Как найти симметричные отрезки относительно оси

6.7.3. Осевая симметрия

Точки А и А₁ симметричны относительно прямой m, так как прямая m перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину.

m – ось симметрии.

Прямоугольник ABCD имеет две оси симметрии: прямые m и l.

Если чертеж перегнуть по прямой m или по прямой l, то обе части чертежа совпадут.

Квадрат ABCD имеет четыре оси симметрии: прямые m, l, k и s.

Если квадрат перегнуть по какой-либо из прямых: m, l, k или s, то обе части квадрата совпадут.

Окружность с центром в точке О и радиусом ОА имеет бесчисленное количество осей симметрии. Это прямые: m, m_1, m₂, m_{3 .}

Задание. Построить точку А₁, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Ох.

Построить точку А₂, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Оy.

Точка А₁(-4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Ох, так как ось Ох перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину.

У точек, симметричных относительно оси Ох абсциссы совпадают, а ординаты являются противоположными числами.

Точка А₂(4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Оy, так как ось Оу перпендикулярна отрезку АА₂ и проходит через его середину.

У точек, симметричных относительно оси Оу ординаты совпадают, а абсциссы являются противоположными числами.

Источник

Осевая и центральная симметрия

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Что такое симметрия

Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.

Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.

Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.

Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.

Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.

• Ось симметрии угла — биссектриса.
• Ось симметрии равнобедренного треугольника — биссектриса, медиана, высота.
• Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его сторон.
• У ромба две оси симметрии — прямые, содержащие его диагонали.
• У квадрата 4 оси симметрии, так как он сразу квадрат, треугольник (если его сложить пополам) и ромб.
• Ось симметрии окружности — любая прямая, проведенная через ее центр.

Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.

Осевая симметрия

Вот как звучит определение осевой симметрии:

Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.

При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.

Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.

В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.

Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.
2. Найдем расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.
3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.
4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC.
5. Получаем два треугольника, симметричных относительно оси симметрии.

Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.

1. Строим по уже известному алгоритму. Проводим прямые из вершин треугольника ABC и выводим их на другую сторону оси симметрии.
2. Измеряем расстояние от вершин до точек на прямой.
3. Откладываем такие же расстояния на другой стороне оси симметрии.
4. Соединяем точки и строим треугольник A₁B₁C₁.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно прямой l.

1. Измеряем расстояние от точки B до прямой l и от точки A до прямой l.
2. Проводим прямую от точки А через прямую l под прямым углом к прямой l, выводя за ось симметрии.
3. Проводим прямую от точки B через прямую l под прямым углом к прямой l, выводя за ось симметрии.
4. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Больше примеров и увлекательных заданий — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Центральная симметрия

Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:

Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.

Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах на 8 марта.

Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.

Пример 1: Постройте треугольник A₁B₁C₁ ,симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.
2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).
3. Получившиеся точки соединяем отрезками A₁B₁ A₁C₁ B₁C₁.
4. Получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 2. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

1. По аналогии с предыдущим примером сначала соединяем точки ABC с точкой O.
2. Выводим прямые за точку О.
3. Измеряем отрезки AO, BO, CO и отмеряем такие же на противоположной стороне.
4. Получаем два центрально-симметричных треугольника.

Пример 3. Построить отрезок A₁B₁, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).

1. Измеряем расстояние от точки B до точки О и от точки А до точки О.
2. Проводим прямую из точки А через точку О и выводим ее на другую сторону.
3. Проводим прямую из точки B через точку О и выводим ее на другую сторону.
4. Чертим на противоположной стороне отрезки равные отрезкам АО и OB.
5. Соединяем точки A₁ и B₁ и получаем отрезок A₁B₁, симметричный данному.

Задачи на самопроверку

В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!

Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.

Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:

Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная

Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М₁ и N₁ — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М₁N₁.

Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N₁ на прямую MМ₁.

Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.

Источник

Урок математики в 3-м классе по теме «Симметрия. Точки симметрии»

Цель урока:

• формирование понятия «симметричные точки»;
• учить детей строить точки, симметричные данным;
• учить строить отрезки, симметричные данным;
• закрепление пройденного (формирование вычислительных навыков, деление многозначного числа на однозначное).

На стенде «к уроку» карточки:

1. Организационный момент

Учитель обращает внимание на стенд:

— Дети, начинаем урок с планирования нашей работы.

Сегодня на уроке математики мы совершим путешествие в 3 царства: царство арифметики, алгебры и геометрии. Начнем урок с самого главного для нас сегодня, с геометрии. Я расскажу вам сказку, но «Сказка — ложь, да в ней намек — добрым молодцам урок».

«:У одного философа по имени Буридан был осёл. Однажды, уезжая надолго, философ положил перед ослом две одинаковые охапки сена. Он поставил скамейку, а слева от скамейки и справа от нее на одинаковом расстоянии положил совершенно одинаковые охапки сена.

Рисунок 1 на доске:

Осел ходил от одной охапки сена к другой, но так и не решил, с какой охапки ему начать. И, в конце концов, умер с голоду».

— Почему осел так и не решил, с какой охапки сена ему начать?

— Что вы можете сказать про эти охапки сена?

(Охапки сена совершенно одинаковы, находились на одинаковом расстоянии от скамейки, значит, они симметричны).

2. Проведем небольшую исследовательскую работу.

— Возьмите лист бумаги (у каждого ребенка на парте лежит лист цветной бумаги), сложите его пополам. Проколите его ножкой циркуля. Разверните.

— Что у вас получилось? (2 симметричных точки).

— Как убедиться в том, что они действительно симметричны? (сложим лист, точки совпадают)

3. На доске:

Как вы думаете, симметричны ли данные точки? (нет). Почему? Как нам убедиться в этом?

Симметричны ли эти точки А и В?

Как мы можем это доказать?

(Измерить расстояние от прямой до точек)

Возвращаемся к нашим листочкам цветной бумаги.

— Измерьте расстояние от линии сгиба (оси симметрии) сначала до одной, а потом до другой точки (но сначала соедините их отрезком).

— Что вы можете сказать про эти расстояния?

— Найдите середину вашего отрезка.

Где она находится?

(Является точкой пересечения отрезка АВ с осью симметрии)

4. Обращаем внимание на углы, образованные в результате пересечения отрезка АВ с осью симметрии. (Выясняем с помощью угольника, каждый ребенок работает на своем рабочем месте, один уч-ся на доске).

Вывод детей: отрезок АВ находится под прямым углом по отношению к оси симметрии.

— Сами того не ведая, мы сейчас с вами открыли математическое правило:

Если точки А и В симметричны относительно прямой или оси симметрии, то отрезок, соединяющий эти точки, находится под прямым углом, или перпендикулярен этой прямой. (Слово «перпендикулярен» выписано отдельно на стенде). Слово «перпендикулярен» произносим вслух хором.

5. Обратим внимание, как это правило написано у нас в учебнике.

Работа по учебнику.

Найдите симметричные точки, относительно прямой. Будут ли точки А и В симметричны относительно этой прямой?

6. Работа над новым материалом.

Поучимся строить точки, симметричные данным, относительно прямой.

Учитель учит рассуждать.

Чтобы построить точку, симметричную точке А, нужно перенести эту точку от прямой на то же расстояние вправо.

Далее уч-ся рассуждают у доски.

7. Будем учиться строить отрезки, симметричные данным, относительно прямой. Работа по учебнику.

Учащиеся рассуждают у доски.

8. Устный счет.

На этом мы закончим наше пребывание в Царстве «Геометрия» и проведем небольшую математическую разминку, побывав в царстве «Арифметика».

В то время, когда все работают устно, два учащиеся работают на индивидуальных досках.

А) Выполните деление с проверкой:

Б) Вставив нужные цифры, решите пример и проверьте:

Устный счет.

1. Продолжительность жизни березы 250 лет, а дуба в 4 раза больше. Сколько лет живет дуб?
2. Попугай живет в среднем 150 лет, а слон в 3 раза меньше. Сколько лет живет слон?
3. Медведь позвал к себе гостей: ежа, лиса и белку. И в дар ему преподнесли горчичницу, вилку и ложку. Что подарил медведю еж?

Ответить на этот вопрос мы сможем, если выполним данные программы.

• Горчичница — 7
• Вилка — 8
• Ложка — 6

(Еж подарил ложку)

4) Вычислите. Найдите лишний пример.

• 810 : 90
• 360 : 60
• 420 : 7
• 560 : 80

5) Найдите закономерность и помогите записать нужное число:

Далее проверяем решение примеров уч-ся на доске:

9. А сейчас немного отдохнем.

Послушаем «Лунную сонату» Бетховена. Минутка классической музыки. Уч-ся кладут голову на парту, закрывают глаза, слушают музыку.

10. Путешествие в царство алгебры.

Угадай корни уравнения и сделай проверку:

Уч-ся решают на доске и в тетрадях. Объясняют, как догадались.

11. «Блицтурнир» .

а) Ася купила 5 бубликов по а рублей и 2 батона по b рублей. Сколько стоит вся покупка?

Составляем выражение: а*5 + b*2

Далее каждый составляет свою задачу по данному выражению, самостоятельно записывает ее решение.

Проверяем. Делимся мнениями.

12. Подведение итогов.

Итак, мы закончили наше путешествие в царство математики.

Источник

ВИДЕОУРОК

Симметрия – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие
определённого порядка, закономерности в расположении частей.

Люди с давних времён
использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре,
художестве, строительстве.

Симметрия широко распространена и в природе, где
не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и
цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических
тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.

Симметрия
в геометрии – свойство геометрических фигур.

Рассмотрим две симметрии на плоскости относительно точки и прямой.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Ось симметрии.

Две
точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по
разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, называются симметричными
относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная)
симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости
симметрии), если её точки попарно обладают указанным свойством.

Фигура симметрична
относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая – ось симметрии фигуры, а фигура обладает
осевой симметрией.

Фигура, обладающая
осевой симметрией – это неразвёрнутый угол, который имеет одну ось симметрии –
прямую на которой расположена биссектриса угла.

Осевая симметрия – это симметрия относительно проведённой
прямой (оси).

Две точки  А 
и  В 
симметричны относительно прямой  а (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезка
АВ  и перпендикулярна
к нему.

Проведем прямую 
ЕF  через
середины  Е  и  F  сторон  АВ  и  СD  прямоугольника  АВСD.

Эта прямая делит прямоугольник пополам. Если прямоугольник перегнуть по этой
прямой, то обе две половины совпадут. Говорят, что прямоугольник симметричный относительно
прямой  ЕF, а прямую  ЕF  называют осью симметрии прямоугольника. У
прямоугольника  АВСD  есть другая ось симметрии – прямая  NК.

Вообще, фигуру называют симметричной относительно прямой  l, если эта прямая делит фигуру на две части, которые совпадают при перегибании
по этой прямой. Прямую  l  называют осью симметрии этой фигуры.

Две
точки  А  и  В, которые совпадают при перегибании плоскости по
прямой  l, называют симметричными относительно этой
прямой. Если точки  А  и  В  симметричные относительно прямой  l, то:

1) отрезок  АВ 
перпендикулярен прямой  l.

2) прямая  l  делит этот отрезок пополам.

Окружность имеет бесконечное количество осей симметрии. Любая прямая, которая
проходит через центр окружности, будет его осью симметрии.

Ось симметрии имеют изображения многих фигур (предметов), которые часто
встречаются в природе и технике.

Каждая точка прямой  а  симметрична самой себе.

ПРИМЕР:

АО
= ОВ, АВ ⊥
а.

Точка  А 
симметрична сама себе.

Фигура симметрична относительно прямой – если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре.

Прямая – ось симметрии фигуры, а
фигура обладает осевой симметрией.

Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.

Иногда у фигур несколько осей симметрии.

Фигуры, обладающие осевой симметрией.

ПРИМЕР:

Неразвёрнутый угол имеет одну ось симметрии –
прямую, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный
треугольник имеет одну ось симметрии.

Равносторонний
треугольник имеет три оси симметрии.

Квадрат имеет четыре оси
симметрии.

Прямоугольник имеет две
оси симметрии

Ромб имеет две оси
симметрии

Окружность имеет
бесконечно много осей симметрии – любая прямая, проходящая через центр,
является осью симметрии.

Примером фигур, у которых нет ни одной оси симметрии, являются
параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.

Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.

ПРИМЕР:

Построим треугольник  А₁В₁С₁, симметричный треугольнику  АВС 
относительно красной прямой линии (ось симметрии).

Для этого проведём из вершины
треугольника  АВС  прямые,
перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.

Измерим расстояние от вершин треугольника
до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же
расстояния.

Соединим получившиеся точки отрезками и
получим треугольник  А₁В₁С₁, симметричный данному треугольнику  АВС.

ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.
Построить его симметрию относительно прямой 
l,
не пересекающий данный отрезок.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как осевая симметрия
является движением, то отрезок  АВ 
отобразится на равный ему отрезок 
А’В’.

Для его построения сделаем
следующее: проведём через точки  А  и  В  прямые  m  и  n  перпендикулярно
прямой  l.
Пусть 

m ∩ l = Х, n ∩ l = Y.

Далее проведём отрезки 

А’Х
= АХ  и 
В’Y = ВY.

ЗАДАЧА:

Построить симметричный
треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.

РЕШЕНИЕ:

Пусть нам дан треугольник  АВС. Будем строить его
симметрию относительно стороны  ВС.

Сторона  ВС  при осевой симметрии перейдёт в саму себя (следует из
определения). Точка  А  перейдёт в точку  А₁  следующим образом:

АА₁ ⊥ ВС, АН = НА₁.

Треугольник  АВС  перейдёт в треугольник  А₁ВС.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Симметрию относительно точки называют центральной
симметрией.

Две точки  А  и  В 
симметричны относительно точки  О, если  О – середина отрезка  АВ. Точка  О  называется центром симметрии.

Точка  О  симметрична самой
себе.

Фигура
симметрична относительно точки (центр симметрии), если её точки попарно лежат
на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных
расстояниях от него.

Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно данной точки также принадлежит этой фигуре. Данная точка – центр симметрии фигуры, а фигура обладает центральной симметрией.

Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.

Фигуры, обладающие центром симметрии.

ПРИМЕР:

Окружность, центр окружности
является её центром симметрии.

Параллелограмм, его центром
симметрии является точка пересечения диагоналей.

Прямая имеет бесконечно много
центров симметрии, так как любая точка прямой является её центром симметрии.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.

ПРИМЕР:

Построим треугольник  А₁В₁С₁, симметричный треугольнику  АВС 
относительно центра (точки)  О.

Для этого соединим точки  А,В,С  с центром  О  и продолжим эти отрезки.

Измерим отрезки  АО,
ВО, СО  и отложим с
другой стороны от точки  О  равные им отрезки 

АО
= ОА₁, ВО = ОВ₁, СО = ОС₁.

Соединим получившиеся точки
отрезками и получим треугольник  

А₁В₁С₁, симметричный данному треугольнику  АВС.

ЗАДАЧА:

Дан отрезок  АВ.
Построить его симметрию относительно точки 
С, лежащей на прямой  l.

РЕШЕНИЕ:

Изобразим схематически условие задачи.

Так как центральная симметрия
является движением, то отрезок  АВ 
отобразится на равный ему отрезок 
А»В».

Для его построения сделаем
следующее: проведём прямые  АС  и  ВС. Далее проведём отрезки  

х‘ =
х,

у‘ =
–у.

3) При повороте на  90°  вокруг начала координат ось  Ох 
переходит в ось  Оу  так, что положительное направление переходит
в положительное, а ось  Оу  отображается на ось  Ох  так, что
положительное направление переходит в отрицательное. Поэтому  Р(х, у)  отображается на
точку  Р’

с координатами:

х‘ =
–у,

у‘ =
х.

4) При центральной симметрии

каждая из осей координат
отображается на себя, но так, что положительное направление оси переходит в
отрицательное и наоборот: отрицательное в положительное. Поэтому

Объединим результаты в таблицу