Как найти силу вязкого трения

Вязкость
(внутреннее трение) (англ.
viscosity) — одно из явлений переноса,
свойство текучих тел (жидкостей
и газов)
оказывать сопротивление перемещению
одной их части относительно другой.
Механизм внутреннего трения в жидкостях
и газах заключается в том, что хаотически
движущиеся молекулы
переносят импульс из одного слоя в
другой, что приводит к выравниванию
скоростей — это описывается введением
силы трения. Вязкость твёрдых тел
обладает рядом специфических особенностей
и рассматривается обычно отдельно.
Основной закон вязкого течения был
установлен И. Ньютоном (1687): В применении
к жидкостям различают вязкость:

• Динамическая
  (абсолютная) вязкость µ
  – сила, действующая на единичную площадь
  плоской поверхности, которая перемещается
  с единичной скоростью относительно
  другой плоской поверхности, находящейся
  от первой на единичном расстоянии. В
  системе
  СИ
  динамическая вязкость выражается в
  Па×с
  (паскаль-секунда), внесистемная единица
  П (пуаз).

• Кинематическая
  вязкость ν
  – отношение динамической вязкости µ
  к плотности жидкости ρ.

ν=
^µ/_ρ,

где:

• ν,
  м²/с
  – кинематическая вязкость;

• μ,
  Па×с – динамическая вязкость;

• ρ,
  кг/м³
  – плотность жидкости.

В
системе
СИ
кинематическая вязкость выражается в
м²/с
(квадратный метр на секунду), внесистемная
единица Ст(стокс).

Прибор
для измерения вязкости называется
вискозиметром.

Сила
вязкого трения

Это
явление возникновения касательных сил,
препятствующих перемещению частей
жидкости или газа друг по отношению к
другу. Смазка между двумя твердыми
телами заменяет сухое трение скольжения
трением скольжения слоев жидкости
или газа
по отношению друг к другу. Скорость
частиц среды плавно меняется от скорости
одного тела до скорости другого тела.

Сила
вязкого трения пропорциональна скорости
относительного движения V
тел, пропорциональна площади S
и обратно пропорциональна расстоянию
между плоскостями h.

F=-V•^S/_h,

Коэффициент
пропорциональности, зависящий от сорта
жидкости или газа, называют коэффициентом
динамической вязкости.
Самое важное в характере сил вязкого
трения то, что при наличии любой сколь
угодно малой силы тела придут в движение,
то есть не существует трения
покоя.
Качественно существенное отличие сил
вязкого
трения
от сухого
трения,
кроме прочего, то, что тело при наличии
только вязкого трения и сколь угодно
малой внешней силы обязательно придет
в движение, то есть для вязкого трения
не существует трения покоя, и наоборот
— под действием только вязкого трения
тело, вначале двигавшееся, никогда (в
рамках макроскопического приближения,
пренебрегающего броуновским движением)
полностью не остановится, хотя движение
и будет бесконечно замедляться.

Если
движущееся тело полностью погружено в
вязкую среду и расстояния от тела до
границ среды много больше размеров
самого тела, то в этом случае говорят о
трении или сопротивлении
среды.
При этом участки среды (жидкости или
газа), непосредственно прилегающие к
движущемуся телу, движутся с такой же
скоростью, как и само тело, а по мере
удаления от тела скорость соответствующих
участков среды уменьшается, обращаясь
в нуль на бесконечности.

Сила
сопротивления среды зависит от:

• ее
  вязкости

• от
  формы тела

• от
  скорости движения тела относительно
  среды.

Например,
при медленном движении шарика в вязкой
жидкости силу трения можно найти,
используя формулу Стокса:

F=-6•R•V,

Качественно
существенное отличие сил вязкого трения
от сухого
трения,
кроме прочего, то, что тело при наличии
только вязкого трения и сколь угодно
малой внешней силы обязательно придет
в движение, то есть для вязкого трения
не существует трения покоя, и наоборот
— под действием только вязкого трения
тело, вначале двигавшееся, никогда (в
рамках макроскопического приближения,
пренебрегающего броуновским движением)
полностью не остановится, хотя движение
и будет бесконечно замедляться.

Вязкость жидкости

Вязкость
жидкости
— это свойство, проявляющееся только
при движении жидкости, и не влияющее на
покоящиеся жидкости. Вязкое трение в
жидкостях подчиняется закону трения,
принципиально отличному от закона
трения твёрдых тел, т.к. зависит от
площади трения и скорости движения
жидкости.
Вязкость
– свойство жидкости оказывать
сопротивление относительному сдвигу
ее слоев. Вязкость проявляется в том,
что при относительном перемещении слоев
жидкости на поверхностях их соприкосновения
возникают силы сопротивления сдвигу,
называемые силами внутреннего трения,
или силами вязкости. Если рассмотреть
то, как распределяются скорости различных
слоёв жидкости по сечению потока, то
можно легко заметить, что чем дальше от
стенок потока, тем скорость движения
частиц больше. У стенок потока скорость
движения жидкости равна нулю. Иллюстрацией
этого является рисунок, так называемой,
струйной модели потока.

Медленно
движущийся слой жидкости «тормозит»
соседний слой жидкости, движущийся
быстрее, и наоборот, слой, движущийся с
большей скоростью, увлекает (тянет) за
собой слой, движущийся с меньшей
скоростью. Силы внутреннего трения
появляются вследствие наличия
межмолекулярных связей между движущимися
слоями. Если между соседними слоями
жидкости выделить некоторую площадку
S,
то согласно гипотезе Ньютона:

F=μ•S•(^du/_dy),

где:

• μ
  — коэффициент вязкого трения;

• S
  – площадь трения;

• du/dy
  — градиент скорости

Величина
μ
в этом выражении является динамическим
коэффициентом вязкости,
равным:

μ=^F/_S•¹/^du_/dy,

или

μ=τ•¹/^du_/dy,

где:

• τ
  – касательное напряжение в жидкости
  (зависит от рода жидкости).

Физический смысл
коэффициента вязкого трения

Физический
смысл коэффициента вязкого трения
— число, равное силе трения, развивающейся
на единичной поверхности при единичном
градиенте скорости.

На
практике чаще используется кинематический
коэффициент вязкости,
названный так потому, что в его размерности
отсутствует обозначение силы. Этот
коэффициент представляет собой отношение
динамического коэффициента вязкости
жидкости к её плотности:

ν=^μ/_ρ,

Единицы
измерения коэффициента вязкого трения:

• Н·с/м²;

• кГс·с/м²

• Пз (Пуазейль)
  1(Пз)=0,1(Н·с/м²).

Анализ
свойства вязкости жидкости

Для
капельных жидкостей вязкость зависит
от температуры
t
и давления
Р,
однако последняя зависимость проявляется
только при больших изменениях давления,
порядка нескольких десятков МПа.

Зависимость
коэффициента динамической вязкости от
температуры выражается формулой вида:

μ_t=μ₀•e^-k_t^(T-T₀⁾,

где:

• μ_t
  — коэффициент динамической вязкости
  при заданной температуре;

• μ₀
  — коэффициент динамической вязкости
  при известной температуре;

• Т
  — заданная температура;

• Т₀
  — температура, при которой измерено
  значение μ₀;

• e
  – основание натурального логарифма
  равное 2,718282.

Зависимость
относительного коэффициента динамической
вязкости от давления описывается
формулой:

μ_р=μ₀•e^-k_р^(Р-Р₀⁾,

где:

• μ_Р
  — коэффициент динамической вязкости
  при заданном давлении,

• μ₀
  — коэффициент динамической вязкости
  при известном давлении (чаще всего при
  нормальных условиях),

• Р
  — заданное давление,;

• Р₀
  — давление, при которой измерено значение
  μ₀;

• e
  – основание натурального логарифма
  равное 2,718282.

Влияние
давления на вязкость жидкости проявляется
только при высоких давлениях.

Ньютоновские и
неньютоновские жидкости

Ньютоновскими
называют жидкости, для которых вязкость
не зависит от скорости деформации. В
уравнении Навье — Стокса для
ньютоновской жидкости имеет место
аналогичный вышеприведённому закон
вязкости (по сути, обобщение закона
Ньютона, или закон Навье):

σ_ij=η•(^dv_i/_dxi+^dv_j/_dxi),

где
σ_ij —
тензор вязких напряжений.

Среди
неньютоновских
жидкостей,
по зависимости вязкости от скорости
деформации различают псевдопластики
и дилатантные жидкости. Моделью с
ненулевым напряжением сдвига (действие
вязкости подобно сухому трению) является
модель Бингама. Если вязкость меняется
с течением времени, жидкость называется
тиксотропной. Для неньютоновских
жидкостей методика измерения вязкости
получает первостепенное значение.

С
повышением температуры вязкость многих
жидкостей падает. Это объясняется тем,
что кинетическая энергия каждой молекулы
возрастает быстрее, чем потенциальная
энергия взаимодействия между ними.
Поэтому все смазки всегда стараются
охладить, иначе это грозит простой
утечкой через узлы.

Соседние файлы в папке Физика_1

• #
• #
• #
• #
• #

  21.05.2015145.41 Кб3116.doc

• #
• #

  21.05.2015184.41 Кб2019.pdf

• #

  21.05.201599.84 Кб122.doc

• #

  21.05.2015112.13 Кб1020.doc

• #
• #

Сила сопротивления при движении в вязкой среде

В отличие от сухого вязкое трение характерно тем, что сила вязкого трения обращается в нуль одновременно со скоростью. Поэтому, как бы ни была мала внешняя сила, она может сообщить относительную скорость слоям вязкой среды.

Правила поведения жидкости и газа в отношении трения не различаются. Поэтому все сказанное ниже относится в равной степени и к жидкостям, и к газам.

Сила сопротивления, возникающая при движении тела в вязкой среде обладает определенными свойствами:

• отсутствует сила трения покоя — например, человек может сдвинуть с места плавающий многотонный корабль, просто потянув за канат;
• сила сопротивления зависит от формы движущегося тела — корпус подводной лодки, самолёта или ракеты имеет обтекаемую сигарообразную форму — для уменьшения силы сопротивления, наоборот, при движении полусферического тела вогнутой стороной вперёд сила сопротивления очень велика (пример — парашют);
• абсолютная величина силы сопротивления существенно зависит от скорости.

Сила вязкого трения

Изложим закономерности, которым подчиняются силы трения и сопротивления среды совместно, причём условно будем называть суммарную силу силой трения. Вкратце эти закономерности сводятся к следующему — величина силы трения зависит:

• от формы и размеров тела;
• состояния его поверхности;
• скорости по отношению к среде и от свойства среды, называемого вязкостью.

Типичная зависимость силы трения от скорости тела по отношению к среде показана графически на рис. 1.~

«Вязкое трение и сопротивление среды» 👇

При малых скоростях движения сила сопротивления прямо пропорциональна скорости и сила трения растет линейно со скоростью:

$F_{mp} =-k_{1} v$ , (1)

где знак «-» означает, что сила трения направлена в сторону, противоположную скорости.

При больших скоростях линейный закон переходит в квадратичный т.е. сила трения начинает расти пропорционально квадрату скорости:

$F_{mp} =-k_{2} v^{2}$ (2)

Например, при падении в воздухе зависимость силы сопротивления от квадрата скорости имеет место уже при скоростях около нескольких метров в секунду.

Величина коэффициентов $k_{1} $ и $k_{2}$ (их можно назвать коэффициентами трения) в сильной степени зависит от формы, и размеров тела, состояния его поверхности и от вязких свойств среды. Например, для глицерина они оказываются гораздо большими, чем для воды. Так, парашютист при затяжном прыжке не набирает скорость безгранично, а с определённого момента начинает падать с установившейся скоростью, при которой сила сопротивления становится равна силе тяжести.

Значение скорости, при которой закон (1) переходит в (2), оказывается зависящим от тех же причин.

Знакомство с силами трения начинается ещё в школе. Наиболее подробно в рамках школьной программы изучается сухое трение, то есть трение, возникающее при взаимодействии двух сухих поверхностей твёрдых тел. С опорой на характер перемещения тел на уроках физики разбираются трение покоя и трение скольжения, закон Кулона – Амонтона ((F_ {textit{тр} textit{скол}} = μN)). При рассмотрении движения твёрдого тела приходится иметь дело с силой трения качения, обусловленной деформацией касающихся тел.

Из-за трудности материала меньше всего внимания уделяется силам вязкого трения. Вместе с тем посвящённые этому виду трения задачи нередко встречаются на олимпиадах, так что сегодня хотелось бы сосредоточиться именно на нём. В статье содержатся теоретические сведения о вязком трении (в том числе о механизме его возникновения), а также приведены типичные олимпиадные задачи по теме и их решение.

Что нужно знать на олимпиаде?

Трение между твёрдым телом и жидкостью или газом называется жидким (вязким) трением. Сформулируем основные особенности вязкого трения:

1. При движении тела в вязкой среде отсутствует сила трения покоя. Причина этого – в механизме возникновения вязкого трения. Сила трения покоя при сухом трении обусловлена микроскопическими неровностями соприкасающихся тел. При небольшом относительном смещении они сцепляются друг с другом из-за межатомных взаимодействий в месте контакта. Вязкое трение возникает при относительном смещении слоёв жидкости или газа, поэтому никакого «начального» сопротивления тут не появляется.

2. Силы трения всегда стремятся сравнять скорости соприкасающихся тел, и вязкое трение здесь не исключение. При нём происходит передача импульса от слоя жидкости, движущегося с большей скоростью, молекулам жидкости более медленного слоя, в результате чего скорость последнего увеличивается, и в то же время — обратный процесс, переход «медленных» молекул в соседний быстро движущийся слой, что приводит к уменьшению его скорости.

Явление вязкости, как одно из явлений переноса, отнюдь не механическое, объяснение ему даёт молекулярная физика. Ближайший к телу, поверхностный, слой жидкости, с одной стороны, участвует в обмене импульсом с остальными слоями, а с другой, обладает скоростью, равной скорости тела. Таково простейшее объяснение явления вязкого трения.

3. Из опыта известно, что при малых скоростях движения тела относительно вязкой среды сила сопротивления пропорциональна относительной скорости, а при больших скоростях – пропорциональна её квадрату:

(F_{textit {тр}} = -αv);        (F_{textit {тр}} = -βvv).

Эти соотношения часто помогают при решении задач. Как правило, в условии непосредственно приводится запись одного из указанных законов, коэффициенты пропорциональности изначально известны или могут быть найдены на основе условия. К коэффициентам (α) и (β) нужно относиться как к заданным, экспериментально определённым постоянным, в результате каких-либо рассуждений их получить нельзя!

Механизм возникновения вязкого трения и основные закономерности

Представим для определённости, что рассматриваемое твёрдое тело покоится, а его обтекает поток жидкости или газа. Силы воздействия потока на твёрдое тело всегда можно привести к одной результирующей силе. Результирующую силу всегда можно разложить на две составляющие, две силы, которые перпендикулярны друг другу: одну – направленную по потоку (сила лобового сопротивления), вторую – перпендикулярную ему. Для симметричных тел, расположенных так, что их ось симметрии направлена по потоку, сила воздействия потока, очевидно, направлена тоже по потоку; на эти тела действует только сила лобового сопротивления.

Чем же определяется сила лобового сопротивления? Она зависит от формы, от размеров тела, от скорости потока и от физических свойств жидкости. Опыты показывают, что сила сопротивления тел одинаковой формы пропорциональна площади поперечного сечения тела (поперечного по отношению к направлению скорости потока (v)), скоростному напору (ρv^2over2) и некоторому коэффициенту (C_x), называемому коэффициентом лобового сопротивления тела данной формы.

Коэффициент лобового сопротивления, вообще говоря, не остаётся постоянным, он зависит от величины числа Рейнольдса (Re = {ρvl over μ}), где (l) – характерный размер тела, (v) – скорость потока, (ρ) – плотность жидкости и (μ) – коэффициент вязкости жидкости. Число Рейнольдса – величина, позволяющая сравнивать движение различных объектов, имеющих разные характеристики. Его физический смысл – отношение силы инерции к силе трения:

На олимпиадах по физике число Рейнольдса можно встретить в задачах экспериментальных туров. В заданиях чаще всего требуется найти это число и оценить с его помощью характер течения жидкости: ламинарный или турбулентный. При ламинарном течении жидкость перемещается слоями без перемешивания. При турбулентном течении слои жидкости перемешиваются и возникают вихри, закручивания.

Рис. 1. Турбулентное и ламинарное течение жидкости.

На рис. 2 показана кривая зависимости коэффициента лобового сопротивления (C_x) от числа (Re) для тела, представляющего собой шар. Так как число Рейнольдса пропорционально скорости потока, то при небольших значениях этого числа, примерно до (Re ≈ 100), сила сопротивления также пропорциональна скорости потока. По мере возрастания (Re) сначала наступает «переходный момент», после чего коэффициент лобового сопротивления на время перестаёт варьироваться, сохраняя на определённом участке постоянный показатель; это говорит о том, что сила сопротивления становится пропорциональна квадрату скорости потока. Наконец где-то при (Re ≈ 1,5 cdot 10^5) коэффициент (C_x) резко изменяет своё значение и далее остаётся примерно постоянным.

График зависимости величины силы сопротивления (F) от скорости (v) для шара показан на рис. 3. Область а – область линейной зависимости, область б – первая область квадратичной зависимости, в – вторая область квадратичной зависимости.

Таким образом, мы видим, что законы, которые используются в олимпиадных задачах, связанных с силами вязкого трения, действительно работают.

При очень малой скорости потока наблюдается плавное, безотрывное движение жидкости около тела. В нижней части рис. 1 изображены линии тока, образующиеся вокруг цилиндра при плавном обтекании. При увеличении скорости обтекания ситуация принципиально меняется (см. верхнюю часть рис. 1). Линии тока перестают замыкаться за цилиндром и «отрываются» от него, формируя за телом сильно завихрённое пространство; обтекание происходит с отрывом трубок тока от тела. Более того, линии тока отделяются и от общего потока. В пространстве за цилиндром имеется завихрённая область, в которой уже нельзя увидеть линий тока, так как она резко покидает область регулярного течения, характеризующуюся чёткими линиями. В связи с этим в рассматриваемом случае нет симметрии давления, действующего на тело со стороны потока сзади и спереди. Спереди наблюдается примерно та же картина, что и при плавном обтекании: давление в критической области и вблизи неё больше статического на величину порядка (ρv^2over2), т.е. величину динамического напора. Позади же цилиндра (где линии тока, оторвавшись от тела, сначала идут более прямолинейно), в зоне завихрения, давление при турбулентном движении жидкости всегда меньше, чем перед телом, оно примерно равно статическому давлению в невозмущённом потоке.

В общем случае обтекания любого тела жидкостью отрыв потока вызывает такое перераспределение давления на поверхности тела, при котором результирующая сила не равна нулю и поток жидкости, не обладающей вязкостью, действует на тело с определённой силой.

В потоке вязкой жидкости по касательной к поверхности тела, как мы знаем, действует сила, тянущая тело в направлении потока. Даже если обтекание вязкой жидкостью и безотрывное, при нём, несмотря на симметрию потока, всё равно имеет место сила лобового сопротивления, слагающаяся из касательных сил вязкости.

Таковы основные механизмы возникновения и действия сил вязкого трения.

Олимпиадные задачи с решением

Задача 1 (ЗЭ ВсОШ 1998, 10 класс)

Тело массой (m) бросают вертикально вверх с поверхности Земли, вдоль которой с постоянной скоростью (u) дует ветер. Сила сопротивления воздуха пропорциональна его скорости и равна (F = -kv). Через время (τ) тело возвращается на землю на расстоянии (s) от точки бросания с вертикальной составляющей скорости, которая на (Δv) меньше стартовой скорости. Найдите работу сил трения о воздух за всё время полета.

Решение

При подбрасывании вверх тело под действием ветра смещается по горизонтали вдоль оси (X) (см. рис.), причём его движение описывается как:

(m{∆v_{xi}}=k(u-v_{xi}){∆t_i}). 

Движение тела вверх по вертикали происходит в соответствии с уравнением:

(m{∆v_{yi}}=-(kv_{yi}+mg){∆t_i}),

а движение в обратном направлении – со следующим:

(m{∆v_{yi}}=(-kv_{yi}+mg){∆t_i}).

Суммируя приведённые выражения по всем (i), получаем:

(mv_{x1}=kuτ-ks),

(-mv_{y0}=-kH-mgτ_1),

(-mv_{y1}=-kH+mgτ_2),

где (τ_1) — время подъёма тела, (τ_2 ) — время его падения на землю, (v_{y0}) – начальная скорость тела, a (v_{xl}) и (v_{yl}) — горизонтальная и вертикальная проекции конечной скорости.

Значит,

((v_{y1}+v_{y0})=g(τ_1+τ_2)=gτ),

(v_{x1}={kuτ — ks over m}).

Работа силы трения равна изменению кинетической энергии тела:

(A={mv_{y0}^2 over 2}-{m(v_{y1}^2 + v_{x1}^2) over 2}={m over 2}{∆vgτ}-{1 over 2} {k^2 over m}(uτ-s)^2).

Задача 2 (ЗЭ ВсОШ 1996, 10 класс)

Тело брошено под углом к горизонту с высокого обрыва. Из-за сопротивления воздуха время подъёма тела до наибольшей высоты и время падения до точки (A), находящейся на линии горизонта, которая проходит через точку (O) старта, отличаются на (τ). В той же точке (A) горизонтальная составляющая скорости тела равна (v_{textit гA}), а вертикальная составляющая на (Δv) меньше вертикальной составляющей скорости в точке (O) старта. На какую высоту (H) от линии горизонта поднялось тело, если наибольшее удаление его по горизонтали от точки (A) за время полета составило (ΔL_0)? Сила сопротивления движению тела в воздухе прямо пропорциональна его скорости.

Решение

Рассмотрим сначала движение тела по вертикали. За малый промежуток времени (Δt) изменение импульса тела составит:

(m{∆v_textit {в}}=-mg{∆t}-kv_textit {в}{∆t}=-mg{∆t}-k{∆H}),

где (k) – коэффициент пропорциональности для силы сопротивления воздуха.

Когда тело достигнет верхней точки своей траектории, изменение его импульса будет равно:

(-mv_{textit в 0}=-mgt_1-kH).  

При движении тела вниз от верхней точки траектории до точки (A) его импульс изменится согласно формуле:

(mv_textit {вA}=mgt_2-kH).

Сложив записанные уравнения, получим:

(-m{∆v}=mgτ-2kH),

где

(τ=t_2-t_1),  (∆v=v_{textit в 0}-v_textit{вA}). 

Отсюда:

(H={m over k} {gτ + ∆v over 2}).

Рассмотрим теперь движение тела по горизонтали.

Изменение горизонтальной составляющей импульса тела (Δv_textit г) равно импульсу силы сопротивления воздуха:

(m{∆v_textit г}=-kv_textit г {∆t}=-k{∆L}),

где (ΔL) – малое смещение тела по горизонтали. Когда тело достигнет точки (A), изменение горизонтальной составляющей импульса составит (по модулю):

(mv_{textit г 0}-mv_{textit гA}=kL_A),

где (L_A) – расстояние между точками (A) и (O). При максимальном удалении от точки (O), когда горизонтальная составляющая скорости станет равной нулю, полное изменение импульса тела будет равно:

(mv_{textit г 0}=kL_{max}).

Отсюда получаем:

({m over k}={∆L_0 over v_{textit гA}}),

где (∆L_0 = L_{max} – L_A). Следовательно,

(H={∆L_0 over 2v_{textit гA}}(gτ+∆v)).

Задача 3 (ЗЭ ВсОШ 2014, 9 класс)

«На балконе»

Экспериментатор Глюк бросает шарик от пинг-понга массой (m) с балкона 17 этажа вертикально вверх со скоростью (v_0). При полёте на шарик действует сила сопротивления, прямо пропорциональная скорости. Перед падением на землю шарик двигался с постоянной скоростью (v_2). Найдите скорость шарика (v_{max}), при которой его кинетическая энергия меняется быстрее всего в процессе движения.

Решение

Скорость изменения кинетической энергии тела – это мощность приложенных к нему сил. На шарик действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. По условию сила сопротивления пропорциональна скорости:

(overrightarrow {F_textit с}=-α overrightarrow v).

Суммарная мощность сил, приложенных к шарику, равна:

(N=(m overrightarrow g+ overrightarrow {F_textit с}) cdot overrightarrow v=mgv-αv^2),

где (v) – проекция скорости шарика на ось, направленную вертикально вниз.

При падении шарик будет ускоряться, пока сила сопротивления не уравновесит силу тяжести. Зная скорость установившегося движения (v_2), найдём коэффициент (α), записав для шарика второй закон Ньютона в проекции на ось, направленную вертикально вниз, и приравняв ускорение к нулю:

(0=mg-αv_2),

откуда

(α={mg over v_2}).

В процессе движения скорость (v) изменяется от (–v_0) до (v_2).

Для мощности (N) справедливо выражение:

(N= {{mgv_2 over 4}- {mg over v_2}(v-{v_2 over 2})}^2).

График этой зависимости мощности от скорости – парабола с вершиной в точке (v_1 = {v_2 over 2}), показанная на рисунке:

Как видно из графика, максимальная (по модулю) скорость изменения кинетической энергии достигается либо при (v = v_1), либо при (v = −v_0). В первом случае мощность равна:

(N_1= {mgv_2 over 4}),

во втором:

(N_2= {mgv_2 over 4}- {mg over v_2} (v_0+ {v_2 over 2})^2).

Сравнив (N_1) и (N_2), найдём:

(v_к= {sqrt2-1 over 2} v_2).

При (v_0 < v_к) мощность (N_1 > N_2) и, следовательно, (v_{max} = v_1);

при (v_0 > v_к), наоборот, (N_2 > N_1) и (v_{max} = v_0);

при (v_0 = v_к) верны оба варианта.

Список литературы

1. Буховцев Б.Б. Вязкое трение // Квант. – 1987. – №3.
2. Козел С.М., Слободянин В.П. Всероссийские олимпиады по физике. 1992-2001.
3. Стрелков С.П. Механика. – М., 1975. – § 112.
4. Архив задач Всероссийской олимпиады на сайте 4ipho.ru.

Механика сплошных сред

Сплошная среда

Классическая механика Закон сохранения массы · Закон сохранения импульса

Теория упругости Напряжение · Тензор · Твёрдые тела · Упругость · Пластичность · Закон Гука · Реология · Вязкоупругость

Гидродинамика Жидкость · Гидростатика · Гидродинамика · Вязкость · Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение

Основные уравнения Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье — Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука

Известные учёные Ньютон · Гук Бернулли · Эйлер · Коши · Стокс · Навье

См. также: Портал:Физика

п • о • р

Вя́зкость (вну́треннее тре́ние) — одно из явлений переноса, свойство текучих тел (жидкостей и газов) оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. В результате работа, затрачиваемая на это перемещение, рассеивается в виде тепла.

Механизм внутреннего трения в жидкостях и газах заключается в том, что хаотически движущиеся молекулы переносят импульс из одного слоя в другой, что приводит к выравниванию скоростей — это описывается введением силы трения. Вязкость твёрдых тел обладает рядом специфических особенностей и рассматривается обычно отдельно.

Различают динамическую вязкость (единица измерения в Международной системе единиц (СИ) — Па·с, в системе СГС — пуаз; 1 Па·с = 10 пуаз) и кинематическую вязкость (единица измерения в СИ — м²/с, в СГС — стокс, внесистемная единица — градус Энглера). Кинематическая вязкость может быть получена как отношение динамической вязкости к плотности вещества и своим происхождением обязана классическим методам измерения вязкости, таким как измерение времени вытекания заданного объёма через калиброванное отверстие под действием силы тяжести. Прибор для измерения вязкости называется вискозиметром.

Переход вещества из жидкого состояния в стеклообразное обычно связывают с достижением вязкости порядка 10¹¹—10¹² Па·с.

Сила вязкого трения

Сила вязкого трения F, действующая на жидкость, пропорциональна (в простейшем случае сдвигового течения вдоль плоской стенки^[1]) скорости относительного движения v тел и площади S и обратно пропорциональна расстоянию между плоскостями h:

Коэффициент пропорциональности, зависящий от природы жидкости или газа, называют коэффициентом динамической вязкости. Этот закон был предложен Исааком Ньютоном в 1687 году и носит его имя (закон вязкости Ньютона). Экспериментальное подтверждение закона было получено в начале XIX века в опытах Кулона с крутильными весами и в экспериментах Хагена и Пуазёйля с течением воды в капиллярах^[2].

Качественно существенное отличие сил вязкого трения от сухого трения, кроме прочего, то, что тело при наличии только вязкого трения и сколь угодно малой внешней силы обязательно придет в движение, то есть для вязкого трения не существует трения покоя, и наоборот — под действием только вязкого трения тело, вначале двигавшееся, никогда (в рамках макроскопического приближения, пренебрегающего броуновским движением) полностью не остановится, хотя движение и будет бесконечно замедляться.

Вторая вязкость

Вторая вязкость, или объёмная вязкость — внутреннее трение при переносе импульса в направлении движения. Влияет только при учёте сжимаемости и (или) при учёте неоднородности коэффициента второй вязкости по пространству.

Если динамическая (и кинематическая) вязкость характеризует деформацию чистого сдвига, то вторая вязкость характеризует деформацию объёмного сжатия.

Объёмная вязкость играет большую роль в затухании звука и ударных волн, и экспериментально определяется путём измерения этого затухания.

Вязкость газов

В кинетической теории газов коэффициент внутреннего трения вычисляется по формуле

,

где  — средняя скорость теплового движения молекул, − средняя длина свободного пробега. Из этого выражения в частности следует, что вязкость не очень разреженных газов практически не зависит от давления, поскольку плотность прямо пропорциональна давлению, а  — обратно пропорциональна. Такой же вывод следует и для других кинетических коэффициентов для газов, например, для коэффициента теплопроводности. Однако этот вывод справедлив только до тех пор, пока разрежение газа не становится столь малым, что отношение длины свободного пробега к линейным размерам сосуда (число Кнудсена) не становится по порядку величины равным единице; в частности, это имеет место в сосудах Дьюара (термосах).

С повышением температуры вязкость большинства газов увеличивается, это объясняется увеличением средней скорости молекул газа , растущей с температурой как

Влияние температуры на вязкость газов

В отличие от жидкостей, вязкость газов увеличивается с увеличением температуры (у жидкостей она уменьшается при увеличении температуры).

Формула Сазерленда может быть использована для определения вязкости идеального газа в зависимости от температуры:^[3]

где:

• μ — динамическая вязкость в (Па·с) при заданной температуре T;
• μ₀ — контрольная вязкость в (Па·с) при некоторой контрольной температуре T₀;
• T — заданная температура в Кельвинах;
• T₀ — контрольная температура в Кельвинах;
• C — постоянная Сазерленда для того газа, вязкость которого требуется определить.

Эту формулу можно применять для температур в диапазоне 0 < T < 555 K и при давлениях менее 3,45 МПа с ошибкой менее 10 %, обусловленной зависимостью вязкости от давления.

Постоянная Сазерленда и контрольные вязкости газов при различных температурах приведены в таблице ниже:

Газ	C, K	T0, K	μ0, мкПа·с
Воздух	120	291,15	18,27
Азот	111	300,55	17,81
Кислород	127	292,25	20,18
Углекислый газ	240	293,15	14,8
Угарный газ	118	288,15	17,2
Водород	72	293,85	8,76
Аммиак	370	293,15	9,82
Оксид серы(IV)	416	293,65	12,54
Гелий	79,4[4]	273	19[5]

Вязкость жидкостей

Динамическая вязкость

Внутреннее трение жидкостей, как и газов, возникает при движении жидкости вследствие переноса импульса в направлении, перпендикулярном к направлению движения. Справедлив общий закон внутреннего трения — закон Ньютона:

Коэффициент вязкости (коэффициент динамической вязкости, динамическая вязкость) может быть получен на основе соображений о движениях молекул. Очевидно, что будет тем меньше, чем меньше время t «оседлости» молекул. Эти соображения приводят к выражению для коэффициента вязкости, называемому уравнением Френкеля-Андраде:

Иная формула, представляющая коэффициент вязкости, была предложена Бачинским. Как показано, коэффициент вязкости определяется межмолекулярными силами, зависящими от среднего расстояния между молекулами; последнее определяется молярным объёмом вещества . Многочисленные эксперименты показали, что между молярным объёмом и коэффициентом вязкости существует соотношение:

где:

Это эмпирическое соотношение называется формулой Бачинского^[6].

Динамическая вязкость жидкостей уменьшается с увеличением температуры, и растёт с увеличением давления.

Кинематическая вязкость

В технике, в частности, при расчёте гидроприводов и в триботехнике, часто приходится иметь дело с величиной:

и эта величина получила название кинематической вязкости^[7].

Здесь  — плотность жидкости;  — коэффициент динамической вязкости.

Кинематическая вязкость в старых источниках часто указана в сантистоксах (сСт). В СИ эта величина переводится следующим образом: 1 сСт = 1 мм²/c = 10⁻⁶ м²/c.

Условная вязкость

Условная вязкость — величина, косвенно характеризующая гидравлическое сопротивление течению, измеряемая временем истечения заданного объёма раствора через вертикальную трубку (определённого диаметра). Измеряют в градусах Энглера (по имени немецкого химика К. О. Энглера), обозначают — °ВУ. Определяется отношением времени истечения 200 см³ испытываемой жидкости при данной температуре из специального вискозиметра ко времени истечения 200 см³ дистиллированной воды из того же прибора при 20 °С. Условную вязкость до 16 °ВУ переводят в кинематическую по таблице ГОСТ, а условную вязкость, превышающую 16 °ВУ, по формуле:

где  — кинематическая вязкость (в м²/с), а  — условная вязкость (в °ВУ) при температуре t.

Ньютоновские и неньютоновские жидкости

Ньютоновскими называют жидкости, для которых вязкость не зависит от скорости деформации. В уравнении Навье — Стокса для ньютоновской жидкости имеет место аналогичный вышеприведённому закон вязкости (по сути, обобщение закона Ньютона, или закон Навье — Стокса^[8]):

где  — тензор вязких напряжений.

Среди неньютоновских жидкостей, по зависимости вязкости от скорости деформации различают псевдопластики и дилатантные жидкости. Моделью с ненулевым напряжением сдвига (действие вязкости подобно сухому трению) является модель Бингама. Если вязкость меняется с течением времени, жидкость называется тиксотропной. Для неньютоновских жидкостей методика измерения вязкости получает первостепенное значение.

С повышением температуры вязкость многих жидкостей падает. Это объясняется тем, что кинетическая энергия каждой молекулы возрастает быстрее, чем потенциальная энергия взаимодействия между ними. Поэтому все смазки всегда стараются охладить, иначе это грозит простой утечкой через узлы.

Вязкость аморфных материалов

Вязкость аморфных материалов (например, стекла или расплавов) — это термически активизируемый процесс^[9]:

где:

Вязкое течение в аморфных материалах характеризуется отклонением от закона Аррениуса: энергия активации вязкости изменяется от большой величины при низких температурах (в стеклообразном состоянии) на малую величину при высоких температурах (в жидкообразном состоянии). В зависимости от этого изменения аморфные материалы классифицируются либо как сильные, когда , или ломкие, когда . Ломкость аморфных материалов численно характеризуется параметром ломкости Доримуса : сильные материалы имеют , в то время как ломкие материалы имеют .

Вязкость аморфных материалов весьма точно аппроксимируется двуэкспоненциальным уравнением^[10]:

с постоянными , , , и , связанными с термодинамическими параметрами соединительных связей аморфных материалов.

В узких температурных интервалах недалеко от температуры стеклования это уравнение аппроксимируется формулами типа VTF или сжатыми экспонентами Кольрауша.

Если температура существенно ниже температуры стеклования , двуэкспоненциальное уравнение вязкости сводится к уравнению типа Аррениуса

с высокой энергией активации , где  — энтальпия разрыва соединительных связей, то есть создания конфигуронов, а  — энтальпия их движения. Это связано с тем, что при аморфные материалы находятся в стеклообразном состоянии и имеют подавляющее большинство соединительных связей неразрушенными.

При двуэкспоненциальное уравнение вязкости также сводится к уравнению типа Аррениуса

но с низкой энергией активации . Это связано с тем, что при аморфные материалы находятся в расправленном состоянии и имеют подавляющее большинство соединительных связей разрушенными, что облегчает текучесть материала.

Относительная вязкость

В технических науках часто пользуются понятием относительной вязкости, под которой понимают отношение коэффициента динамической вязкости (см. выше) раствора к коэффициенту динамической вязкости чистого растворителя:

где:

• μ — динамическая вязкость раствора;
• μ₀ — динамическая вязкость растворителя.

Вязкость некоторых веществ

Для авиастроения и судостроения наиболее важно знать вязкости воздуха и воды.

Вязкость воздуха

Вязкость воздуха зависит в основном от температуры.
При 15,0 °C вязкость воздуха составляет 1,78·10⁻⁵ кг/(м·с), 17,8 мкПа·с или 1,78·10⁻⁵ Па·с. Можно найти вязкость воздуха как функцию температуры с помощью программ расчёта вязкостей газов^[11].

Вязкость воды

Динамическая вязкость воды составляет 8,90·10⁻⁴ Па·с при температуре около 25 °C. Как функция температуры: T = A × 10^B/(T−C), где A = 2,414·10⁻⁵ Па·с; B = 247,8 K; C = 140 K.

Значения вязкости жидкой воды при разных температурах вплоть до точки кипения приведены в таблице:

Температура, °C	Вязкость, мПа·с
10	1,308
20	1,002
30	0,7978
40	0,6531
50	0,5471
60	0,4668
70	0,4044
80	0,3550
90	0,3150
100	0,2822

Динамическая вязкость разных веществ

Ниже приведены значения коэффициента динамической вязкости некоторых ньютоновских жидкостей:

Вязкость отдельных видов газов

Газ	при 0 °C (273 K), мкПа·с	при 27 °C (300 K), мкПа·с
воздух	17,4	18,6
водород	8,4	9,0
гелий		20,0
аргон		22,9
ксенон	21,2	23,2
углекислый газ		15,0
метан		11,2
этан		9,5

Вязкость жидкостей при 25 °C

Жидкость	Вязкость, Па·с	Вязкость, мПа·с
ацетон	3,06·10−4	0,306
бензол	6,04·10−4	0,604
кровь (при 37 °C)	(3—4)·10−3	3—4
касторовое масло	0,985	985
кукурузный сироп	1,3806	1380,6
этиловый спирт	1.074·10−3	1.074
этиленгликоль	1,61·10−2	16,1
глицерин (при 20 °C)	1,49	1490
мазут	2,022	2022
ртуть	1,526·10−3	1,526
метиловый спирт	5,44·10−4	0,544
моторное масло SAE 10 (при 20 °C)	0,065	65
моторное масло SAE 40 (при 20 °C)	0,319	319
нитробензол	1,863·10−3	1,863
жидкий азот (при 77K)	1,58·10−4	0,158
пропанол	1,945·10−3	1,945
оливковое масло	0,081	81
пек	2,3·108	2,3·1011
серная кислота	2,42·10−2	24,2
вода	8,94·10−4	0,894

Примечания

См. также

• Уравнения Навье — Стокса
• Закон вязкого трения Ньютона
• Течение Пуазёйля
• Степенной закон вязкости жидкостей
• Тиксотропия
• Реопексия
• Псевдопластичность
• Текучесть
• Вязкоупругость
• Индекс вязкости

Литература

	Вязкость на Викискладе

• R. H. Doremus. J. Appl. Phys., 92, 7619—7629 (2002).
• M. I. Ojovan, W. E. Lee. J. Appl. Phys., 95, 3803—3810 (2004).
• M. I. Ojovan, K. P. Travis, R. J. Hand. J. Phys.: Condensed Matter, 19, 415107 (2007).
• Л. И. Седов. Механика сплошной среды. Т. 1. — М.: Наука, 1970. — 492 с.
• П. Н. Гедык, М. И. Калашникова. Смазка металлургического оборудования. — М.: Металлургия, 1976. — 380 с.
• И. Ф. Голубев. Вязкость газов и газовых смесей. — М.: Физматлит, 1959.

Ссылки

• Аринштейн А. Сравнительный вискозиметр Жуковского // Квант, № 9, 1983.
• Измерение вязкости нефтепродуктов
• Булкин П. С. Попова И. И.,Общий физический практикум. Молекулярная физика
• Статья в энциклопедии Химик.ру
• Градус условной вязкости
• Вязкость воды