарх. Так Архимед и вовсе использовал математический маятник во всех своих вычислениях, а некоторые люди даже верили, что маятник может влиять на судьбы людей и пытались делать с его помощью предсказания будущего.

[custom_ads_shortcode2]

Математический маятник, видео

И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

Механическая система, которая состоит из материальной точки (тела), висящей на нерастяжимой невесомой нити (ее масса ничтожно мала по сравнению с весом тела) в однородном поле тяжести, называется математическим маятником (другое название – осциллятор). Бывают и другие виды этого устройства. Вместо нити может быть использован невесомый стержень.

Математический маятник может наглядно раскрыть суть многих интересных явлений. При малой амплитуде колебания его движение называется гармоническим.

[custom_ads_shortcode3]

Общие сведения о механической системе

Формула периода колебания этого маятника была выведена голландским ученым Гюйгенсом (1629-1695 гг. ). Этот современник И.

Ньютона очень увлекался данной механической системой. В 1656 г. он создал первые часы с маятниковым механизмом.

Они измеряли время с исключительной для тех времен точностью. Это изобретение стало важнейшим этапом в развитии физических экспериментов и практической деятельности.

Если маятник находится в положении равновесия (висит отвесно), то сила тяжести будет уравновешиваться силой натяжения нити. Плоский маятник на нерастяжимой нити является системой с двумя степенями свободы со связью. При смене всего одного компонента меняются характеристики всех ее частей.

Так, если нитку заменить на стержень, то у данной механической системы будет всего 1 степень свободы. Какими же свойствами обладает математический маятник? В этой простейшей системе под воздействием периодического возмущения возникает хаос.

В том случае, когда точка подвеса не двигается, а совершает колебания, у маятника появляется новое положение равновесия. При быстрых колебаниях вверх-вниз эта механическая система приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». У нее есть и свое название.

Математический маятник имеет очень интересные свойства. Все они подтверждаются известными физическими законами. Период колебаний любого другого маятника зависит от разных обстоятельств, таких как размер и форма тела, расстояние между точкой подвеса и центром тяжести, распределение массы относительно данной точки.

Именно поэтому определение периода висящего тела является довольно сложной задачей. Намного легче вычисляется период математического маятника, формула которого будет приведена ниже. В результате наблюдений над подобными механическими системами можно установить такие закономерности:

• Если, сохраняя одинаковую длину маятника, подвешивать различные грузы, то период их колебаний получится одинаковым, хотя их массы будут сильно различаться. Следовательно, период такого маятника не зависит от массы груза.

• Если при запуске системы отклонять маятник на не слишком большие, но разные углы, то он станет колебаться с одинаковым периодом, но по разным амплитудам. Пока отклонения от центра равновесия не слишком велики, колебания по своей форме будут достаточно близки гармоническим. Период такого маятника никак не зависит от колебательной амплитуды. Это свойство данной механической системы называется изохронизмом (в переводе с греческого «хронос» – время, «изос» – равный).

None T = 2π√L/gПериод малых собственных колебаний ни в какой мере не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний. В этом случае маятник двигается как математический с приведенной длиной.

[custom_ads_shortcode1]

Колебания математического маятника

[custom_ads_shortcode2]

Математический маятник совершает колебания, которые можно описать простым дифференциальным уравнением:

x + ω2 sin x = 0,где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); ω – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (ω = √g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).

Уравнение малых колебаний вблизи положення равновесия (гармоническое уравнение) выглядит так: x + ω2 sin x = 0.

[custom_ads_shortcode3]

Колебательные движения маятника

Математический маятник, который совершает малые колебания, двигается по синусоиде. Дифференциальное уравнение второго порядка отвечает всем требованиям и параметрам такого движения. Для определения траектории необходимо задать скорость и координату, из которых потом определяются независимые константы:

x = A sin (θ + ωt),где θ0 – начальная фаза, A – амплитуда колебания, ω – циклическая частота, определяемая из уравнения движения.

[custom_ads_shortcode1]

Математический маятник (формулы для больших амплитуд)

Данная механическая система, совершающая свои колебания со значительной амплитудой, подчиняется более сложным законам движения. Для такого маятника они рассчитываются по формуле: sin x/2 = u * sn(ωt/u),где sn – синус Якоби, который для u < 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

None Определение периода колебания нелинейного маятника осуществляется по формуле:

T = 2π/Ω,где Ω = π/2 * ω/2K(u), K – эллиптический интеграл, π3,14.

[custom_ads_shortcode2]

[custom_ads_shortcode3]

Движение маятника по сепаратрисе

Сепаратрисой называют траекторию динамической системы, у которой двумерное фазовое пространство. Математический маятник движется по ней непериодически. В бесконечно дальнем моменте времени он падает из крайнего верхнего положения в сторону с нулевой скоростью, затем постепенно набирает ее. В конечном итоге он останавливается, вернувшись в исходное положение.

Если амплитуда колебаний маятника приближается к числу π, это говорит о том, что движение на фазовой плоскости приближается к сепаратрисе. В этом случае под действием малой вынуждающей периодической силы механическая система проявляет хаотическое поведение.

При отклонении математического маятника от положения равновесия с некоторым углом φ возникает касательная силы тяжести Fτ = –mg sin φ. Знак «минус» означает, что эта касательная составляющая направляется в противоположную от отклонения маятника сторону. При обозначении через x смещения маятника по дуге окружности с радиусом L его угловое смещение равняется φ = x/L. Второй закон Исаака Ньютона, предназначенный для проекций вектора ускорения и силы, даст искомое значение:

mg τ = Fτ = –mg sin x/LИсходя из этого соотношения, видно, что этот маятник представляет собой нелинейную систему, поскольку сила, которая стремится вернуть его в положение равновесия, всегда пропорциональна не смещению x, а sin x/L.

Только тогда, когда математический маятник осуществляет малые колебания, он является гармоническим осциллятором. Иными словами, он становится механической системой, способной выполнять гармонические колебания. Такое приближение практически справедливо для углов в 15–20°. Колебания маятника с большими амплитудами не является гармоническим.

[custom_ads_shortcode1]

Закон Ньютона для малых колебаний маятника

Если данная механическая система выполняет малые колебания, 2-й закон Ньютона будет выглядеть таким образом: mg τ = Fτ = –m* g/L* x.

Исходя из этого, можно заключить, что тангенциальное ускорение математического маятника пропорционально его смещению со знаком «минус». Это и является условием, благодаря которому система становится гармоническим осциллятором. Модуль коэффициента пропорциональности между смещением и ускорением равняется квадрату круговой частоты:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L. Эта формула отражает собственную частоту малых колебаний этого вида маятника. Исходя из этого,T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

[custom_ads_shortcode2]

Вычисления на основе закона сохранения энергии

None E = mg∆h = mgL(1 – cos α) = mgL2sin2 α/2Полная механическая энергия равняется кинетической или максимальной потенциальной: Epmax = Ekmsx = EПосле того как будет записан закон сохранения энергии, берут производную от правой и левой частей уравнения:

None Ep’ = (mg/L*x2/2)’ = mg/2L*2x*x’ = mg/L*v + Ek’ = (mv2/2) = m/2(v2)’ = m/2*2v*v’ = mv* α,следовательно:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0. Исходя из последней формулы находим: α = – g/L*x.

[custom_ads_shortcode3]

Практическое применение математического маятника

Ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, поскольку плотность земной коры по всей планете не одинакова. Там, где залегают породы с большей плотностью, оно будет несколько выше. Ускорение математического маятника нередко применяют для геологоразведки. В его помощью ищут различные полезные ископаемые. Просто подсчитав количество колебаний маятника, можно обнаружить в недрах Земли каменный уголь или руду. Это связано с тем, что такие ископаемые имеют плотность и массу больше, чем лежащие под ними рыхлые горные породы.

Математическим маятником пользовались такие выдающиеся ученые, как Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед. Многие из них верили в то, что эта механическая система может влиять на судьбу и жизнь человека. Архимед использовал математический маятник при своих вычислениях. В наше время многие оккультисты и экстрасенсы пользуются этой механической системой для осуществления своих пророчеств или поиска пропавших людей.

Известный французский астроном и естествоиспытатель К. Фламмарион для своих исследований также использовал математический маятник. Он утверждал, что с его помощью ему удалось предсказать открытие новой планеты, появление Тунгусского метеорита и другие важные события.

Во время Второй мировой войны в Германии (г. Берлин) работал специализированный Институт маятника. В наши дни подобными исследованиями занят Мюнхенский институт парапсихологии.

ОпределениеМатематический маятник – это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

[custom_ads_shortcode1]

Уравнение движения математического маятника

Математический маятник – классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением: [ddot{varphi }+{omega }^2_0varphi =0 left(1right),] где $varphi $ – угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

Решением уравнения (1) является функция $varphi (t):$ [varphi (t)={varphi }_0{cos left({omega }_0t+alpha right)left(2right), }] где $alpha $ – начальная фаза колебаний; ${varphi }_0$ – амплитуда колебаний; ${omega }_0$ – циклическая частота.

Колебания гармонического осциллятора – это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

[custom_ads_shortcode2]

Циклическая частота и период колебаний математического маятника

Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса: [ {omega }_0=sqrt{frac{g}{l}}left(3right).] Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

[T=frac{2pi }{{omega }_0}=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(4right).] Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

[custom_ads_shortcode3]

Уравнение энергии для математического маятника

При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

[E=E_k+E_p=frac{mv^2}{2}+mgh=frac{mv^2}{2}+frac{mgx^2}{2l}=constleft(5right),] где $E_k$ – кинетическая энергия маятника; $E_p$ – потенциальная энергия маятника; $v$ – скорость движения маятника; $x$ – линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол – смещение связан с $x$ как:

None [E_{pmax}=mgh_m=frac{mg{x^2}_m}{2l}left(7right);;] Максимальная величина кинетической энергии:

[E_{kmax}=frac{mv^2_m}{2}=frac{m{omega }^2_0{x^2}_m}{2l}=E_{pmax}left(8right),] где $h_m$ – максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m={omega }_0x_m$ – максимальная скорость.

[custom_ads_shortcode1]

Примеры задач с решением

None Решение. Сделаем рисунок.

Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

[frac{mv^2}{2}=mgh left(1.1right).] Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

[h=frac{v^2}{2g}.] Ответ. $h=frac{v^2}{2g}$Пример 2Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1 м$, совершает колебания с периодом равным $T=2 с$? Считайте колебания математического маятника малыми.textit{}Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

None [g=frac{4{pi }^2l}{T^2} .] Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

[g=frac{4{pi }^2cdot 1}{2^2}={pi }^2approx 9,87 left(frac{м}{с^2}right).] Ответ. $g=9,87 frac{м}{с^2}$Читать дальше: формулы пружинного маятника.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник – это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

Колебательную систему в данном случае образуют нить, присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником. ,где ах – ускорение, g – ускорение свободного падения, х – смещение, l – длина нити маятника.

Это уравнение называется уравнением свободных колебаний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения: 1) будем считать, что силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и потому, их можно не учитывать;

2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха. Свободные колебания любых систем во всех случаях описываются аналогичными уравнениями.

Причинами свободных колебаний математического маятника являются: 1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, препятствующей его смещению из положения равновесия и заставляющей его снова опускаться.

2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше. Период свободных колебаний математического маятника .

Период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник. Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источники:

• www.poznavayka.org
• fb.ru
• www.webmath.ru
• studopedia.ru

Сила натяжения нити — формулировка

Длина тела, к которому приложена сила, обычно многократно больше, чем его толщина. Примерами таких объектов являются веревка, канат, трос, леска, проволока. Сила натяжения визуально проявляется в следующих примерах:

• создание строительного отвеса;
• установка растяжек для фиксации радиоантенн;
• поведение арматуры внутри напряженного бетона;
• устройство корабельного такелажа.

Как определить силу, формулы

Натяжение проявляется по-разному. Поэтому сила натяжения может рассчитываться определенным образом, в зависимости от окружающих условий.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

С неподвижно закрепленным верхним концом

Простейшим примером проявления силы натяжения является нить с закрепленным на ней грузом. Верхний конец такого подвеса фиксируется неподвижно. В этом случае сила натяжения будет соответствовать силе тяжести, которая действует на тело. Формула для расчета:

(F=F_{тяж}=m*g)

где m – это масса тела, а g представляет собой ускорение свободного падения.

Если нить под углом

В случае, когда груз расположен под определенным углом, характер силы натяжения несколько изменяется. Примером такой системы выступает маятник. 

(F_n=m*g*cos(a))

где а равен углу отклонения.

Формула с учетом ускорения и массы

В ситуации, при которой на груз оказывается сила натяжения, приводящая его в движение вверх, следует использовать такую формулу для ее расчета:

(F=F_{тяж}+m*a)

Сила натяжения во вращающейся системе

Описание

Такое явление можно наблюдать, когда система из нити и тела вращается во время раскручивания подвеса вокруг своей оси с закрепленным на одном его конце объектом: центрифуга, маятник, качели. Сила натяжения, возникающая внутри подвеса, характеризуется центробежной силой и в условиях вращения в вертикальной плоскости циклически претерпевает изменения. То есть можно наблюдать зависимость силы от угла отклонения от вертикали:

• приближение к земле приводит к увеличению силы;
• во время удаления от земли сила слабеет.

Формула расчета

Рассчитать силу натяжения в условиях вращающейся системы можно так:

(F=frac{mtimes nu ^{2}}{r})

Обозначение, единица измерения

Существуют определенные стандарты для написания формулы силы натяжения. Как и другие физические силы, натяжение обозначается F. В качестве единицы измерения используют Ньютон (H)

(H=frac{kgtimes m}{c^{2}})

Примеры решения задач

Задание 1

На невесомую нерастяжимую нить действует сила натяжения Т=4400Н. Необходимо определить максимальное ускорение подъема груза, масса которого равна m=400 кг, подвешенного на этой нити. При этом нить должна сохранить целостность.

Решение

Представив все силы, оказывающие действие на тело, необходимо составить формулу второго закона Ньютона. Тело является материальной точкой, а силы приложены к центру его массы.

(bar{T}+mbar{g}=mbar{a})

(bar{T}) является силой натяжения нити.

Проекция уравнения будет иметь следующий вид:

(T – mg = ma)

Данное выражение позволяет рассчитать ускорение:

(a=frac{T-mg}{m})

Так как все величины, изложенные в задании, соответствуют единицам СИ, можно провести корректные вычисления

(a=frac{4400-4*9,8}{400})

Ответ: a = 1.2 (м/с^2)

Задание 2

На иллюстрации изображен шар, который обладает массой m=0.1 кг. Будучи зафиксирован на нити, шарик совершает движение по окружности в горизонтальной плоскости. Длина подвеса составляет l=5 м, а радиус окружности – R=3 м. Требуется вычислить модуль силы натяжения нити.

Решение

Необходимо воспользоваться вторым законом Ньютона и записать его для сил, которые действуют на шар. Центростремительное ускорение при его вращении по окружности будет записано следующим образом:

(bar{T}+mbar{g}=mbar{a})

Проекции данной формулы по осям определяются следующим образом:

X:  (T sin α = ma = mω2R)

Y:  (-mg + T cos α = 0)

Таким образом, из уравнения Y получаем расчет модуля силы натяжения нити:

(T=frac{mg}{cos alpha })

Анализ рисунка позволяет вывести следующее уравнение:

(sin alpha = frac{R}{l}rightarrow cos alpha = sqrt{1-left(frac{R}{l} right)^{2}})

Если cos α заменить уравнением для расчета модуля силы натяжения нити, то получим следующую формулу:

(T=frac{mg}{sqrt{1-left(frac{R}{l} right)^{2}}}= frac{mgl}{sqrt{l^{2}-R^{2}}})

Значения основных величин, выраженные в СИ, можно подставить в конечную формулу для расчета силы натяжения нити:

(T=frac{0,1*9,8*5}{sqrt{5^{2}-3^{2}}}=1,225left(H right))

Ответ: Т=1,225 H