Как найти sin бетта

Основные тригонометрические формулы

Содержание

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение тангенса угла через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

Все формулы по тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

$$sin^2x+cos^2x=1$$

---

$$tgx= frac{sinx}{cosx}$$

---

$$ctgx= frac{cosx}{sinx}$$

---

$$tgxctgx=1$$

---

$$tg^2x+1= frac{1}{cos^2x}$$

---

$$ctg^2x+1= frac{1}{sin^2x}$$

Формулы двойного аргумента (угла)

$$sin2x=2cosxsinx$$

---

begin{align}
sin2x &=frac{2tgx}{1+tg^2x}\
&= frac{2ctgx}{1+ctg^2x}\
&= frac{2}{tgx+ctgx}
end{align}

---

begin{align}
cos2x & = cos^2x-sin^2x\
&= 2cos^2x-1\
&= 1-2sin^2x
end{align}

---

begin{align}
cos2x & = frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}\
&= frac{ctg^2x-1}{ctg^2x+1}\
&= frac{ctgx-tgx}{ctgx+tgx}
end{align}

---

begin{align}
tg2x & = frac{2tgx}{1-tg^2x}\
&= frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\
&= frac{2}{ctgx-tgx}
end{align}

---

begin{align}
ctg2x & = frac{ctg^2x-1}{2ctgx}\
&= frac{2ctgx}{ctg^2x-1}\
&= frac{ctgx-tgx}{2}
end{align}

Формулы тройного аргумента (угла)

$$sin3x=3sinx-4sin^3x$$

---

$$cos3x=4cos^3x-3cosx$$

---

$$tg3x= frac{3tgx-tg^3x}{1-3tg^2x}$$

---

$$ctg3x= frac{ctg^3x-3ctgx}{3ctg^2x-1}$$

Формулы половинного аргумента (угла)

$$sin^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{2}$$

---

$$cos^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{2}$$

---

$$tg^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{1+cosx}$$

---

$$ctg^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{1-cosx}$$

---

begin{align}
tg frac{x}{2} & = frac{1-cosx}{sinx}\
&= frac{sinx}{1+cosx}
end{align}

---

begin{align}
ctg frac{x}{2} & = frac{1+cosx}{sinx}\
&= frac{sinx}{1-cosx}
end{align}

Формулы квадратов тригонометрических функций

$$sin^2x= frac{1-cos2x}{2}$$

---

$$cos^2x= frac{1+cos2x}{2}$$

---

$$tg^2x= frac{1-cos2x}{1+cos2x}$$

---

$$ctg^2x= frac{1+cos2x}{1-cos2x}$$

---

$$sin^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{2}$$

---

$$cos^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{2}$$

---

$$tg^2 frac{x}{2}= frac{1-cosx}{1+cosx}$$

---

$$ctg^2 frac{x}{2}= frac{1+cosx}{1-cosx}$$

Формулы кубов тригонометрических функций

$$sin^3x= frac{3sinx-sin3x}{4}$$

---

$$cos^3x= frac{3cosx+cos3x}{4}$$

---

$$tg^3x= frac{3sinx-sin3x}{3cosx+cos3x}$$

---

$$ctg^3x= frac{3cosx+cos3x}{3sinx-sin3x}$$

Формулы тригонометрических функций в четвертой степени

$$sin^4x= frac{3-4cos2x+cos4x}{8}$$

---

$$cos^4x= frac{3+4cos2x+cos4x}{8}$$

Формулы сложения аргументов

$$sin(alpha + beta) = sin alpha cos beta + cos alpha sin beta$$

---

$$cos(alpha + beta) = cos alpha cos beta — sin alpha sin beta$$

---

$$tg(alpha + beta)= frac{tg alpha + tg beta}{1 — tg alpha tg beta}$$

---

$$ctg(alpha + beta)= frac{ctg alpha ctg beta -1}{ctg alpha + ctg beta}$$

---

$$sin(alpha — beta) = sin alpha cos beta — cos alpha sin beta$$

---

$$cos(alpha — beta) = cos alpha cos beta + sin alpha sin beta$$

---

$$tg(alpha — beta)= frac{tg alpha — tg beta}{1 + tg alpha tg beta}$$

---

$$ctg(alpha — beta)= frac{ctg alpha ctg beta +1}{ctg alpha — ctg beta}$$

Формулы суммы тригонометрических функций

$$sinalpha + sinbeta = 2sin frac{alpha + beta }{2} cdot cos frac{alpha — beta }{2}$$

---

$$cosalpha + cosbeta = 2cos frac{alpha + beta }{2} cdot cos frac{alpha — beta }{2}$$

---

$$tgalpha + tgbeta = frac{sin(alpha + beta) }{cos alpha cos beta}$$

---

$$ctgalpha + ctgbeta = frac{sin(alpha + beta) }{cos alpha cos beta}$$

---

$$(sinalpha + cosalpha)^2= 1+sin2alpha$$

Формулы разности тригонометрических функций

$$sinalpha — sinbeta = 2sin frac{alpha — beta }{2} cdot cos frac{alpha + beta }{2}$$

---

$$cosalpha — cosbeta = -2sin frac{alpha + beta }{2} cdot sin frac{alpha — beta }{2}$$

---

$$tgalpha — tgbeta = frac{sin(alpha — beta) }{cos alpha cos beta}$$

---

$$ctgalpha — ctgbeta = — frac{sin(alpha — beta) }{sin alpha sin beta}$$

---

$$(sinalpha + cosalpha)^2= 1-sin2alpha$$

Формулы произведения тригонометрических функций

$$sinalpha cdot sinbeta = frac{cos(alpha — beta)-cos(alpha + beta)}{2}$$

---

$$sinalpha cdot cosbeta = frac{sin(alpha — beta)+sin(alpha + beta)}{2}$$

---

$$cosalpha cdot cosbeta = frac{cos(alpha — beta)+cos(alpha + beta)}{2}$$

---

begin{align}
tgalpha cdot tgbeta & = frac{cos(alpha — beta)-cos(alpha + beta)}{cos(alpha — beta)+cos(alpha + beta)}\
&= frac{tgalpha + tgbeta}{ctgalpha + ctgbeta}
end{align}

---

begin{align}
ctgalpha cdot ctgbeta & = frac{cos(alpha — beta)+cos(alpha + beta)}{cos(alpha — beta)-cos(alpha + beta)}\
&= frac{ctgalpha + ctgbeta}{tgalpha + tgbeta}
end{align}

---

$$tgalpha cdot ctgbeta = frac{sin(alpha — beta)+sin(alpha + beta)}{sin(alpha + beta)-sin(alpha — beta)}$$

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств. 
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)
Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем  α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α 
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90)  = cos α .

См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.

Угол	α + 90 α + π/2	α + 180 α + π	α + 270 α + 3π/2	90 — α π/2- α	180 — α π- α	270 — α 3π/2- α	360 — α 2π- α
sin	cos α	-sin α	-cos α	cos α	sin α	-cos α	-sin α
cos	-sin α	-cos α	sin α	sin α	-cos α	-sin α	cos α
tg	-ctg α	tg α	-ctg α	ctg α	-tg α	ctg α	-tg α
ctg	-tg α	ctg α	-tg α	tg α	-ctg α	tg α	-ctg α

0
 

 Начать курс обучения

Вопрос Как найти синус бета?, расположенный на этой странице сайта, относится к
категории Геометрия и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если
ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска
похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему.
Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку,
расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей,
оставившими комментарии под вопросом.