Как найти силу реакции опоры в физике

Сила реакции опоры — это сила, с которой опора действует на тело. Она направлена перпендикулярно поверхности, поэтому такую силу называют силой нормальной реакции. Обозначают ее символом N и измеряют в Ньютонах.

Тело находится на выпуклой или вогнутой поверхности

Рассмотрим рисунок 1. Тело находится на опоре и давит на нее своим весом. Опора реагирует на воздействие тела и отвечает ему силой (vec{N}). Эта сила направлена перпендикулярно поверхности, вдоль вектора нормали, поэтому ее называют нормальной силой.

Примечания:

• Нормаль – значит, перпендикуляр.
• Искривленную, т.е., выпуклую, или вогнутую поверхность, можно считать частью сферы. Центр сферы – точка, она находится внутри сферы, от этой точки к поверхности сферы можно провести радиус.

(vec{N} left( H right) ) – сила, с которой опора действует на тело.

Когда тело находится на выпуклой поверхности (рис. 1а), реакция направлена вдоль радиуса от центра сферы наружу, за ее пределы.

Если же тело находится на вогнутой части (рис. 1б) поверхности, реакция (vec{N}) направлена по радиусу внутрь сферической поверхности к ее центру.

Тело опирается на поверхность в двух точках

На рисунках 2а и 2б изображено продолговатое тело (к примеру, стержень), опирающееся на поверхности двумя своими точками.

В точках соприкосновения поверхность отвечает телу силой (vec{N}) своей реакции. Видно, что в каждая сила реакции направлена перпендикулярно поверхности.

Cилы реакции (vec{N_{1}}) и (vec{N_{2}})  имеют различные направления и в общем случае не равны по модулю.

[large vec{N_{1}} ne vec{N_{2}}]

Примечание: Сила — это вектор. Между векторами можно ставить знак равенства, только, когда совпадают характеристики векторов.

Как рассчитать силу нормальной реакции

Пусть тело давит на опору своим весом. В местах соприкосновения тела с опорой наблюдается упругая деформация. При этом опора стремится избавиться от возникшей деформации и вернуться в первоначальное состояние. Силы, с которыми опора упруго сопротивляется воздействию тела, имеют электромагнитную природу. Когда сближаются электронные оболочки атомов тела и опоры, между ними возникает сила отталкивания. Она и является силой реакции опоры на воздействие тела.

Примечание: Сила реакции (vec{N}) распределяется по всей площади соприкосновения тела и опоры. Но для удобства ее обычно считают сосредоточенной силой. Ее изображают на границах соприкасающихся поверхностей исходящей из точки, расположенной под центром масс тела.

Для того, чтобы рассчитать силу реакции, нужно понимать законы Ньютона, уметь составлять силовые уравнения и знать, что такое равнодействующая.

На рисунке 3 изображены тела, находящиеся на горизонтальной – а) и наклонной – б) поверхностях.

Рассмотрим подробнее рисунок 3а. Тело на горизонтальной поверхности находится в покое. Значит, выполняются условия равновесия тела.

По третьему закону Ньютона, сила, с которой тело действует на опору, равна по модулю весу тела и направлена противоположно весу.

[large boxed{ N = m cdot g }]

(m vec{g} left( H right) ) – сила, с которой тело действует на опору;

(vec{N} left( H right) ) – сила, с которой опора отвечает телу;

Рисунок 3б иллюстрирует тело на наклонной поверхности. Перпендикулярно соприкасающимся поверхностям проведена ось Oy. Проекция силы (m vec{g}) на ось — это (mg_{y}), она будет направлена противоположно реакции опоры (vec{N}) и численно равна ей.

Примечание: Выражение «численно равна» нужно понимать, как «длины векторов равны».

[large boxed{ N = m cdot g cdot cos(alpha) }]

(alpha  left(text{рад} right) ) – угол между силой (mg) и осью Oy.

Итоги

1. Сила, с которой опора сопротивляется воздействию тела, называется силой реакции опоры, она имеет электромагнитную природу.
2. Ее, как и любую силу, измеряют в Ньютонах, обозначают так: (vec{N}).
3. Реакция опоры направлена перпендикулярно поверхности, поэтому ее называют силой нормальной реакции.
4. Сила (vec{N}) распределена по площади соприкосновения, но для удобства ее обычно считают сосредоточенной силой. Ее изображают исходящей из точки, расположенной под центром масс тела на границах между поверхностями тела и опоры.
5. Чтобы рассчитать силу реакции, нужно знать законы Ньютона, уметь составлять силовые уравнения и понимать, что такое равнодействующая.

Статика — один из разделов современной физики, который изучает условия нахождения тел и систем в механическом равновесии. Для решения задач на равновесие важно знать, что такое сила реакции опоры. Данная статья посвящена подробному рассмотрению этого вопроса.

Второй и третий законы Ньютона

Прежде чем рассматривать определение силы реакции опоры, следует вспомнить о том, что вызывает движение тел.

Причиной нарушения механического равновесия является действие на тела внешних или внутренних сил. В результате этого действия тело приобретает определенное ускорение, которое вычисляется с помощью следующего равенства:

F = m*a

Эта запись известна как второй закон Ньютона. Здесь сила F является результирующей всех действующих на тело сил.

Если одно тело воздействует с некоторой силой F₁¯ на второе тело, то второе оказывает действие на первое с точно такой же по абсолютной величине силой F₂¯, но она направлена в противоположном направлении, чем F₁¯. То есть справедливо равенство:

F₁¯ = -F₂¯

Эта запись является математическим выражением для третьего ньютоновского закона.

При решении задач с использованием этого закона школьники часто допускают ошибку, сравнивая эти силы. Например, лошадь везет телегу, при этом лошадь на телегу и телега на лошадь оказывают одинаковые по модулю силы. Почему же тогда вся система движется? Ответ на этот вопрос можно правильно дать, если вспомнить, что обе названные силы приложены к разным телам, поэтому они друг друга не уравновешивают.

Сила реакции опоры

Сначала дадим физическое определение этой силы, а затем поясним на примере, как она действует. Итак, силой нормальной реакции опоры называется сила, которая действует на тело со стороны поверхности. Например, мы поставили стакан с водой на стол. Чтобы стакан не двигался с ускорением свободного падения вниз, стол воздействует на него с силой, которая уравновешивает силу тяжести. Это и есть реакция опоры. Ее обычно обозначают буквой N.

Сила N — это контактная величина. Если имеется контакт между телами, то она появляется всегда. В примере выше значение величины N равно по модулю весу тела. Тем не менее это равенство является лишь частным случаем. Реакция опоры и вес тела — это совершенно разные силы, имеющие различную природу. Равенство между ними нарушается всегда, когда изменяется угол наклона плоскости, появляются дополнительные действующие силы, или когда система движется ускоренно.

Сила N называется нормальной потому, что она всегда направлена перпендикулярно плоскости поверхности.

Если говорить о третьем законе Ньютона, то в примере выше со стаканом воды на столе вес тела и нормальная сила N не являются действием и противодействием, поскольку обе они приложены к одному телу (стакану с водой).

Физическая причина появления силы N

Как было выяснено выше, сила реакции опоры препятствует проникновению одних твердых тел в другие. Почему появляется эта сила? Причина заключается в деформации. Любые твердые тела под воздействием нагрузки деформируются сначала упруго. Сила упругости стремится восстановить прежнюю форму тела, поэтому она оказывает выталкивающее воздействие, что проявляется в виде реакции опоры.

Если рассматривать вопрос на атомном уровне, то появление величины N — это результат действия принципа Паули. При небольшом сближении атомов их электронные оболочки начинают перекрываться, что приводит к появлению силы отталкивания.

Многим может показаться странным, что стакан с водой способен деформировать стол, но это так. Деформация настолько мала, что невооруженным глазом ее невозможно наблюдать.

Как вычислять силу N?

Сразу следует сказать, что какой-то определенной формулы силы реакции опоры не существует. Тем не менее имеется методика, применяя которую, можно определить N для совершенно любой системы взаимодействующих тел.

Методика определения величины N заключается в следующем:

• сначала записывают второй закон Ньютона для данной системы, учитывая все действующие в ней силы;
• находят результирующую проекцию всех сил на направление действия реакции опоры;
• решение полученного уравнения Ньютона на отмеченное направление приведет к искомому значению N.

При составлении динамического уравнения следует внимательно и правильно расставлять знаки действующих сил.

Найти реакцию опоры можно также, если пользоваться не понятием сил, а понятием их моментов. Привлечение моментов сил справедливо и является удобным для систем, которые имеют точки или оси вращения.

Далее приведем два примера решения задач, в которых покажем, как пользоваться вторым ньютоновским законом и понятием момента силы для нахождения величины N.

Задача со стаканом на столе

Выше уже был приведен этот пример. Предположим, что пластиковый стакан объемом 250 мл наполнен водой. Его поставили на стол, а сверху на стакан положили книгу массой 300 грамм. Чему равна сила реакции опоры стола?

Запишем динамическое уравнение. Имеем:

m*a = P₁ + P₂ — N

Здесь P₁ и P₂ — вес стакана с водой и книги соответственно. Поскольку система находится в равновесии, то a=0. Учитывая, что вес тела равен силе тяжести, а также пренебрегая массой пластикового стакана, получаем:

m₁*g + m₂*g — N = 0 =>

N = (m₁ + m₂)*g

Учитывая, что плотность воды равна 1 г/см³, и 1 мл равен 1 см³, получаем согласно выведенной формуле, что сила N равна 5,4 ньютона.

Задача с доской, двумя опорами и грузом

Доска, массой которой можно пренебречь, лежит на двух твердых опорах. Длина доски равна 2 метра. Чему будет равна сила реакции каждой опоры, если на эту доску посередине положить груз массой 3 кг?

Прежде чем переходить к решению задачи, следует ввести понятие момента силы. В физике этой величине соответствует произведение силы на длину рычага (расстояние от точки приложения силы до оси вращения). Система, имеющая ось вращения, будет находиться в равновесии, если суммарный момент сил равен нулю.

Возвращаясь к нашей задаче, вычислим суммарный момент сил относительно одной из опор (правой). Обозначим длину доски буквой L. Тогда момент силы тяжести груза будет равен:

M₁ = -m*g*L/2

Здесь L/2 — рычаг действия силы тяжести. Знак минус появился потому, что момент M₁ осуществляет вращение против часовой стрелки.

Момент силы реакции опоры будет равен:

M₂ = N*L

Поскольку система находится в равновесии, то сумма моментов должна быть равной нулю. Получаем:

M₁ + M₂ = 0 =>

N*L + (-m*g*L/2) = 0 =>

N = m*g/2 = 3*9,81/2 = 14,7 Н

Заметим, что от длины доски сила N не зависит.

Учитывая симметричность расположения груза на доске относительно опор, сила реакции левой опоры также будет равна 14,7 Н.

Представьте учебник по какой-либо дисциплине, лежащий на деревянной парте.

Книга покоится, и это, по первому закону Ньютона, означает, что силы, действующие на нее, уравновешены либо вовсе отсутствуют.

Одна сила на книгу точно действует. Это сила тяжести. Сила тяжести действует на все тела, находящиеся в гравитационном поле Земли. Обозначается она обычно вот так: ,mvec{g},. Эта сила всегда тянет предметы вниз, к центру Земли. Обозначим ее на нашем рисунке.

Мы знаем, что книжка покоится, значит, должна существовать сила, противостоящая силе тяжести. Что же это за сила? Сила реакции опоры.

Сила реакции опоры – это сила, действующая на тело со стороны поверхности, на которой оно находится. Обычно она обозначается вот так: vec{N}. Направлена она всегда перпендикулярно к поверхности соприкосновения.

В нашем случае сила реакции опоры препятствует движению предмета вниз, поэтому вектор этой силы направлен вверх. Важно понимать, что он может быть направлен иначе.

Например, представим скалолаза, карабкающегося по отвесной стене с помощью каната.

Мне удалось нарисовать только один его ботинок, и в принципе этого достаточно. Скалолаз будет давить на стену с некоторой силой, а стена будет давить на него в ответ, не давая его ноге перемещаться в горизонтальном направлении. Сила реакции опоры будет действовать в направлении, показанном на рисунке.

Чтобы найти величину силу реакции опоры, обычно применяют второй закон Ньютона. В случае с книгой его нужно использовать для оси y:

vec{a}_y=dfrac{varSigmavec{F}_y}{m}

Ускорение учебника равно нулю, он покоится. Сила реакции опоры направлена вверх, сила тяжести направлена вниз. Укажем это с помощью знаков:

0=dfrac{N-mg}{m}

Если мы умножим обе части уравнения на массу, то получим очень незамысловатый ответ:

0=N-mg

N=mg

Некоторые физические явления сложны для понимания школьников. К таковым относится и сила реакция опоры. Скорее всего причина тут кроется в том, что этот тип взаимодействия между физическими предметами и телами противоречит житейской логике. 

Между тем, достаточно немного усидчивости и терпения, чтобы убедиться, что это совсем не так.

Что такое сила реакции опоры

Прежде всего дадим определение данной силе. Сила реакции опоры (N) представляет собой взаимодействие на молекулярном уровне. 

Это сила, приложенная к телу и направленная вертикально вверх. 

Сила реакции опоры — сила упругости, возникающая при малых деформациях опоры, всегда перпендикулярна опоре, N = P.

Книга, положенная на стол, давит на ее поверхность с определенной нагрузкой, но молекулы, сжатые ею, хотят снова прийти в равновесие и поэтому давят на книгу ровно с такой же силой. Если бы в природе не существовало этого взаимодействия, то тела не выдерживали бы нагрузки. Из этого можно заключить, что сила реакции опоры представляет собой разновидность силы упругости.

Единица измерения, как и для всех силы (упругости, трения и др.), — Н (Ньютоны).

Примеры решения задач

Задача 1

Определить реакции опор горизонтальной балки от заданной нагрузки.

Рис. 1

Дано:

• P = 20 кН;

• G = 10 кН;

• М = 4 кНм;

• q = 2 кН/м;

• a = 2 м;

• b = 3 м;

• α = 30⁰.

Решение:

Перед тем, как начать составлять систему уравнений, необходимо несколько преобразовать систему балки:

1. Опора А покоится на подвижной опоре, которая может двигаться в горизонтальной плоскости, поэтому имеет только вертикальную составляющую реакции опоры – R_A.

2. Опора В абсолютно неподвижна, и ее реакция опоры состоит из двух взаимодействий, направленных вдоль линий оси: X_B и Y_B.

3. Распределенную нагрузку q для простоты можно заменить одиночной нагрузкой Q. Она будет располагаться ровно посередине отрезка. Находится по формуле: Q = (q × a). Делаем расчет и узнаем, чему равна Q = 2 × 2 = 4 кН.

4. Сила P не принадлежит ни к одной из плоскостей, а находится как бы между ними. Поэтому ее раскладывают на две составляющие: P_x и P_y. Это не значит, что они делят ее пополам. Для ее разложения понадобится вспомнить закон Пифагора. P_x = P × cos α, P_y = P × sin α.

После всех этих преобразований схема балки примет следующий вид:

Рис. 2

Теперь можно выписывать силы по принадлежности:

∑F_x = X_B – P × cos α = 0;

∑F_y = R_A – Q + G — P × sin α + Y_B = 0;

∑М_В = М + P × sin α × b – G × (b + 0,5 × a) + Q × (a + b) — R_A × (1,5 × a + b) = 0.

Как видно из уравнения момента сил, за точку вращения балки принята опора B. Поэтому значение воздействия в килоньютонах умножается на расстояние до этой точки в метрах.

Теперь в каждом уравнении есть одна неизвестная, поэтому, подставив известные значения, можно их найти:

X_B = P × cos α = 20 × cos 30⁰ = 20 × 0,866 = 17,32 кН;

R_A + Y_B = Q — G + P × sin α = 4 – 10 + 20 × sin 30⁰
= 4 кН;

R_A = М + P × sin α × b – G × (b + 0,5 × a) + Q × (a + b) × (1,5 × a + b) = 4 + 20 × sin 30⁰ × 3 – 10 × (3 + 0,5 × 2) + 4 × (2 + 3) × (1,5 × 2 + 3) = 2,33 кН;

Отсюда Y_B = 4 — R_A = 4 – 2,33 = 1,77 кН.

Задача 2

Для заданной плоской рамы определить реакции опор. Значения сил возьмем из задачи №1, несколько изменим их распределение. Схема балки показана на рис. 3.

Рис. 3

В этом примере существует только одна опора в точке А, распределенная нагрузка имеет сложную форму. Остальные силы, а точнее их проекции на оси х и у не претерпевают каких-либо изменений.

Чтобы правильно разложить нагрузку q, ее разделяют на две: Q₁ в виде треугольника от В до Д и на Q₂, представляющей собой прямоугольник. 

Соответственно, определяться они тоже будут по-разному:

Q₁ = (q × a) / 2 = (2 × 2) / 2 = 2 кН;

Q₂ = q × a = 2 × 2 = 4 кН.

Обе эти силы будут расположены посередине своих отрезков (Q₁ из характера нагрузки на 1/3 от точки Д).

В предыдущем примере шаровая опора могла вращать балку вокруг себя, поэтому не имела момента вращения. В данном случае опора представляет собой жестко закрепленную опору, поэтому имеет ко всему прочему еще и момент М_А. 

После всех преобразований схема балки будет следующей:

Рис. 4

Теперь можно приступать к выписыванию сил:

∑F_x = X_A – Q₁ – Q₂ – P × cos α = 0;

∑F_y = Y_A – G + P × sin α = 0;

∑М_В = M_A – G × 0.5 × b – Q₁ × 2/3 × a – Q₂ ×1,5 × a + M + P × sin α × 2b – P × cos α × 2a.

Две силы Р в последнем уравнении связаны с формой самой балки, которая может испытывать момент вращения от каждой из них.

Теперь можно подставлять уже известные значения:

X_A – 2 – 4 – 20 × cos 30⁰ = 0 → X_A = 23,32 кН;

Y_A – 10 + 20 × sin 30⁰ = 0 → Y_A = 0 кН;

M_A – 10 × 0,5 × 3 – 2 × 2/3 × 2 – 4 ×1,5 × 2 + 4 + 20 × sin 30⁰ × 2 × 3 – P × cos 30⁰ × 2 × 2 = 0 → M_A = 34,95 кН.

Задача решена.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?