Как найти силу сжимающую полушария

В 1654 г. Отто Герике в г. Магдебурге, чтобы доказать существование атмосферного давления, провёл такой опыт. Он выкачал воздух из полости между двумя металлическими полушариями, сложенными вместе. Давление атмосферы так сильно прижало полушария друг к другу, что их не могли разорвать восемь пар лошадей (рис. 132). Вычислите силу, сжимающую полушария, если считать, что она действует на площадь, равную 2800

с

м

2

, а атмосферное давление равно 760 мм рт. ст.

рис. 132

Прочтите текст.
В 1654 г. Отто Герике в г. Магдебурге, чтобы доказать существование атмосферного давления, провёл такой опыт. Он выкачал воздух из полости между двумя металлическими полушариями, сложенными вместе. Давление атмосферы так сильно прижало полушария друг к другу, что их не могли разорвать восемь пар лошадей. Силу F (в ньютонах), сжимающую полушария, вычисляют по формуле F = P • S, где P — давление в паскалях, S  — площадь в квадратных метрах. В опыте Отто Герике атмосферное атмосферное давление составляло 760 мм ртутного столба и действовало на площадь, равную 0,28 м2. Известно, что 1 мм рт. ст. = 133 Па. С высотой давление атмосферы уменьшается на 1 мм рт. ст. при подъеме на каждые 12 метров. Это явление позволяет измерять высоту объектов приборами, называемыми высотометрами.
Значительно ли изменится сжимающая сила, действующая на магдебургские полушария, если опыт Герике проделать на 60 метров выше? (Значительным изменением будем считать изменение более, чем на 1%.)

Прочтите текст.

В 1654 г. Отто Герике в г. Магдебурге, чтобы доказать существование атмосферного давления, провёл такой опыт. Он выкачал воздух из полости между двумя металлическими полушариями, сложенными вместе. Давление атмосферы так сильно прижало полушария друг к другу, что их не могли разорвать восемь пар лошадей. Силу F (в ньютонах), сжимающую полушария, вычисляют по формуле F = P · S, где P — давление в паскалях, S  — площадь в квадратных метрах. В опыте Отто Герике атмосферное атмосферное давление составляло 760 мм ртутного столба и действовало на площадь, равную 0,28 м². Известно, что 1 мм рт. ст. = 133 Па. С высотой давление атмосферы уменьшается на 1 мм рт. ст. при подъеме на каждые 12 метров. Это явление позволяет измерять высоту объектов приборами, называемыми высотометрами.

Значительно ли изменится сжимающая сила, действующая на магдебургские полушария, если опыт Герике проделать на 240 метров выше? (Значительным изменением будем считать изменение более, чем на 1%.)

Решение.

Найдем силу, сжимающую полушария при давлении 760 мм рт. ст.: F₁ = 760 · 133 · 0,28 ≈ 28 300 Н.

При увеличении высоты на 240 метров давление уменьшится на 20 мм. рт. ст. и составит 740 мм рт. ст. В этом случае получаем: F₂ = 740 · 133 · 0,28 ≈ 27 600 Н, что на 700 ньютонов меньше.

Следовательно, сила уменьшилась на  Изменения значительные.

Ответ: да.

Страница 48 из 84

§44. Измерение атмосферного давления. Опыт Торричелли

Вопросы

1. Почему нельзя рассчитывать давление воздуха так же, как рассчитывают давление жидкости на дно или стенки сосуда?

Ответ:

Посмотрим на формулу давления. p = gρh, где p − давление жидкости на дно сосуда, g − ускорение свободного падения, ρ− плотность, h − высота столба жидкости.
Так вот для воздушного пространства нет постоянной плотности по всей высоте, а значит нет возможности использовать формулу. Сложная дифференциация из за большой высоты, не позволяет с высокой точностью и достаточно быстро посчитать давление воздуха.

2. Объясните, как с помощью трубки Торричелли можно измерить атмосферное давление.

Ответ:

Данный опыт повторяет опыт с поилкой для животных, когда уровень жидкой среды уравновешивается атмосферным давлением. То есть опыт Торричелли заключается в следующем: стеклянную трубку длиной порядка 1 м, запаянную с одного конца, наполняют ртутью. Затем, плотно закрыв другой конец трубки, её переворачивают, опускают в чашку с ртутью и открывают нижний конец трубки (рис. 130). Часть ртути тут же выльется в чашку, а часть её остаётся в трубке. В итоге, атмосферное давление будет воздействовать на столб ртути будет пропорционально атмосферному давлению в мм.рт.ст.
В случае, если атмосферное давление уменьшится, то столб ртути в трубке Торричелли понизится и с точностью наоборот.

рис. 130. Опыт Торричелли

3. Что означает запись: «Атмосферное давление равно 780 мм рт. ст.»?

Ответ:

В случае, если говорят, что атмосферное давление равно 780 мм рт. ст., то окружающий воздух производит такое же давление, какое производит вертикальный столб ртути высотой 780 мм, который уравновешивается этим воздухом.

4. Скольким гектопаскалям равно давление ртутного столба высотой 1 мм?

Ответ:

Считаем давление столба ртути высотой 1 мм равно
p = gρh,
p = 9,8 * 13600 * 0,001 м ≈ 133,3 Па.
Итак, 1 мм рт. ст. = 133,3 Па или 1,333 гПа.
Ответ. 1,333 гПа.

Упражнение 21

1. На рисунке 131 изображён водяной барометр, созданный Паскалем в 1646 г. Какой высоты был столб воды в этом барометре при атмосферном давлении, равном 760 мм рт. ст.?

рис. 131

Ответ:

Дано:
p= 760 мм.рт.ст;
ρ = 1000 кг/$м^{3}$.
h − ?
Решение:
p = gρh;
$h=frac{p}{gρ}$;
1 мм.рт.ст.=133,3 Па;
$h=frac{760*133,3}{9,8 * 1000}$ = 10,3 м
Ответ. 10,3 м.

2. В 1654 г. Отто Герике в г. Магдебурге, чтобы доказать существование атмосферного давления, провёл такой опыт. Он выкачал воздух из полости между двумя металлическими полушариями, сложенными вместе. Давление атмосферы так сильно прижало полушария друг к другу, что их не могли разорвать восемь пар лошадей (рис. 132). Вычислите силу, сжимающую полушария, если считать, что она действует на площадь, равную 2800 $см^{2}$ , а атмосферное давление равно 760 мм рт. ст.

рис. 132

Ответ:

Дано:
S = 2800 $см^{2}$;
p = 760 мм.рт.ст;
F−?
Решение:
S = 2800 * 0,0001 = 0,28 $м^{2}$;
1 мм.рт.ст. = 133,3 Па
p= 760 * 133,3 Па = 101308 Па;
$p=frac{F}{S}$;
F = pS;
F = 101308 * 0,28 = 28 366 Н или 28,4 кН.
Ответ. 28,4 кН.

3. Из трубки длиной 1 м, запаянной с одного конца и с краном на другом конце, выкачали воздух. Поместив конец с краном в ртуть, открыли кран. Заполнит ли ртуть всю трубку? Если вместо ртути взять воду, заполнит ли она всю трубку?

Ответ:

Мы знаем, что при нормальном атмосферном давлении высота столба ртути должна быть 760 мм или 0,76 м, что само собой меньше длины трубки в 1 м. Таким образом, ртуть не заполнит всю трубку. А для воды проведем расчёт.
p = gρh;
$h=frac{p}{gρ}$;
Столб воды оказывает такое же давление как столб ртути.
ρ = 1000 кг/$м^{3}$;
1 мм.рт.ст. = 133,3 Па
Атмосферное давление = 760 мм.рт.ст.
$h=frac{760 * 133,3}{9,8 * 1000}$ = 10,3 м > 1 м.
Таким образом, вода полностью заполнит всю трубку.

4. Выразите в гектопаскалях давление, равное: 740 мм рт. ст.; 780 мм рт. ст.

Ответ:

Дано:
$p_{1}$ = 740 мм.рт.ст.;
$p_{2}$ = 780 мм.рт.ст.
$p_{1}$ (гПа)−?
$p_{2}$ (гПа)−?
Решение:
1 мм.рт.ст. = 133,3 Па
1 гПа = 100 Па
$p_{1}$ = 740 мм.рт.ст. = 740 * 133,3 = 98642 П = 986,42 гПа;
$p_{2}$ = 780 мм.рт.ст. = 780 * 133,3 = 98642 П ≈ 1040 гПа.
Ответ. 986,42 гПа, 1040 гПа.

5. Рассмотрите рисунок 130. Ответьте на вопросы.
а) Почему для уравновешивания давления атмосферы, высота которой достигает десятков тысяч километров, достаточно столба ртути высотой около 760 мм?
б) Сила атмосферного давления действует на ртуть, находящуюся в чашке, сверху вниз. Почему же атмосферное давление удерживает столб ртути в трубке?
в) Как повлияло бы наличие воздуха в трубке над ртутью на показания ртутного барометра?
г) Изменится ли показание барометра, если трубку наклонить; опустить глубже в чашку со ртутью?

рис. 130.

Ответ:

а) Сама по себе ртуть очень плотная, а поэтому столь незначительная высота,  столб ртути высотой 760 мм, эквивалентна атмосферному давлению.
б) Здесь действует закон Паскаля. Атмосферное давление удерживает столб в трубке вследствие атмосферным давлением, которое передается через чашку и затем в трубку.
в) Воздух стал бы буфером, некой механической пружиной, влияющей на ртуть. Само собой столб ртути не поднялся бы но первоначальную высоту, где воздух был откачан.
г) Уровень будет оставаться прежний. При этом при наклоне столбика в самом столбе он будет меняться относительно купола. Если столб наклонить сильно, то ртуть может заполнить весь столбик.
При опускании столбика ртуть также может заполнить столб, так как 760 мм отсчитывается от поверхности ртути в чашке.

Задание

1. Погрузите стакан в воду, переверните его под водой вверх дном и затем медленно вытаскивайте из воды. Почему, пока края стакана находятся под водой, вода остаётся в стакане (не выливается)?

Ответ:

Действует все то же атмосферное давление, оно и не дает воде вылиться из стакана.

2. Налейте в стакан воды, закройте листом бумаги и, поддерживая лист рукой, переверните стакан вверх дном. Если теперь отнять руку от бумаги (рис.133), то вода из стакана не выльется. Бумага остаётся как бы приклеенной к краю стакана. Почему? Ответ обоснуйте.

рис. 133

Ответ:

 Здесь сразу несколько факторов. Во-первых, на лист бумаги действует атмосферное давление. Во-вторых, протечки воды настолько не значительны, что воздух не может подняться вверх и начать заполнять пространство. Как только это произойдет, вода начнет выливаться из стакана. 

3. Положите на стол длинную деревянную линейку так, чтобы её конец выходил за край стола. Сверху застелите стол газетой, разгладьте газету руками, чтобы она плотно лежала на столе и линейке. Резко ударьте по свободному концу линейки — газета не поднимется, а прорвется. Объясните наблюдаемые явления.

Ответ:

Опыт несколько искажен по своему смыслу. Он преследует совей целью показать, что за счет давления на газету, большая ее часть останется лежать на столе, так как на нее действует атмосферное давление. А порвется лишь небольшая часть, над линейкой. Хотя здесь надо учитывать и силу инерции бумаги, пусть и незначительную.

На предыдущих уроках мы рассчитывали давление жидкости на дно и стенки сосуда по формуле $p=rho gh$. Но атмосферное давление так рассчитать не получится.

Почему нельзя рассчитывать давление воздуха так же, как рассчитывают давление жидкости на дно или стенки сосуда?
Для этого нам нужно будет знать высоту атмосферы и плотность воздуха. Но определенной границы у атмосферы нет, а плотность воздуха меняется в зависимости от высоты: в нижних слоях атмосферы она больше, чем в верхних (рисунок 1).

На данном уроке мы рассмотрим известный опыт, который позволяет рассчитать величину атмосферного давления и познакомимся с новой единицей измерения давления — миллиметрами ртутного столба.

Опыт Торричелли

В XVII веке во Флоренции герцог Тосканский готовился к балу в своем замке и приготовил для своих гостей необычный сюрприз. Это был фонтан, струи которого должны были зрелищно окружить террасу своими струями.

Однако, несмотря на работу ручных насосов, вода поднималась только на высоту около 10 метров. Недоумевающие строители обратились за помощью к Галилею, который предложил разобраться в этом своему ученику Торричелли.

Эванджелиста Торричелли (рисунок 2) смог не только объяснить «упрямство фонтана» действием атмосферного давления, но пошел дальше и рассчитал это атмосферное давление.

Рассмотрим известнейший опыт Торричелли. На рисунке 3 показана стеклянная трубка длиной $1 space м$, один конец которой запаян. Трубку наполняют ртутью (рисунок 3, а). Затем плотно закрывают ее открытый конец (рисунок 3, б). Далее трубку переворачивают и опускают в чашу с ртутью (рисунок 3, в). После этого трубку открывают (рисунок 3, г).

Мы видим, что часть ртути при этом вылилась в чашу, а другая ее часть осталась в трубке. Высота столба ртути, оставшейся в трубке, равна примерно 760 мм. Заметим, что в трубке над ртутью воздуха нет, там безвоздушное пространство.

Объяснение опыта Торричелли

Теперь давайте рассмотрим объяснение данного опыта. Поверхность ртути в чаше испытывает атмосферное давление. Ртуть в чаше находится в равновесии, то есть давление в трубке на уровне AB (рисунок 4) равно атмосферному давлению $p_{атм}$. Если бы это было не так и давление в трубке было бы больше атмосферного, то ртуть выливалась бы в чашу. А если меньше — то ртуть поднималась бы в трубке вверх.

Так как в верхней части трубки воздуха нет, то давление создается только весом столба ртути. Из этого следует, что атмосферное давление равно давлению столба ртути в трубке, то есть:

$p_{атм}=p_{ртути}$.

Соответственно, чтобы посчитать величину атмосферного давления, достаточно измерить высоту столба ртути. Из формулы $p=rho gh$ мы видим, что величина атмосферного давления будет прямо пропорциональна высоте столба ртути в трубке. При уменьшении атмосферного давления мы увидим, что столб ртути понизился, а при увеличении атмосферного давления столб ртути в опыте Торричелли станет выше.

Единицы измерения атмосферного давления

Что означает запись: «Атмосферное давление равно 760 мм рт. ст.»?
На практике атмосферное давление часто измеряется высотой ртутного столба. Если, например, атмосферное давление 760 мм рт. ст., то это значит, что воздух производит такое же давление, что и вертикальный столб ртути высотой 760 мм. Каждый из вас слышал прогноз погоды от гидрометцентра. В сводках погоды атмосферное давление также передают в мм рт. ст.

А в каких единицах мы обычно рассчитываем давление на занятиях, решая задачи? Давайте найдем соотношения между этими единицами и выясним, чему равен 1 мм рт. ст. в паскалях (Па).

Давление столба ртути высотой 1 мм равно:
$p = rho gh$,
$p = 13600 frac{кг}{м^3} cdot 9.8frac{Н}{кг} cdot 0.001 space м approx 133.3 space Па$.

$1 space мм space рт. space ст. = 133.3 space Па$.

Скольким гектопаскалям равно давление ртутного столба высотой 1 мм?
$1 space мм space рт. space ст. = 133.3 space Па = 1.333 space гПа approx 1.3 space гПа$.

Среднее значение атмосферного давления равно 760 мм рт. ст. Выразим это значение в паскалях и в гектопаскалях (также довольно широко используемая величина измерения):
$760 space мм space рт. space ст. approx 101 space 300 space Па approx 1013 space гПа$.

Ртутный барометр

Если к трубке с ртутью, использовавшейся в опыте Торричелли, прикрепить вертикальную шкалу, то получится измерительный прибор — ртутный барометр (рисунок 5).

Ртутный барометр — это прибор для измерения атмосферного давления.

После ежедневного наблюдения за высотой столба ртути в трубке, Торричелли сделал вывод, что периодически атмосферное давление меняется и его изменения связаны с погодными условиями.

Другие опыты

В конце 1646 года семья Паскалей жила во французском городе Руане. Блез Паскаль повторил известный опыт, экспериментируя не только с ртутью, как Торричелли, но и с водой, маслом, красным вином.

Интересный эксперимент был проведен 19 сентября 1648 года. Блез Паскаль и его зять Флорен Перье проделали опыт, доказавший существование атмосферного давления. При помощи стеклянной трубки и чаши с ртутью предстояло измерить, на какую высоту поднимается в ней ртуть у подножия и на вершине горы Пюи-де-Дом высотой 1647 метров в Клермоне. На вершине столбик ртути остановился на более низкой отметке. Причина — земная атмосфера на вершине на 1647 метров меньше. Разница уровней ртути составила почти 8 см (рисунок 7).

Интересный факт: самый большой водяной барометр был сконструирован в 1985 году Бертом Болле. Он был хранителем музея барометров в Маартенсдейке (Нидерланды), а высота барометра была более 12,5 метров. Барометр был установлен в этом музее и пробыл там вплоть до его закрытия (рисунок 8).

Упражнения

$h — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

$F — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Задания

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть