Как найти силу притяжения пластин конденсатора

Обкладки
конденсатора, заряженные разноимённо,
притягиваются друг к другу.

Механические
силы, действующие на макроскопические
заряженные тела, называют пондеромоторными.

Рассчитаем
пондеромоторные силы, действующие на
обкладки плоского конденсатора. При
этом возможны два варианта:

1. Конденсатор
   заряжен и отключён от заряженной батареи
   ( в этом случае количество зарядов на
   пластинах остаётся постоянным q
   = const).

При
удалении одной обкладки конденсатора
от другой совершается работа

dA=Fdx

за
счёт которой увеличивается потенциальная
энергия системы:

При
этом dA
= dW
. Приравнивая правые части этих выражений,
получаем

(12.67)

В
данном случае при дифференцировании
расстояние между пластинами обозначилось
х.

1. Конденсатор
   заряжен, но не отключён от батареи
   (в этом случае при перемещении одной
   из пластин конденсатора будет сохраняться
   постоянным напряжение (
   U
   =
   const
   ). В этом случае при удалении одной
   пластины от другой потенциальная
   энергия поля конденсатора уменьшается,
   так как происходит «утечка» зарядов с
   пластин, поэтому

Откуда

Но

,
тогда

Полученное
выражение совпадает с формулой
.
Оно может быть представлено и в другом
виде, если вместо зарядаq
ввести поверхностную плотность:

(12.68)

Поле
однородно. Напряжённость поля конденсатора
равна
,
где х – расстояние между пластинами.
Подставив в формулуU²=E²x²,
получим, что сила притяжения пластин
плоского конденсатора

(12.69)

Эти
силы действуют не только на пластины.
Так как пластины, в свою очередь, давят
на диэлектрик, помещённый между ними,
и деформируют его, то в диэлектрике
возникает давление

(S
— площадь каждой пластины).

Давление,
возникающее в диэлектрике, равно

(12.70)

Примеры решения задач

Пример
12. 5. К
пластинам плоского воздушного конденсатора
приложена разность потенциалов 1,5 кВ.
Площадь пластин 150см²
и расстояние между ними 5 мм. После
отключения конденсатора от источника
напряжения в пространство между
пластинами вставили стекло (ε₂=7).Определите:

1)
разность потенциалов между пластинами
после внесения диэлектрика; 2) ёмкость
конденсатора до и после внесения
диэлектрика; 3) поверхностную плотность
заряда на пластинах до и после внесения
диэлектрика.

Дано:
U₁=1,5кВ=1,5∙10³В;
S=150см²=1,5∙10^-2
м²;
ε₁=1;
d=5мм=5∙10^-3
м.

Найти:
1) U₂;
2) С₁
С₂;
3) σ₁,
σ₂

Решение.
Так
как
(σ-
поверхностная плотность зарядов на
обкладках конденсатора), то до внесения
диэлектрика σd=U₁ε₀ε₁
и после внесения диэлектрика σd=U₂ε₀ε₂,
поэтому

Ёмкость
конденсатора до и после внесения
диэлектрика

и

Заряд
пластин после отключения от источника
напряжения не меняется, т.е. q=const.
Поэтому Поверхностная плотность заряда
на пластинах до и после внесения
диэлектрика

Ответ:
1) U₂=214В;
2) С₁=26,5пФ;
С₂=186пФ;
3) σ₁=
σ₂=2.65
мкКл/м².

Пример
12.7. Зазор между обкладками плоского
конденсатора заполнен анизотропным
диэлектриком, проницаемость ε которого
изменяется в перпендикулярном к обкладкам
направлении по линейному законуε =
α + βх от ε₁ до ε₂,
причём ε₂ > ε₁.
Площадь каждой обкладки S,
расстояние между ними d.
Найти ёмкость конденсатора.

Дано:
S;
d;
ε₁;
ε₂

Найти:
С_.

Решение.Диэлектрическая проницаемостьε
изменяется по линейному закону , ε =
α + βх, где х отсчитывается от обкладки,
у которой проницаемость равна ε₁.
Учитывая, что ε (0) = ε₁, ε
(d) = ε₂, получаем
зависимость
.
Найдём разность потенциалов между
обкладками:

Ёмкость конденсатора
будет равна

Ответ:

Пример
12.7. Между пластинами плоского конденсатора,
заряженного до разности потенциалов U
, параллельно его обкладкам помещены
два слоя диэлектриков. Толщина слоёв и
диэлектрическая проницаемость
диэлектриков соответственно равны d₁,
d₂,
ε₁, ε₂.
Определите напряжённость электростатических
полей в слоях диэлектриков.

Дано:
U;
d₁,
d₂,
ε₁,
ε₂

Найти:
E₁,
E₂.

Решение.Напряжение на пластинах конденсатора,
учитывая, что поле в пределах каждого
из диэлектрических слоёв однородно,

U=E₁d₁+E₂ d₂.
(1)

Электрическое смещение
в обоих слоях диэлектрика одинаково,
поэтому можем записать

D=D₁=D₂ =
ε₀ ε₁E₁=
ε₀ ε₂E₂
(2)

Из выражения (1) и (2)
найдём искомое

(3)

Из формулы (2) следует,
что

Ответ:;

Пример
12.7. Площадь пластин S
плоского конденсатора равна 100см².
Пространство между пластинами заполнено
вплотную двумя слоями диэлектриков –
слюдяной пластинкой (ε₁=7)
толщиной d₁=3,5
мм и парафина (ε₂=2)
толщиной d₂=5
мм. Определите ёмкость этого конденсатора..

Дано:
S=100см²=10^-2м²;
ε₁=7;
d₁=3,5мм=3.5∙10^-3м;,
ε₁=2;
d₁=3,5мм=5∙10^-3м;

Найти:
С.

Решение.Ёмкость
конденсатора

где
= — заряд на пластинах конденсатора ( —
поверхностная плотность заряда на
пластинах); =- разность потенциалов
пластин, равная сумме напряжений на
слоях диэлектрика: U=U₁+U₂.
Тогда

(1)

Напряжения
U₁
и
U₂
найдём по формулам

;

(2)

где
Е₁
и
Е₂
– напряжённость электростатического
поля в первом и втором слоях диэлектрика;
D
— электрическое смещение в диэлектриках
(в обоих случаях одинаково). Приняв во
внимание, что

D
= σ,

И
учитывая формулу (2), из выражения (1)
найдём искомую ёмкость конденсатора

Ответ:
С=29,5пФ.

Пример
12.7. Батарея из трёх последовательно
соединённых конденсаторов С₁=1мкФ;
С₂=2мкФ и С₃=4мкФ
подсоединены к источнику ЭДС. Заряд
батареи конденсаторов
q
=40мкКл. Определите: 1) напряжения U₁,
U₂
и U₃
на каждом конденсаторе; 2) ЭДС источника;
3) ёмкость батареи конденсаторов.

Дано:
С₁=1мкФ=1∙10^-6Ф;
С₂=2мкФ=2∙10^-6Ф
и С₃=4мкФ=4∙10^-6Ф;q=40мкКл=40∙10^-6Ф.

Найти:
1) U₁,
U₂,
U₃
;
2) ξ; 3) С.

Решение.При
последовательном соединении конденсаторов
заряды всех обкладок равны по модулю,
поэтому

q₁=q₂=q₃=q.

Напряжение
на конденсаторах

ЭДС
источника равна сумме напряжений каждого
из последовательно соединённых
конденсаторов:

ξ
=
U₁+
U₂
+U₃

При
последовательном соединении суммируются
величины, обратные ёмкостям каждого из
конденсаторов:

Откуда
искомая ёмкость батареи конденсаторов

Ответ:
1) U₁=
40В; U₂=
20В, U₃
=
10В;
2) Ɛ=
70В;
3) С=
0,571мкФ.

Пример
12.7. Два плоских воздушных конденсатора
одинаковой ёмкости соединены
последовательно и подключены к источнику
ЭДС. Как и во сколько раз изменится заряд
конденсаторов, если один из них погрузить
в масло с диэлектрической проницаемостью
ε=2,2 .

Дано:
С₁=С₂=
С;q=40мкКл=40∙10^-6Ф;
ε₁=1;
ε₂=2,2.

Найти:

.

Решение.
При
последовательном соединении конденсаторов
заряды обоих конденсаторов равны по
модулю. До погружения в диэлектрик (в
масло) заряд каждого конденсатора

где
ξ =
U₁+
U₂
(при последовательном соединении
конденсаторов ЭДС источника равна сумме
напряжений каждого из конденсаторов).

После
погружения одного из конденсаторов в
диэлектрик заряды конденсаторов опять
одинаковы и соответственно на первом
и втором конденсаторах равны

q=
CU₁=ε₂CU₂

(учли,
что ε₁=1),
откуда, если учесть, что ξ
=
U₁+
U₂,
найдём

(2)

Поделив
(2) на (1), найдём искомое отношение

Ответ:

,
т.е. заряд конденсаторов возрастает в
1,37 раз.

Пример
12.7. Конденсаторы ёмкостями С каждый
соединены так, как указано на рис.а.
определите ёмкость С_общ
этого соединения конденсаторов. .

Решение.
Если
отключить от цепи конденсатор С₄,
то получится соединение конденсаторов,
которое легко рассчитывается. Поскольку
ёмкости всех конденсаторов одинаковы
(С₂=С₃
и С₅=С₆),
обе параллельные ветви симметричны,
поэтому потенциалы точек А и В, одинаково
расположенные в ветвях, должны быть
равны. Конденсатор С₄
подключен, таким образом, к точкам с
нулевой разностью потенциалов.
Следовательно, конденсатор С₄
не заряжен, т.е. его можно исключить и
схему, представленную в условии задачи,
упростить (рис.б).

Эта
схема- из трёх параллельных ветвей, две
из которых содержат по два последовательно
включённых конденсаторов

Ответ:
С_общ=2С.

Пример
12.7. Плоский воздушный конденсатор
ёмкостью С₁=4пФ заряжен до
разности потенциалов U₁=100В.
После отключения конденсатора от
источника напряжения расстояние между
обкладками конденсатора увеличили в
два раза. Определите: 1) разность
потенциалов U₂
на обкладках конденсатора после
их раздвижения; 2) работу внешних сил по
раздвижению пластин.

Дано:
С₁=4пФ=4∙10^-12Ф;
U₁=100В;d₂
=2d₁.

Найти:
1)
U₂;2)A.

Решение.
Заряд
обкладок конденсатора после отключения
от источника напряжения не меняется,
т.е. Q=const.
Поэтому

С₁U₁=
С₂U₂,
(1)

где
С₂
и U₂

— соответственно ёмкость и разность
потенциалов на обкладках конденсатора
после их раздвижения.

Учитывая,
что ёмкость плоского конденсатора ,
из формулы (1) получим искомую разность
потенциалов

(2)

После
отключения конденсатора от источника
напряжения систему двух заряженных
обкладок можно рассматривать как
замкнутую, для которой выполняется
закон сохранения энергии: работа А
внешних сил равна изменению энергии
системы

А=
W₂
—
W₁

(3)

где
W₁
и
W₂
– соответственно энергия поля конденсатора
в начальном и конечном состояниях.

Учитывая,
что
и(q
– const),
из формулы (3) получим искомую работу
внешних сил

А=W₂—

[учли,
что q=C₁U₁
и
формулу (2)].

Ответ:
1) U₂=200В;2)A=40нДж.

Пример
12.7. Сплошной шар из диэлектрика
радиусом R=5см
заряжен равномерно с объёмной плотностью
ρ=5нКл/м³. Определите энергию
электростатического поля, заключённую
в окружающем шар пространстве.

Дано:
R=5см=5∙10^-2м;
ρ=5нКл/м³=5∙10^-9
Кл/м³.

Найти:
W.

Решение.
Поле
заряженного шара сферически симметрично,
поэтому объёмная плотность заряда
одинакова во всех точках, расположенных
на равных расстояниях от центра шара.

Энергия
в элементарном сферическом слое (он
выбран за пределами диэлектрика, где
следует определить энергию) объёмомdV
(см. рисунок)

dW=ωdV,
(1)

где
dV=4πr²dr
(r
– радиус элементарного сферического
слоя; dr
— его толщина);
(ε=1
– поле в вакууме; Е – напряженность
электростатического поля).

Напряжённость
Е найдём по теореме Гаусса для поля в
вакууме, причём в качестве замкнутой
поверхности мысленно выберем сферу
радиусом r
(см. рисунок). В данном случае внутрь
поверхности попадает весь заряд шара,
создающий рассматриваемое поле, и, по
теореме Гаусса,

Откуда

Подставив
найденные выражения в формулу (1), получим

Энергия,
заключённая в окружающем шар пространстве,

Ответ:
W=6,16∙10^-13Дж.

Пример
12.7. Плоскому конденсатору с
площадью обкладок S
и расстоянием между ними ℓ сообщён
заряд q , после
чего конденсатор отключён от источника
напряжения. Определите силу притяжения
F между обкладками
конденсатора, если диэлектрическая
проницаемость среды между обкладками
равна ε.

Дано:
S;
ℓ;
q;
ε.

Найти:
F.

Решение.
Заряд
обкладок конденсатора после отключения
от источника напряжения не меняется,
т.е. q=const.
Предположим, что под действием силы
притяжения F
расстояние между обкладками конденсатора
изменилось на d
ℓ.
Тогда сила F
совершает
работу

dA=Fdℓ
(1)

Согласно
закону сохранения энергии, эта работа
равна убыли энергии конденсатора, т.е.

dA=-dW,
(2)

откуда,
исходя из выражений (1) и (2), получим

.
(3)

Подставив
в формулу для энергии заряженного
конденсатора
выражение для ёмкости плоского
конденсатора,
получим

(4)

Подставив
в формулу (3) значение энергии (4) и выполнив
дифференцирование, найдём искомую силу
притяжения между обкладками конденсатора

где
знак «-» указывает на то, что сила F
является силой притяжения.

Ответ:

Пример
12.7. Плоский конденсатор площадью
обкладок S и
расстоянием между ними ℓ подключен к
источнику постоянного напряжения U.
Определите силу притяжения F
между обкладками конденсатора, если
диэлектрическая проницаемость среды
между обкладками равна ε.

Дано:
S;
ℓ;
U;
ε.

Найти:
F.

Решение.
Согласно
условию задачи, на обкладках конденсатора
поддерживается постоянное напряжение,
т.е. U=const.
Предположим, что под действием силы
притяжения F
расстояние между обкладками конденсатора
изменилось на dℓ.
Тогда сила
F
совершает работу

dA=Fdℓ
(1)

Согласно
закону сохранения энергии, эта работа
в данном случае идёт на увеличение
энергии конденсатора (сравните с
предыдущей задачей), т.е.

dA=dW
(2)

откуда,
исходя из выражений (1) и (2), получим

(3)

Подставив
в формулу для энергии конденсатора
выражение
для ёмкости плоского конденсатора,
получим

(4)

Подставив
в формулу (3) значение энергии (4) и выполнив
дифференцирование, найдём искомую силу
притяжения между обкладками конденсатора

.

где
знак «-» указывает на то, что сила F
является силой притяжения.

Ответ:

Рассчитать силу притяжения двух электрически заряженных пластин конденсатора, имея из параметров только площадь или емкость и напряжение на пластинах?

На  заряженное тело, помещенное в
электрическое поле, действует пондеромоторная
сила. Пондеромоторными называются
силы, действующие со стороны электрического
поля на макроскопические заряженные
тела.

Определим силу
взаимного притяжения между разноименно
заряженными пластинами плоского
конденсатора (пондеромоторную силу)
двумя способами.

Эту силу можно определить,
как силу F₂
, действующую на вторую пластину со
стороны первой

где Q₂
– величина заряда на второй пластине,
E₁–
напряженность поля первой пластины.

где σ₁
– поверхностная плотность заряда на
первой пластине.

$frac{F}{S}=frac{varepsilon_0varepsilon E^2}{2}$.              (5)

Работа
по изменению расстояния между пластинами
заряженного конденсатора на величину
dx определяется
формулой

где F
– сила взаимодействия между обкладками
(пондеромоторная сила).

 Сила,
действующая на единицу площади пластины

Конденсаторы: сила притяжения пластин, напряжения, эквивалентные емкости.

В этой статье рассматриваются задачи на определение напряжения на конденсаторе и в схеме с конденсаторами, между точками этих схем. Также мы рассмотрим задачи, связанные с силой притяжения пластин. В конце будет рассмотрен сложный (для запоминания) перерасчет звезды из конденсаторов в треугольник.

Задача 1. В плоский конденсатор, подключенный к источнику с постоянной ЭДС, помещена плоская пластина, имеющая заряд . Расстояние от пластины до обкладок и . Площадь пластины . Определите силу, действующую на пластину со стороны электрического поля.

Запишем силу как произведение заряда пластины на напряженность поля:

Обозначим потенциал пластины , примем потенциал левой пластины конденсатора равным нулю, а правой — .

Составим систему уравнений. Запишем разности потенциалов между левой обкладкой и пластиной и между правой и пластиной, учтем наложение поля конденсатора на поле, создаваемое пластиной:

Сложим уравнения:

Откуда

Тогда сила равна

Задача 2.

  Когда к батарее, изображенной на рисунке, подвели напряжение , заряд среднего конденсатора оказался равным нулю. Какова емкость Сх?

Так как заряд равен нулю, то . Следовательно, потенциалы точек и — равны. А это означает, что разности потенциалов и . Также известно, что при последовательном соединении заряд на всех конденсаторах одинаков, поэтому

Тогда отношение напряжений равно отношению емкостей:

И во второй ветви будет соблюдаться то же отношение:

Откуда .

Задача 3.

  В цепи известны емкости и ЭДС . Кроме того, известно, что заряд первого конденсатора равен . Найдите ЭДС второго элемента.

Зная заряд первого конденсатора и его емкость, найдем напряжение между точками и :

Напряжение это мы еще можем записать для каждой ветви так:

Или:

Так как обкладки конденсаторов соединены в точке , то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна нулю:

Домножим на емкость и разделим на :

Тогда

Определяем ЭДС:

Ответ:

Задача 4.

Найдите разность потенциалов между точками и .

Запишем напряжение между точками и с двух сторон, и в прямом, и в переносном смысле:

Напряжение на параллельно включенных конденсаторах и равно:

Так как конденсаторы соединены в одной точке – точке , то алгебраическая сумма зарядов на этих обкладках равна 0:

Напряжение на тогда

Напряжение на :

Тогда заряд равен:

Тогда

Подставим найденный заряд:

Ответ:

Задача 5.

Найдите разность потенциалов между точками и в этой цепи.

Запишем напряжение между точками и :

Для точки :

Где — напряжение на .

Отсюда получим, что

Для точки :

Где — напряжение на .

Отсюда получим, что

Тогда для получим:

Ответ:

Задача 6.

Найдите разность потенциалов между точками и в этой цепи.

Запишем уравнение Кирхгофа (по 2-му закону) для обоих контуров (справа и слева):

Вычтем из первого второе:

Так как конденсаторы соединены последовательно, то заряды на них равны:

Тогда :

Или:

Подставим (2) в (1):

Подставим (3) в (1):

Наконец,

Можно было также воспользоваться (4) и найти .

Ответ:

Задача 7.

Найдите силу притяжения между пластинами плоского конденсатора в схеме, изображенной на рисунке, если , , , ,  а расстояние между пластинами конденсатора равно .

Конденсаторы в схеме, по сути, соединены последовательно, поэтому их заряды одинаковы. Напряжение на первом тогда

А на втором

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

Сила притяжения пластин будет равна:

Ответ:

Задача 8.

В схеме, изображенной на рисунке, сила притяжения между пластинами плоского конденсатора равна . Найдите расстояние между пластинами этого конденсатора, если ,, , .

Напряжение на первом конденсаторе тогда

А на втором

Сумма напряжений в контуре по второму закону равна сумме ЭДС:

Сила притяжения пластин будет равна:

Откуда

Ответ:

Задача 9.

Найдите емкость батареи. Емкость каждого конденсатора равна .

Чтобы было проще решить эту задачу, применим перерасчет (переход) от треугольника емкостей к звезде и обратно. Нам понадобится как раз обратный: от звезды к треугольнику. Выполняются оба перехода так:

Треугольник – звезда:

Звезда – треугольник:

Тогда у нас

Теперь оказывается, что каждый из конденсаторов , и соединен параллельно с . При параллельном соединении, как известно, емкости складываются:

Получим:

Таким образом, емкости и соединены последовательно, и это последовательное соединение – параллельно конденсатору . Тогда

Окончательно, складывая и , получаем:

Ответ:

Содержание книги

Предыдующая страница

§16. Превращение энергии в электрических и магнитных явлениях

16.7 Изменение энергии конденсатора при изменении его емкости.

Энергия конденсатора зависит от его емкости. Емкость конденсатора можно изменять, когда он заряжен — при этом будет изменяться его энергия. При рассмотрении этих процессов можно выделить два принципиально различных случая: первый — изменение емкости происходит при неизменных зарядах на обкладках; второй – емкость конденсатора изменяется при постоянном напряжении между обкладками (в этом случае конденсатор подключен к источнику постоянной ЭДС).

Рассмотрим теперь превращения энергии при изменении емкости плоского конденсатора, образованного двумя параллельными одинаковыми платинами площади S. Размеры пластин будем считать значительно превышающими расстояние между ними, что позволяет пренебречь краевыми эффектами, то есть считать электрическое поле (~vec E) однородным (Рис. 152). Пусть конденсатор заряжен, так что заряды каждой пластины одинаковы по модулю и равны q и противоположны по знаку, поверхностная плотность заряда на каждой пластине равна (~sigma = frac{q}{S}). Напряженность поля между пластинами в этом случае равна

(~E = frac{sigma}{varepsilon_0} = frac{q}{varepsilon_0 S}) , (1)

причем заряды каждой пластины создают поле, напряженность которого в два раза меньше напряженности суммарного поля (1); разность потенциалов между пластинами равна

(~Delta varphi = U = Eh = frac{qh}{varepsilon_0 S}) . (2)

Так заряды пластин разноименные, то пластины будут притягиваться друг к другу с некоторой силой F. Сила, действующая на одну пластину, равна произведению ее заряда на напряженность поля, создаваемого зарядом второй пластины,

(~F = q frac{E}{2} = frac{q^2}{2 varepsilon_0 S}) . (3)

Этой формуле можно придать иной вид, если выразить силу через напряженность электрического поля с помощью формулы (1)

(~F = frac{q^2}{2 varepsilon_0 S} = frac{varepsilon_0 E^2}{2} S) . (4)

Важно отметить, что давление электрического поля на проводящую платину в точности равно объемной плотности энергии поля

(~p = frac{F}{S} = frac{varepsilon_0 E^2}{2} = w) . (5)

Чтобы изменить (для определенности увеличить см. Рис. 152) расстояние между пластинами, к ним необходимо приложить внешнюю силу F₀, превышающую по модулю силе электрического притяжения. При перемещении пластины (увеличении расстояния) на величину Δh эта внешняя сила совершит положительную работу.

Если пластины конденсатора изолированы, то электрический заряд и, как следствие, напряженность поля и сила притяжения не зависят от расстояния между пластинами. Поэтому работа внешней силы по перемещению пластины на расстояние Δh будет минимальна, когда эта сила равна силе притяжения между пластинами, при этом

(~A = F_0 Delta h = frac{varepsilon_0 E^2}{2} S Delta h) . (6)

Благодаря этой работе возрастает энергия электрического поля – при неизменной напряженности и плотности энергии возрастает объем, занятый полем ((Delta V = S Delta h)), что выражается формулой

(~A = Delta W = w Delta V) . (7)

При увеличении расстояния между пластинами емкость конденсатора изменяется (уменьшается). Изменение энергии конденсатора можно также рассчитать, с помощью формулы для его энергии, причем следует выразить энергию через не изменяющийся в данном случае заряд конденсатора, то есть

(~Delta W = W_1 — W_0 = frac{q^2}{2 C_1} — frac{q^2}{2 C_0} = frac{q^2}{2} left(frac{h_1}{varepsilon_0 S} — frac{h_0}{varepsilon_0 S}right) = frac{q^2 Delta h}{2 varepsilon_0 S}) . (8)

Эта формула равносильна полученным выше выражениям для изменения энергии. Таким образом, в рассмотренном процессе превращения энергии понятны: работа внешней силы увеличивает энергию электрического поля конденсатора.

Рассмотрим теперь этот же процесс при условии, что обкладки конденсатора подключены к источнику постоянной ЭДС (Рис. 153). В этом случае при изменении расстояния между пластинами, остается неизменным напряжение U = ε между ними.

В этом случае разноименно заряженные пластины также притягиваются, поэтому для увеличения расстояния между ними внешняя сила также совершает положительную работу, однако при этом энергия конденсатора уменьшается, а не растет! Действительно, при постоянном напряжении между пластинами, изменение энергии конденсатора рассчитывается по формуле

(~Delta W_C = W_1 — W_0 = frac{C_1 U^2}{2} — frac{C_0 U^2}{2} = frac{U^2}{2} left(frac{varepsilon_0 S}{h_1} — frac{varepsilon_0 S}{h_0}right) = frac{varepsilon_0 S U^2}{2} left(frac{1}{h_1} — frac{1}{h_0}right)) . (9)

Так как h₁ > h₀ , то C₁ < C₀ и ΔW_C < 0.

Но и в этом случае нарушения закона сохранения энергии нет, переданная системе энергия (равная совершенной работе) не «теряется» — конденсатор не является замкнутой системой, он же подключен к источнику ЭДС. При увеличении расстояния между пластинами емкость конденсатора уменьшается, поэтому уменьшается заряд на пластинах, которому некуда деться, кроме как вернуться назад, в источник. Их возращению препятствуют сторонние силы (вспомните – сторонние силы источника стремятся «вытолкнуть заряды из источника), поэтому при возвращении зарядов энергия источника повышается. Таким образом, при раздвигании пластин конденсатора происходит подзарядка источника, а энергия, переданная посредством совершенной работы, переходит в энергию источника. Кроме того, энергия поля в конденсаторе также уменьшается, поэтому эта «потеря» энергии также переходит в источник. Иными словами, при перемещении пластины внешняя сила не только совершает работу по подзарядке источника, но и «заставляет» электрическое поле вернуть часть своей энергии. Схематически потоки энергии в этом процессе показаны на Рис. 154.

Подтвердим проведенные рассуждения расчетами энергетического баланса и покажем, что он точно выполняется. Силу притяжения между пластинами (4) выразим через постоянное напряжение между пластинами

(~F = frac{varepsilon_0 E^2}{2} S = frac{varepsilon_0}{2} left(frac{U}{h}right)^2 S = frac{varepsilon_0 U^2 S}{2 h^2}) . (10)

В данном случае эта сила зависит от расстояния между пластинами. Поэтому для расчета работы необходимо разбить процесс движения пластины на малые участки и затем просуммировать работы на этих участках. Чтобы избежать этой громоздкой математической процедуры, будем считать, что смещение Δh мало настолько, что можно пренебречь изменением силы притяжения. В этом приближении работа внешней силы будет равна

(~delta A_0 = F Delta h = frac{varepsilon_0 U^2 S}{2 h^2_0} Delta h) . (11)

Преобразуем также выражение для изменения энергии конденсатора с учетом малости смещения. Запишем (h_1 = h_0 + Delta h) и подставим в формулу (9)

(~Delta W_C = W_1 — W_0 = frac{varepsilon_0 S U^2}{2} left(frac{1}{h_0 + Delta h} — frac{1}{h_0}right) = -frac{varepsilon_0 S U^2}{2} frac{Delta h}{h_0(h_0 + Delta h)} approx -frac{varepsilon_0 S U^2}{2} frac{Delta h}{h^2_0}) . (12)

Наконец, найдем работу по зарядке источника, которая равна произведению «вернувшегося» заряда на ЭДС источника (которая равна напряжению конденсатора):

(~Delta W_{ist} = U(q_0 — q_1) = U(C_0 U — C_1 U) = U^2 left(frac{varepsilon_0 S}{h_0} — frac{varepsilon_0 S}{h_0 + Delta h}right) = varepsilon_0 S U^2 left(frac{1}{h_0} — frac{1}{h_0 + Delta h}right) approx frac{varepsilon_0 S U^2 Delta h}{h^2_0}) .

Итак, проведенный расчет полностью подтверждает сделанные ранее заключения: увеличение энергии источника (что равносильно — работа по его подзарядке) равно сумме работы внешней силы и уменьшения энергии поля конденсатора

(~Delta W_{ist} = delta A_0 + (-Delta W_C)) .

Задание для самостоятельной работы.

1. Докажите, что в рассмотренном процессе энергетический баланс выполняется при любом (не малом) смещении пластины.

Признавая, что «аналогии ничего не доказывают, но много объясняют», рассмотрим гидростатическую аналогию преобразования энергии при изменении «емкости» сосуда. Как мы указывали, аналогом электрического заряда может служить объем жидкости, налитой в сосуд, аналогом изменения потенциала – изменение уровня жидкости, тогда аналогом электроемкости вертикального сосуда служит площадь его дна. Таким образом, изменению емкости должно соответствовать изменение площади поперечного сечения сосуда. Представим себе сосуд в форме параллелепипеда (аквариума), одна из стенок которого может двигаться – при ее смещении изменяется площадь сосуда, то есть изменяется его «емкость». При уменьшении площади сосуда уменьшается «емкость». В рассмотренных электростатических примерах – уменьшению емкости конденсатора соответствует увеличению расстояния между его пластинами.

Пусть теперь в нашем сосуде находится некоторый объем жидкости, уровень которой равен h₀ (Рис. 155 ). Чтобы сместить подвижную стенку, к ней необходимо приложить некоторую внешнюю силу F. Если объем жидкости в сосуде сохраняется, то при смещении стенки ее уровень повышается, следовательно, увеличивается ее энергия. Понятно, что увеличение потенциальной энергии жидкости равно работе внешней силы.

Сравните: при неизменном объеме жидкости (электрическом заряде) уменьшение площади сосуда (емкости конденсатора) под действием внешней силы приводит к возрастанию уровня жидкости (разности потенциалов) и гидростатической энергии жидкости (электростатической энергии поля).

Если конденсатор подключен к источнику постоянной ЭДС, то его напряжение поддерживается постоянным. В гидростатической аналогии необходимо в этом случае говорить о постоянной высоте уровня жидкости в сосуде. В качестве устройства, поддерживающего постоянный уровень можно предложить, например, резиновый сосуд («грушу»), жидкость в которой поддерживается при постоянном давлении. Если теперь наш сосуд «переменной емкости» подключить к источнику постоянного давления (резиновой груше), то получим аналог конденсатора, подключенного к источнику постоянной ЭДС (Рис.156) При смещении подвижной стенки в этом случае внешняя сила также совершает положительную работу, но потенциальная энергия жидкости в сосуде уменьшается, так как уменьшается ее объем при неизменной высоте уровня. Под действием этой внешней силы часть жидкости из сосуда заталкивается в резиновую грушу, при этом энергия последней возрастает. Увеличение ее энергии равно сумме работы внешней силы и уменьшения потенциальной энергии жидкости в сосуде.

Сравниваем: при постоянном уровне жидкости в сосуде (напряжении конденсатора) уменьшение площади дна (емкости конденсатора) под действием внешней силы приводит к возвращению части жидкости (электрического заряда) в резиновый сосуд, поддерживаемый при постоянном давлении (источник постоянной ЭДС). При этом увеличение энергии жидкости в резиновом сосуде постоянного давления (источника ЭДС) равно сумме работы внешней силы и уменьшения потенциальной энергии жидкости в сосуде (энергии конденсатора).

Задание для самостоятельной работы.

1. Докажите, что в рассмотренных гидростатических аналогиях энергетический баланс выполняется точно.

Электроемкость конденсатора зависит также от диэлектрической проницаемости вещества, находящегося между обкладками. Поэтому емкость конденсатора можно изменять, меняя вещество, находящееся между обкладками. Пусть, например, между обкладками плоского конденсатора находится диэлектрическая пластинка. Если конденсатор заряжен, то для извлечения пластинки необходимо приложить к ней внешнюю силу и совершить положительную работу. Механизм возникновения силы, действующей на пластинку со стороны электрического поля, проиллюстрирован на Рис. 157. При ее смещении изначально однородное распределение зарядов на обкладках конденсатора и поляризационных зарядов на пластинке искажается. Как следствие этого перераспределения зарядов искажается и электрическое поле, поэтому возникаю силы, стремящиеся втянуть пластинку внутрь конденсатора.

Расчет этих сил сложен, но энергетические характеристики происходящих процессов могут быть найдены без особого труда. С формальной точки зрения, не важно чем вызваны изменения емкости конденсатора, поэтому можно воспользоваться всеми рассуждениями и выводами предыдущего раздела, как для случая изолированного конденсатора (при сохранении заряда), так для конденсатора подключенного к источнику постоянной ЭДС.

Чрезвычайно интересными и практически важными являются энергетические характеристики процессов поляризации диэлектриков, однако их расчет представляет собой весьма сложную задачу. Для решения возникающих здесь проблем требует привлечения сведения о строении вещества. Некоторые из этих вопросов мы рассмотрим в следующем году после ознакомления с основами теории строения вещества.

Следующая страница

Решение. Заряд одной пластины конденсатора —q₁, находится в поле действия другой пластины +q₂ (рис).  На первый заряд действует сила которая определяется по формуле:

[ F=qcdot E (1). ]

Где: Е – напряженность поля создаваемое зарядом одной из пластин.

[ E=frac{sigma }{2cdot {{varepsilon }_{0}}}=frac{q}{2cdot {{varepsilon }_{0}}cdot S} (2), ]

где: σ – поверхностная плотность одной из пластин, ε₀ = 8,854∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная.
Подставим (2) в (1) найдем F:

[ F=frac{{{q}^{2}}}{2cdot {{varepsilon }_{0}}cdot S}, ]

F = 9,4∙10^-3 Н.
Запишем формулу для вычисления объемной плотности энергии поля конденсатора:

[ omega =frac{varepsilon cdot {{varepsilon }_{0}}cdot {{E}^{2}}}{2} (3).  ]

Подставим (2) в (3):

[ omega =frac{varepsilon cdot {{q}^{2}}}{4cdot {{varepsilon }_{0}}cdot {{S}^{2}}}, ]

ε = 1, диэлектрическая проницаемость воздуха.
ω = 0,3 Дж/м³.
Ответ: 9,4∙10^-3 Н, 0,3 Дж/м³.