Как найти симметричную точку относительно другой точки

Выясним, как связаны между собой координаты симметричных точек и рассмотрим на примерах, как найти координаты точки, симметричной данной точке.

I. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно точки O(x_O;y_O), если точка O является серединой отрезка AB.

По формулам координаты середины отрезка получаем связь координат этих точек:

   

Координаты точек, симметричных относительно начала координат — точки O(0;0) — противоположные числа.

То есть координаты точки B, симметричной точке A относительно начала координат, отличаются от  координат точки A только знаками:

A(a;b) и B(-a;-b) — точки, симметричные относительно начала координат.

Примеры.

1) Найти точку, симметричную точке A(-3;7) относительно точки F(5; 11).

Решение:

Пусть B(x_B;y_B) — точка, симметричная точке A относительно точки F. Тогда

   

   

   

   

   

   

   

Ответ: (13;15).

2) Найти точку, симметричную точке C (9;-4) относительно начала координат.

Решение:

Точка D, симметричная точке C относительно начала координат, имеет координаты, противоположные координатам точки C: D(-9;4).

Ответ: (-9;4).

II. Две точки A(x_A;y_A) и B(x_B;y_B) симметричны относительно прямой g, если эта прямая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна к нему.

Таким образом, чтобы найти координаты точки B, симметричной данной точке A относительно прямой g, можно:

• Написать уравнение прямой f, перпендикулярной прямой g, проходящей через точку A.
• Найти точку O пересечения прямых f и g.
• Зная конец отрезка A и его середину O найти другой конец B.

Пример

Найти точку, симметричную точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Решение:

Уравнение прямой, перпендикулярной данной прямой y=2x+4, ищем в виде y=-0,5x+b. Так как эта прямая проходит через точку A, координаты A удовлетворяют уравнению прямой:

5=-0,5·(-4)+b, откуда b=3.

Таким образом, y=-0,5x+3 — прямая, перпендикулярная прямой y=2x+4 и проходящая через точку A.

Найдём координаты точки пересечения прямых:

   

   

   

   

   

   

Значит точка B(3,2;1,4) симметрична точке A(-4;5) относительно прямой y=2x+4.

Ответ: (3,2;1,4).

Координаты точек, симметричных относительно осей координат и биссектрис координатных четвертей — прямых y=x и y=-x — находятся проще:

	для точки A(x;y)
симметрия относительно:
оси Ox	A1(x;-y)
оси Oy	A2(-x;y)
биссектрисы I и II координатных четвертей (прямой y=x)	A3(y;x)
биссектрисы I b II координатных четвертей (прямой y= -x)	A4(-y;-x)

Как найти точку, симметричную относительно прямой

Пусть даны некоторая прямая, заданная линейным уравнением, и точка, заданная своими координатами (x0, y0) и не лежащая на этой прямой. Требуется найти точку, которая была бы симметрична данной точке относительно данной прямой, то есть совпадала бы с ней, если плоскость мысленно согнуть пополам вдоль этой прямой.

Инструкция

Ясно, что обе точки — заданная и искомая — должны лежать на одной прямой, причем эта прямая должна быть перпендикулярна данной. Таким образом, первая часть задачи заключается в том, чтобы найти уравнение прямой, которая была бы перпендикулярна некоторой данной прямой и при этом проходила бы через данную точку.

Прямая может быть задана двумя способами. Каноническое уравнение прямой выглядит так: Ax + By + C = 0, где A, B, и C — константы. Также прямую можно определить при помощи линейной функции: y = kx + b, где k — угловой коэффициент, b — смещение.
Эти два способа взаимозаменяемы, и от любого можно перейти к другому. Если Ax + By + C = 0, то y = — (Ax + C)/B. Иными словами, в линейной функции y = kx + b угловой коэффициент k = -A/B, а смещение b = -C/B. Для поставленной задачи удобнее рассуждать, исходя из канонического уравнения прямой.

Если две прямые перпендикулярны друг другу, и уравнение первой прямой Ax + By + C = 0, то уравнение второй прямой должно выглядеть Bx — Ay + D = 0, где D — константа. Чтобы найти конкретное значение D, нужно дополнительно знать, через какую точку проходит перпендикулярная прямая. В данном случае это точка (x0, y0).
Следовательно, D должно удовлетворять равенству: Bx0 — Ay0 + D = 0, то есть D = Ay0 — Bx0.

После того как перпендикулярная прямая найдена, нужно вычислить координаты точки ее пересечения с данной. Для этого требуется решить систему линейных уравнений:
Ax + By + C = 0,

Bx — Ay + Ay0 — Bx0 = 0.
Ее решение даст числа (x1, y1), служащие координатами точки пересечения прямых.

Искомая точка должна лежать на найденной прямой, причем ее расстояние до точки пересечения должно быть равно расстоянию от точки пересечения до точки (x0, y0). Координаты точки, симметричной точке (x0, y0), можно, таким образом, найти, решив систему уравнений:
Bx — Ay + Ay0 — Bx0 = 0,

√((x1 — x0)^2 + (y1 — y0)^2 = √((x — x1)^2 + (y — y1)^2).

Но можно поступить проще. Если точки (x0, y0) и (x, y) находятся на равных расстояниях от точки (x1, y1), и все три точки лежат на одной прямой, то:
x — x1 = x1 — x0,

y — y1 = y1 — y0.
Следовательно, x = 2×1 — x0, y = 2y1 — y0. Подставив эти значения во второе уравнение первой системы и упростив выражения, легко убедиться, что правая его часть становится идентична левой. Дополнительно учитывать первое уравнение уже нет смысла, поскольку известно, что точки (x0, y0) и (x1, y1) ему удовлетворяют, а точка (x, y) заведомо лежит на той же прямой.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Точка
пересечения прямой и плоскости

Постановка
задачи.
Найти точку пересечения прямой

 и
плоскости

.

План
решения.

1.
Находим параметрические уравнения
прямой. Для этого полагаем

.

откуда
получаем

2.
Подставляя эти выражения для

 в
уравнение плоскости и решая его
относительно t,
находим значение параметра

,
при котором происходит пересечение
прямой и плоскости.

3.
Найденное значение

 подставляем
в параметрические уравнения прямой и
получаем искомые координаты точки
пересечения:

Замечание.
Если в результате решения уравнения
относительно параметра

 получим
противоречие, то прямая и плоскость
параллельны (это эквивалентно условию

).

Задача
13.
Найти точку пересечения прямой и
плоскости.

Запишем
параметрические уравнения прямой.

Подставляем
в уравнение плоскости:

Откуда
координаты точки пересечения прямой и
плоскости будут

Задача 14

Симметрия
относительно прямой или плоскости

Симметрия относительно прямой

Постановка
задачи.
Найти координаты точки

,
симметричной точке

 относительно
прямой

.

План
решения.

1.
Находим уравнение плоскости, которая
перпендикулярна данной прямой и проходит
через точку

.
Так плоскость перпендикулярна заданной
прямой, то в качестве ее вектора нормали
можно взять направляющий вектор прямой,
т.е.

Поэтому
уравнение плоскости будет

2.
Находим точку

 пересечения
прямой

 и
плоскости

 (см.
задачу 13).

3.
Точка

 является
серединой отрезка

,
где точка

 является
точкой симметричной точке

,
поэтому

Задача
14.
Найти точку

,
симметричную точке

 относительно
прямой.

.

Уравнение
плоскости, которая проходит через точку

 перпендикулярно
заданной прямой будет:

Найдем
точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда

 –
точка пересечения прямой и плоскости.

 является
серединой отрезка

,
поэтому

Т.е.

.

Симметрия относительно плоскости

Постановка
задачи.
Найти координаты точки

,
симметричной точке

 относительно
плоскости

.

План
решения.

1.
Находим уравнение прямой, которая
перпендикулярна данной плоскости и
проходит через точку

.
Так прямая перпендикулярна заданной
плоскости, то в качестве ее направляющего
вектора можно взять вектор нормали
плоскости, т.е.

.

Поэтому
уравнение прямой будет

.

2.
Находим точку

 пересечения
прямой

 и
плоскости

 (см.
задачу 13).

3.
Точка

 является
серединой отрезка

,
где точка

 является
точкой симметричной точке

,
поэтому

Задача
14.
Найти точку

,
симметричную точке

 относительно
плоскости.

Уравнение
прямой, которая проходит через точку

 перпендикулярно
заданной плоскости будет:

Найдем
точку пересечения прямой и плоскости.

Откуда

 –
точка пересечения прямой и плоскости.

 является
серединой отрезка

,
поэтому

Т.е.

.

Литература

1. Ван дер Варден
   Б.Л. Алгебра. — СПб. : Лань, 2004. — 624 с.

2. Кузнецов Л.А.
   Сборник заданий по высшей математике
   (типовые расчеты). — СПб: «Лань»,
   2008.- 240 c.

3. Привалов И.И.
   Аналитическая геометрия. — СПб. ; М. ;
   Краснодар: Лань, 2007. — 304 с.

4. Цубербиллер О.Н.
   Задачи и упражнения по аналитической
   геометрии. — СПб.: Лань, 2003. — 336 с.

5. Фаддеев Д.К.,
   Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре.
   — СПб.; М. ; Краснодар : Лань, 2007. — 288 с.

6. Курош А.Г. Курс
   высшей алгебры. — СПб. ; М. ; Краснодар :
   Лань, физматкнига, 2007. — 432 с.

7. Окунев Л.Я. Высшая
   алгебра.- СПб.: Лань, 2009. — 336 с.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Центральная симметрия с центром в точке C (a,b) описывается уравнениями $frac{x+x’}2=a, x’=-x+2a$ или, что то же самое, $frac{y+y’}2=b, y’=-y+2b$.

Например, если центр симметрии находится в точке C(1,2), то симметричной точке А(2, 3) будет точка А'(0,1), так как $x’=-2+2 times 1=0, y’=-3+2 times 2=1$.

Декартовы уравнения, описывающие осевую симметрию, более сложны, так как осью симметрии может быть любая прямая на плоскости, и чтобы описать ее, потребуется прибегнуть к тригонометрическим функциям. Существуют, однако, три простых случая.

x’=x

y’=-y

Таким образом, чтобы найти точку, симметричную заданной, достаточно оставить неизменной первую координату и поменять знак у второй. Например, точкой, симметричной точке A(3,-2), будет точка А’(3,2).

x’=-x

y’=y

В этом случае для нахождения симметричной точки нужно поменять знак первой координаты и оставить неизменной вторую. Например, точкой, симметричной точке А (-3, 9) относительно оси ОУ, является точка А’(3,9).

x’=y

y’=x

Таким образом, достаточно только поменять значения координат местами. То есть точкой, симметричной точк с А(5,1), будет точка А’(1,5).

Симметрии в пространстве

В пространстве также существуют центральная и осевая симметрии (относительно точки или прямой), определяемые примерно так же, как и на плоскости, но с тремя координатами вместо двух. Безусловно, существует еще и третья возможность — симметрия относительно плоскости, так называемая зеркальная симметрия. Строится она следующим образом. Предположим, что Р — плоскость симметрии (симметрия в таком случае обычно обозначается символом ). Чтобы найти преобразование точки А, проводится перпендикуляр к плоскости, проходящий через данную точку. Точкой, симметричной заданной, будет точка А’ находящаяся на этом перпендикуляре и удаленная от плоскости Р на такое же расстояние, что и точка А.

Инвариантные элементы зеркальной симметрии:

1. все точки на плоскости Р;
2. прямые, перпендикулярные Р (но не точки этих прямых);
3. плоскости, перпендикулярные Р (тоже плоскости в целом, но не элементы, их составляющие).

Зеркальная симметрия не только является инволютивным преобразованием, но и имеет следующие свойства:

1. сохраняет расстояния между точками;
2. переводит прямые в прямые;
3. переводит плоскости в плоскости.

Материалы по теме:

• Симметрия
• Временная симметрия
• Находим онлайн уравнение прямой на плоскости и в пространстве!
• Циклоиды.