Как найти силу притяжения между двумя планетами

Характер и особенности расчета силы притяжения известны еще с древних времен. На основании имеющихся знаний, переданных современному научному сообществу великими исследователями, человек познает не только его окружающий мир, но и Вселенную.

Формула силы притяжения

Со времен Древней Греции философов интересовали явления притяжения тел к земле и свободного падения. К примеру, по утверждениям Аристотеля, из двух камней, брошенных с одинаковой высоты, быстрее достигнет земной поверхности тот, чья масса больше. В IV веке до нашей эры единственными методами научных изысканий служили наблюдения и анализ. К проверке гипотез опытным путем великие мыслители не прибегали. По истечению столетий физик из Италии Галилео Галилей проверил утверждения Аристотеля, используя практические методы исследований.

Итоги проведенных Галилеем опытов были опубликованы в «Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых наук». Ученый использовал псевдоним Сагредо: «пушечное ядро не опередит мушкетной пули при падении с высоты двухсот локтей». Формулировка закона всемирного тяготения была представлена в 1666 году Исааком Ньютоном. В ней фиксировались основные тезисы теоремы Галилея.

Смысл заключался в том, что тела, которые обладают разными массами, падают на землю с одинаковыми ускорениями.  Одно тело притягивает другое и, наоборот, с силой, которая прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна отрезку пути между ними. Согласно определению гравитации от Ньютона, тела, характеризующиеся массой, обладают свойством, благодаря которому притягиваются друг к другу.

Понятие и определение

Силы взаимного притяжения – это силы, которые притягивают любые тела, обладающие массами.

Корректность выводов Ньютона неоднократно подтверждалась путем практических испытаний. Но в начале ХХ века перед учеными-физиками остро стоял вопрос о природе и характере взаимодействия крупных астрономических тел, включая разные виды планетарных систем и галактик в вакууме. Ньютоновского закона уже было недостаточно, чтобы решить эти задачи. Исключить недочеты позволила новая теория, разработанная Альбертом Эйнштейном в начале ХХ столетия. Общая теория относительности объясняет гравитацию не в качестве силы, а представляет ее в виде искривления пространства и времени в четырех измерениях, которое зависит от массы тел, создающих его.

Гравитация представляет собой свойство тел, которые характеризуются массой, притягивать друг друга. Данное физическое явление можно объяснить, как поле, оказывающее дистанционное воздействие на предметы, не связанные между собой никаким другим способом.

Достижение Эйнштейна не противоречит теоретическому объяснению гравитации от Ньютона. Общая теория относительности рассматривает закон всемирного тяготения, как частный случай, применимый для сравнительно небольших расстояний. Данная закономерность в настоящее время также активно используется для поиска решений задач на практике.

Единицы измерения силы притяжения

В разных системах измерений можно встретить несколько отличающиеся обозначения. Единицы измерения силы притяжения следующие:

• система СИ: ([F]=H);
• система СГС: ([F]=дин).

Формула силы притяжения между телами в космосе

Закономерность гравитации, которую обнаружил Ньютон, можно представить в виде математической формулы. Вычисления выглядят следующим образом:

(F=(Gtimes m1times m2times r)/2),

где (m1,m2) — массы объектов, которые притягиваются друг к другу под действием силы (F),

(r) – расстояние, на которое удалены тела,

(G) — т.н. гравитационная постоянная величина, константа, равная 6,67.

Гравитационное взаимодействие объектов будет слабеть, если тела удаляются друг относительно друга. Сила гравитации пропорциональна величине расстояния в квадрате. При этом для нахождения искомой величины расстояние измеряется от центров тяжести тел, а не от поверхностей.

Гравитация в определенных моментах напоминает другие физические явления. Исходя из зависимости интенсивности силы от расстояния в квадрате, гравитацию можно сравнить с электромагнитным взаимодействием сильного и слабого характера.

Формула силы гравитационного притяжения между двумя телами

Квадратичная связь силы, с которой тела притягиваются друг к другу, с расстоянием между ними объясняет тот факт, что люди, находящиеся на поверхности планеты Земля не притягиваются к Солнцу, хотя масса его велика и превышает земную в миллион раз. Земля и центр Солнечной системы удалены примерно на 150 миллионов километров. Дистанция достаточно велика, чтобы ощущаться человеком. Однако эту силу можно зарегистрировать, используя высокоточные приборы. В рамках планеты Земля сила, с которой тела к ней притягиваются, то есть их вес, измеряется следующим образом:

(P=mtimes g),

где (m) – масса тела, на которое воздействует сила притяжение,

(g) – ускорение свободного падения около Земли (если рассматривать систему в условиях любой другой планеты, данная величина будет отличаться).

На разных географических широтах величина ускорения свободного падения может незначительно отличаться. Производя расчеты, данный показатель принимается за 9,81 метров в секунду в квадрате.

В физике понятия массы и веса тел отличаются. Весом называется сила, определяющее притяжение объекта к планете. Масса представляет собой меру инертности вещества. На нее не влияют другие тела, расположенные рядом.

Формула для силы притяжения тел произвольной формы

Расчеты определяются некоторыми условиями. К ним относятся характеристики исследуемых объектов.

Если сила притяжения измеряется между телами, которые обладают произвольной формой, их считают материальными точками:

(dtimes m1=rho1times dV1)

(dtimes m2=rho2times dV2)

где (rho1, rho2) – обозначают плотность веществ материальных точек, характерных для первого и второго объектов,

(dV1 ,dV2) — элементарные объемы выделенных материальных точек.

Исходя из этого, сила притяжения (doverline F), с которой взаимодействуют объекты, равна:

  (doverline F=-Gtimes frac{rho _{1}timesrho _{2}times dtimes V_{1}times dtimes V_{2}}{r_{12}^{3}} bar{r_{12}})

Таким образом, сила притяжения первого тела вторым рассчитывается следующим образом:

(bar{F}_{12}=-Gtimesint_{V_{1}}^{rho _{1}times dtimes V_{1}}int_{V_{2}}^{frac{rho _{2}}{r_{12}^{3}}times bar{r}_{12}times dtimes V_{2}})

где интегрирование выполняется по всему объему первого ((V1)) и второго ((V2)) тел. Если тела обладают однородностью, то формула корректируется, таким образом:

(bar{F}_{12}=-Gtimesrho1timesrho2timesint_{V_{1}}^{dtimes V_{1}}int_{V_{2}}^{frac{bar{r}_{12}}{r_{12}^{3}}times dtimes V_{2}})

Формула для силы притяжения твердых тел шарообразной формы

В условиях, когда сила притяжения измеряется между телами, представленных в форме шара или близкой к нему, с плотностью, зависящей лишь от удаленности их центров тяжести, применяется следующая формула:

(bar{F}_{12}=-Gtimes(m1times m2)/R^3times R12)

где (m1,m2) – массы шаров,  (R )– радиус – вектор, соединяющий центры шаров.

Пример применения формулы для расчета

Задача. Необходимо рассчитать силу притяжения между двумя идентичными однородными шарами, масса которых составляет по 1 килограмму. При этом их центры тяжести удалены на 1 метр друг от друга.

Решение будет выглядеть следующим образом:

Используя формулу для подсчета силы притяжения между двумя объектами шарообразной формы, получается:

(F_g=6.67times 10^{-11}times frac{1times 1}{1^{2}})

Ответ: (F_g=6.67times 10^{-11})

Выполнить расчет силы притяжения достаточно просто, если правильно выбрать формулу, подходящую под конкретные условия, в которых находятся тела. Если в процессе решения задач по физике или другим дисциплинам возникают проблемы, всегда можно обратиться за помощью к компетентным специалистам портала Феникс.Хелп.

Все тела в природе притягиваются, это свойство тел, имеющих массу. Сила, с которой тела притягиваются, называется силой гравитации (силой притяжения).

Формула закона всемирного тяготения с объяснениями

Зная массы двух тел и расстояние между ними, можно рассчитать силу их взаимного притяжения с помощью такой формулы:

[ large boxed  { F = G cdot frac{m_{1} cdot m_{2}}{R^{2}} } ]
(F left( text{Н} right)) (Ньютоны) — сила, с которой два шарообразных тела притягиваются
( m_{1} left( mbox{кг} right) ) (килограммы) — масса первого тела
( m_{2} left( text{кг} right) ) (килограммы) — масса второго тела
( R left( text{м} right) ) (метры) — расстояние между центрами тел
(G = 6{,}67 cdot 10^{-11} left( text{Н} cdot frac{text{м}^2}{text{кг}^2} right)) — гравитационная постоянная

Примечания:

• формула позволяет точно рассчитать притяжение между двумя однородными шарами;
• если тела не шарообразные, или не однородные, то силу притяжения получим с погрешностью;
• чем больше расстояние между телами, тем меньше будет погрешность;

Словесная формулировка закона всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения словами можно сформулировать так:

Два тела притягиваются с силой
прямо пропорциональной
массам этих тел
и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между телами.

Пояснения к закону всемирного тяготения

Сила прямо пропорциональна массам тел. Математики прямую пропорциональность записывают так:
[ F sim m_{1} cdot m_{2} ]

Прямая пропорциональность означает: чем больше массы, тем больше сила притяжения.

Сила обратно пропорциональна расстоянию в квадрате. Математики обратную пропорциональность записывают с помощью дроби. В знаменателе этой дроби находится величина, обратно пропорциональная величине, находящейся в левой части выражения:
[ F sim frac{1}{R^{2}} ]
Обратная пропорциональность означает: чем больше расстояние между телами, тем меньше сила притяжения.

Что такое гравитационная постоянная

Физики часто употребляют термин: «Физический смысл». Физический смысл для чего-то – это ответ на вопрос: Что это такое с точки зрения физики?

Физический смысл гравитационной постоянной:

Гравитационная постоянная — это сила, с которой притягиваются два однородных шара, по 1-му килограмму каждый, когда они находятся на расстоянии 1-го метра один от другого.

(G = 6{,}67 cdot 10^{-11} left( text{Н} cdot frac{text{м}^2}{text{кг}^2} right)) — гравитационная постоянная

Как видно, это очень незначительная сила, поэтому в повседневной жизни мы ее не замечаем.

Куда направлена сила притяжения

Соединим прямой линией центы притягивающихся тел. Вдоль этой линии и будут направлены силы, с которыми тела притягиваются. Физики часто заменяют фразу «действие одного тела на другое» словом «взаимодействие».

( F_{1} ) – это сила, с которой большой шар притягивается к маленькому шарику;
( F_{2} ) – это сила, с которой маленький шарик притягивается к большому шару;
Из третьего закона Ньютона известно, что тела взаимодействуют с одинаковыми по модулю силами. Это значит, что ( | F_{1} | = | F_{2} | ). То есть, силы равны.

У физиков есть такой шуточный вопрос: «Что сильнее притягивает – Луна Землю, или Земля Луну?». Правильный ответ: «Они притягиваются с одинаковыми силами».

Как правильно выбирать расстояние для подстановки в формулу

Центр масс тела — это точка, которой мы заменяем тело для упрощения задачи.
Если тело однородное и шарообразное, то центр масс — это точка, расположенная в центре шара.
Расстояние между телами — это расстояние между центрами масс.

Рассмотрим несколько поясняющих примеров:

Пример 1. Притяжение между планетой и звездой

( R = left( r_{1} + h + r_{2} right) )
Складываем радиусы шаров и расстояние между их поверхностями, получаем расстояние между центрами тел. Это расстояние и подставляем в знаменатель формулы.

Пример 2. Два шарообразных тела соприкасаются

( R = left( r_{1} + r_{2} right) )
В формулу нужно подставить расстояние между центрами масс шаров. Складываем радиусы шаров и результат подставляем в формулу вместо R.

Пример 3. Малое тело покоится на поверхности планеты

( R = r )
Расстояние между телами — это радиус планеты. Радиус камня очень мал по сравнению с радиусом планеты, поэтому, мы радиус камня не учитываем.

Пример 4. Малое тело находится на некотором расстоянии от планеты

( R = left( r + h right) )
Складываем радиус планеты и расстояние от спутника до поверхности планеты. Полученное число является расстоянием между телами. Размеры спутника не учитываем, так как они очень малы по сравнению с радиусом планеты.

Вам будет интересно почитать:

Первая космическая скорость
Движение по окружности, центростремительная сила и центростремительное ускорение
Ускорение свободного падения

Сила всемирного тяготения. Искусственные спутники

1. Гравитационное взаимодействие
2. Закон всемирного тяготения
3. Ускорение свободного падения на поверхности для различных планет
4. Космические скорости
5. Искусственные спутники Земли
6. Задачи

п.1. Гравитационное взаимодействие

Согласно современным представлениям, все тела, обладающие массой, притягиваются друг к другу. Это взаимодействие называется гравитационным.

Таким образом, масса проявляется в природе двумя качественно разными способами.

Инертная масса — мера инертности тел (второй закон Ньютона), дающая связь между силой и вызываемым ею ускорением.
Гравитационная масса — мера гравитационного взаимодействия тел (закон всемирного тяготения), определяющая силу взаимного притяжения.

Нужно подчеркнуть, что инертная масса и гравитационная масса возникают в механике при рассмотрении совершенно разных явлений, и ниоткуда не следует, что они должны быть равны.

Тем не менее, уже сам Ньютон доказал равенство этих масс с точностью 10^-3.

На сегодняшний день (эксперимент 2009 г.) этот факт подтвержден с точностью 10^-13.

Принцип эквивалентности
Значения инертной и гравитационной массы одного и того же тела равны.

п.2. Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения
Две материальные точки массами (m_1) и (m_2) притягиваются по направлению друг к другу с силой (F), прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними: $$ F=Gfrac{m_1m_2}{r^2} $$ Коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной;
она одинакова для всех тел природы и в системе СИ равна $$ G=6,67cdot 10^{-11}frac{text{Н}cdot text{м}^2}{text{кг}^2} $$

Физический смысл гравитационной постоянной
Если два тела массой по 1 кг находятся на расстоянии 1 м друг от друга, сила гравитационного взаимодействия между ними равна $$ F=Gcdot 1frac{text{кг}^2}{text{м}^2}=6,67cdot 10^{-11} text{Н} $$

Закон всемирного тяготения выполняется для тел, размерами которых можно пренебречь, т.е. для материальных точек. Но его применение можно расширить.

При рассмотрении небесных тел (Солнца, планет и их спутников) в первом приближении их можно считать однородными идеальными сферами с одинаковой плотностью вещества внутри. Как показывает теория, в такой модели небесное тело можно заменить материальной точкой, совпадающей с его центром, с массой полностью сосредоточенной в этом центре.

В этом случае для применения закона всемирного тяготения открываются дополнительные возможности. Например, можно описывать движение небольшого тела на поверхности планеты, «сжимая» всю планету в материальную точку, от которой тело удалено на расстояние, равное радиусу планеты.

п.3. Ускорение свободного падения на поверхности для различных планет

Найдем силу, с которой Земля притягивает небольшое тело массой m, расположенное на её поверхности.

Будем считать Землю сферическим однородным телом. Масса Земли (M_oplus=5,97cdot 10^{24} text{кг}), радиус Земли (R_oplus=6370 text{км}). Допущение об однородности позволяет перейти к модели, в которой вся масса Земли сосредоточена в её центре. Расстояние от центра до поверхности, на которой находится тело, – это радиус Земли.

Получаем, что сила притяжения между Землей и телом: $$ F=Gfrac{M_oplus m}{R^2_oplus} $$

По своей природе, полученная сила является ничем иным, как силой тяжести (F=mg), с которой мы уже знакомы (см. §22 данного справочника).

Значит, (Gfrac{M_oplus m}{R^2_oplus}=mg), и ускорение свободного падения begin{gather*} g=Gfrac{M_oplus}{R^2_oplus}\[6pt] g=6,67cdot 10^{-11}cdot frac{5,97cdot 10^{24}}{(6,37cdot 10^6)^2}approx 9,81 (text{м/с}^2) end{gather*} Что полностью согласуется с многочисленными экспериментами.

Полученный результат можно обобщить и применить к любому другому небесному телу.

Ускорение свободного падения на поверхности сферической однородной планеты или звезды массой (M) и радиусом (R) прямо пропорционально массе и обратно пропорционально квадрату радиуса: $$ g=Gfrac{M}{R^2} $$

Например, для Луны (g_{text{Л}}=1,62frac{text{м}}{text{с}^2}approx 0,165g_0); для Юпитера (g_{text{Ю}}=23,95frac{text{м}}{text{с}^2}approx 2,442g_0); для Солнца (g_{text{С}}=273,1frac{text{м}}{text{с}^2}approx 27,85g_0). Здесь, (g_0) — ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Заметим, что в задачах на гравитационное взаимодействие часто оказывается полезной замена (GM=gR^2).

п.4. Космические скорости

Если тело находится на поверхности Земли, то расстояние между центром планеты, где сосредоточена вся масса, и этим телом равно радиусу Земли (R_oplus).

Если подняться над поверхностью на некоторую высоту (h), расстояние станет равным ((R_oplus+h)). Сила всемирного тяготения (она же – сила тяжести) на этой высоте: $$ F_h=Gfrac{M_oplus m}{(R_oplus+h)^2} $$

Т.к. (GM_oplus=gR^2_oplus), где (g=9,81 (text{м/с})^2), можем также записать удобное на практике выражение: $$ F_h=mgleft(frac{R_oplus}{(R_oplus+h)}right)^2 $$

Пусть мы хотим запустить спутник, который будет летать на высоте (h) по круговой орбите с постоянной скоростью (v). При равномерном движении по окружности ускорение равно отношению квадрата скорости к радиусу орбиты. Получаем: $$ F_h=Gfrac{M_oplus m}{(R_oplus +h)^2}=ma=mfrac{v^2_h}{(R_oplus + h)} $$

Скорость вращения спутника на высоте (h): $$ v_h=sqrt{frac{GM_oplus}{R_oplus + h}} $$

Зная ускорение свободного падения у поверхности Земли (g), можем также записать: $$ v_h=sqrt{frac{gR^2_oplus}{R_oplus + h}} $$

В общем случае:

Чтобы запустить тело на круговую орбиту на высоте (h) над поверхностью сферической однородной планеты или звезды массой (M) и радиусом (R), нужно на этой высоте сообщить телу в горизонтальном направлении скорость $$ v_h=sqrt{frac{GM}{R+h}} $$

Скорости, достаточные для запуска околоземного спутника, межпланетной станции и вылета за пределы Солнечной системы, называют космическими скоростями для Земли.

Первая космическая скорость
Скорость, достаточная для того, чтобы тело, запускаемое с Земли на уровне моря ((h=0)), стало её искусственным спутником, равна $$ v_1=sqrt{frac{GM_oplus}{R_oplus}}=sqrt{gR_oplus}approx 7,92 text{км/с} $$

Вторая космическая скорость
Скорость, достаточная для того, чтобы тело, запускаемое с Земли на уровне моря ((h=0)), преодолело земное притяжение и смогло осуществить межпланетный полет в пределах Солнечной системы, равна $$ v_2=sqrt{frac{2GM_oplus}{R_oplus}}=sqrt{2gR_oplus}approx 11,18 text{км/с} $$

Аналогичные формулы для первой и второй космических скоростей можно получить для любой планеты, как в Солнечной системе, так и за ее пределами.

Нужно только знать массу и радиус планеты.

Можно также рассчитать скорость, необходимую для межзвездных полетов при старте с Земли. Это задача непростая, т.к. необходимо учесть относительное движение трех тел: космического корабля, Земли и Солнца.

Третья космическая скорость
Скорость, достаточная для того, чтобы тело, запускаемое с Земли на уровне моря ((h=0)), преодолело притяжение Земли и Солнца и смогло осуществить межзвездный полет за пределы Солнечной системы, равна $$ v_3=sqrt{(sqrt{2}-1)^2frac{GM_odot}{R_odot}+frac{2GM_oplus}{R_oplus}} approx 16,65 text{км/с} $$

В этой формуле, (M_odot) — масса Солнца, (R_odot) — радиус орбиты вращения Земли вокруг Солнца.

п.5. Искусственные спутники Земли

Искусственный спутник Земли – это космический летательный аппарат, вращающийся вокруг Земли по геоцентрической орбите (эллипсу, в одном из фокусов которого находится Земля).

Круговая орбита спутника в плоскости экватора Земли, двигаясь по которой он находится всё время над одной и той же точкой экватора, называется геостационарной. Такие спутники имеет большое значение для создания систем связи.

Чтобы запустить спутник на орбиту, ему необходимо сообщить скорость, больше чем первая космическая, но меньше чем вторая космическая: $$ 7,92frac{text{км}}{text{с}}lt vlt 11,18frac{text{км}}{text{с}} $$

На практике, получение соответствующей силы тяги ракетного двигателя, способного разогнать ракету до таких скоростей, является сложной технической проблемой.

Вывод спутников на орбиту осуществляется с помощью многоступенчатых ракет-носителей в несколько этапов. На первом этапе ракета стартует и, двигаясь вертикально вверх, проходит плотные слои атмосферы на относительно небольшой скорости, после чего отработавшие двигатели первой ступени отделяются (у Илона Маска — аккуратно возвращаются на Землю). На втором этапе ракета постепенно разворачивается параллельно к поверхности Земли и начинает ускоряться. Когда скорость достигает определенной величины и направления, работа двигателей прекращается, отделяется вторая ступень. Спутник начинает самостоятельное движение по расчетной орбите.

Искусственные спутники Земли используются для решения разнообразных научных и прикладных задач.

В апреле 2020 года на орбите находилось 1388 спутников США, 356 Китая, 167 России, 138 Британии, 78 Японии и 627 других стран. Из них: 1007 спутников связи, 446 спутников для исследования Земли, 97 спутников навигации и GPS, 87 научно-исследовательских спутников и другие космические аппараты.

п.6. Задачи

Задача 1. С какой силой Земля притягивает Луну? Масса Земли (M_oplus=5,97cdot 10^{24} text{кг}), масса Луны (m_{text{л}}=7,36cdot 10^{22} text{кг}), средний радиус лунной орбиты (R=384 text{тыс.км}). А с какой силой Луна притягивает Землю?

Дано:
(M_oplus=5,97cdot 10^{24} text{кг})
(m_{text{л}}=7,36cdot 10^{22} text{кг})
(R=384 text{тыс.км}=3,84cdot 10^8 text{м})
__________________
(F_{text{ЗЛ}}, F_{text{ЛЗ}}-?)

По закону всемирного тяготения $$ F_{text{ЗЛ}}=Gfrac{M_oplus m_{text{л}}}{R^2} $$ Получаем begin{gather*} F_{text{ЗЛ}}=6,67cdot 10^{-11}cdot frac{5,97cdot 10^{24}cdot 7,36cdot 10^{22}}{(3,84cdot 10^8)^2}approx \[6pt] approx 19,9cdot 10^{-11+24+22-16}=1,99cdot 10^{20} (text{Н}) end{gather*} Эта сила направлена от центра Луны к центру Земли.
По третьему закону Ньютона, Луна притягивает Землю с такой же по величине силой, которая направлена противоположно, от центра Земли к центру Луны: $$ overrightarrow{F_{text{ЗЛ}}}=-overrightarrow{F_{text{ЛЗ}}} $$ Ответ: 1,99·10²⁰ Н

Задача 2. Самая высокая гора на Земле – Эверест (8848 м). Во сколько раз сила тяжести на уровне моря больше силы тяжести на вершине Эвереста? Радиус Земли (R_oplus=6370 text{км}).

Дано:
(R_oplus=6370 text{км}=6,37cdot 10^6 text{м})
(h=8848 text{м})
__________________
(frac{F}{F_h}-?)

Сила тяжести для тела массой (m) на уровне моря begin{gather*} F=Gfrac{M_oplus m}{R_oplus^2} end{gather*} На вершине Эвереста begin{gather*} F_h=Gfrac{M_oplus m}{(R_oplus +h)^2} end{gather*} Отношение сил: begin{gather*} frac{F}{F_h}=Gfrac{M_oplus m}{R_oplus^2}:Gfrac{M_oplus m}{(R_oplus +h)^2}= frac{(R_oplus+h)^2}{R^2_oplus}=left(frac{R_oplus+h}{R_oplus}right)^2 =left(1+frac{h}{R_oplus}right)^2 end{gather*} Получаем: begin{gather*} frac{F}{F_h}=left(1+frac{8848}{6,37cdot 10^6}right)^2approx 1,003 end{gather*} Ответ: в 1,003 раза

Задача 3. На поверхности Земли на тело действует силы тяжести (F=54 text{Н}).
Чему будет равна сила тяжести, действующая на это тело на высоте, равной двум радиусам Земли?

Дано:
(F=54 text{Н})
(h=2R_oplus )
__________________
(F_h-?)

Сила тяжести на поверхности Земли begin{gather*} F=Gfrac{M_oplus m}{R_oplus^2} end{gather*} Сила тяжести на высоте (h) begin{gather*} F_h=Gfrac{M_oplus m}{(R_oplus +h)^2}=Gfrac{M_oplus m}{(R_oplus+2R_oplus)^2}=Gfrac{M_oplus m}{9R^2_oplus} end{gather*} Отношение сил: begin{gather*} frac{F}{F_h}=Gfrac{M_oplus m}{R_oplus^2}:Gfrac{M_oplus m}{9R^2_oplus}=9, F_h=frac{F}{9}\[6pt] F_h=frac{54}{9}=6 (text{Н}) end{gather*} Ответ: 6 Н

Задача 4*. Чему равны первая и вторая космические скорости вблизи поверхности Луны? Сравните их со значениями первой и второй космических скоростей у поверхности Земли.
Радиус Луны (R=1740 text{км}), масса Луны (M=7,36cdot 10^{22} text{кг}).

Дано:
(R=1740 text{км}=1,74cdot 10^6 text{м})
(M=7,36cdot 10^{22} text{кг})
__________________
(v_1, v_2-?)
(frac{v_{text{1З}}}{v_{text{1Л}}}, frac{v_{text{2З}}}{v_{text{2Л}}}-?)

Первая и вторая космические скорости $$ v_1=sqrt{frac{GM}{R}}, v_2=sqrt{frac{2GM}{R}}=sqrt{2}v_1 $$ Получаем: begin{gather*} v_1=sqrt{frac{6,67cdot 10^{-11}cdot 7,36cdot 10^{22}}{1,74cdot 10^6}}approx sqrt{2,82cdot 10^6}approx\[6pt] approx 1,68cdot 10^3frac{text{м}}{text{с}}=1,68frac{text{км}}{text{с}}\[6pt] v_2=sqrt{2}cdot 1,68approx 2,37frac{text{км}}{text{с}} end{gather*} Сравним со скоростями для Земли: begin{gather*} frac{v_{text{1З}}}{v_{text{1Л}}}=frac{7,92}{1,68}approx 4,7 text{раз}, frac{v_{text{2З}}}{v_{text{2Л}}}=frac{sqrt{2}v_{text{1З}}}{sqrt{2}v_{text{1Л}}}=frac{v_{text{1З}}}{v_{text{1Л}}}approx 4,7 text{раз} end{gather*} Космические скорости для Луны в 4,7 раз меньше земных.
Ответ: 1,68 км/с; 2,37 км/с; в 4,7 раз меньше

Задача 5*. Рассчитайте радиус геостационарной орбиты спутника и высоту такого спутника над Землей. Масса Земли (M_oplus=5,97cdot 10^{24} text{кг}), радиус Земли (R_oplus =6400 text{км}).
Ответ запишите в км.

Дано:
(M_oplus=5,97cdot 10^{24} text{кг})
(T=24 text{ч}=8,64cdot 10^4 text{с})
(R_oplus =6400 text{км}=6,4cdot 10^6 text{м})
__________________
(R, h-?)

На геостационарной орбите спутник «зависает» над Землей, его линейная скорость равна отношению длины окружности орбиты к периоду вращения (сутки): begin{gather*} v=frac{2pi R}{T}=sqrt{frac{GM_oplus}{R}}Rightarrow frac{4pi ^2R^2}{T^2}=frac{GM_oplus}{R}Rightarrow R^3=frac{GM_oplus T^2}{4pi ^2}\[6pt] R=sqrt[{3}]{frac{GMT^2}{4pi ^2}} end{gather*} Получаем: begin{gather*} R=sqrt[{3}]{frac{6,67cdot 10^{-11}cdot 5,97cdot 10^{24}cdot (8,64cdot 10^4)^2}{4pi ^2}}approx sqrt[{3}]{75,3cdot 10^{-11+24+8}}approx\[6pt] approx 4,22cdot 10^7 (text{м})=42200 (text{км})\[6pt] h=R-R_oplus=42200-6400=35800 (text{км}) end{gather*} Ответ: 42200 км; 35800 км

Сила тяжести на других планетах Солнечной системы

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

Введение

Физические условия на поверхности планет Солнечной системы были и остаются в центре внимания астрономии. Определение силы тяжести с необходимой точностью выполняются для планирования и совершения разнообразных межпланетных миссий и применяются в проектах по освоению соседних с Землёй, планет. Необходимо точно представлять себе, какая именно сила будет воздействовать на людей со стороны планеты, чтобы вычислить вес космонавтов. Это поможет при нахождении технических решений для будущих экспедиций, например, при конструировании скафандров.

Объект исследования: сила тяжести планет Солнечной системы

Цель исследования: найти вес человека на планетах Солнечной системы.

Методы исследования: сбор и анализ информации по теме с использованием различных литературных источников.

3

Основная часть

Планеты нашей Солнечной системы представляли живой интерес для физиков и астрономов с самого момента их обнаружения на обширном космическом пространстве. При их детальном изучении в течение долгого времени было установлено, что все планеты различны по своему весу и размеру, составу поверхности, физическим и химическим свойствам, а в особенности по величине силы тяжести.

Что же такое сила тяжести? Согласно определению Большой Российской энциклопедии, «сила тяжести – это сила, действующая на любое физическое тело, находящиеся вблизи поверхности источника притяжения (астрономического тела)». Она складывается из гравитационного притяжения планеты и центробежной силы, возникающей при вращении. Как уже было сказано выше, сила тяжести на разных планетах отличается. Итак, между любой парой тел во Вселенной действует сила притяжения. Этот вывод сделан на основе расчетов Ньютона, что выявил закон всемирного тяготения, согласно которому все материальные тела притягивают друг друга, однако сила притяжения не зависит от физических и химических свойств тела. Этот закон объясняет механическое устройство Солнечной системы, с ее помощью можно рассчитать космическую скорость. Например, для того, чтобы покинуть Землю, (имеется в виду преодолеть ее гравитационное притяжение), тело должно иметь скорость 11,2 км/с. Рассмотрим показатели силы тяжести на других планетах подробнее, для наглядности сравнив их с показателями на Земле.

Как известно из большинства источников, сила тяжести может быть рассчитана по формуле F=m*g, где масса тела m умножается на величину ускорения свободного падения g. Для примера возьмём вес человека, равный 60 кг и округлим величину g до показателя в 10 м/с., следовательно, на Земле сила тяжести будет равна 600 Н. Аналогично проведём расчёт по формуле силы тяжести для других планет, используя величину свободного ускорения,

4

полученную астрономом О. Н. Коротцевым. Итак, имеем следующие данные:

Плутон – 36 Н (0,6 м/с * 60 кг)

Меркурий – 222 Н (3,7 м/с * 60 кг)

Марс – 234 Н (3,9 м/с * 60 кг)

Сатурн – 624 Н (10,4 * 60 кг)

Уран – 534 Н (8,9 м/с * 60 кг)

Венера – 540 Н (9 м/с * 60 кг)

Земля – 600 Н (10 м/с * 60 кг)

Нептун – 660 Н (11 м/с * 60 кг)

Юпитер – 1440 Н (24 м/с * 60 кг)

Как видно из расчётов, Земля по показателю силы тяжести находится между гигантами, где на Сатурне и Уране она меньше, а на Юпитере и Нептуне выше. Причём стоит отметить, что на Юпитере ключевой фактор величины силы тяжести не только в его огромных размерах, но и в величине центробежного ускорения. На Венере человек весом в 60 кг будет примерно на 10 % легче, в то время как на Меркурии и Марсе легче почти в 2,6 раза. Наиболее лёгким человек будет на Плутоне, где разница составляет 16,6 раза.

5

Заключение

Как итог, сила тяжести на различных планетах действительно различается: на одних разница невелика, а на других может достигать десятки раз. Это зависит не только от размеров планеты, твёрдости или газообразности её поверхности, но и от величины её центробежного ускорения, а также от распределения масс в недрах небесного тела.

Список литературы

Cила тяжести // Энциклопедия физики и техники URL: http://www.femto.com.ua/articles/part_2/3625.html (дата обращения: 20.10.2019).

О. Н. Коротцев Астрономия для всех. — М.: Азбука-классика, 2008.

6

Просмотров работы: 19619