Как найти силу притяжения обкладок конденсатора - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Обкладки
конденсатора, заряженные разноимённо,
притягиваются друг к другу.

Механические
силы, действующие на макроскопические
заряженные тела, называют пондеромоторными.

Рассчитаем
пондеромоторные силы, действующие на
обкладки плоского конденсатора. При
этом возможны два варианта:

Конденсатор
заряжен и отключён от заряженной батареи
( в этом случае количество зарядов на
пластинах остаётся постоянным q
= const).

При
удалении одной обкладки конденсатора
от другой совершается работа

dA=Fdx

за
счёт которой увеличивается потенциальная
энергия системы:

При
этом dA
= dW
. Приравнивая правые части этих выражений,
получаем

(12.67)

В
данном случае при дифференцировании
расстояние между пластинами обозначилось
х.

Конденсатор
заряжен, но не отключён от батареи
(в этом случае при перемещении одной
из пластин конденсатора будет сохраняться
постоянным напряжение (
U
=
const
). В этом случае при удалении одной
пластины от другой потенциальная
энергия поля конденсатора уменьшается,
так как происходит «утечка» зарядов с
пластин, поэтому

Откуда

Но

,
тогда

Полученное
выражение совпадает с формулой
.
Оно может быть представлено и в другом
виде, если вместо зарядаq
ввести поверхностную плотность:

(12.68)

Поле
однородно. Напряжённость поля конденсатора
равна
,
где х – расстояние между пластинами.
Подставив в формулуU²=E²x²,
получим, что сила притяжения пластин
плоского конденсатора

(12.69)

Эти
силы действуют не только на пластины.
Так как пластины, в свою очередь, давят
на диэлектрик, помещённый между ними,
и деформируют его, то в диэлектрике
возникает давление

(S
— площадь каждой пластины).

Давление,
возникающее в диэлектрике, равно

(12.70)

Примеры решения задач

Пример
12. 5. К
пластинам плоского воздушного конденсатора
приложена разность потенциалов 1,5 кВ.
Площадь пластин 150см²
и расстояние между ними 5 мм. После
отключения конденсатора от источника
напряжения в пространство между
пластинами вставили стекло (ε₂=7).Определите:

1)
разность потенциалов между пластинами
после внесения диэлектрика; 2) ёмкость
конденсатора до и после внесения
диэлектрика; 3) поверхностную плотность
заряда на пластинах до и после внесения
диэлектрика.

Дано:
U₁=1,5кВ=1,5∙10³В;
S=150см²=1,5∙10^-2
м²;
ε₁=1;
d=5мм=5∙10^-3
м.

Найти:
1) U₂;
2) С₁
С₂;
3) σ₁,
σ₂

Решение.
Так
как
(σ-
поверхностная плотность зарядов на
обкладках конденсатора), то до внесения
диэлектрика σd=U₁ε₀ε₁
и после внесения диэлектрика σd=U₂ε₀ε₂,
поэтому

Ёмкость
конденсатора до и после внесения
диэлектрика

Заряд
пластин после отключения от источника
напряжения не меняется, т.е. q=const.
Поэтому Поверхностная плотность заряда
на пластинах до и после внесения
диэлектрика

Ответ:
1) U₂=214В;
2) С₁=26,5пФ;
С₂=186пФ;
3) σ₁=
σ₂=2.65
мкКл/м².

Пример
12.7. Зазор между обкладками плоского
конденсатора заполнен анизотропным
диэлектриком, проницаемость ε которого
изменяется в перпендикулярном к обкладкам
направлении по линейному законуε =
α + βх от ε₁ до ε₂,
причём ε₂ > ε₁.
Площадь каждой обкладки S,
расстояние между ними d.
Найти ёмкость конденсатора.

Дано:
S;
d;
ε₁;
ε₂

Найти:
С_.

Решение.Диэлектрическая проницаемостьε
изменяется по линейному закону , ε =
α + βх, где х отсчитывается от обкладки,
у которой проницаемость равна ε₁.
Учитывая, что ε(0) = ε₁, ε(d) = ε₂, получаем
зависимость
.
Найдём разность потенциалов между
обкладками:

Ёмкость конденсатора
будет равна

Ответ:

Пример
12.7. Между пластинами плоского конденсатора,
заряженного до разности потенциалов U
, параллельно его обкладкам помещены
два слоя диэлектриков. Толщина слоёв и
диэлектрическая проницаемость
диэлектриков соответственно равны d₁,
d₂,
ε₁, ε₂.
Определите напряжённость электростатических
полей в слоях диэлектриков.

Дано:
U;
d₁,
d₂,
ε₁,
ε₂

Найти:
E₁,
E₂.

Решение.Напряжение на пластинах конденсатора,
учитывая, что поле в пределах каждого
из диэлектрических слоёв однородно,

U=E₁d₁+E₂ d₂.
(1)

Электрическое смещение
в обоих слоях диэлектрика одинаково,
поэтому можем записать

D=D₁=D₂ =
ε₀ ε₁E₁=
ε₀ ε₂E₂(2)

Из выражения (1) и (2)
найдём искомое

(3)

Из формулы (2) следует,
что

Ответ:;

Пример
12.7. Площадь пластин S
плоского конденсатора равна 100см².
Пространство между пластинами заполнено
вплотную двумя слоями диэлектриков –
слюдяной пластинкой (ε₁=7)
толщиной d₁=3,5
мм и парафина (ε₂=2)
толщиной d₂=5
мм. Определите ёмкость этого конденсатора..

Дано:
S=100см²=10^-2м²;
ε₁=7;
d₁=3,5мм=3.5∙10^-3м;,
ε₁=2;
d₁=3,5мм=5∙10^-3м;

Найти:
С.

Решение.Ёмкость
конденсатора

где
= — заряд на пластинах конденсатора ( —
поверхностная плотность заряда на
пластинах); =- разность потенциалов
пластин, равная сумме напряжений на
слоях диэлектрика: U=U₁+U₂.
Тогда

(1)

Напряжения
U₁и
U₂
найдём по формулам

;

(2)

где
Е₁и
Е₂
– напряжённость электростатического
поля в первом и втором слоях диэлектрика;
D
— электрическое смещение в диэлектриках
(в обоих случаях одинаково). Приняв во
внимание, что

D
= σ,

И
учитывая формулу (2), из выражения (1)
найдём искомую ёмкость конденсатора

Ответ:
С=29,5пФ.

Пример
12.7. Батарея из трёх последовательно
соединённых конденсаторов С₁=1мкФ;
С₂=2мкФ и С₃=4мкФ
подсоединены к источнику ЭДС. Заряд
батареи конденсаторов
q
=40мкКл. Определите: 1) напряжения U₁,
U₂
и U₃
на каждом конденсаторе; 2) ЭДС источника;
3) ёмкость батареи конденсаторов.

Дано:
С₁=1мкФ=1∙10^-6Ф;
С₂=2мкФ=2∙10^-6Ф
и С₃=4мкФ=4∙10^-6Ф;q=40мкКл=40∙10^-6Ф.

Найти:
1) U₁,
U₂,
U₃
;
2) ξ; 3) С.

Решение.При
последовательном соединении конденсаторов
заряды всех обкладок равны по модулю,
поэтому

q₁=q₂=q₃=q.

Напряжение
на конденсаторах

ЭДС
источника равна сумме напряжений каждого
из последовательно соединённых
конденсаторов:

ξ
=
U₁+
U₂
+U₃

При
последовательном соединении суммируются
величины, обратные ёмкостям каждого из
конденсаторов:

Откуда
искомая ёмкость батареи конденсаторов

Ответ:
1) U₁=
40В; U₂=
20В, U₃
=
10В;
2) Ɛ=
70В;
3) С=
0,571мкФ.

Пример
12.7. Два плоских воздушных конденсатора
одинаковой ёмкости соединены
последовательно и подключены к источнику
ЭДС. Как и во сколько раз изменится заряд
конденсаторов, если один из них погрузить
в масло с диэлектрической проницаемостью
ε=2,2 .

Дано:
С₁=С₂=
С;q=40мкКл=40∙10^-6Ф;
ε₁=1;
ε₂=2,2.

Найти:

.

Решение.
При
последовательном соединении конденсаторов
заряды обоих конденсаторов равны по
модулю. До погружения в диэлектрик (в
масло) заряд каждого конденсатора

где
ξ =
U₁+
U₂
(при последовательном соединении
конденсаторов ЭДС источника равна сумме
напряжений каждого из конденсаторов).

После
погружения одного из конденсаторов в
диэлектрик заряды конденсаторов опять
одинаковы и соответственно на первом
и втором конденсаторах равны

q=
CU₁=ε₂CU₂

(учли,
что ε₁=1),
откуда, если учесть, что ξ
=
U₁+
U₂,
найдём

(2)

Поделив
(2) на (1), найдём искомое отношение

Ответ:

,
т.е. заряд конденсаторов возрастает в
1,37 раз.

Пример
12.7. Конденсаторы ёмкостями С каждый
соединены так, как указано на рис.а.
определите ёмкость С_общ
этого соединения конденсаторов. .

Решение.
Если
отключить от цепи конденсатор С₄,
то получится соединение конденсаторов,
которое легко рассчитывается. Поскольку
ёмкости всех конденсаторов одинаковы
(С₂=С₃
и С₅=С₆),
обе параллельные ветви симметричны,
поэтому потенциалы точек А и В, одинаково
расположенные в ветвях, должны быть
равны. Конденсатор С₄
подключен, таким образом, к точкам с
нулевой разностью потенциалов.
Следовательно, конденсатор С₄
не заряжен, т.е. его можно исключить и
схему, представленную в условии задачи,
упростить (рис.б).

Эта
схема- из трёх параллельных ветвей, две
из которых содержат по два последовательно
включённых конденсаторов

Ответ:
С_общ=2С.

Пример
12.7. Плоский воздушный конденсатор
ёмкостью С₁=4пФ заряжен до
разности потенциалов U₁=100В.
После отключения конденсатора от
источника напряжения расстояние между
обкладками конденсатора увеличили в
два раза. Определите: 1) разность
потенциалов U₂на обкладках конденсатора после
их раздвижения; 2) работу внешних сил по
раздвижению пластин.

Дано:
С₁=4пФ=4∙10^-12Ф;
U₁=100В;d₂=2d₁.

Найти:
1)
U₂;2)A.

Решение.
Заряд
обкладок конденсатора после отключения
от источника напряжения не меняется,
т.е. Q=const.
Поэтому

С₁U₁=
С₂U₂,
(1)

где
С₂
и U₂
— соответственно ёмкость и разность
потенциалов на обкладках конденсатора
после их раздвижения.

Учитывая,
что ёмкость плоского конденсатора ,
из формулы (1) получим искомую разность
потенциалов

(2)

После
отключения конденсатора от источника
напряжения систему двух заряженных
обкладок можно рассматривать как
замкнутую, для которой выполняется
закон сохранения энергии: работа А
внешних сил равна изменению энергии
системы

А=
W₂—
W₁

(3)

где
W₁и
W₂
– соответственно энергия поля конденсатора
в начальном и конечном состояниях.

Учитывая,
что
и(q
– const),
из формулы (3) получим искомую работу
внешних сил

А=W₂—

[учли,
что q=C₁U₁и
формулу (2)].

Ответ:
1) U₂=200В;2)A=40нДж.

Пример
12.7. Сплошной шар из диэлектрика
радиусом R=5см
заряжен равномерно с объёмной плотностью
ρ=5нКл/м³. Определите энергию
электростатического поля, заключённую
в окружающем шар пространстве.

Дано:
R=5см=5∙10^-2м;
ρ=5нКл/м³=5∙10^-9Кл/м³.

Найти:
W.

Решение.
Поле
заряженного шара сферически симметрично,
поэтому объёмная плотность заряда
одинакова во всех точках, расположенных
на равных расстояниях от центра шара.

Энергия
в элементарном сферическом слое (он
выбран за пределами диэлектрика, где
следует определить энергию) объёмомdV
(см. рисунок)

dW=ωdV,
(1)

где
dV=4πr²dr
(r
– радиус элементарного сферического
слоя; dr
— его толщина);
(ε=1
– поле в вакууме; Е – напряженность
электростатического поля).

Напряжённость
Е найдём по теореме Гаусса для поля в
вакууме, причём в качестве замкнутой
поверхности мысленно выберем сферу
радиусом r
(см. рисунок). В данном случае внутрь
поверхности попадает весь заряд шара,
создающий рассматриваемое поле, и, по
теореме Гаусса,

Откуда

Подставив
найденные выражения в формулу (1), получим

Энергия,
заключённая в окружающем шар пространстве,

Ответ:
W=6,16∙10^-13Дж.

Пример
12.7. Плоскому конденсатору с
площадью обкладок S
и расстоянием между ними ℓ сообщён
заряд q , после
чего конденсатор отключён от источника
напряжения. Определите силу притяжения
F между обкладками
конденсатора, если диэлектрическая
проницаемость среды между обкладками
равна ε.

Дано:
S;
ℓ;
q;
ε.

Найти:
F.

Решение.
Заряд
обкладок конденсатора после отключения
от источника напряжения не меняется,
т.е. q=const.
Предположим, что под действием силы
притяжения F
расстояние между обкладками конденсатора
изменилось на d
ℓ.
Тогда сила F
совершает
работу

dA=Fdℓ
(1)

Согласно
закону сохранения энергии, эта работа
равна убыли энергии конденсатора, т.е.

dA=-dW,
(2)

откуда,
исходя из выражений (1) и (2), получим

.
(3)

Подставив
в формулу для энергии заряженного
конденсатора
выражение для ёмкости плоского
конденсатора,
получим

(4)

Подставив
в формулу (3) значение энергии (4) и выполнив
дифференцирование, найдём искомую силу
притяжения между обкладками конденсатора

где
знак «-» указывает на то, что сила F
является силой притяжения.

Ответ:

Пример
12.7. Плоский конденсатор площадью
обкладок S и
расстоянием между ними ℓ подключен к
источнику постоянного напряжения U.
Определите силу притяжения F
между обкладками конденсатора, если
диэлектрическая проницаемость среды
между обкладками равна ε.

Дано:
S;
ℓ;
U;
ε.

Найти:
F.

Решение.
Согласно
условию задачи, на обкладках конденсатора
поддерживается постоянное напряжение,
т.е. U=const.
Предположим, что под действием силы
притяжения F
расстояние между обкладками конденсатора
изменилось на dℓ.
Тогда сила
F
совершает работу

dA=Fdℓ
(1)

Согласно
закону сохранения энергии, эта работа
в данном случае идёт на увеличение
энергии конденсатора (сравните с
предыдущей задачей), т.е.

dA=dW
(2)

откуда,
исходя из выражений (1) и (2), получим

(3)

Подставив
в формулу для энергии конденсатора
выражение
для ёмкости плоского конденсатора,
получим

(4)

где
знак «-» указывает на то, что сила F
является силой притяжения.

Ответ:

Источник

Рассчитать силу притяжения двух электрически заряженных пластин конденсатора, имея из параметров только площадь или емкость и напряжение на пластинах?

На заряженное тело, помещенное в
электрическое поле, действует пондеромоторная
сила. Пондеромоторными называются
силы, действующие со стороны электрического
поля на макроскопические заряженные
тела.

Определим силу
взаимного притяжения между разноименно
заряженными пластинами плоского
конденсатора (пондеромоторную силу)
двумя способами.

Эту силу можно определить,
как силу F₂
, действующую на вторую пластину со
стороны первой

где Q₂
– величина заряда на второй пластине,
E₁–
напряженность поля первой пластины.

Величина заряда Q₂
второй пластины определяется формулой

где σ₂
– поверхностная плотность заряда на
второй пластине, а напряженность Е₁
поля, создаваемого первой пластиной
вычисляется формулой

$E_1=frac{sigma_1}{2varepsilon_0varepsilon}$, (3)

где σ₁
– поверхностная плотность заряда на
первой пластине.

Подставим формулы
(3) и (2) в формулу (1)

$F_2=frac{sigma_1sigma_2}{2varepsilon_0varepsilon}*S$

или т. к. $sigma_1=sigma_2$ $F_2=frac{sigma^2}{2varepsilon_0varepsilon}*S$ (4)

Учитывая, что $sigma=D=varepsilon_0varepsilon E$, получим формулу для силы, действующей
на одну пластину со стороны другой

$F_2=frac{varepsilon_0varepsilon E^2}{2}*S$.

Для силы, действующей
на единицу площади пластины, формула
будет иметь следующий вид

$frac{F}{S}=frac{varepsilon_0varepsilon E^2}{2}$. (5)

Теперь
получим формулу для пондеромоторной
силы, используя закон сохранения
энергии. Если тело перемещается в
электрическом поле, то пондеромоторными
силами поля будет совершаться работа
А. По закону сохранения энергии эта
работа будет совершаться за счет
энергии поля, то есть

$A+Delta W=0$ $A=-Delta W$ (6)

Работа
по изменению расстояния между пластинами
заряженного конденсатора на величину
dx определяется
формулой

где F
– сила взаимодействия между обкладками
(пондеромоторная сила).

Энергия заряженного
конденсатора определяется формулой

При смещении одной из обкладок на
расстояние dx энергии
конденсатора изменится на величину $Delta W$

$Delta W=frac{varepsilon_0varepsilon E^2}{2}Sdx$ (8)

Сила,
действующая на единицу площади пластины

$frac{F}{S}=frac{varepsilon_0varepsilon E^2}{2}$ (9)

Как видим, формулы
(5) и (9) одинаковые. Вместе с тем
использование закона сохранения энергии
для расчета пондеромоторных сил намного
упрощает расчеты.

Ну, и наконец, так:
Напряженность поля между пластинами конденсатора E= U/d
и это сумма напряженностей каждой пластины, поэтому напряженность от одной пластины в 2 раза меньше.

$E_1=frac{U}{2*d}$

$C=frac{varepsilon_0varepsilon S}{d}$

Так как в задаче не указана среда, то можно принять $varepsilon=1$

$C=frac{varepsilon_0 S}{d}$

Заряд $Q=UC$

На заряд в поле действует сила $F=EQ$

Источник

Сила притяжение между обкладок без диэлектрика равна
[F_{1} =left|q_{1} right|cdot E_{2} ,; ; E_{2} =frac{left|q_{2} right|}{2varepsilon _{0} cdot S} ,; ; left|q_{1} right|=left|q_{2} right|=q,]
где q₁ — заряд одной из пластин конденсатора, E₂ и q₂ — напряженность и заряд второй пластины, S — площадь пластины. Тогда
[F_{1} =frac{left|q_{1} right|cdot left|q_{2} right|}{2varepsilon _{0} cdot S} =frac{q^{2} }{2varepsilon _{0} cdot S} .]
Так как конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения, то после ввода диэлектрика напряжение U на конденсаторе не изменится. Поэтому
[U=frac{q_{1} }{C_{1} } =frac{q_{3} }{C_{2} } ,; ; C_{2} =frac{varepsilon cdot varepsilon _{0} cdot S}{d} =varepsilon cdot C_{1} ,; ; q_{3} =varepsilon cdot q_{1} ,]
где q₃ — новый заряд на пластинах конденсатора, C₂ — электроемкость конденсатора с диэлектриком. Тогда
[F_{2} =frac{left|q_{3} right|cdot left|q_{3} right|}{2varepsilon _{0} cdot S} =frac{varepsilon ^{2} cdot q^{2} }{2varepsilon _{0} cdot S} .]
Обратите внимание, что, между пластинами в диэлектрике напряженность электрического поля не изменилась (в числителе напряженности величина заряда пластины, создающее поле, увеличилось в ε раз, но в знаменателе во столько же раз увеличилась диэлектрическая проницаемость). Сами пластины находятся вне диэлектрика, поэтому напряженность поля, действующего на пластину, увеличивается в ε раз (из-за увеличения заряда на пластинах).
В итоге получаем, что
[frac{F_{2} }{F_{1} } =varepsilon ^{2} =16.]

Источник

Конденсаторы: сила притяжения пластин, напряжения, эквивалентные емкости.

В этой статье рассматриваются задачи на определение напряжения на конденсаторе и в схеме с конденсаторами, между точками этих схем. Также мы рассмотрим задачи, связанные с силой притяжения пластин. В конце будет рассмотрен сложный (для запоминания) перерасчет звезды из конденсаторов в треугольник.

Задача 1. В плоский конденсатор, подключенный к источнику с постоянной ЭДС, помещена плоская пластина, имеющая заряд . Расстояние от пластины до обкладок и . Площадь пластины . Определите силу, действующую на пластину со стороны электрического поля.

К задаче 1

Запишем силу как произведение заряда пластины на напряженность поля:

Обозначим потенциал пластины , примем потенциал левой пластины конденсатора равным нулю, а правой — .

Составим систему уравнений. Запишем разности потенциалов между левой обкладкой и пластиной и между правой и пластиной, учтем наложение поля конденсатора на поле, создаваемое пластиной:

Сложим уравнения:

Откуда

Тогда сила равна

Задача 2.

Когда к батарее, изображенной на рисунке, подвели напряжение , заряд среднего конденсатора оказался равным нулю. Какова емкость Сх?

К задаче 2

Так как заряд равен нулю, то . Следовательно, потенциалы точек и — равны. А это означает, что разности потенциалов и . Также известно, что при последовательном соединении заряд на всех конденсаторах одинаков, поэтому

Тогда отношение напряжений равно отношению емкостей:

И во второй ветви будет соблюдаться то же отношение:

Откуда .

Задача 3.

В цепи известны емкости и ЭДС . Кроме того, известно, что заряд первого конденсатора равен . Найдите ЭДС второго элемента.

К задаче 3

Зная заряд первого конденсатора и его емкость, найдем напряжение между точками и :

Напряжение это мы еще можем записать для каждой ветви так:

Или:

Так как обкладки конденсаторов соединены в точке , то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна нулю:

Домножим на емкость и разделим на :

Тогда

Определяем ЭДС:

Ответ:

Задача 4.

Найдите разность потенциалов между точками и .

К задаче 4

Запишем напряжение между точками и с двух сторон, и в прямом, и в переносном смысле:

Напряжение на параллельно включенных конденсаторах и равно:

Так как конденсаторы соединены в одной точке – точке , то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна 0:

Напряжение на тогда

Напряжение на :

Тогда заряд равен:

Тогда

Подставим найденный заряд:

Ответ:

Задача 5.

Найдите разность потенциалов между точками и в этой цепи.

К задаче 5

Запишем напряжение между точками и :

Для точки :

Где — напряжение на .

Отсюда получим, что

Для точки :

Где — напряжение на .

Отсюда получим, что

Тогда для получим:

Ответ:

Задача 6.

Найдите разность потенциалов между точками и в этой цепи.

К задаче 6

Запишем уравнение Кирхгофа (по 2-му закону) для обоих контуров (справа и слева):

Вычтем из первого второе:

Так как конденсаторы соединены последовательно, то заряды на них равны:

Тогда :

Или:

Подставим (2) в (1):

Подставим (3) в (1):

Наконец,

Можно было также воспользоваться (4) и найти .

Ответ:

Задача 7.

Найдите силу притяжения между пластинами плоского конденсатора в схеме, изображенной на рисунке, если , , , , а расстояние между пластинами конденсатора равно .

К задаче 7

Конденсаторы в схеме, по сути, соединены последовательно, поэтому их заряды одинаковы. Напряжение на первом тогда

А на втором

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

Сила притяжения пластин будет равна:

Ответ:

Задача 8.

В схеме, изображенной на рисунке, сила притяжения между пластинами плоского конденсатора равна . Найдите расстояние между пластинами этого конденсатора, если ,, , .

К задаче 8

Напряжение на первом конденсаторе тогда

А на втором

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

Сила притяжения пластин будет равна:

Откуда

Ответ:

Задача 9.

Найдите емкость батареи. Емкость каждого конденсатора равна .

К задаче 9

Чтобы было проще решить эту задачу, применим перерасчет (переход) от треугольника емкостей к звезде и обратно. Нам понадобится как раз обратный: от звезды к треугольнику. Выполняются оба перехода так:

Звезда-треугольник, треугольник-звезда

Треугольник – звезда:

Звезда – треугольник:

Тогда у нас

К задаче 9, рисунок 2

Теперь оказывается, что каждый из конденсаторов , и соединен параллельно с . При параллельном соединении, как известно, емкости складываются:

Получим:

К задаче 9, рисунок 3

Таким образом, емкости и соединены последовательно, и это последовательное соединение – параллельно конденсатору . Тогда

Окончательно, складывая и , получаем:

Ответ:

Источник

Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 5 >> Глава 8. Электростатическая энергия

Энергия конденсатора. Силы. действующие на заряженные проводники

Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд Q был снят с одной обкладки конденсатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность потенциалов, равная

где С — емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы поступали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен переносом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями dQ. Работа, требуемая для переноса заряда dQ, равна

Взяв V из (8.8), напишем

Или, интегрируя от Q = 0 до конечного заряда Q, получаем

Эту энергию можно также записать в виде

Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна

мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы

Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя с полным зарядом Q; получается ⁵/₆ энергии однородно заряженного шара [уравнение (8.7)].

Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии. Рассмотрим два вопроса. Какова сила, действующая между обкладками конденсатора? Какой вращательный (крутящий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный проводник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим выражением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).

Применим этот метод для определения силы, действующей между двумя обкладками плоского конденсатора. Если мы представим, что промежуток между пластинами расширился на небольшую величину Δz, то тогда механическая работа, производимая извне для того, чтобы раздвинуть обкладки, была бы равна

где F — сила, действующая между обкладками. Эта работа обязана быть равной изменению электростатической энергии конденсатора, если только заряд конденсатора не изменился.

Согласно уравнению (8.9), энергия конденсатора первоначально была равна

Изменение в энергии (если мы не допускаем изменения величины заряда) тогда равно

Приравнивая (8.12) и (8.13), получаем

что может также быть записано в виде

Ясно, эта сила здесь возникает от притяжения зарядов на обкладках; мы видим, однако,что заботиться о том, как там они распределены, нам нечего; единственное, что нам нужно,— это учесть емкость С.

Легко понять, как обобщить эту идею на проводники произвольной формы и на прочие составляющие силы. Заменим в уравнении (8.14) F той составляющей, которая нас интересует, а Δz — малым смещением в соответствующем направлении. Или если у нас есть электрод, насаженный на какую-то ось, и мы хотим знать вращательный момент τ, то запишем виртуальную работу в виде

где Δθ — небольшой угловой поворот. Конечно, теперь Δ(1/С) должно быть изменением 1/С, отвечающим повороту на Δθ. Таким способом мы можем определить вращательный момент, действующий на подвижные пластины переменного конденсатора, показанного на фиг. 8.3.

Вернемся к частному случаю плоского конденсатора; мы можем взять формулу для емкости, выведенную в гл. 6:

где А — площадь каждой обкладки. Если промежуток увеличится на Δz, то

Из (8.14) тогда следует, что сила притяжения между двумя обкладками равна

Взглянем на уравнение (8.17) повнимательнее и подумаем, нельзя ли сказать, как возникает эта сила. Если заряд на одной из обкладок мы запишем в виде

то (8.17) можно будет переписать так:

поскольку поле между пластинами равно

Можно было сразу догадаться, что сила, действующая на одну из пластин, будет равна заряду Q этой пластины, умноженному на поле, действующее на заряд. Но что удивляет, так это множитель ¹/₂. Дело в том, что Е₀ —это не то поле, которое действует на заряды. Если вообразить, что заряд на поверхности пластины занимает какой-то тонкий слой (фиг. 8.4), то поле будет меняться от нуля на внутренней границе слоя до Е₀в пространстве снаружи пластин. Среднее поле, действующее на поверхностные заряды, равно E₀/2. Вот отчего в (8.18) стоит множитель ¹/₂.

Вы должны обратить внимание на то, что, рассчитывая виртуальную работу, мы предположили, что заряд конденсатора постоянен, что конденсатор не был электрически связан с другими предметами и полный заряд не мог изменяться.

А теперь пусть мы предположили, что при виртуальных перемещениях конденсатор поддерживается при постоянной разности потенциалов. Тогда мы должны были бы взять

и вместо (8.15) мы бы имели

что приводит к силе, равной по величине той, что была получена в уравнении (8.15) (так как V=Q/C), но с противоположным знаком!

Конечно, сила, действующая между пластинами конденсатора, не меняет свой знак, когда мы отсоединяем конденсатор от источника электричества. Кроме того, мы знаем, что две пластины с разноименными электрическими зарядами должны притягиваться. Принцип виртуальной работы во втором случае был применен неправильно, мы не приняли во внимание виртуальную работу, производимую источником, заряжающим конденсатор. Это значит, что для того, чтобы удержать потенциал при постоянном значении V, когда меняется емкость, источник электричества должен снабдить конденсатор зарядом VΔC. Но этот заряд поступает при потенциале V, так что работа, выполняемая электрической системой, удерживающей заряд постоянным, равна V²ΔC. Механическая работа FΔz плюс эта электрическая работа V²ΔC вместе приводят к изменению полной энергии конденсатора на ¹/₂V²ΔC. Поэтому на механическую работу, как и прежде, приходится FΔz= –¹/₂ V²ΔC.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:

Социальные комментарии Cackle

Источник