Как найти симетрию фигуры - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Симметрия — соразмерность, соответствие, сходность, порядок в расположении частей. Это слово, как и многие другие математические понятия, произошли от греческих слов.

Смотря на объекты вокруг, мы не раз восклицаем: «Какая симметрия!»

Рис. (1). Симметрия в архитектуре.

Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.

Но симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Рис. (2). Симметрия в природе.

Пока рассмотрим две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой.

Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.

Точки

симметричны относительно некоторой точки (O), если точка (O) является серединой отрезка

MM1

Рис. (3). Центральная симметрия.

Точка (O) называется центром симметрии.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

Рис. (4). Треугольники симметричны относительно точки (O).

Построим треугольник

A1B1C1

, симметричный треугольнику (ABC) относительно центра (точки) (O).

1. Для этого соединим точки (A), (B), (C) с центром (O) и продолжим эти отрезки.
2. Измерим отрезки (AO), (BO), (CO) и отложим с другой стороны от точки (O) равные им отрезки

AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1

;
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник

A1B1C1

, симметричный данному треугольнику (ABC).

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).

Есть фигуры с центральной симметрией, это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии — это её центр, у параллелограмма центр симметрии — это точка, в которой пересекаются его диагонали. Есть очень много фигур, у которых нет центра симметрии.

Осевая симметрия

Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

Точки

симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.

Рис. (5). Осевая симметрия.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

Рис. (6). Треугольники симметричны относительно прямой.

Построим треугольник

A1B1C1

, симметричный треугольнику (ABC) относительно красной прямой.

1. Для этого проведём из вершин треугольника (ABC) прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник

A1B1C1

, симметричный данному треугольнику (ABC).

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.

Иногда у фигур несколько осей симметрии:

для неразвёрнутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла.
Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии.
Для равностороннего треугольника — три оси.
Для прямоугольника и ромба существуют две оси симметрии.
Для квадрата — целых четыре.
Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры.
Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Источники:

Рис. 1 Симметрия в архитектуре. Указание авторства не требуется, 2021-06-02, Архитектура/Здания, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VFC5B.

Рис. 2. Симметрия в природе. Указание авторства не требуется, 2021-06-02, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VFECn.

Рис. 3. Центральная симметрия, © ЯКласс.

Рис. 4. Треугольники симметричны относительно точки O, © ЯКласс.

Рис. 5. Осевая симметрия, © ЯКласс.

Рис. 6. Треугольники симметричны относительно прямой, © ЯКласс.

Источник

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

Ось симметрии угла — биссектриса.
Ось симметрии равностороннего треугольника — биссектриса, медиана, высота.
Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу и квадрат, и ромб.
Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Симметрия геометрических фигур и тел

Рассмотрим внимательнее геометрические тела. Например, осью симметрии параболы является прямая, проходящая через ее вершину и рассекающая данное тело пополам. У этой фигуры имеется одна единственная ось.

А с геометрическими фигурами дело обстоит иначе. Ось симметрии прямоугольника — также прямая, но их несколько. Можно провести ось параллельно отрезкам ширины, а можно — длины. Но не все так просто. Вот прямая не имеет осей симметрии, так как ее конец не определен. Могла существовать только центральная симметрия, но, соответственно, и таковой не будет.

Следует также знать то, что некоторые тела имеют множество осей симметрии. Об этом догадаться несложно. Даже не нужно говорить о том, сколько осей симметрии имеет окружность. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является таковой и этих прямых — бесконечное множество.

У некоторые четырехугольников может быть две оси симметрии. Но вторые должны быть перпендикулярны. Это происходит в случае с ромбом и прямоугольником. В первом оси симметрии — диагонали, а во втором — средние линии. Множество таковых осей только у квадрата.

Видео

Центральная симметрия

Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.

Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.

Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.

Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.

Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии

Фигуры, имеющие несколько осей симметрии

Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.

Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.

То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.

Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.

Рис. 5 Оси симметрии ромба

Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.

Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника

В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики.

Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.

Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.

Точку симметричную точке А относительно прямой , можно построить так. Проведем через точку А прямую , перпендикулярную прямой . Для этого используем чертежный угольник. Прикладываем чертежный угольник так, как показано на рисунке ниже и проводим прямую через точку А.

Пусть прямые и пересекаются в точке О. Отложим при помощи линейки на прямой отрезок ОА₁, равный отрезку ОА.

Получаем точки А и А₁, которые симметричны относительно прямой .

Также можно построить фигуры, симметричные относительно прямой.

Построим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно прямой .

Пусть дан треугольник АВС и прямая .

Далее строим точки А₁, В₁ и С₁, симметричные точкам А, В и С относительно прямой (алгоритм построения смотри выше), соединив которые получим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно прямой .

Обратите внимание, любые две фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Если фигура имеет ось симметрии (прямая ) то, все точки этой фигуры, не принадлежащие этой оси, можно разделить на пары симметричных точек.

Центральная симметрия

Точки М и М₁ называют симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка ММ₁ (смотри рисунок ниже).

Рассмотрим построение точки, симметричной данной точке М относительно данной точки О.

Пусть даны точки М и О. Точку, симметричную точке М относительно точки О, можно построит так. Проведем луч МО.

На луче МО отложим отрезок ОN , равный отрезку ОМ.

Точки М и М₁, которые симметричны относительно точки О.

Также можно построить фигуры, симметричные относительно точки.

Построим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно точки О.

Пусть дан треугольник АВС и точки О.

Далее строим точки А₁, В₁ и С₁, симметричные точкам А, В и С относительно точки О (алгоритм построения смотри выше), соединив которые получим треугольник А₁В₁С₁, симметричный треугольнику АВС относительно точки О.

Обратите внимание, любые две фигуры, симметричные относительно точки, равны.

Рассмотрим окружность с центром в точке О. Все точки окружности можно разбить на пары точек, симметричных относительно точки О.

В таком случае говорят, что окружность имеет центр симметрии — точку О.

Также центр симметрии имеют такие фигуры, как отрезок, прямоугольник, эллипс.

Советуем посмотреть:

Перпендикулярные прямые

Параллельные прямые

Координатная плоскость

Координаты на плоскости

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 1246,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1265,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1270,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1271,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1306,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1315,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 2,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 5,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 9,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Источник

Симметрия

Симметрия – это «отзеркаленное» положение чего-либо.

Симметрия бывает лучевая (через прямую) и центральная (через точку)

ЛУЧЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Линия симметрии – это прямая, по которой что-либо отражается.

Например,

Возьмем лист бумаги и отметим на нём точку. Сложим лист бумаги по линии. Тогда наша точка «отпечатается» на противоположной стороне от нее:

Линия сгиба и будет линией симметрии. Говорят, что точка симметрична относительно данной прямой.

Мы можем отражать любые точки относительно любых прямых, например:

Чтобы каждый раз не складывать мысленно листок бумаги, можно использовать общий принцип образования лучевой симметрии.

Чтобы отразить точку относительно линии симметрии нужно:

Провести перпендикуляр от точки до линии симметрии. Получится отрезок от точки до линии.
Продлить этот отрезок в два раза, чтобы линия симметрии оказалась на его середине.
На конце продленного отрезка будет находиться точка, симметричная данной.

Например,

Отразить фигуру относительно линии симметрии – значит отразить каждую её точку.

Пример №1:

Отразите треугольник относительно заданной линии симметрии.

Чтобы отразить весь треугольник, нужно отразить каждую её точку. Отразим три вершины треугольника.
Проведем от каждой точки перпендикуляр к линии симметрии.
Посчитаем длины этих перпендикуляров до каждой точки:

От точки А – 1 диагональ клетки

От точки В – 2 диагонали клетки

От точки С – 3 диагонали и еще половина

Продлим каждый перпендикуляр на такую же длину. Получили что от каждой точки до их «отражений» будет:

От А – 2 диагонали

От В – 4 диагонали

От С – 7 диагоналей

Соединим получившиеся точки на другой стороне от линии симметрии и получим треугольник симметричный данному.

(Delta АВС симметричен Delta A_{1}B_{1}C_{1}) по линии симметрии

СИММЕТРИЯ ФИГУР

Симметричная фигура – это фигура, которую можно сложить так, чтобы её вершины совпали.

Линию симметрии внутри фигуры называют осью симметрии.

Например:

Данные фигуры симметричный относительно своих осей симметрии:

А вот эти фигуры несимметричные. У них не осей симметрии такие фигуры называют ассиметричными:

При этом у одной фигуры может быть несколько осей симметрии. Например, у квадрата их четыре:

А вот у окружности есть бесконечное количество осей симметрии, т.к. любая прямая, проведенная через центр окружности, является осью её симметрии:

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Центральная симметрия – это симметрия относительно точки.

Такая симметрия выстраивается аналогично лучевой симметрии, только теперь нужно проводить отрезок от точки к точке (без перпендикуляров) и продолжать этот отрезок на такую же длину. Например: