Как найти силу взаимодействия между пластинами

Сила притяжения пластин конденсатора. Формулы для конденсаторов

Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд Q

был снят с одной обкладки конденсатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность потенциалов, равная

где С
— емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы поступали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен переносом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями dQ.
Работа, требуемая для переноса заряда dQ,
равна

Взяв V
из (8.8), напишем

Или, интегрируя от Q = 0
до конечного заряда Q,
получаем

Эту энергию можно также записать в виде

Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна

мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы

Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя
с полным зарядом Q;
получается 5 / 6 энергии однородно заряженного
шара [уравнение (8.7)].

Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии. Рассмотрим два вопроса. Какова сила, действующая между обкладками конденсатора? Какой вращательный (крутящий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный проводник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим выражением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).

Применим этот метод для определения силы, действующей между двумя обкладками плоского конденсатора. Если мы представим, что промежуток между пластинами расширился на небольшую величину Δz, то тогда механическая работа, производимая извне для того, чтобы раздвинуть обкладки, была бы равна

где F
— сила, действующая между обкладками. Эта работа обязана быть равной изменению электростатической энергии конденсатора, если только заряд конденсатора не изменился.

Согласно уравнению (8.9), энергия конденсатора первоначально была равна

Изменение в энергии (если мы не допускаем изменения величины заряда) тогда равно

Приравнивая (8.12) и (8.13), получаем

что может также быть записано в виде

Ясно, эта сила здесь возникает от притяжения зарядов на обкладках; мы видим, однако,что заботиться о том, как там они распределены, нам нечего; единственное, что нам нужно,— это учесть емкость С.

Легко понять, как обобщить эту идею на проводники произвольной формы и на прочие составляющие силы. Заменим в уравнении (8.14) F
той составляющей, которая нас интересует, а Δz
— малым смещением в соответствующем направлении. Или если у нас есть электрод, насаженный на какую-то ось, и мы хотим знать вращательный момент τ, то запишем виртуальную работу в виде

где Δθ — небольшой угловой поворот. Конечно, теперь Δ(1/С) должно быть изменением 1/С, отвечающим повороту на Δθ. Таким способом мы можем определить вращательный момент, действующий на подвижные пластины переменного конденсатора, показанного на фиг. 8.3.

Вернемся к частному случаю плоского конденсатора; мы можем взять формулу для емкости, выведенную в гл. 6:

где А
— площадь каждой обкладки. Если промежуток увеличится на Δz
,
то

Из (8.14) тогда следует, что сила притяжения между двумя обкладками равна

Взглянем на уравнение (8.17) повнимательнее и подумаем, нельзя ли сказать, как возникает эта сила. Если заряд на одной из обкладок мы запишем в виде

то (8.17) можно будет переписать так:

поскольку поле между пластинами равно

Можно было сразу догадаться, что сила, действующая на одну из пластин, будет равна заряду Q

этой пластины, умноженному на поле, действующее на заряд. Но что удивляет, так это множитель 1 / 2 . Дело в том, что Е 0
—это не то поле, которое
действует на
заряды. Если вообразить, что заряд на поверхности пластины занимает какой-то тонкий слой (фиг. 8.4), то поле будет меняться от нуля на внутренней границе слоя до Е 0
в пространстве снаружи пластин. Среднее поле, действующее на поверхностные заряды, равно E 0 /
2.
Вот отчего в (8.18) стоит множитель 1 / 2 .

Вы должны обратить внимание на то, что, рассчитывая виртуальную работу, мы предположили, что заряд конденсатора постоянен, что конденсатор не был электрически связан с другими предметами и полный заряд не мог изменяться.

А теперь пусть мы предположили, что при виртуальных перемещениях конденсатор поддерживается при постоянной разности потенциалов. Тогда мы должны были бы взять

и вместо (8.15) мы бы имели

что приводит к силе, равной по величине той, что была получена в уравнении (8.15) (так как V=
Q
/
C
),
но с противоположным знаком!

Конечно, сила, действующая между пластинами конденсатора, не меняет свой знак, когда мы отсоединяем конденсатор от источника электричества. Кроме того, мы знаем, что две пластины с разноименными электрическими зарядами должны притягиваться. Принцип виртуальной работы во втором случае был применен неправильно, мы не приняли во внимание виртуальную работу, производимую источником, заряжающим конденсатор. Это значит, что для того, чтобы удержать потенциал при постоянном значении V, когда меняется емкость, источник электричества должен снабдить конденсатор зарядом VΔC
.
Но этот заряд поступает при потенциале V
,
так что работа, выполняемая электрической системой, удерживающей заряд постоянным, равна V 2 ΔC. Механическая работа FΔz

плюс
эта электрическая работа V
2
ΔC

вместе приводят к изменению полной энергии конденсатора на 1 / 2
V
2
ΔC
.
Поэтому на механическую работу, как и прежде, приходится FΔz
=
— 1 / 2 V 2 ΔC.

Большое число конденсаторов, которые применяют в технике, приближены по типу к плоскому конденсатору. Это конденсатор, который представляет собой две параллельные проводящие плоскости (обкладки), которые разделяет небольшой промежуток, заполненный диэлектриком. На обкладках сосредоточены равные по модулю и противоположные по знаку заряды.

Электрическая емкость плоского конденсатора

Электрическая емкость плоского конденсатора очень просто выражается через параметры его частей. Изменяя площадь пластин конденсатора и расстояние между ними легко убедиться, что электрическая емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади его пластин (S) и обратно пропорциональна расстоянию между ними (d):

Формулу для расчета емкости плоского конденсатора просто получить при помощи теоретических расчетов.

Положим, что расстояние между пластинами конденсатора много меньше, чем их линейные размеры. Тогда краевыми эффектами можно пренебречь, и электрическое поле между обкладками считать однородным. Поле (E), которое создают две бесконечные плоскости, несущие одинаковый по модулю и противоположный по знаку заряд, разделенные диэлектриком с диэлектрической проницаемостью , можно определить при помощи формулы:

где — плотность распределения заряда по поверхности пластины. Разность потенциалов между рассматриваемыми обкладками конденсатора, находящимися на расстоянии d будет равна:

Подставим правую часть выражения (3) вместо разности потенциалов в (1) учитывая, что , имеем:

Энергия поля плоского конденсатора и сила взаимодействия его пластин

Формула энергии поля плоского конденсатора записывается как:

где — объем конденсатора; E — напряженность поля конденсатора. Формула (5) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и напряженностью поля.

Механическую (пондемоторную) силу, с которой пластины плоского конденсатора взаимодействуют между собой можно найти, если использовать формулу:

В выражении (6) минус показывает, что пластины конденсатора притягиваются друг к другу.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

Задание	Разность потенциалов между пластинами плоского воздушного конденсатора равна В. Площадь пластин равна , расстояние между ними м. Какова энергия конденсатора и чему она будет равна, если пластины раздвинуть до расстояния м. Учтите, что источник напряжения при раздвижении пластин не отключают.
Решение	Сделаем рисунок. Энергию электрического поля конденсатора можно найти при помощи выражения: Так как конденсатор плоский, то его электрическую емкость можно вычислить как:

Вам понадобится

• — знание емкости или геометрических и физических параметров конденсатора;
• — знание энергии или заряда на конденсаторе.

Инструкция

Найдите напряжение между пластинами конденсатора, если известна текущая величина накопленной им энергии, а также его емкость. Энергия, запасенная конденсатором, может быть вычислена по формуле W=(C∙U²)/2, где C — емкость, а U — напряжение между пластинами. Таким образом, значение напряжения может быть получено как корень из удвоенного значения энергии, деленного на емкость. То есть, оно будет равно: U=√(2∙W/C).

Энергия, запасенная конденсатором, также может быть вычислена на основании значения содержащегося в нем заряда (количества ) и напряжения между обкладками. Формула, задающая соответствие между этими параметрами, имеет вид: W=q∙U/2 (где q — заряд). Следовательно, зная энергию и , можно вычислить напряжение между его пластинами по формуле: U=2∙W/q.

Поскольку заряд на конденсаторе пропорционален как приложенному к его пластинам напряжению, так и емкости устройства (он определяется формулой q=C∙U), то, зная заряд и емкость, можно найти и напряжение. Соответственно, для проведения расчета используйте формулу: U=q/C.

Для получения значения напряжения на конденсаторе с известными геометрическими и параметрами, сначала рассчитайте его емкость. Для простого плоского конденсатора, состоящего из двух проводящих пластин, разделенных , расстояние между которыми пренебрежимо мало по сравнению с их размерами, емкость может быть вычислена по формуле: C=(ε∙ε0∙S)/d. Здесь d — расстояние между пластинами, а S — их площадь. Значение ε0 — электрическая постоянная (константа, равная 8,8542 10^-12 Ф/м), ε — относительная диэлектрическая проницаемость пространства между пластинами (ее можно узнать из физических справочников). Вычислив емкость, рассчитайте напряжение одним из методов, приведенных в шагах 1-3.

Обратите внимание

Для получения корректных результатов при вычислении напряжений между обкладками конденсаторов, перед проведением расчетов приводите значения всех параметров в систему СИ.

Для того чтобы знать, можно ли использовать в том или ином месте схемы конденсатор, следует определить его . Способ нахождения этого параметра зависит от того, каким образом он обозначен на конденсаторе и обозначен ли вообще.

Вам понадобится

• Измеритель емкости

Инструкция

На крупных конденсаторах
емкость
обычно обозначена открытым текстом: 0,25 мкФ или 15 uF. В этом случае, способ ее определения тривиален.

На менее крупных конденсаторах
(в том , SMD) емкость
двумя или тремя цифрами. В первом случае, она обозначена в пикофарадах. Во втором случае, первые две цифры емкость
, а третья — в каких единицах она выражена:1 — десятки пикофарад;
2 — сотни пикофарад;
3 — нанофарады;
4 — десятки нанофарад;
5 — доли микрофарады.

Существует также система обозначения емкости, использующая сочетания латинских букв и цифр. Буквы обозначают следующие цифры:A — 10;
B — 11;
C — 12;
D — 13;
E — 15;
F — 16;
G — 18;
H — 20;
J — 22;
K — 24;
L — 27;
M — 30;
N — 33;
P — 36;
Q — 39;
R — 43;
S — 47;
T — 51;
U — 56;
V — 62;
W — 68;
X — 75;
Y — 82;
Z — 91.Полученное число следует умножить на число 10, предварительно возведенное в степень, равную цифре, следующей после . Результат будет выражен в пикофарадах.

Встречаются конденсаторы, емкость
на которых не обозначена вообще. Вы наверняка встречали их, в , в стартерах ламп дневного . В этом случае, измерить емкость
можно только специальным прибором. Они цифровыми и мостовыми.В любом случае, если конденсатор впаян в то или иное устройство, его следует обесточить, разрядить в нем конденсаторы фильтра и сам конденсатор, емкость
которого следует измерить, и лишь после этого выпаять его. Затем его необходимо подключить к прибору.На цифровом измерителе сначала выбирают самый грубый предел, затем переключают его до тех пор, пока он не покажет перегрузку. После этого переключатель переводят на один предел назад и читают показания, а по положению переключателя определяют, в каких единицах они выражены.На мостовом измерителе, последовательно переключая , на каждом из них прокручивают регулятор из одного конца шкалы в другой, пока звук из динамика не исчезнет. Добившись исчезновения , по шкале регулятора считывают результат, а единицы, в которых он выражен, также определяют по положению переключателя.Затем конденсатор устанавливают обратно в устройство.

Обратите внимание

Никогда не подключайте к измерителю заряженные конденсаторы.

Источники:

• Справочник по системам обозначения емкости
  

Найти значение электрического заряда
можно двумя способами. Первый – измерить силу взаимодействия неизвестного заряда
с известным и с помощью закона Кулона рассчитать его значение. Второй – внести заряд в известное электрическое поле и измерить силу, с которой оно действует на него. Для измерения заряда
протекающего через поперечное сечение проводника за определенное время измерьте силу тока и умножьте ее на значение времени.

Вам понадобится

• чувствительный динамометр, секундомер, амперметр, измеритель электростатического поля, воздушный конденсатор.

Инструкция

Измерение заряда
при его с известным зарядомЕсли известен одного тела, поднесите к нему неизвестный заряд и измерьте между ними в метрах. Заряды начнут взаимодействовать. С помощью динамометра измерьте силу их взаимодействия. Рассчитайте значение неизвестного заряда
— для этого квадрат измеренного расстояния умножьте на значение силы и поделите на известный заряд. Полученный результат поделите на 9 10^9. Результатом будет значение заряда
в Кулонах (q=F r²/(q0 9 10^9)). Если заряды отталкиваются, то они одноименные, если же притягиваются – разноименные.

Измерение значения заряда
, внесенного в электрическое полеИзмерьте значение постоянного электрического поля специальным прибором (измеритель электрического поля). Если такого прибора нет, возьмите воздушный конденсатор, зарядите его, измерьте напряжение на его обкладках и поделите не расстояние между пластинами – это и будет значение электрического поля внутри конденсатора в вольтах на метр. Внесите в поле неизвестный заряд. С помощью чувствительного динамометра измерьте силу, которая на него действует. Измерение проводите в . Поделите значение силы на напряженность электрического поля. Результатом будет значение заряда
в Кулонах (q=F/Е).

Измерение заряда
, протекающего через поперечное проводникаСоберите электрическую цепь с проводниками и последовательно подключите к ней амперметр. Замкните ее на источник тока и измерьте силу тока с помощью амперметра в амперах. Одновременно секундомером засеките , в которого в цепи был электрический ток. Умножив значение силы тока на полученное время, узнайте заряд, через поперечное сечение каждого за это время (q=I t). При измерениях следите, чтобы проводники не перегревались и не произошло короткое замыкание.

Конденсатором называется устройство, способное накапливать электрические заряды. Количество накапливаемой электрической энергии в конденсаторе характеризуется его емкостью
. Она измеряется в фарадах. Считается, что емкость в один фарад соответствует конденсатору, заряженному электрическим зарядом в один кулон при разности потенциалов на его обкладках в один вольт.

Инструкция

Определите емкость плоского конденсатора
по формуле С = S e e0/d, где S — площадь поверхности одной пластины, d — между пластинами, e — относительная диэлектрическая проницаемость , заполняющей пространство между пластинами (в вакууме она равна ), e0 — электрическая постоянная, равная 8,854187817 10(-12) Ф/м.Исходя из приведенной формулы, величина емкости будет зависеть от площади проводников, между ними и от материала диэлектрика. В качестве диэлектрика может применяться или слюда.

Вычислите емкость сферического конденсатора
по формуле С = (4П e0 R²)/d, где П — число «пи», R — радиус сферы, d — величина зазора между его сферами.Величина емкости сферического конденсатора
прямо пропорциональна концентрической сферы и обратно пропорциональна расстоянию между сферами.

Рассчитайте емкость цилиндрического конденсатора
по формуле С = (2П e e0 L R1)/(R2-R1), где L — длина конденсатора
, П — число «пи», R1 и R2 — радиусы его цилиндрических обкладок.

Если конденсаторы в цепи соединены параллельно, рассчитайте их общую емкость по формуле С = С1+С2+…+Сn, где С1, С2,…Сn – емкости параллельно соединенных конденсаторов.

Вычислите общую емкость последовательно соединенных конденсаторов по формуле 1/С = 1/С1+1/С2+…+1/Сn, где С1, С2,…Сn — емкости последовательно соединенных конденсаторов.

Обратите внимание

На любом конденсаторе обязательно должна быть нанесена маркировка, которая может быть буквенно-цифровая или цветовая. Маркировка отражает его параметры.

Источники:

• Цветовая маркировка резисторов, конденсаторов и индуктивностей
  

Емкость – величина, в системе СИ выражаемая в фарадах. Хотя используются, фактически, лишь производные от нее – микрофарады, пикофарады и так далее. Что касается электроемкости плоского конденсатора, она зависит от зазора меж обкладок и их площади, от вида диэлектрика, в данном зазоре расположенного.

Инструкция

В том случае, если обкладки конденсатора имеют одинаковую площадь и имеют расположение строго одна над другой, рассчитайте площадь одной из обкладок – любой. Если же одна из них относительно другой смещена либо они разные , нужно рассчитывать площадь области, в которой обкладки друг дружку перекрывают.

В условиях данной вам задачи может указываться как абсолютная диэлектрическая проницаемость данного материала, который расположен меж обкладок конденсатора, так и относительная. Абсолютная проницаемость выражается в Ф/м (фарады на метр), относительная же является величиной безразмерной.

В случае с относительной диэлектрической проницаемостью среды (диэлектрика в данном случае) используется коэффициент, который указывает на абсолютной диэлектрической проницаемости материала и этой же характеристики, но в вакууме, а точнее на то, во сколько раз первая больше второй. Переведите относительную диэлектрическую проницаемость в абсолютную, а затем умножьте полученный результат на электрическую постоянную. Она составляет 8,854187817*10^(-12) Ф/м и является, по сути, диэлектрической проницаемостью вакуума.

Содержание:

Одним из важных элементов электрической цепи является конденсатор, формулы для которого позволяют рассчитать и подобрать наиболее подходящий вариант. Основная функция данного устройства заключается в накоплении определенного количества электроэнергии. Простейшая система включает в себя два электрода или обкладки, разделенные между собой диэлектриком.

В чем измеряется емкость конденсатора

Одной из важнейших характеристик конденсатора является его емкость. Данный параметр определяется количеством электроэнергии, накапливаемой этим прибором. Накопление происходит в виде электронов. Их количество, помещающееся в конденсаторе, определяет величину емкости конкретного устройства.

Для измерения емкости применяется единица — фарада. Емкость конденсатора в 1 фараду соответствует электрическому заряду в 1 кулон, а на обкладках разность потенциалов равна 1 вольту. Эта классическая формулировка не подходит для практических расчетов, поскольку в конденсаторе собираются не заряды, а электроны. Емкость любого конденсатора находится в прямой зависимости от объема электронов, способных накапливаться при нормальном рабочем режиме. Для обозначения емкости все равно используется фарада, а количественные параметры определяются по формуле: С = Q / U, где С означает емкость, Q — заряд в кулонах, а U является напряжением. Таким образом, просматривается взаимная связь заряда и напряжения, оказывающих влияние на способность конденсатора к накоплению и удержанию определенного количества электричества.

Для расчетов используется формула:
в которой ε 0
= 8,854187817 х 10 -12 ф/м представляет собой постоянную величину. Прочие величины: ε — является диэлектрической проницаемостью диэлектрика, находящегося между обкладками, S — означает площадь обкладки, а d — зазор между обкладками.

Формула энергии конденсатора

С емкостью самым тесным образом связана другая величина, известная как . После зарядки любого конденсатора, в нем образуется определенное количество энергии, которое в дальнейшем выделяется в процессе разрядки. С этой потенциальной энергией вступают во взаимодействие обкладки конденсатора. В них образуются разноименные заряды, притягивающиеся друг к другу.

В процессе зарядки происходит расходование энергии внешнего источника для разделения зарядов с положительным и отрицательным значением, которые, затем располагаются на обкладках конденсатора. Поэтому в соответствии с законом сохранения энергии, она не исчезает бесследно, а остается внутри конденсатора в виде электрического поля, сосредоточенного между пластинами. Разноименные заряды образуют взаимодействие и последующее притяжение обкладок между собой.

Каждая пластина конденсатора под действием заряда создает напряженность электрического поля, равную Е/2. Общее поле будет складываться из обоих полей, возникающих в каждой обкладке с одинаковыми зарядами, имеющими противоположные значения.

Таким образом, энергия конденсатора выражается формулой: W=q(E/2)d. В свою очередь, напряжение выражается с помощью понятий напряженности и расстояния и представляется в виде формулы U=Ed. Это значение, подставленное в первую формулу, отображает энергию конденсатора в таком виде:W=qU/2. Для получения окончательного результата необходимо использовать определение емкости: C=q/U, и в конце концов энергия заряженного конденсатора будет выглядеть следующим образом: W эл = CU 2 /2.

Формула заряда конденсатора

Для выполнения зарядки, конденсатор должен быть подключен к цепи постоянного тока. С этой целью может использоваться генератор. У каждого генератора имеется внутреннее сопротивление. При замыкании цепи происходит зарядка конденсатора. Между его обкладками появляется напряжение, равное электродвижущей силе генератора: U c = E.

Обкладка, подключенная к положительному полюсу генератора, заряжается положительно (+q), а другая обкладка получает равнозначный заряд с отрицательной величиной (- q). Величина заряда q находится в прямой пропорциональной зависимости с емкостью конденсатора С и напряжением на обкладках Uc. Эта зависимость выражается формулой: q = C x Uc.

В процессе зарядки одна из обкладок конденсатора приобретает, а другая теряет определенное количество электронов. Они переносятся по внешней цепи под влиянием электродвижущей силы генератора. Такое перемещение является электрическим током, известным еще как зарядный емкостной ток (Iзар).

Течение зарядного тока в цепи происходит практически за тысячные доли секунды, до того момента, пока напряжение конденсатора не станет равным электродвижущей силе генератора. Напряжение увеличивается плавно, а потом постепенно замедляется. Далее значение напряжения конденсатора будет постоянным. Во время зарядки по цепи течет зарядный ток. В самом начале он достигает максимальной величины, так как напряжение конденсатора имеет нулевое значение. Согласно закона Ома I зар = Е/R i , поскольку к сопротивлению Ri приложена вся ЭДС генератора.

Формула тока утечки конденсатора

Ток утечки конденсатора вполне можно сравнить с воздействием подключенного к нему резистора с каким-либо сопротивлением R. Ток утечки тесно связан с типом конденсатора и качеством используемого диэлектрика. Кроме того, важным фактором становится конструкция корпуса и степень его загрязненности.

Некоторые конденсаторы имеют негерметичный корпус, что приводит к проникновению влаги из воздуха и возрастанию тока утечки. В первую очередь это касается устройств, где в качестве диэлектрика использована промасленная бумага. Значительные токи утечки возникают из-за снижения электрического сопротивления изоляции. В результате нарушается основная функция конденсатора — способность получать и сохранять заряд электрического тока.

Основная формула для расчета выглядит следующим образом: I ут = U/R d , где I ут, — это ток утечки, U — напряжение, прилагаемое к конденсатору, а R d — сопротивление изоляции.

Обкладки
конденсатора, заряженные разноимённо,
притягиваются друг к другу.

Механические
силы, действующие на макроскопические
заряженные тела, называют
пондеромоторными

.

Рассчитаем
пондеромоторные силы, действующие на
обкладки плоского конденсатора. При
этом возможны два варианта:

Конденсатор
заряжен и отключён от заряженной батареи

(в этом случае количество зарядов на
пластинах остаётся постоянным q

=
const
).

При
удалении одной обкладки конденсатора
от другой совершается работа

за
счёт которой увеличивается потенциальная
энергия системы:

При
этом dA
= dW
. Приравнивая правые части этих выражений,
получаем

(12.67)

В
данном случае при дифференцировании
расстояние между пластинами обозначилось
х.

Конденсатор
заряжен, но не отключён от батареи

(в этом случае при перемещении одной
из пластин конденсатора будет сохраняться
постоянным напряжение (U

=

const
). В этом случае при удалении одной
пластины от другой потенциальная
энергия поля конденсатора уменьшается,
так как происходит «утечка» зарядов с
пластин, поэтому

Но

,
тогда

Полученное
выражение совпадает с формулой

.
Оно может быть представлено и в другом
виде, если вместо зарядаq
ввести поверхностную плотность:

(12.68)

Поле
однородно. Напряжённость поля конденсатора
равна

,
где х – расстояние между пластинами.
Подставив в формулу
U 2 =E 2 x 2 ,
получим, что сила притяжения пластин
плоского конденсатора

(12.69)

Эти
силы действуют не только на пластины.
Так как пластины, в свою очередь, давят
на диэлектрик, помещённый между ними,
и деформируют его, то в диэлектрике
возникает давление

(S
— площадь каждой пластины).

Давление,
возникающее в диэлектрике, равно

(12.70)

Примеры решения задач

Пример
12. 5.

К
пластинам плоского воздушного конденсатора
приложена разность потенциалов 1,5 кВ.
Площадь пластин 150см
2

и расстояние между ними 5 мм. После
отключения конденсатора от источника
напряжения в пространство между
пластинами вставили стекло (ε
2
=7).Определите:

1)
разность потенциалов между пластинами
после внесения диэлектрика; 2) ёмкость
конденсатора до и после внесения
диэлектрика; 3) поверхностную плотность
заряда на пластинах до и после внесения
диэлектрика.

Дано
:
U 1 =1,5кВ=1,5∙10 3 В;
S=150см 2 =1,5∙10 -2
м 2 ;
ε 1 =1;
d=5мм=5∙10 -3
м.

Найти:
1)

U 2 ;
2) С 1
С 2 ;
3) σ 1 ,
σ 2

Решение

.
Так
как

(σ-
поверхностная плотность зарядов на
обкладках конденсатора), то до внесения
диэлектрика σd=U 1 ε 0 ε 1
и после внесения диэлектрика σd=U 2 ε 0 ε 2 ,
поэтому

Ёмкость
конденсатора до и после внесения
диэлектрика

и

Заряд
пластин после отключения от источника
напряжения не меняется, т.е. q=const.
Поэтому Поверхностная плотность заряда
на пластинах до и после внесения
диэлектрика

Ответ:
1) U 2 =214В;
2) С 1 =26,5пФ;
С 2 =186пФ;
3) σ 1 =
σ 2 =2.65
мкКл/м 2 .

Пример
12.7. Зазор между обкладками плоского
конденсатора заполнен анизотропным
диэлектриком, проницаемость ε которого
изменяется в перпендикулярном к обкладкам
направлении по линейному закону
ε =
α + βх от ε
1
до ε
2
,
причём ε
2
> ε
1
.
Площадь каждой обкладки
S
,
расстояние между ними
d
.
Найти ёмкость конденсатора.

Дано
:
S;
d;
ε 1 ;
ε 2

Найти:

С.

Решение

.
Диэлектрическая проницаемостьε
изменяется по линейному закону, ε =
α + βх, где х отсчитывается от обкладки,
у которой проницаемость равна ε 1 .
Учитывая, что ε (0) = ε 1 , ε
(d) = ε 2 , получаем
зависимость

.
Найдём разность потенциалов между
обкладками:

Ёмкость конденсатора
будет равна

Ответ:

Пример
12.7. Между пластинами плоского конденсатора,
заряженного до разности потенциалов

U


, параллельно его обкладкам помещены
два слоя диэлектриков. Толщина слоёв и
диэлектрическая проницаемость
диэлектриков соответственно равны
d

1

,

d

2

,
ε

1

, ε

2

.
Определите напряжённость электростатических
полей в слоях диэлектриков.

Дано
:
U
;
d
1
,
d
2
,
ε
1
,
ε
2

Найти:

E 1 ,
E 2 .

Решение

.
Напряжение на пластинах конденсатора,
учитывая, что поле в пределах каждого
из диэлектрических слоёв однородно,

U=E 1 d 1 +E 2 d 2 .
(1)

Электрическое смещение
в обоих слоях диэлектрика одинаково,
поэтому можем записать

D=D 1 =D 2 =
ε
0
ε
1
E 1 =
ε
0
ε
2
E 2
(2)

Из выражения (1) и (2)
найдём искомое

(3)

Из формулы (2) следует,
что

Ответ:


;

Пример
12.7. Площадь пластин

S


плоского конденсатора равна 100см

2

.
Пространство между пластинами заполнено
вплотную двумя слоями диэлектриков –
слюдяной пластинкой (ε

1

=7)
толщиной

d

1

=3,5
мм и парафина (ε

2

=2)
толщиной

d

2

=5
мм. Определите ёмкость этого конденсатора..

Дано
:
S
=100см
2
=10
-2
м
2
;
ε
1
=7;

d
1
=3,5мм=3.5∙10
-3
м;,
ε
1
=2;

d
1
=3,5мм=5∙10
-3
м;

Найти:

С.

Решение

.
Ёмкость
конденсатора

где
= — заряд на пластинах конденсатора (-
поверхностная плотность заряда на
пластинах); =- разность потенциалов
пластин, равная сумме напряжений на
слоях диэлектрика: U=U 1 +U 2 .
Тогда

(1)

Напряжения
U 1
и
U 2
найдём по формулам

;

(2)

где
Е 1
и
Е 2
– напряжённость электростатического
поля в первом и втором слоях диэлектрика;
D
— электрическое смещение в диэлектриках
(в обоих случаях одинаково). Приняв во
внимание, что

И
учитывая формулу (2), из выражения (1)
найдём искомую ёмкость конденсатора

Ответ:
С=29,5пФ.

Пример
12.7. Батарея из трёх последовательно
соединённых конденсаторов С

1

=1мкФ;
С

2

=2мкФ и С

3

=4мкФ
подсоединены к источнику ЭДС. Заряд
батареи конденсаторов


q


=40мкКл. Определите: 1) напряжения

U

1

,

U

2


и

U

3


на каждом конденсаторе; 2) ЭДС источника;
3) ёмкость батареи конденсаторов.

Дано

:

С 1 =1мкФ=1∙10 -6 Ф;
С 2 =2мкФ=2∙10 -6 Ф
и С 3 =4мкФ=4∙10 -6 Ф;q=40мкКл=40∙10 -6 Ф.

Найти:
1)

U 1 ,
U 2 ,
U 3
;
2) ξ; 3) С.

Решение

.
При
последовательном соединении конденсаторов
заряды всех обкладок равны по модулю,
поэтому

q 1 =q 2 =q 3 =q.

Напряжение
на конденсаторах

ЭДС
источника равна сумме напряжений каждого
из последовательно соединённых
конденсаторов:

ξ
=
U 1 +
U 2
+U 3

При
последовательном соединении суммируются
величины, обратные ёмкостям каждого из
конденсаторов:

Откуда
искомая ёмкость батареи конденсаторов

Ответ:
1)

U 1 =
40В; U 2 =
20В, U 3
=
10В;
2) Ɛ=
70В;
3) С=
0,571мкФ.

Пример
12.7. Два плоских воздушных конденсатора
одинаковой ёмкости соединены
последовательно и подключены к источнику
ЭДС. Как и во сколько раз изменится заряд
конденсаторов, если один из них погрузить
в масло с диэлектрической проницаемостью
ε=2,2 .

Дано
:
С 1 =С 2 =
С;q=40мкКл=40∙10 -6 Ф;
ε
1
=1;
ε
2
=2,2.

Найти:


.

Решение

.
При
последовательном соединении конденсаторов
заряды обоих конденсаторов равны по
модулю. До погружения в диэлектрик (в
масло) заряд каждого конденсатора

где
ξ =
U 1 +
U 2
(при последовательном соединении
конденсаторов ЭДС источника равна сумме
напряжений каждого из конденсаторов).

После
погружения одного из конденсаторов в
диэлектрик заряды конденсаторов опять
одинаковы и соответственно на первом
и втором конденсаторах равны

q=
CU 1 =ε 2 CU 2

(учли,
что ε 1 =1),
откуда, если учесть, что ξ
=
U 1 +
U 2 ,
найдём

(2)

Поделив
(2) на (1), найдём искомое отношение

Ответ:



,
т.е. заряд конденсаторов возрастает в
1,37 раз.

Пример
12.7. Конденсаторы ёмкостями С каждый
соединены так, как указано на рис.а.
определите ёмкость С

общ


этого соединения конденсаторов. .

Решение

.
Если
отключить от цепи конденсатор С 4 ,
то получится соединение конденсаторов,
которое легко рассчитывается. Поскольку
ёмкости всех конденсаторов одинаковы
(С 2 =С 3
и С 5 =С 6),
обе параллельные ветви симметричны,
поэтому потенциалы точек А и В, одинаково
расположенные в ветвях, должны быть
равны. Конденсатор С 4
подключен, таким образом, к точкам с
нулевой разностью потенциалов.
Следовательно, конденсатор С 4
не заряжен, т.е. его можно исключить и
схему, представленную в условии задачи,
упростить (рис.б).

Эта
схема- из трёх параллельных ветвей, две
из которых содержат по два последовательно
включённых конденсаторов

Ответ:

С общ =2С.

Пример
12.7.

Плоский воздушный конденсатор
ёмкостью С
1
=4пФ заряжен до
разности потенциалов
U
1
=100В.
После отключения конденсатора от
источника напряжения расстояние между
обкладками конденсатора увеличили в
два раза. Определите: 1) разность
потенциалов
U
2
на обкладках конденсатора после
их раздвижения; 2) работу внешних сил по
раздвижению пластин.

Дано
:
С 1 =4пФ=4∙10 -12 Ф;
U 1 =100В;d 2
=2d 1 .

Найти:

1)
U 2 ;2)A.

Решение

.
Заряд
обкладок конденсатора после отключения
от источника напряжения не меняется,
т.е. Q=const.
Поэтому

С 1 U 1 =
С 2 U 2 ,
(1)

где
С 2
и U 2
— соответственно ёмкость и разность
потенциалов на обкладках конденсатора
после их раздвижения.

Учитывая,
что ёмкость плоского конденсатора
,
из формулы (1) получим искомую разность
потенциалов

(2)

После
отключения конденсатора от источника
напряжения систему двух заряженных
обкладок можно рассматривать как
замкнутую, для которой выполняется
закон сохранения энергии: работа А
внешних сил равна изменению энергии
системы

А=
W 2
—
W 1
(3)

где
W 1
и
W 2
– соответственно энергия поля конденсатора
в начальном и конечном состояниях.

Учитывая,
что

и
(q
– const),
из формулы (3) получим искомую работу
внешних сил

[учли,
что q=C 1 U 1
и
формулу (2)].

Ответ

:
1) U 2 =200В;2)A=40нДж.

Пример
12.7.

Сплошной шар из диэлектрика
радиусом
R
=5см
заряжен равномерно с объёмной плотностью
ρ=5нКл/м
3
. Определите энергию
электростатического поля, заключённую
в окружающем шар пространстве.

Дано
:
R=5см=5∙10 -2 м;
ρ=5нКл/м
3
=
5∙10 -9
Кл/м 3 .

Найти:

W.

Решение

.
Поле
заряженного шара сферически симметрично,
поэтому объёмная плотность заряда
одинакова во всех точках, расположенных
на равных расстояниях от центра шара.

Энергия
в элементарном сферическом слое (он
выбран за пределами диэлектрика, где
следует определить энергию) объёмомdV
(см. рисунок)

где
dV=4πr 2 dr
(r
– радиус элементарного сферического
слоя; dr
— его толщина);

(ε=1
– поле в вакууме; Е – напряженность
электростатического поля).

Напряжённость
Е найдём по теореме Гаусса для поля в
вакууме, причём в качестве замкнутой
поверхности мысленно выберем сферу
радиусом r
(см. рисунок). В данном случае внутрь
поверхности попадает весь заряд шара,
создающий рассматриваемое поле, и, по
теореме Гаусса,

Откуда

Подставив
найденные выражения в формулу (1), получим

Энергия,
заключённая в окружающем шар пространстве,

Ответ
:
W=6,16∙10 -13 Дж.

Пример
12.7.

Плоскому конденсатору с
площадью обкладок
S

и расстоянием между ними ℓ сообщён
заряд
q
, после
чего конденсатор отключён от источника
напряжения. Определите силу притяжения
F
между обкладками
конденсатора, если диэлектрическая
проницаемость среды между обкладками
равна ε.

Дано

:

S;
ℓ;
q
;
ε
.

Найти:

F.

Решение

.
Заряд
обкладок конденсатора после отключения
от источника напряжения не меняется,
т.е. q=const.
Предположим, что под действием силы
притяжения F
расстояние между обкладками конденсатора
изменилось на d
ℓ
.
Тогда сила F
совершает
работу

Согласно
закону сохранения энергии, эта работа
равна убыли энергии конденсатора, т.е.

.
(3)

Подставив
в формулу для энергии заряженного
конденсатора

выражение для ёмкости плоского
конденсатора
,
получим

(4)

Ответ:

Пример
12.7.

Плоский конденсатор площадью
обкладок
S
и
расстоянием между ними ℓ подключен к
источнику постоянного напряжения
U
.
Определите силу притяжения
F

между обкладками конденсатора, если
диэлектрическая проницаемость среды
между обкладками равна ε.

Дано

:

S;
ℓ;
U
;
ε
.

Найти:

F.

Решение

.
Согласно
условию задачи, на обкладках конденсатора
поддерживается постоянное напряжение,
т.е. U=const.
Предположим, что под действием силы
притяжения F
расстояние между обкладками конденсатора
изменилось на dℓ.
Тогда сила
F
совершает работу

Согласно
закону сохранения энергии, эта работа
в данном случае идёт на увеличение
энергии конденсатора (сравните с
предыдущей задачей), т.е.

откуда,
исходя из выражений (1) и (2), получим

(3)

Подставив
в формулу для энергии конденсатора

выражение
для ёмкости плоского конденсатора
,
получим

(4)

Подставив
в формулу (3) значение энергии (4) и выполнив
дифференцирование, найдём искомую силу
притяжения между обкладками конденсатора

.

где
знак «-» указывает на то, что сила F
является силой притяжения.

Ответ

: