Как найти силы на третью работу

Сила, перемещающая тело, совершает работу. Работа – это разность энергии тела в начале процесса и в его конце. А мощность – это работа за одну секунду. Коэффициент полезного действия (КПД) – это дробное число. Максимальный КПД равен единице, однако, часто, КПД меньше единицы.

Работы силы, формула

Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу (рис. 1).

Работа силы — это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.

Работу, совершаемую силой, можно посчитать, используя векторный или скалярный вид записи такой формулы:

Векторный вид записи

[ large boxed{ A = left( vec{F} , vec{S} right) }]

Для решения задач правую часть этой формулы удобно записывать в скалярном виде:

[ large boxed{ A = left| vec{F} right| cdot left| vec{S} right| cdot cos(alpha) }]

( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;

( S left( text{м} right) ) – перемещение тела под действием силы;

( alpha ) – угол между вектором силы и вектором перемещения тела;

Работу обозначают символом (A) и измеряют в Джоулях. Работа – это скалярная величина.

В случае, когда сила постоянная, формула позволяет рассчитать работу, совершенную силой за полное время ее действия.

Если сила изменяется со временем, то в каждый конкретный момент времени будем получать мгновенную работу. Эти, мгновенные значения для разных моментов времени будут различаться.

Рассмотрим несколько случаев, следующих из формулы:

1. Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная;
2. А если угол тупой — работа отрицательная, так как косинус тупого угла отрицательный;
3. Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!

Работа — разность кинетической энергии

Работу можно рассчитать еще одним способом — измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце процесса движения. Рассмотрим такой пример. Пусть автомобиль, движется по горизонтальной прямой и, при этом увеличивает свою скорость (рис. 2). Масса автомобиля 1000 кг. В начале его скорость равнялась 1 м/с. После разгона скорость автомобиля равна 10 метрам в секунду. Найдем работу, которую пришлось проделать, чтобы ускорить этот автомобиль.

Для этого посчитаем энергию движения автомобиля в начале и в конце разгона.

( E_{k1} left(text{Дж} right) )  – начальная кинетическая энергия машины;

( E_{k2} left(text{Дж} right) )  – конечная кинетическая энергия машины;

( m left( text{кг}right) ) – масса автомобиля;

( displaystyle v left( frac{text{м}}{c}right) ) – скорость, с которой машина движется.

Кинетическую энергию будем вычислять, используя формулу:

[ large E_{k} = m cdot frac{v^{2}}{2} ]

[ large E_{k1} = 1000 cdot frac{1^{2}}{2} = 500 left(text{Дж} right) ]

[ large E_{k2} = 1000 cdot frac{10^{2}}{2} = 50000 left(text{Дж} right) ]

Теперь найдем разницу кинетической энергии в конце и вначале разгона.

[ large boxed{ A = Delta E_{k} }]

[ large Delta E_{k} = E_{k2} — E_{k1} ]

[ large Delta E_{k} = 50000 – 500 = 49500 left(text{Дж} right) ]

Значит, работа, которую потребовалось совершить, чтобы разогнать машину массой 1000 кг от скорости 1 м/с до скорости 10 м/с, равняется 49500 Джоулям.

Примечание: Работа – это разность энергии в конце процесса и в его начале. Можно находить разность кинетической энергии, а можно — разность энергии потенциальной.

[ large boxed{ A = Delta E }]

Работа силы тяжести — разность потенциальной энергии

Рассмотрим теперь следующий пример. Яблоко массой 0,2 кг упало на садовый стол с ветки, находящейся на высоте 3 метра от поверхности земли. Столешница располагается на высоте 1 метр от поверхности (рис. 3). Найдем работу силы тяжести в этом процессе.

Посчитаем потенциальную энергию яблока до его падения и энергию яблока на столешнице.

( E_{p1} left(text{Дж} right) )  – начальная потенциальная энергия яблока;

( E_{p2} left(text{Дж} right) )  – конечная потенциальная энергия яблока;

Примечание: Работу можно рассчитать через разность потенциальной энергии тела.

Потенциальную энергию будем вычислять, используя формулу:

[ large E_{p} = m cdot g cdot  h]

( m left( text{кг}right) ) – масса яблока;

Величина ( displaystyle g approx 10 left(frac{text{м}}{c^{2}} right) ) – ускорение свободного падения.

( h left( text{м}right) ) – высота, на которой находится яблоко относительно поверхности земли.

Начальная высота яблока над поверхностью земли равна 3 метрам

[ large E_{p2} = 0,2 cdot 10 cdot  3 = 6 left(text{Дж} right) ]

Потенциальная энергия яблока на столе

[ large E_{p1} = 0,2 cdot 10 cdot  1 = 2 left(text{Дж} right) ]

Теперь найдем разницу потенциальной энергии яблока в конце падения и перед его началом.

[ large Delta E_{p} = E_{p2} — E_{p1} ]

[ large Delta E_{p} = 2 – 6 = — 4 left(text{Дж} right) ]

Важно помнить: Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!

Чтобы работа получилась положительной, в правой части формулы перед ( Delta  E_{p}) дополнительно допишем знак «минус».

[ large boxed{ A = — Delta E_{p} }]

Значит, работа, которую потребовалось совершить силе тяжести, чтобы яблоко массой 0,2 кг упало с высоты 3 м на высоту 1 метр, равняется 4 Джоулям.

Примечания:

1. Если тело падает на землю, работа силы тяжести положительна;
2. Когда мы поднимаем тело над землей, мы совершаем работу против силы тяжести. Наша работа при этом положительна, а работа силы тяжести будет отрицательной;
3. Сила тяжести относится к консервативным силам. Для консервативных сил перед разностью потенциальной энергии мы дописываем знак «минус»;
4. Работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой двигалось тело;
5. Работа для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени.

Рисунок 4 иллюстрирует факт, что для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) работа зависит только от разности высот и не зависит от траектории, по которой тело двигалось.

Мощность

В механике мощность часто обозначают символами N или P и измеряют в Ваттах в честь шотландского изобретателя Джеймса Уатта.

Примечание: Символ (vec{N}) используется для обозначения силы реакции опоры — она измеряется в Ньютонах и является векторной величиной. Чтобы не возникло путаницы, мощность вместо N будем обозначать символом P. Символ P – первая буква в английском слове power – мощность.

Мощность – это работа, совершенная за одну секунду (энергия, затраченная за 1 сек).

Расчет работы осуществляем, используя любую из формул:

[ large A = Delta E_{k} ]

[ large A = Delta E_{p} ]

[ large A = F cdot S cdot cos(alpha) ]

Разделив эту работу на время, в течение которого она совершалась, получим мощность.

[ large boxed{ P = frac{A}{Delta t} }]

Если работа совершалась равными частями за одинаковые интервалы времени – мощность будет постоянной величиной.

Мощность переменная, когда в некоторые интервалы времени совершалось больше работы.

Еще одна формула для расчета мощности

Есть еще один способ расчета мощности, когда сила перемещает тело и при этом скорость тела не меняется:

[ large P = left( vec{F} , vec{v} right) ]

Формулу можно записать в скалярном виде:

[ large P = left| vec{F} right| cdot left| vec{v} right| cdot cos(alpha) ]

( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;

( displaystyle v left( frac{text{м}}{c} right) ) – скорость тела;

( alpha ) – угол между вектором силы и вектором скорости тела;

Когда векторы (vec{F}) и (vec{v}) параллельны, запись формулы упрощается:

[ large boxed{ P = F cdot v }]

Примечание: Такую формулу для расчета мощности можно получить из выражения для работы силы, разделив обе части этого выражения на время, в течение которого работа совершалась (а если точнее, найдя производную обеих частей уравнения).

КПД

КПД – коэффициент полезного действия. Обычно обозначают греческим символом (eta) «эта». Единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах.

Примечания:

1. Процент – это дробь, у которой в знаменателе число 100.
2. КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.

Вычисляют коэффициент (eta) для какого-либо устройства, механизма или процесса.

[ large boxed{ eta = frac{ A_{text{полезная}}}{ A_{text{вся}}} }]

(eta) – КПД;

( large A_{text{полезная}} left(text{Дж} right)) – полезная работа;

(large A_{text{вся}} left(text{Дж} right)) – вся затраченная для выполнения работы энергия;

Примечание: КПД часто меньше единицы, так как всегда есть потери энергии. Коэффициент полезного действия не может быть больше единицы, так как это противоречит закону сохранения энергии.

[ large boxed{ eta leq 1 }]

Величина (eta) является дробной величиной. Если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, полученная дробь будет равна исходной. Используя этот факт, можно вычислять КПД, используя мощности:

[ large boxed{ eta = frac{ P_{text{полезная}}}{ P_{text{вся затраченная}}} }]

Выводы

1. Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу;
2. Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная, а если угол тупой — работа отрицательная; Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!
3. Работу можно вычислить, измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце его движения;
4. Вычислить работу можно через разность потенциальной энергии тела в начальной и в конечной высотах над землей;
5. Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!
6. Мы совершаем работу против силы тяжести, когда поднимаем тело над землей. При этом наша работа положительная, а работа силы тяжести — отрицательная;
7. Сила тяжести — это консервативная сила. Поэтому, работа силы (displaystyle F_{text{тяж}}) не зависит от траектории, по которой двигалось тело, а зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени;
8. Мощность – это работа, совершенная за одну секунду, или затраченная за 1 сек. энергия;
9. Коэффициент полезного действия обозначают греческим символом (eta) «эта», единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах;
10. КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.
11. Можно вычислять КПД, подставляя в формулу работу, или мощности

Второй закон Ньютона в импульсной форме позволяет определить, как меняется скорость тела по модулю и направлению, если в течение некоторого времени на него действует определенная сила:

Работа силы

В механике также важно уметь вычислять изменение скорости по модулю, если при перемещении тела на некоторый отрезок на него действует некоторая сила. Воздействия на тела сил, приводящих к изменению модуля их скорости, характеризуется величиной, зависящей как от сил, так и от перемещений. Эту величину в механике называют работой силы.

Работа силы обозначается буквой А. Это скалярная физическая величина. Единица измерения — Джоуль (Дж).

Работа силы равна произведению модуля силы, модуля перемещения и косинусу угла между ними:

Важно!

Механическая работа совершается, если:

1. На тело действует сила.
2. Под действием этой силы тело перемещается.
3. Угол между вектором силы и вектором перемещения не равен 90 градусам (потому что косинус прямого угла равен нулю).

Внимание! Если к телу приложена сила, но под ее действием тело не начинает движение, механическая работа равна нулю.

Пример №1. Груз массой 1 кг под действием силы 30 Н, направленной вертикально вверх, поднимается на высоту 2 м. Определить работу, совершенной этой силой.

Так как перемещение и вектор силы имеют одно направление, косинус угла между ними равен единице. Отсюда:

Работа различных сил

Любая сила, под действием которой перемещается тело, совершает работу. Рассмотрим работу основных сил в таблице.

Работа силы тяжести	Модуль силы тяжести: Fтяж = mg Работа силы тяжести: A = mgs cosα
Работа силы трения скольжения	Модуль силы трения скольжения: Fтр = μN = μmg Работа силы трения скольжения: A = μmgs cosα
Работа силы упругости	Модуль силы упругости: Fупр = kx Работа силы упругости:

Работа силы упругости

Работа силы упругости не может быть определена стандартной формулой, так как она может применяться только для постоянной по модулю силы. Сила же упругости меняется по мере сжатия или растяжения пружины. Поэтому берется среднее значение, равное половине суммы сил упругости в начале и в конце сжатия (растяжения):

Нужно также учесть, что перемещение тела под действием силы упругости равно разности удлинения пружины в начале и конце:

s = x₁ – x₂

Перемещение и направление силы упругости всегда сонаправлены, поэтому угол между ними нулевой. А косинус нулевого угла равен 1. Отсюда работа силы упругости равна:

Работы силы трения покоя

Работы силы трения покоя всегда равна 0, так как под действием этой силы тело не сдвигается с места. Исключение составляет случай, когда покоящееся тело лежит на подвижном предмете, на который действует некоторая сила. Относительно системы координат, связанной с подвижным предметом, работа силы трения покоя будет нулевой. Но относительно системы отсчета, связанной с Землей, эта сила будет совершать работу, так как тело будет двигаться, оставаясь на поверхности движущегося предмета.

Пример №2. Груз массой 100 кг волоком перетащили на 10 м по плоскости, поверхность которой имеет коэффициент трения 0,4. Найти работу, совершенной силой трения скольжения.

A = μmgs cosα = 0,4∙100∙10∙10∙(–1) = –4000 (Дж) = –4 (кДж)

Знак работы силы

Знак работы силы определяется только косинусом угла между вектором силы и вектором перемещения:

1. Если α = 0^о, то cosα = 1.
2. Если 0^о < α < 90^o, то cosα > 0.
3. Если α = 90^о, то cosα = 0.
4. Если 90^о < α < 180^o, то cosα < 0.
5. Если α = 180^о, то cosα = –1.

Работа силы трения скольжения всегда отрицательна, так как сила трения скольжения направлена противоположно перемещению тела (угол равен 180^о). Но в геоцентрической системе отсчета работа силы трения покоя будет отличной от нуля и выше нуля, если оно будет покоиться на движущемся предмете (см. рис. выше). В таком случае сила трения покоя будет направлена с перемещением относительно Земли в одну сторону (угол равен 0^о). Это объясняется тем, что тело по инерции будет пытаться сохранить покой относительно Земли. Это значит, что направление возможного движения противоположно движению предмета, на котором лежит это тело. А сила трения покоя направлена противоположно направлению возможного движения.

Геометрический смысл работы

Графическое определение

Механическая работа численно равна площади фигуры, ограниченной графиком с осями OF и OX.

A = S_фиг

Мощность

Определение

Мощность — физическая величина, показывающая, какую работу совершает тело в единицу времени. Мощность обозначается буквой N. Единица измерения: Ватт (Вт). Численно мощность равна отношению работы A, совершенной телом за время t:

Рассмотрим частные случаи определения мощности в таблице.

Мощность при равномерном прямолинейном движении тела	Работа при равномерном прямолинейном движении определяется формулой: A = Fтs Fт — сила тяги, s — перемещение тела под действием этой силы. Отсюда мощность равна:
Мощность при равномерном подъеме груза	Когда груз поднимается, совершается работа, по модулю равная работе силе тяжести. За перемещение в этом случае можно взять высоту. Поэтому:
Мгновенная мощность при неравномерном движении	Выше мы уже получили, что мощность при постоянной скорости равна произведению этой скорости на силу тяги. Но если скорость постоянно меняется, можно вычислить мгновенную мощность. Она равна произведению силы тяги на мгновенную скорость:
Мощность силы трения при равномерном движении по горизонтали	Мощность силы трения отрицательна так же, как и работа. Это связано с тем, что угол между векторами силы трения и перемещения равен 180о (косинус равен –1). Учтем, что сила трения скольжения равна произведению силы нормальной реакции опоры на коэффициент трения:

Пример №3. Машина равномерно поднимает груз массой 10 кг на высоту 20 м за 40 с. Чему равна ее мощность?

Коэффициент полезного действия

Не вся работа, совершаемая телами, может быть полезной. В реальном мире на тела действует несколько сил, препятствующих совершению работы другой силой. К примеру, чтобы переместить груз на некоторое расстояние, нужно совершить работу гораздо большую, чем можно получить при расчете по формулам выше.

Определения:

• Работа затраченная — полная работа силы, совершенной над телом (или телом).
• Работа полезная — часть полной работы силы, которая вызывает непосредственно перемещение тела.
• Коэффициент полезного действия (КПД) — процентное отношение полезной работы к работе затраченной. КПД обозначается буквой «эта» — η. Единицы измерения эта величина не имеет. Она показывает эффективность работы механизма или другой системы, совершающей работу, в процентах.

КПД определяется формулой:

Работа может определяться как произведение мощности на время, в течение которого совершалась работа:

A = Nt

Поэтому формулу для вычисления КПД можно записать в следующем виде:

Частые случаи определения КПД рассмотрим в таблице ниже:

Устройство	Работа полезная и полная	КПД
Неподвижный блок, рычаг	Aполезн = mgh Асоверш.
Наклонная плоскость	Aполезн = mgh Асоверш. = Fl l — совершенный путь (длина наклонной плоскости).

Пример №4. Определите полезную мощность двигателя, если его КПД равен 40%, а его мощность по паспорту равна 100 кВт.

В данном случае необязательно переводить единицы измерения в СИ. Но в таком случае ответ мы тоже получим в кВт. Из этой формулы выразим полезную мощность:

Алиса Никитина | Просмотров: 12k

Для нас привычно понятие «работа» в бытовом смысле. Работая, мы совершаем какое-либо действие, чаще всего полезное. В физике (если точнее, то в механике) термин «работа» показывает, какую силу в результате действия приложили, и на какое расстояние тело в результате действия этой силы переместилось.

Например, нам нужно поднять велосипед по лестнице в квартиру. Тогда работа будет определяться тем, сколько весит велосипед и на каком этаже (на какой высоте) находится квартира.

Механическая работа — это физическая величина, прямо пропорциональная приложенной к телу силе и пройденному телом пути.

Чтобы рассчитать работу, нам необходимо умножить численное значение приложенной к телу силы F на путь, пройденный телом в направлении действия силы S. Работа обозначается латинской буквой А.

Если под действием силы в 1 ньютон тело переместилось на 1 метр, то данной силой совершена работа в 1 джоуль.

Поскольку сила и путь — векторные величины, в случае наличия между ними угла формула принимает вид.

Числовое значение работы может становиться отрицательным, если вектор силы противоположен вектору скорости. Иными словами, сила может не только придавать телу скорость для совершения движения, но и препятствовать уже совершаемому перемещению. В таком случае сила называется противодействующей.

Для совершения работы необходимы два условия:

• чтобы на тело действовала сила,
• чтобы происходило перемещение тела.

Сила, действующая на тело, может и не совершать работу. Например, если кто-то безуспешно пытается сдвинуть с места тяжелый шкаф. Сила, с которой человек действует на шкаф, не совершает работу, поскольку перемещение шкафа равно нулю.

Полезная и затраченная работа

Был такой мифологический персонаж у древних греков — Сизиф. За то, что он обманул богов, те приговорили его после смерти вечно таскать огромный булыжник вверх по горе, откуда этот булыжник скатывался — и так без конца. В общем, Сизиф делал совершенно бесполезное дело с нулевым КПД. Поэтому бесполезную работу и называют «сизифов труд».

Чтобы разобраться в понятиях полезной и затраченной работы, давайте пофантазируем и представим, что Сизифа помиловали и камень больше не скатывается с горы, а КПД перестал быть нулевым.

Полезная работа в этом случае равна потенциальной энергии, приобретенной булыжником. Потенциальная энергия, в свою очередь, прямо пропорциональна высоте: чем выше расположено тело, тем больше его потенциальная энергия. Выходит, чем выше Сизиф прикатил камень, тем больше полезная работа.

Затраченная работа в нашем примере — это механическая работа Сизифа. Механическая работа зависит от приложенной силы и пути, на протяжении которого эта сила была приложена.

И как же достоверно определить, какая работа полезная, а какая затраченная?

Все очень просто! Задаем два вопроса:

1. За счет чего происходит процесс?

2. Ради какого результата?

В примере выше процесс происходит ради того, чтобы тело поднялось на какую-то высоту, а значит — приобрело потенциальную энергию (для физики это синонимы).

Происходит процесс за счет энергии, затраченной Сизифом — вот и затраченная работа.

Мощность

На заводах по всему миру большинство задач выполняют машины. Например, если нам нужно закрыть крышечками тысячу банок колы, аппарат сделает это в считанные минуты. У человека эта задача заняла бы намного больше времени. Получается, что машина и человек выполняют одинаковую работу за разные промежутки времени. Для того, чтобы описать скорость выполнения работы, нам потребуется понятие мощности.

Мощностью называется физическая величина, равная отношению работы ко времени ее выполнения.

Один ватт — это мощность, при которой работа в один джоуль совершается за одну секунду.

Также для мощности справедлива другая формула:

Как и для работы, для мощности справедливо правило знаков: если векторы направлены противоположно, значение мощности будет отрицательным.

Поскольку сила и скорость — векторные величины, в случае наличия между ними угла формула принимает следующий вид:

Примеры решения задач

Задача 1

Ложка медленно тонет в большой банке меда. На нее действуют сила тяжести, сила вязкого трения и выталкивающая сила. Какая из этих сил при движении тела совершает положительную работу? Выберите правильный ответ:

1. Выталкивающая сила.

2. Сила вязкого трения.

3. Сила тяжести.

4. Ни одна из перечисленных сил.

Решение

Поскольку ложка падает вниз, перемещение направлено вниз. В ту же сторону, что и перемещение, направлена только сила тяжести. Это значит, что она совершает положительную работу.

Ответ: 3.

Задача 2

Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной L = 40 м с постоянной по модулю скоростью. Модуль силы трения, действующей на ящик со стороны земли, равен 80 H. Чему равна работа силы тяги за один оборот?

Решение

Поскольку ящик тянут с постоянной по модулю скоростью, его кинетическая энергия не меняется. Вся энергия, которая расходуется на работу силы трения, должна поступать в систему за счет работы силы тяги. Отсюда находим работу силы тяги за один оборот:

Ответ: 3200 Дж.

Задача 3

Тело массой 2 кг под действием силы F перемещается вверх по наклонной плоскости на расстояние l = 5 м. Расстояние тела от поверхности Земли при этом увеличивается на 3 метра. Вектор силы F направлен параллельно наклонной плоскости, модуль силы F равен 30 Н. Какую работу при этом перемещении в системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью, совершила сила F?

Решение

В данном случае нас просят найти работу силы F, совершенную при перемещении тела по наклонной плоскости. Это значит, что нас интересуют сила F и пройденный путь. Если бы нас спрашивали про работу силы тяжести, мы бы считали через силу тяжести и высоту.

Работа силы определяется как скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения тела. Следовательно:

A = Fl = 30 * 5 = 150 Дж

Ответ: 150 Дж.

Задача 4

Тело движется вдоль оси ОХ под действием силы F = 2 Н, направленной вдоль этой оси. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости v^x тела на эту ось от времени t. Какую мощность развивает эта сила в момент времени t = 3 с?

Решение

На графике видно, что проекция скорости тела в момент времени 3 секунды равна 5 м/с.

Мощность можно найти по формуле N = Fv.

N = FV = 2×5 = 10 Вт

Ответ: 10 Вт.

Попробуйте онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по физике с опытным преподавателем в Skysmart!

По данным исследования компании Hays, 53% трудоспособного населения сталкивались с профессиональным выгоранием. Притом женщины подвержены ему больше, чем мужчины – из-за повышенной нагрузки дома и на работе.

Однако выгорание случается не только в профессии, но и в быту. Еще вчера у вас была куча планов на будущее, в эти выходные вы хотели встретиться с друзьями, а уже сегодня ничего не хочется. Апатия, лень, усталость – так выглядит выгорание. Разберемся, почему наступает бессилие и где найти силы и мотивацию двигаться вперед.

Куда ушли ваши силы

Трудно встать с кровати, все валится из рук, плохое настроение, слабость в теле, желание пропустить учебу или работу и «забить» на повседневные обязанности.

Многие люди хотя бы один раз оказывались в состоянии, когда ничего не радует и ничего не хочется, производительность на работе и дома падает, из-за усталости и апатии портятся отношения с окружающими.

Куда же пропадают силы, что приводит к снижению жизненного тонуса:

1. Нелюбимая работа. Возможно, вы так долго терпели ненавистную работу, что напряжение достигло своего предела и вы «перегорели». У взрослого человека труд занимает большую часть времени. Неудивительно, что вы сгорели, если большую часть жизни посвящали тому, что вам не нравится, тратили энергию на подавление негативных эмоций и самоуговоры: «Потерпи еще немного, скоро отпуск/пятница», «Зато здесь стабильность».
2. Токсичное окружение. Возможно, вы тратите слишком много сил на решение чужих проблем или на отстаивание личных границ, подавление негативных эмоций. Есть ли в вашем окружении люди, с которыми вы не хотите общаться, но вынуждены (как вам сейчас кажется)? По-другому таких людей называют энергетическими вампирами, потому что они высасывают жизненные силы из других людей. Примеры токсичных типов: человек-драма, жертва, человек-конфликт. Если вы состоите в близких отношениях с вампиром (он ваш друг, родственник или партнер), то истощение наступит еще быстрее.
3. Призраки прошлого. Обиды, травматические воспоминания, подавленные эмоции и желания, зацикленность на прошлом, тайны – все это отнимает у вас ресурсы. Даже если вы чего-то не помните или считаете, что уже давно со всем разобрались, не значит, что это действительно так. Сюда же относится борьба с самим собой, например, трата сил на конфликт «хочу и «надо» или непринятие части себя.

Кроме этого, истощение возникает, когда человек берет на себя слишком много. Может быть, и вы взвалили на себя слишком много обязанностей на работе и по дому? Или вы стараетесь следовать чьим-то стандартам, идеалам, стереотипам?

Или вы пытаетесь быть тем, кем не являетесь, живете с маской на лице? Все это тоже отнимает жизненную энергию.

Способы, как и где найти силы для жизни, работы и удовольствия

Разберем способы где же найти эти силы, столь необходимые для работы и жизни.

Говорите только о том, что по-настоящему важно для вас

Не тратьте время на разговоры «из вежливости» или «катание ваты», сплетни, мечты без разработки конкретных планов. Все это отнимает энергию.

Говорите только по существу и о том, что важно, интересно для вас.

А вместо безрезультативного обсуждения проблем («Ой, как все плохо, но что ж поделать») ищите варианты их решения.

Концентрируйтесь на своих достижениях

Где найти силы, когда опускаются руки: в своих прошлых победах. В период упадка сил мы склонны обесценивать себя, закрывать глаза на все прежние достижения, свои достоинства.

Возьмите бумагу и ручку, запишите все позитивное, что вспомните.

На будущее можно собрать подборку фотографий, сделанных в счастливые моменты, или соберите другие предметы, напоминающие о ваших победах. В трудные моменты жизни обращайтесь к этой подборке.

Избавьтесь от обид

Где найти силы жить дальше: избавьтесь от обид. Используйте технику свободного письма. Напишите все, что хотите сказать обидчику.

Поделитесь своими мыслями, переживаниями. Напишите, каких слов вы всю жизнь ждали, что именно вас тогда обидело.

Не выбирайте выражений – пишите так, как хочется. Выговоритесь, а затем уничтожьте письмо и отпустите обиду.

Не спорьте с другими

Про споры ради спора стоит забыть сразу же. Если же речь идет об отстаивании своего мнения, то учитывайте контекст ситуации и особенности оппонента.

Например, если собеседник спорит только для того, чтобы покричать, не готов вас услышать, то на это не стоит тратить свое время и силы.

Подумайте о будущем

Если вы устали от чего-то конкретного, например, ослабла мотивация в достижении жизненной цели, то вспомните ради чего вы все это начинали.

Где взять сил, чтобы все выдержать: представьте и прочувствуйте себя, свое состояние и жизнь после того, как цель будет достигнута. Если же жизненный тонус упал из-за того, что у вас нет целей и вы привыкли плыть по течению, то пора найти ориентиры.

Оцените свою удовлетворенность в разных сферах жизни: работа, семья, личная жизнь, здоровье, друзья, карьера и прочее. Подумайте, что для вас в приоритете и какую сферу нужно улучшить, как это сделать.

Важно! Если вы пытаетесь достичь не своей, а чужой, навязанной цели, то сил не будет. Когда что-то делаете, всегда оценивайте насколько это соответствует вашим потребностям, желаниям, ценностям, приоритетам.

Восстановите баланс

Где найти силы и энергию для жизни: восстановите баланс. В этом вам поможет формула «Колесо жизненного баланса»:

1. Нарисуйте круг.
2. Разделите его на значимые сферы жизни. Выберите то, что сами посчитаете нужным.
3. Оцените степень удовлетворенности в каждой сфере по 10-балльной шкале.
4. Закрасьте каждый сектор разным цветом.

Стремитесь к тому, чтобы степень удовлетворенности во всех сферах была одинаковой, то есть чтобы внутри большого круга появился еще один закрашенный круг.

Если до баланса вам далеко, то обратите внимание на секторы с самими низкими и самыми высокими оценками. Возможно, второй «съедает» первый. Подумайте, как это исправить.

Боритесь с прокрастинацией

Если вы привыкли откладывать все на потом, и у вас накопилось много незавершенных дел, то самое время разобраться с ними. Для начала честно запишите все, что накопилось. После этого оцените каждое дело на актуальность: вам все еще нужно с ним разобраться? Если нет – вычеркиваем.

Если что-то можно перепоручить другому человеку, то перепоручаем. С остальным разбираемся последовательно согласно своим приоритетам. Используйте технику кайдзен. Каждый день уделяйте делу хотя бы 5 минут.

В будущем все записывайте в ежедневник и не допускайте подобного. Вместо того чтобы прокрастинировать, спросите себя почему вы откладываете выполнение дела.

Как правило, за этим скрывается внутренний конфликт (хочу и надо), страхи («А вдруг я сделаю плохо, и меня раскритикуют»), дефицит опыта («Я не знаю, как это сделать»), слабая мотивация.

Окружите себя позитивными людьми

Речь идет не о тех, кто «живет и не парится», а о тех, кто любит себя, уверен в себе и излучает позитив. Они знают, что ресурсы каждого человека нуждаются в пополнении. А также они знают, что ничто не восполняет энергию и силы так хорошо, как приятное времяпрепровождение с другими людьми.

Например, командный вид спорта, поход, обсуждение интересной темы, обмен опытом.

Исключайте из своего окружения тех, кто все время жалуется на жизнь и у кого всегда все плохо.

Отдыхайте

Просмотр телевизора, лежа на диване и поглощая гору еды – это не отдых. Лучший отдых – это занятие любимым делом или вылазка на природу. Где бы вы ни отдыхали, отключите телефон и другие гаджеты. Прислушайтесь к себе и миру, попробуйте жить настоящим моментом.

Соблюдайте баланс «беру» и «даю»

Где найти источник силы: следите за тем, чтобы ваш обмен энергией с другими людьми и миром был взаимным. Чтобы чувствовать себя хорошо и быть полным сил, вы должны получать от других столько же, сколько отдаете.

Подумайте, не жертвуете ли вы собой, не пользуется ли кто-то из окружающих вашей добротой. Перестраивайте свои отношения с миром: учитесь говорить нет и просить о помощи, расставайтесь с токсичными людьми.

Делайте то, что хотите

Не ждите удачного момента, не ищите компанию, не откладывайте задуманное до особенного повода – делайте то, что хотите прямо сейчас.

Друг не может или не хочет сходить с вами в кафе? Сходите одни. У вас есть красивое платье, но его некуда «выгулять»? Создайте повод, например, сходите в театр. Учитесь наслаждаться жизнью, радоваться каждым моментом.

Ведите здоровый образ жизни

Соблюдайте режим дня, труда и отдыха. Ложитесь спать и просыпайтесь в одно время, занимайтесь спортом, правильно питайтесь.

Эксперты подтвердили, что здоровый сон (7-9 часов), сбалансированное питание (БЖУ в соотношении 30-40% к 20-25% к 40-59%) и активность повышают настроение и жизненный тонус. И не забывайте пить необходимое количество воды: 30 мл на 10 кг.

Интересно! Психологи выяснили, что физические нагрузки снижают тревожность, улучшают настроение и работу мозга, повышают самооценку и облегчают симптомы социальной замкнутости.

Не обесценивайте то, что имеете

Чем чаще вы обесцениваете то, что имеете, и наделяете особой значимостью то, чего у вас нет, тем более несчастным и уставшим человеком становитесь.

Не завидуйте другим, не гонитесь за чужим счастьем – любите то, что есть у вас и стройте реалистичные планы по улучшению жизни.

Прямо сейчас запишите 5 благодарностей миру, выпишите то, что цените в своей жизни и ни за что никогда, никому не отдали бы. Чаще вспоминайте об этом. И помните, что самое ценное – это то, что дарит позитивные эмоции.

Сравните, что приносит больше радости, наполняет энергией: новая машина или отдых в парке с любимым человеком /другом? Для большинства людей это второй вариант. Не зацикливайтесь на том, что менее важно.

Расширяйте зону комфорта

Новизна всегда вдохновляет, повышает настроение, дает дополнительные силы. Конечно, если речь идет о чем-то новом, что вы сами выбрали, а не о навязанных нововведениях, например, на работе.

Итак, чтобы вернуть вкус жизни, освойте или попробуйте что-то новое. Это может быть такая мелочь как новый десерт или что-то более масштабное типа прыжка с парашютом, путешествия в другую страну или соседний город.

Как и где найти места силы: посещайте парки, речки, леса, шумные улицы, выставки, театры, библиотеки, музеи и т.д. Прислушивайтесь к своим ощущениям и выбирайте то, что нравится.

Не пытайтесь нравиться всем

Попытки угодить другим, а особенно — всем, отнимают много энергии. Рассмотрите жизнь любого публичного человека, известной, исторической личности. О ком бы ни шла речь, у этого человека есть как почитатели, так и хейтеры.

Нельзя нравиться всем, потому что каждый человек уникален. У каждого свой опыт, убеждения, ценности, мировоззрение.

Чтобы не выгорать, нужно меньше думать об оценке со стороны окружающих, стереотипах, чужих ожиданиях и больше уделять внимания тому, что нравится вам. Нужно принять себя, избавиться от психологических проблем и негативных установок, побороть страхи.

Развивайте позитивное мышление

Речь идет не о слепом оптимизме и вере в судьбу, счастливые случайности. Речь идет о вере в себя, в то, что вы справитесь с любыми трудностями.

Почувствуйте разницу: оптимист думает, что все наладится как-нибудь само и когда-нибудь, а человек с позитивным мышлением разрабатывает план и знает, как именно и когда он справится с навалившимися трудностями.

Не сдавайтесь – меняйте свою тактику

То, где вы находитесь сейчас, что происходит в вашей жизни, как вы себя чувствуете – результат ваших прошлых действий.

Если вас не устраивает нынешнее положение вещей, то подумайте, что привело вас к этому и что нужно изменить. Проявите силу воли.

Не делайте того, о чем вас не просили

Откуда взять силы на работу: не навязывайте свою помощь и не выполняйте за других людей их обязанности.

Не взваливайте на себя слишком много и не приучайте других к тому, что на вас можно «ездить».

Избегайте интеллектуальных, физических, психических перегрузок

Как найти силы для работы: отдыхайте и защищайте себя от перегрузок. Лучший способ избежать их – планировать каждый день своей жизни и наблюдать за собой.

А также важно развивать критическое мышление и фильтровать поступающую информацию, просьбы и требования.

Снизьте уровень стресса

Исследователи из Американской психологической ассоциации выяснили, что стресс негативно влияет на все системы организма: дыхательную, двигательную, сердечно-сосудистую, эндокринную, репродуктивную, нервную, ЖКТ.

Стресс приводит к развитию хронических заболеваний, ухудшению общего самочувствия. Поэтому необходимо исключать из своей жизни то, что портит ее. Ведите дневник наблюдений, отмечайте негативные факторы.

Откажитесь от алкоголя

Некоторые люди обращаются к алкоголю как к лекарству. На самом деле он не восстанавливает силы. Особенно вредно пить на ночь. Употребление спиртного на ночь сокращает фазу быстрого сна (ссылка на исследование), а именно в это время психика, организм и тело отдыхают, перезагружаются и набираются сил. Систематическое употребление алкоголя приводит к усталости, сонливости, проблемам с памятью. Если у вас проблемы с алкоголем, то спросите себя, от чего вы убегаете, и решайте эту проблему.

Займитесь творчеством

Творчество – это создание чего-то нового и уникального. Жизнь сама по себе – это творчество. Поэтому для восстановления сил нужно обязательно заняться музицированием, рисованием, сочинительством, рукоделием или чем-то еще. В психологии даже есть целое направление – терапия искусством и творчеством, или арт-терапия. Выберите то, к чему лежит душа. Не думайте о том, как у вас получается, не сравнивайте себя с другими – просто творите. Или наблюдайте за творчеством других людей, посещайте выставки, смотрите фильмы, слушайте музыку.

Если чувствуете, что негативные эмоции переполняют вас, то выпустите их через творчество. Например, вы можете хаотично бросать краски на холст, выкрикивая то, что вас беспокоит.

Обратите внимание! Мы беспрерывно тратим и получаем моральную силу. Для качественной и счастливой жизни важно следить за этим, управлять процессом. Отслеживайте, на что тратите энергию и откуда черпаете ее.

Своевременно реагируйте на сигналы организма

Если чувствуете, что устали — отдохните. Если заболели, то уйдите на больничный и полноценно восстановитесь. Не откладывайте на потом проработку психологических проблем и лечение соматических заболеваний.

Очистите свой дом и мысли

Возьмите отгул на работе или выходной, если вы фрилансер, уединитесь. Наведите порядок дома, избавьтесь от ненужных и сломанных вещей. Вместе с этим наведите порядок в голове. Для этого ответьте на несколько вопросов:

1. Что меня беспокоит, не устраивает в жизни?
2. Какие эмоции я испытываю? А какие чувства скрываются за ними на более глубоком уровне?
3. Какая потребность скрывается за этими чувствами?
4. Что поможет мне удовлетворить эту потребность другим путем? Так, чтобы я стал счастливым человеком.

Пример ответов:

1. Отношения с матерью. Они натянутые, любые попытки пообщаться заканчиваются ссорой или «выносом мозга».
2. Я злюсь и раздражаюсь. На самом деле мне обидно и грустно.
3. Я хочу быть любимым, принятым, понятым.
4. Раз мама не может мне этого дать, значит, нужно найти это внутри себя и в отношениях с другими людьми. Теперь я знаю, как найти силы в себе.

Займитесь танцами

Потанцуйте дома под любимые песни или запишитесь на кружок и осваивайте танцы профессионально. Ученые выяснили, что регулярные занятия танцами или танцевальными видами спорта снижают уровень кортизола – гормона стресса и придают сил.

Будьте активны

Если ничего не хочется, и ни на что нет сил, то хотя бы прогуляйтесь. В психологии есть такой прием как «активация действием». Его рекомендуют людям в депрессии, но и просто при усталости, апатии он подойдет. Суть в том, что вам нужно сделать хоть что-нибудь приятное и полезное. Лучше заранее составить список таких дел на разные случаи жизни, например, подходящие дела дома, на работе, в социуме и т.д. В состоянии апатии люди склонны лениться, а потом ругать себя: «Мне же столько всего нужно сделать, а я тут разлегся». Это упражнение защитит вас от подобного, поднимет настроение и самооценку, придаст уверенности.

Откажитесь от искусственных источников энергии

Кофе, энергетики, сахар – это и подобное не помогает набраться сил. Да, сначала кажется, что энергии прибавилось, но потом наступает еще больший спад. Так и до зависимостей недалеко.  Поэтому выбирайте не быстрые, а качественные способы восполнения сил: спорт, творчество, прогулки, чтение и прочее из этой статьи.

Советы психологов

Еще несколько эффективных советов от психолога о том, где найти жизненные силы.

Совет №1: проститесь с прошлым

Из прошлого можно брать только приятные воспоминания при условии, что они мотивируют вас на новые свершения. А вот на ошибках, неудачах, чьей-то критике и другом негативе зацикливаться нельзя. Сюда же относятся вредные привычки или отдельные черты характера. Жить нужно настоящим. Только представьте, сколько энергии вы тратите на проигрывание пластинки «прошлое».

И главное – помните, что прошлое не определяет вашего будущего. Да, может быть, вы родились в бедной или неблагополучной семье, привыкли довольствоваться малым, терпеть боль и дискомфорт, но это не означает, что и сейчас вы должны жить так же. Сценарий всегда можно изменить, чтобы жить дальше по-другому. Для начала нужно разобраться в себе, понять о какой жизни вы мечтаете и на что способны.

Быть счастливым или быть несчастным – это ваш выбор. И вы сами выбираете идти вперед или застрять в прошлом.

Совет №2: принимайте трудности как нормальную часть жизни

Наверное, вы слышали выражение «Выхода нет только из гроба». Так и есть: все можно решить и преодолеть, пока вы живы. Трудности – естественный элемент жизни каждого человека. Не постоянно, но часто приходится бороться с обстоятельствами, собой, окружающими и много чем еще. Не бойтесь этого, не зацикливайтесь, не разыгрывайте трагедию – думайте, как решить проблему. Меньше эмоций – больше объективных раздумий и фактов.

Запомните! Преодолевая трудности в жизни, мы растем личностно. Преодолевая трудности на работе, мы растем личностно и профессионально.

Совет №3: помните о краткосрочности жизни

Не попадайте в ловушку «потом». Да, нужно строить планы на будущее, но не забывайте в каждый день добавлять осознанности и наслаждаться настоящим моментом. Как минимум – заведите приятные ритуалы. Например, это может быть завтрак всей семьей или вечерний разговор по телефону с подругой, утренняя прогулка в одиночестве или что-то еще.

Совет №4: не пытайтесь быть сильным

Начните восстановление ресурсов с признания факта: «Я устал». И в будущем не принуждайте себя делать что-то через «не хочу» или «не могу», забудьте о всяких «Соберись, тряпка», «Будь мужиком» и т.п. У всего этого один результат – выгорание. Каждому человеку нужно время на перезагрузку, все мы устаем.

Финские ученые пришли к выводу, что люди устают даже от самого факта социального взаимодействия. Чем больше мы общаемся, тем быстрее истощаемся.

Совет №5: разрешите себе ошибаться

Где взять силы для успеха: разрешите себе ошибаться. «Если попробуешь, то у тебя есть два варианта: получится и не получится. Если не попробуешь, то один – не получится» (автор неизвестен). Так что если хотите что-то сделать, то делайте. Предварительно взвесьте все «за» и «против», оцените риски, подготовьте почву, подберите необходимые средства.

Обучаясь чему-то, мы всегда ошибаемся.

Вспомните, как вы учились ходить, читать, писать. Как осваивали обязанности на работе и совершенствовали профессиональные навыки. Ошибки, а точнее работа над ними, способствует профессиональному и личностному развитию. Рассматривайте любое препятствие, испытание как шанс научиться чему-то новому.

Совет №6: развивайте чувство юмора и больше смейтесь

«Жаловаться на неприятную вещь — это удваивать зло, смеяться над ней — это уничтожить его», – Конфуций, философ.

В жизни можно пережить все, если не терять чувства юмора. В психологии даже существует специальное направление психотерапии – смехотерапия. Психологи экспериментально подтвердили, что смех снижает уровень стресса и повышает стрессоустойчивость.

А исследователи из клиники Майо доказали, что смех помогает снять физическое и психическое напряжение, положительно влияет на работу всех систем организма. В долгосрочной перспективе смех повышает общую удовлетворенность жизнью, улучшает настроение и ослабляет хроническую боль.

В заключении

В широком смысле существуют только 3 источника, где брать силы и энергию: семья, социум, вы. Мы пополняем свои ресурсы, когда общаемся с семьей или даже просто думаем о ней, вспоминаем приятные моменты. Мы наполняемся позитивными эмоциями, когда весело проводим время с друзьями, успешно выступаем с отчетом на работе, слышим слова благодарности от клиентов, помогаем другим людям и получаем поддержку от них. Мы оживаем, когда находим опору внутри себя – вспоминаем прошлые успехи, хвалим себя, удовлетворяем свои желания и потребности, говорим себе комплименты.

В целях профилактики выгорания будьте честны с собой и другими людьми, не позволяйте окружающим обманывать вас и втягивать в токсичные отношения. Всегда выполняйте обещания и не обещайте того, что не сможете выполнить. Доводите начатое до конца, не хватайтесь за выполнение сразу нескольких дел.

Если понимаете, что не можете самостоятельно справиться с бессилием, или не видите причину состояния, то обратитесь к психологу. Возможно, вы не просто устали, а достигли глубокого истощения. В таком случае нужна помощь профессионала.

На материальную точку $Tleft(x,yright)$ действует переменная сила $overline{F}=left(3cdot x-2cdot yright)cdot overline{i}+4cdot ycdot overline{j}$. Под действием этой силы материальная точка перемещается на отрезке $left[6;15right]$ от точки $M$ до точки $N$ вдоль синусоидальной кривой $y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2$. Найти работу переменной силы $overline{F}$ на криволинейном пути от точки $M$ до точки $N$. Построить графическое изображение пути от точки $M$ до точки $N$, а также векторы переменной сили $overline{F}$ в этих точках.

Выполняем графическое изображение синусоидальной кривой $y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2$ на отрезке $left[6;15right]$.

Находим значения синусоиды в точках $x_{M} =6$ и $x_{N} =15$:

1. $y_{M} =7cdot sin left(0,31cdot 6-1,57right)+2approx 4$;
2. $y_{N} =7cdot sin left(0,31cdot 15-1,57right)+2approx 2,43$.

Выполняем графические изображения векторов переменной силы $overline{F}=left(3cdot x-2cdot yright)cdot overline{i}+4cdot ycdot overline{j}$, значения которого в точках $M$ и $N$ соответственно равны $overline{F}_{M} =left(3cdot 6-2cdot 4right)cdot overline{i}+4cdot 4cdot overline{j}=10cdot overline{i}+16cdot overline{j}$ и $bar{F}_{N} =left(3cdot 15-2cdot 2,43right)cdot overline{i}+4cdot 2,43cdot overline{j}=40,14cdot overline{i}+9,72cdot overline{j}$.

Работу данной силы на данном участке кривой $MN$ вычисляем по формуле $A=int limits _{a}^{b}Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx +int limits _{a}^{b}Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’left(xright)cdot dx $.

Здесь участок кривой $MN$ задан на отрезке $left[x_{M} ,; x_{N} right]$, поэтому формула для работы приобретает вид: $A=int limits _{x_{M} }^{x_{N} }Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx +int limits _{x_{M} }^{x_{N} }Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’left(xright)cdot dx $.

В этой формуле первый интеграл дает значение работы силы $F$ вдоль оси $Ox$, второй интеграл — вдоль оси $Oy$.

Находим работу силы вдоль оси $Ox$: $A_{x} =int limits _{6}^{15}Pleft(x,yleft(xright)right)cdot dx $.

Согласно условию задачи имеем:

[Pleft(x,yright)=3cdot x-2cdot y; y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2.]

Поэтому:

[Pleft(x,yleft(xright)right)=3cdot x-2cdot left(7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2right)=]

[=3cdot x-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)-4.]

Далее получаем:

[A_{x} =int limits _{6}^{15}left(3cdot x-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)-4right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}3cdot xcdot dx +int limits _{6}^{15}left(-14cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)right)cdot dx +int limits _{6}^{15}left(-4right)cdot dx =]

[=3cdot int limits _{6}^{15}xcdot dx -14cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx -4cdot int limits _{6}^{15}dx =]

[=3cdot left[frac{x^{2} }{2} right]_{6}^{15} -14cdot left[-frac{1}{0,31} cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)right]_{6}^{15} -4cdot left[xright]_{6}^{15} =]

[=1,5cdot left(15^{2} -6^{2} right)+frac{14}{0,31} cdot left(cos left(0,31cdot 15-1,57right)-cos left(0,31cdot 6-1,57right)right)-]

[-4cdot left(15-6right)=135,15.]

Находим работу силы вдоль оси $Oy$: $A_{y} =int limits _{6}^{15}Qleft(x,yleft(xright)right)cdot y’cdot dx $.

Согласно условию задачи имеем:

[Qleft(x,yright)=4cdot y; y=7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2. ]

Поэтому:

[Qleft(x,yleft(xright)right)=4cdot left(7cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+2right)=28cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+8;]

[y’=7cdot 0,31cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)=2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right).]

Далее получаем:

[A_{y} =int limits _{6}^{15}left(28cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)+8right)cdot 2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}28cdot 2,17cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx +]

[+int limits _{6}^{15}8cdot 2,17cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=int limits _{6}^{15}60,76cdot sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx +]

[+int limits _{6}^{15}17,36cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx .]

Вычисляем первый интеграл $I_{1} $:

[I_{1} =60,76cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=60,76cdot frac{1}{0,31} cdot int limits _{6}^{15}sin left(0,31cdot x-1,57right)cdot dleft(sin left(0,31cdot x-1,57right)right) =]

[=196cdot left[frac{sin ^{2} left(0,31cdot x-1,57right)}{2} right]_{6}^{15} =]

[=98cdot left(sin ^{2} left(0,31cdot 15-1,57right)-sin ^{2} left(0,31cdot 6-1,57right)right)approx -7,64.]

Вычисляем второй интеграл $I_{2} $:

[I_{2} =17,36cdot int limits _{6}^{15}cos left(0,31cdot x-1,57right)cdot dx =]

[=17,36cdot frac{1}{0,31} cdot left[sin left(0,31cdot x-1,57right)right]_{6}^{15} =]

[=56cdot left(sin left(0,31cdot 15-1,57right)-sin left(0,31cdot 6-1,57right)right)approx -12,57.]

Работа силы вдоль оси $Oy$:

[A_{y} =I_{1} +I_{2} =-7,64-12,57=-20,21.]

Общая работа силы при перемещении вдоль кривой:

[A=A_{x} +A_{y} =135,15-20,21=114,94.]