Как найти sin от arccos

Хотя синус арккосинуса ( sin arccos x) несложно найти через тригонометрическую единицу, более простое и наглядное решение можно получить через геометрическую интерпретацию синуса и косинуса, определение  арккосинуса и теорему Пифагора.

По определению арккосинуса, если

    [arccos x = alpha , Rightarrow cos alpha  = x.]

Но в прямоугольном треугольнике косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

    [cos alpha  = frac{a}{c}.]

Нам нужен синус этого же угла альфа. А он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

    [sin alpha  = frac{b}{c}.]

Противолежащий катет находим по теореме Пифагора: 

    [b = sqrt {{c^2} - {a^2}} ]

Отсюда

    [sin (arccos x) = frac{{sqrt {{c^2} - {a^2}} }}{c},]

где

    [x = frac{a}{c}.]

Примеры

1) Найти sin (arccos (1/3)).

В этом примере x=1/3, отсюда прилежащий катет a=1, гипотенуза c=3. Находим противолежащий катет b:

    [b = sqrt {{3^2} - {1^2}}  = sqrt 8  = 2sqrt {2.} ]

Отсюда

    [sin (arccos frac{1}{3}) = frac{{2sqrt 2 }}{3}.]

2) Найти sin (arccos (3/5)) (или sin (arccos  0,6)).

Арккосинус трех пятых — это число, косинус которого равен 3/5. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значит, прилежащий катет а=3, гипотенуза с=5. Отсюда противолежащий катет  — 4. Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Отсюда

    [{text{sin }}left( {{text{arccos }}left( {{text{3}}/{text{5}}} right)} right) = frac{4}{5}.]

Сферы применения правил обратных тригонометрических функций

Определение

Тригонометрия — раздел математики, объясняющий зависимость между сторонами и углами треугольника, правила используют для расчета углов.

Изучая постулаты тригонометрических функций, ученики и студенты часто задаются вопросом, где эти знания могут пригодиться. Сфер применения достаточно много. Астрономы используют понятия для расчёта положения небесных объектов, тригонометрия помогает выполнять чертежи и создавать архитектурные шедевры, выстраивать модель биологических ритмов. В морской и воздушной навигации, акустике и оптике, в анализе финансового рынка, статистике, медицине, химии, во многих областях используются тригонометрические вычисления. Поэтому так важно научиться применять и выводить формулы самостоятельно.

Обратные функции тригонометрии

Обратными называются функции, которые ещё называют арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Название данный вид тригонометрической зависимости, получил от соответствующей прямой функции с приставкой арк — дуга. Взаимосвязь просматривается между длиной дуги единичной окружности и соответствующим определённым отрезком.

Правила обратной функции справедливы в пределах интервалов, например,

формула арксинуса возможна при:

[arcsin (sin mathrm{x})=mathrm{x} text { при }-frac{pi}{2} leq mathrm{x} leq frac{pi}{2}]

[arccos (cos mathrm{x})=mathrm{x} text { при } 0 leq mathrm{x} leq pi]

и так далее.

Формулы с обратными функциями тригонометрии

Уже были рассмотрены обратные тригонометрические функции. Они, как и другие функции имеют между собой связи и зависимости, которые можно выразить в виде формул и использовать для решения задач.

В данной работе мы рассмотрим основные формулы, в которых применяются функции тригонометрии. Разберём их виды, деление на группы, доказательства и способы решения задач с их помощью.

Группировка основных понятий

Сначала проведём группировку формул, для того чтобы сделать более понятной логику объяснений. И объединим все правила и доказательства в одну статью.

Синус от арксинуса для [alpha in(-1 ; 1) sin (arcsin alpha)=alpha, cos (arccos alpha)=alpha]

Тангенса от арктангенса для [alpha in(-infty, infty) operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha, operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha].

Указанное в данных выражениях легко выводится из самих определений обратных функций тригонометрии. При необходимости найти arcsin tg, можно использовать приведённые формулы.

Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы

[text{Для }-frac{pi}{2} leq alpha leq frac{pi}{2} arcsin (sin alpha)=alpha],

[text{Для } leq alpha leq pi arccos (cos alpha)=alpha],

[text{Для }-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2} operatorname{arctg}(operatorname{tg} alpha)=alpha],

[text{Для } 0<alpha<pi operatorname{arcctg}(operatorname{ctg} alpha)=alpha].

В данном примере собраны тригонометрические выражения, достаточно очевидные, которые можно вывести из определений функций тригонометрии. Необходимо обратить внимание, на то, что высказывания будут верны, если «а» (угол, или числовое значение) будет входить в определённый предел. Если условие не выполняется, расчёт будет не верен и формулу использовать нельзя.

Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел

Рассмотрим важное определение:

Обратные функции тригонометрии можно выразить через аркфункции противоположного положительного числа.

[text{Для }alpha in operatorname{open}-1,1] text { arccis }(-alpha)= -operatorname{arc} sin alpha, quad operatorname{arc} cos (-alpha)=pi -a r c cos alpha]

[text { Для } alpha in(-infty, infty) operatorname{arctg}(-alpha)= -operatorname{arctg} alpha, operatorname{arcctg}(-alpha)=pi-operatorname{arcctg} alpha]

Это значит, если расчёты имеют функции отрицательного числа, от них можно избавиться. Для этого необходимо преобразовать их в аркфункции положительных чисел. Такие вычисления проводить проще.

Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg

Правила суммы выглядят так:

Для [alpha in[-1,1] arcsin alpha+arccos alpha=frac{pi}{2}],

Для [alpha in[-infty, infty] operatorname{arctg} alpha+operatorname{arctg} alpha=frac{pi}{2}].

Отсюда видно, что arcsin определённого числа можно выразить через его arccos , и наоборот. Тоже правило касается и arctg и arcctg, которые выражаются аналогично.

Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями

Чтобы иметь возможность решить множество задач, требуется знание связей между прямыми тригонометрическими функциями, и их аркфункциями. Рассмотрим, как необходимо поступить, если нужно вычислить тангенс арксинуса. Ниже представлен список основных формул, которые помогут в решении таких задач.

[-1 leq alpha leq 1],
[sin (arcsin alpha)=alpha]
[-1 leq alpha leq 1],
[sin (arccos alpha) =sqrt{1-alpha^{2}}]
[-infty leq alpha leq+infty],
[sin (operatorname{arctg} alpha)=frac{alpha}{sqrt{1+alpha^{2}}}]
[-infty leq alpha leq+infty],
[sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-1 leq alpha leq 1],
[cos (arcsin alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]
[-1 leq alpha leq 1],
[cos (arccos alpha)=alpha]
[-infty leq alpha leq+infty],
[cos (operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-infty leq alpha leq+infty],
[cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-1<alpha<1],
[operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]
[alpha in(-1,0) cup(0,1)],
[operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-a^{2}}}{alpha}]
[-infty leq alpha leq+infty],
[operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha]
[alpha neq 0],
[operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{alpha}]
[alpha in(-1,0) cup(0,1)],
[operatorname{ctg}(arcsin alpha)=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}]
[-1<alpha<1],
[operatorname{ctg}(arccos alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-a^{2}}}]
[alpha neq 0],
[operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{alpha}]
[-infty leq alpha leq+infty],
[operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)=alpha]
Таблица 1.

Примеры 1 — 2

Нужно найти косинус арктангенса из 5.

Решение. Для этого необходимо воспользоваться формулой следующего вида: [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]

Подставим необходимое значение: [cos (operatorname{arctg} sqrt{5})=frac{1}{sqrt{1+sqrt{5^{2}}}}=frac{2}{sqrt{6}}]


Определить синус арккосинуса [frac{1}{2}]
Решение. Реализовать решение нам поможет формула: [sin (arccos alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]

Ставим значение и получаем: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sqrt{1-left(frac{1}{2}right)^{2}}=frac{sqrt{3}}{2}]

Заметим, что непосредственное вычисление приведёт к тому же ответу: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sin frac{pi}{3}=frac{sqrt{3}}{2}]

Для правильного вычисления значений прямых и обратных тригонометрических функций, стоит вспомнить начальные материалы.

Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Чтобы вывести формулы и разобрать их более наглядно, необходимо применить основные тригонометрические тождества и правила обратных тригонометрических функций, которые были выведены ранее.

Доказательство формул 1

Используя тождества получим:

[sin ^{2} alpha+cos ^{2} alpha=1]

[1+operatorname{ctg}^{2} alpha=frac{1}{sin ^{2} alpha}]

Вспомним тот факт, что tg α *ctg α= 1, следовательно

[sin alpha=sqrt{1-cos ^{2} alpha}, 0 leq alpha leq pi]

[sin alpha=frac{operatorname{tg} alpha}{sqrt{1+operatorname{tg}^{2} alpha}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]

[sin alpha=frac{1}{sqrt{1+c t g^{2} alpha}}, 0<alpha<pi]

Результатом станет вывод синуса через подходящие аркфункции в заданном условии.

В математическое выражение вместо α, ставим arccos α, получаем в итоге формулу синуса арккосинуса.

Во втором случае вместо α подставляем arctg α, соответственно получаем формулу синуса арктангенса.

В третьем варианте проводим аналогичную операцию и подставляем arcctg α для выражения формулы синуса арккотангенса.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)

В данном разделе рассмотрим доказательство закона тангенса обратных функций тригонометрии.

Доказательство формул 2

  1. Исходя из: [frac{sin alpha}{sqrt{1-sin alpha^{2}}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]Получим [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{sin (arcsin alpha)}{sqrt{1-sin ^{2}(arcsin alpha)}}=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]При условии [-1<alpha<1]
  2. Из выражения [operatorname{tg} alpha=frac{sqrt{1-cos ^{2} alpha}}{cos alpha}, alpha inleft[0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright]]
    Получаем [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-cos ^{2}(arccos alpha)}}{cos (arccos alpha)}=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}] при условии [alpha in(-1,0) cup(0,1)].
  3. Исходя из [operatorname{tg} alpha=frac{1}{operatorname{ctg} alpha}, alpha inleft(0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright)] получаем [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)}=frac{1}{alpha}] при условии, что [alpha neq 0].

Далее нам понадобятся понятия котангенсов арксинуса, арккосинуса, арктангенса. Напомним такое тригонометрическое равенство:

[operatorname{ctg} alpha=frac{1}{operatorname{tg} alpha}]

Применяя данное выражение можно вывести необходимые формулы, вставляя выражения тангенса обратных функций тригонометрии. Практически необходимо поменять местами числитель и знаменатель.

Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Прямые и обратные функции в тригонометрии связаны между собой. Полученные в результате выведения формулы помогут найти связь и между обратными функциями тригонометрии, выразив одни аркфункции через другие. Рассмотрим примеры.

В первом случае меняем арксинус на арккосинус, а арктангенс на арккотангенс, получим следующие формулы арксинуса и арккосинуса:

[begin{aligned}
&arcsin a=left{begin{array}{l}
arccos sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \
-arccos sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0
end{array}right. \
&arcsin a=operatorname{arctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 \
&arcsin a=left{begin{array}{l}
operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \
operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}-pi,-1 leq a<0
end{array}right.
end{aligned}]

Для арккосинуса также есть свои формулы:

[begin{aligned}
&arccos a=left{begin{array}{l}
arcsin sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \
pi-arcsin sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0
end{array}right. \
&arccos a=left{begin{array}{l}
operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \
pi+operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a},-1 leq a<0
end{array}right. \
&arccos a=operatorname{arcctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1
end{aligned}]

Выражения для арктангенса:

[begin{aligned}
&operatorname{arctg} a=arcsin frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\
&operatorname{arctg} a=left{begin{array}{l}
arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \
-arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0
end{array}right.\
&operatorname{arctg} a=operatorname{arcctg} frac{1}{a}, a neq 0
end{aligned}]

Последний блок формул покажет преобразование арккотангенса через другие обратные функции тригонометрии:

[begin{aligned}
&operatorname{arcctg} a=left{begin{array}{l}
arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \
pi-arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0
end{array}right.\
&operatorname{arctg} a=arccos frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\
&operatorname{arcctg} a=operatorname{arctg} frac{1}{a}, a neq 0
end{aligned}]

Рассмотренные формулы арксинуса, арккосинуса, арктангенса помогут в решении различных задач. Разберём доказательство с использованием основных определений обратных функций и ранее рассмотренных правил.

Возьмём arcsin [alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1] для выведения доказательства.

Мы имеем выражение [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] — число, которое имеет значение от минус половины [pi] до плюс половины [pi]. Используя выражение синуса арктангенса, получаем следующее:

[sin left(operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+left(frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)^{2}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+frac{alpha^{2}}{1-alpha^{2}}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1-alpha^{2}}}}=alpha]

Получается, что [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] с условием [-1<alpha<1] — арксинус числа [alpha].

Вывод: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1].

Другие подобные формулы доказываются по аналогичной схеме.

Рассмотрим пример применения полученных истин.

Пример 3

Необходимо вычислить синус арккотангенса — [sqrt{3}]
Решение. Для того чтобы провести решение задачи, необходимо использовать формулу связи арккотангенса и арксинуса: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]

Подставим в неё [alpha=-sqrt{3}] и получим [-frac{1}{2}].

Используя непосредственное вычисление ответ был бы такой же: [sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=sin frac{5 pi}{6}=frac{1}{2}]

Можно использовать и следующую формулу:

[sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]

[sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=frac{1}{sqrt{1+(-sqrt{3})^{2}}}=frac{1}{2}]

Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии

Разобраны основные функции, которые чаще всего используются для решения задач. Но представлены не все формулы с обратными тригонометрическими функциями, есть некоторые специфичные, употребляемые редко, но они тоже полезны. Учить их нет смысла, лучше вывести при необходимости.

Пример 4

Разберём для примера одну такую формулу. Выглядит она так:

[sin ^{2} frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos alpha}{2}}]

Если представленный угол имеет значение больше нуля, но меньше Пи, то получаем:

[sin frac{arccos alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos (arccos alpha)}{2}}]

[Leftrightarrow sin frac{arccos alpha}{2}=frac{sqrt{1-alpha}}{2}]

Здесь мы выводим следующую готовую формулировку, арксинус которой выведен через арккосинус:

[frac{arccos alpha}{2}=arcsin sqrt{frac{1-alpha}{2}}]

В тексте рассмотрены лишь некоторые, самые популярные виды связей между прямыми и обратными функциями тригонометрии. Главное не выучить наизусть данные постулаты, а научиться их применять и выводить, исходя из уже известных определений.

Удобно использовать инженерный вид калькулятора, на котором есть, необходимые для вычислений тригонометрические формулы и функции.

Когда задается какое-либо отвлеченное число х и требуется найти sin х, то, как известно, всякий раз для любого определенного значения х мы находим для sin х единственный ответ, а именно некоторое определенное отвлеченное число, заключенное в границах от — 1 до
+ 1 включительно.

Например,

Обратные тригонометрические функции

Это замечание относится и к каждой из остальных тригонометрических функций. Поэтому все тригонометрические функции sin х , cos х , tg х являются функциями однозначными.

Если же нам будет задано какое-либо отвлеченное число х в границах от — 1 до +1 включительно и будет предложено отыскать такое отвлеченное число у, синус которого равен числу х , то всякий раз будет получаться не один, а бесконечное множество ответов.

Например, если Обратные тригонометрические функции где k — любое число (см. стр. 536).

Это замечание относится и к остальным тригонометрическим функциям.

Пусть

Обратные тригонометрические функции

Отсюда следует, что у есть такое отвлеченное число, синус которого равен х. Вместо этого словесного утверждения пишут:

Обратные тригонометрические функции

(читают: у равен арксинусу х).

Как уже разъяснялось, выражение Arc sin х для всякого данного значения х, заключенного в границах от — 1 до + 1 включительно, имеет бесконечное множество различных значений.

Приставка Arc неотделима от обозначения sin и вместе с ним образует знак нового математического действия над отвлеченным числом х.

Подобным же образом вводятся математические действия

Arc cos х (арккосинус х)

и

Arc tg х (арктангенс х).

Arc cos х обозначает такие всевозможные отвлеченные числа, что косинус каждого из них равен х; Обратные тригонометрические функции

Arc tg x обозначает такие всевозможные отвлеченные числа, что тангенс каждого из них равен х (здесь х может быть любым числом).

Выражения Arc sin x, Arc cos х, Arc tg x называются обратными тригонометрическими функциями аргумента х.

Как мы уже видели, все обратные тригонометрические функции являются функциями многозначными (с бесконечным множеством значений). В отличие от обратных тригонометрических функций функции sin x, cos x, tg x и т. д. называются прямыми тригонометрическими функциями аргумента х.

Как уже отмечалось, все прямые тригонометрические функции являются функциями однозначными.

Пользоваться обратными тригонометрическими функциями при решении задач не всегда удобно вследствие их многозначности. Поэтому наряду с обратными тригонометрическими функциями Arc sin х, Arc cos x и т. д. вводятся и изучаются еще и другие обратные тригонометрические функции, а именно

arc sin x, arc cos x, arc tg x,

которые определяются так, чтобы каждая из них была функцией однозначной.

Свойства однозначных обратных тригонометрических функций

A. arc sin х

arc sin x есть отвлеченное число в границах от — Обратные тригонометрические функции до Обратные тригонометрические функции, равное числу радианов, содержащихся в таком угле, синус которого равен х.

Из этого определения следует, что равенство у = arc sin х равносильно следующим утверждениям:

Обратные тригонометрические функции

Если 0 <х < 1, то равенство у = arcsin x равносильно следующим утверждениям:

Обратные тригонометрические функции

Если —1 <x<0, то равенство у = arc sin x равносильно следующим утверждениям:

Обратные тригонометрические функции

Значение функции arc sin x представляет собой определенное действительное число лишь в том случае, когда

i*i <i.

Из данного определения функции arc sin x следует, что

Обратные тригонометрические функции

Чтобы найти, например, Обратные тригонометрические функции мы сперва ищем в границах от 0 до 90° такой угол, синус которого равен Обратные тригонометрические функции Таким углом будет угол 30°. В этом угле содержится Обратные тригонометрические функции радианов. Следовательно, arc sin у равняется отвлеченному числуОбратные тригонометрические функции.

Чтобы найти Обратные тригонометрические функции, мы сперва ищем в границах от —90 до 0° такой угол, синус которого равен — Обратные тригонометрические функции Таким углом будет угол — 30°. В этом угле содержится —Обратные тригонометрические функции радианов. Следовательно,Обратные тригонометрические функции

Очевидно, что Обратные тригонометрические функции

Этот результат легко обобщить и получить, что

Обратные тригонометрические функции

Нетрудно убедиться, что, например,

Обратные тригонометрические функции

Из определения функции arcsin х следует, что

Обратные тригонометрические функции

Если над числом х сначала выполняется действие нахождения арксинуса, а затем над полученным результатом действие нахождения синуса, то в результате получится первоначальное число х.

Выражение Обратные тригонометрические функции принято понимать как выражение Обратные тригонометрические функции Выражение же Обратные тригонометрические функции принято понимать как выражение Обратные тригонометрические функции Например,

Обратные тригонометрические функции

Б. arctg x

arctg х есть отвлеченное число в границах от —Обратные тригонометрические функции до Обратные тригонометрические функции, равное числу радианов, содержащихся в таком угле, тангенс которого равен х.

Из этого определения следует, что равенство у = arctg х равносильно следующим утверждениям:

Обратные тригонометрические функции

Если то равенство у = arctg х равносильно следующим утверждениям:

Обратные тригонометрические функции

Если х <0, то равенство у = arctg х равносильно следующим утверждениям:

Обратные тригонометрические функции

Значение функции arctg х представляет собой определенное действительное число при всяком значении х.

Из данного определения функции arctg х следует, что

Обратные тригонометрические функции

Поэтому иногда условно пишут:

Обратные тригонометрические функции

Очевидно, что

Обратные тригонометрические функции

B. arccos x

arccos х есть отвлеченное число в границах от 0 до равное числу радианов, содержащихся в таком угле, косинус которого равен х.

Равенство у = arccos х равносильно следующему:

Обратные тригонометрические функции

Значение функции arccos х представляет определенное действительное число тогда и только тогда, когда |х| < 1.

Из данного определения функции arccos х следует, что

Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции

Очевидно, что

Обратные тригонометрические функции

Выражения многозначных обратных тригонометрических функций

Многозначные обратные тригонометрические функции выражаются формулами:

Обратные тригонометрические функции

где k — любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).

Например,

Обратные тригонометрические функции

и. т. д.

Функция y = Arcsin х называется функцией, обратной функции у = sinх. Функция же csc х не есть функция, обратная функции sin х, но есть величина, обратная величине sin х, так как csc х = Обратные тригонометрические функции

Из многозначной функции Arcsin х можно выделить сколько угодно однозначных функций. Например, можно выделить однозначную функцию, заключающуюся в границах от Обратные тригонометрические функции, или от Обратные тригонометрические функции и т. д.

Но во всех теоретических и практических вопросах принято пользоваться преимущественно однозначной функцией арксинуса в границах от— Обратные тригонометрические функциидо Обратные тригонометрические функции т. е. такой, которая и была введена нами выше. Это замечание относится и к остальным обратным тригонометрическим функциям.

О знаках математических действий

Напишем знаки известных нам математических действий:

Обратные тригонометрические функции— знак квадратного корня;
Обратные тригонометрические функции— знак кубического корня;
Обратные тригонометрические функции — знак логарифма по основанию 10;
Обратные тригонометрические функции — знак логарифма по основанию 2;
Обратные тригонометрические функции— знак логарифма по основанию 3;
sin — знак синуса;
cos — знак косинуса;
arc sin — знак арксинуса (однозначного);
arc tg — знак арктангенса (однозначного);
Arcsin — знак арксинуса (многозначного);
Arc tg — знак арктангенса (многозначного).

Если под каждым из этих знаков поместить какое-либо число, например число 100, то получим:

Обратные тригонометрические функции — корень квадратный из числа 100;
Обратные тригонометрические функции — корень кубический из числа 100;
Обратные тригонометрические функции — логарифм числа 100 по основанию 10;
Обратные тригонометрические функции — логарифм числа 100 по основанию 2;
Обратные тригонометрические функции — логарифм числа 100 по основанию 3;
sin 100 — синус числа 100;
cos 100 — косинус числа 100;
arc sin 100 — арксинус (однозначный) числа 100;
arc tg 100 — арктангенс (однозначный) числа 100;
Arc sin 100—арксинус (многозначный) числа 100;
Arc tg 100 — арктангенс (многозначный) числа 100.

Любое из этих математических действий выполняется над отвлеченным числом и в результате опять получается отвлеченное число. Всякое математическое действие выполняется по своему особому правилу.

Пользуясь тем, что эти правила нам известны, мы получим:

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Выражаясь образно, можно сказать, что каждый знак математического действия представляет собой как бы простейшую математическую «машину», принимающую к переработке отвлеченные числа. В то время как некоторые из этих «машин» принимают к переработке любые числа, другие принимают не всякие числа.

Например, «машины» Обратные тригонометрические функции принимают к переработке любые числа. «Машина» Обратные тригонометрические функции принимает лишь положительные числа и нуль. «Машины» Обратные тригонометрические функции принимают лишь положительные числа. «Машины» arc sin, arc cos принимают лишь числа от — 1 до + 1 включительно.

Полученное в результате математических действий число может выражать ту или иную физическую величину в зависимости от той конкретной задачи, которую мы решали с помощью этих математических действий.

Примеры преобразований и вычислений, связанных с однозначными обратными тригонометрическими функциями

1. Упростить выражение sin (arccos х).

Так как Обратные тригонометрические функции то

Обратные тригонометрические функции

Поэтому, пользуясь формулой Обратные тригонометрические функции получим, что

Обратные тригонометрические функции

2. Упростить выражение cos (arcsin х).

Так как Обратные тригонометрические функции значит, Обратные тригонометрические функции

Поэтому, пользуясь формулой Обратные тригонометрические функции получим, что

Обратные тригонометрические функции

3. Упростить выражение tg (arcctgx).

Пользуясь формулой Обратные тригонометрические функции получим, что

Обратные тригонометрические функции

4. Упростить выражение tg (arcsin х).

Пользуясь формулой Обратные тригонометрические функции получим, что

Обратные тригонометрические функции

5. Упростить выражение sin (arctg х).

Пусть Обратные тригонометрические функции тогда Обратные тригонометрические функции Пользуясь формулой

Обратные тригонометрические функции

получим, что

Обратные тригонометрические функции

Но из этих двух знаков годным является только знак плюс. Действительно, Обратные тригонометрические функции так как при Обратные тригонометрические функцииОбратные тригонометрические функции

Правая же часть будет положительным числом или нулем, если из двух знаков, стоящих перед ней, выбрать только знак плюс (ведь по условию Обратные тригонометрические функции). Итак, окончательно

Обратные тригонометрические функции

Пусть х < 0, тогда Обратные тригонометрические функции

Пользуясь формулой

Обратные тригонометрические функции

получим, что

Обратные тригонометрические функции

Но из этих двух знаков годным является только знак плюс. Действительно, Обратные тригонометрические функции так как при Обратные тригонометрические функции

Правая же часть будет отрицательным числом лишь тогда, когда мы из двух знаков, стоящих перед ней, выберем только знак плюс (ведь по условию х < 0). Итак, при х < 0 формула имеет тот же вид, как и при Обратные тригонометрические функции, т.е.

Обратные тригонометрические функции

Таким образом, равенство

Обратные тригонометрические функции

справедливо при всяком значении х.

6. Доказать тождество Обратные тригонометрические функции

Сначала вычислим синус левой части написанного выше равенства:

Обратные тригонометрические функции

Из одного того факта, что sin (arcsin х + arccos х) = 1, мы еще не можем заключить, что Обратные тригонометрические функции, так как существует бесконечное множество различных углов, синус которых равен 1.

Чтобы удостовериться в том, что сумма arcsin х + arccos х равняется именно Обратные тригонометрические функции, необходимо найти границы этой суммы.

По определению

Обратные тригонометрические функции

Складывая, получим:

Обратные тригонометрические функции

Но среди чисел, больших или равных — Обратные тригонометрические функции и меньших или равных Обратные тригонометрические функции имеется лишь одно число Обратные тригонометрические функции, синус которого равен 1.

Поэтому

Обратные тригонометрические функции

что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается и тождество

Обратные тригонометрические функции

7. Показать справедливость равенства

Обратные тригонометрические функции

Сначала вычислим тангенс суммы, стоящей в левой части написанного равенства:

Обратные тригонометрические функции

Для сокращения записей вычислим предварительно значения тангенсов, стоящих в числителе последней дроби:

Обратные тригонометрические функции

Найдем также, что

Обратные тригонометрические функции

Теперь

Обратные тригонометрические функции

Очевидно, что

Обратные тригонометрические функции

Складывая, получим, что

Обратные тригонометрические функции

Итак, мы установили два факта:

Обратные тригонометрические функции

Из этих двух фактов вытекает, что

Обратные тригонометрические функции

что и требовалось доказать.

8. Решить уравнение arccos х = 2arcsin x.

Если два числа равны, то равны и их косинусы. Поэтому из данного уравнения вытекает уравнение cos (arccos х) = cos(2 arcsin x). Но данное уравнение и вновь полученное, вообще говоря, не равносильны. Всякий корень первого уравнения будет корнем второго, но не всякий корень второго уравнения обязательно должен быть корнем первого, так как из равенства косинусов не обязательно следует равенство чисел, стоящих под знаками косинусов. Поэтому каждый из корней второго уравнения надо испытать подстановкой в первое уравнение и отобрать лишь те, которые удовлетворяют первому уравнению.

Второе уравнение после преобразований примет вид:

Обратные тригонометрические функции

или

Обратные тригонометрические функции

или

Обратные тригонометрические функции

Отсюда

Обратные тригонометрические функции

Подставляя в первоначально заданное уравнение вместо неизвестного х число Обратные тригонометрические функции, получаем:

Обратные тригонометрические функции

или

Обратные тригонометрические функции

т.е. тождество.

Подставляя число — 1, получим:

Обратные тригонометрические функции

т. е. равенство неверное.

Итак, первоначальное уравнение имеет лишь один корень х =Обратные тригонометрические функции.

9. Решить уравнение Обратные тригонометрические функции

Преобразуем данное уравнение, взяв тангенсы его левой и правой части:

Обратные тригонометрические функции

(см. пояснения к примеру 8).’

Применим формулу тангенса суммы и примем во внимание, что

Обратные тригонометрические функции

Равенство

Обратные тригонометрические функции

справедливо, так как его левая часть заключена между 0 и Обратные тригонометрические функции и имеет своим тангенсом единицу.

Равенство же

Обратные тригонометрические функции

несправедливо, так как его левая часть заключена между — Обратные тригонометрические функции и 0, а потому не может равняться Обратные тригонометрические функции.

Следовательно, данное уравнение имеет только один корень

Обратные тригонометрические функции

Графики обратных тригонометрических функций

На рисунке 185 изображен график функции у = arcsin х.
На рисунке 186 изображен график функции у = arccos х.

Обратные тригонометрические функции

На рисунке 187 изображен график функции у = arctg х.

Обратные тригонометрические функции

Дополнение к обратным тригонометрическим функциям

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Смотрите также:

Решение задач по математическому анализу

Обратные тригонометрические функции и их графики

Функция y = arcsin x (арксинус).

Рассмотрим функцию y = sin x. Так как область определения этой функции — вся ось Ох (Обратные тригонометрические функции), а область изменения значений — отрезок [—1, 1] оси Оу (по отношению к функции y = sin x) имеет смысл говорить только на отрезке [—1, 1] оси Оу. Пусть, например, известно, что y = sin x = а, где Обратные тригонометрические функции. Сколько значений х можно найти из последнего уравнения? На рис. 127 видно, что существует
бесконечно много значений аргумента Обратные тригонометрические функции, обладающих тем свойством, что Обратные тригонометрические функции, где i = 1, 2, …

Обратные тригонометрические функции

Для того чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции у = sin x, достаточно рассмотреть какой-либо наибольший отрезок оси Ох, на котором функция y = sin x или монотонно возрастает, или монотонно убывает (см. п. 35). Функция у = sin х монотонно возрастает от —1 до +1, например, на отрезке Обратные тригонометрические функции и вообще на любом отрезке вида

Обратные тригонометрические функции

где k = 0, ±1, ±2,… Она монотонно убывает от +1 до —1 на любом отрезке вида

Обратные тригонометрические функции

где k = 0, ±1, ±2, …

На всей оси Ох функция y = sin x обратной (однозначной) функции не имеет. На каждом же из отрезков монотонности функция y = sin x имеет обратную функцию. Остается теперь зафиксировать какой-либо из этих отрезков. В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается функция у = sin x и обратная к ней функция, обычно берут отрезок Обратные тригонометрические функции. Итак, рассмотрим функцию y = sin x: на отрезке Обратные тригонометрические функции. На этом отрезке функция y = sin x монотонно возрастает, принимая все значения от —1 до +1. Следовательно, для любого Обратные тригонометрические функции из отрезка [—1, 1] оси Оу найдется, и притом только одно, значение Обратные тригонометрические функции из отрезка Обратные тригонометрические функции оси Ох такое, что Обратные тригонометрические функции, т. е для функции у = sin х на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция которую условились называть арксинусом и обозначать так х = arcsin у. Меняя, как обычно, обозначения, мы будем писать

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Найти а = arcsin (1/2).

Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от Обратные тригонометрические функции до Обратные тригонометрические функции, синус которого равен 1/2.

Решение:

Существует бесчисленное множество аргументов, синус которых равен 1/2, например: Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке Обратные тригонометрические функции. Таким аргументом будет Обратные тригонометрические функции. Итак,

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Найти Обратные тригонометрические функции.

Решение:

Рассуждая так же, как и в примере 1, получим

Обратные тригонометрические функции

По общему правилу (см. п. 35) график обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I—III координатных углов (рис. 21).

Обратные тригонометрические функции

Свойства функции у = arcsin х (рис. 128).

1) Область определения: отрезок [—1, 1].

2) Область изменения: отрезок Обратные тригонометрические функции.

3) Функция у = arcsin х нечетная: arcsin (—x) = — arcsin х.

4) Функция y = arcsin х монотонно возрастающая.

5) График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.

6)

Обратные тригонометрические функции

Перечисленные свойства вытекают из свойств функции у = sin x на отрезке Обратные тригонометрические функции.

Функция y = arccos x (арккосинус)

Функция у = cos x определена на всей оси Ох (Обратные тригонометрические функции) и изменяется в отрезке [—1, 1] оси Оу (Обратные тригонометрические функции). Если мы поставим вопрос об определении тех х, при которых y = cos x = a, где — Обратные тригонометрические функции, то увидим, что эта задача решается неоднозначно.

Обратные тригонометрические функции

На рис. 129 видно, что существует бесконечно много значений аргумента х (Обратные тригонометрические функции), обладающих тем свойством, что Обратные тригонометрические функции i = 1, 2, … Для того чтобы мы могли ввести функцию, обратную по отношению к функции у = cos x, нам нужно взять наибольший отрезок оси Ох, на котором она или монотонно возрастает, или монотонно убывает (см. п. 35). Функция y = cos x монотонно возрастает от —1 до +1 на любом отрезке вида Обратные тригонометрические функции, где k = 0, ±1, ±2, …; она монотонно убывает от +1 до —1 на любом отрезке вида Обратные тригонометрические функции, где k = 0, ±1, ±2, …

В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается функция у = cos x и обратная к ней функция, обычно берут отрезок Обратные тригонометрические функции. На этом отрезке функция у = cos х монотонно убывает, принимая все значения от +1 до —1. Следовательно, для любого Обратные тригонометрические функции из отрезка оси Оу найдется, и притом только одно, значение Обратные тригонометрические функции из отрезка Обратные тригонометрические функции такое, что Обратные тригонометрические функции, т. е. для функции у = cos x на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арккосинусом и обозначать так: x = arccos y. Меняя, как обычно, обозначения, мы будем писать:

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Найти Обратные тригонометрические функции.

Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от 0 до Обратные тригонометрические функции, косинус которого равен Обратные тригонометрические функции.

Решение:

Существует бесчисленное множество аргументов, косинус которых равен Обратные тригонометрические функции, например: Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в отрезке Обратные тригонометрические функции. Таким аргументом будет Обратные тригонометрические функции. Итак, Обратные тригонометрические функции.

Пример:

Найти Обратные тригонометрические функции.

Решение:

Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы получим Обратные тригонометрические функции.

График функции у = arccos х симметричен с графиком функции у = cos x относительно биссектрисы I—III координатных углов (см. рис. 21 в п. 35).

Свойства функции у = arccos х вытекают из соответствующих свойств функции у = cos x на отрезке Обратные тригонометрические функции и видны из графика на рис. 130.

Обратные тригонометрические функции

Перечислим эти свойства:

1) Область определения: отрезок [-1, 1].

2) Область изменения: отрезок Обратные тригонометрические функции.

3) Функция у = arccos х ни четная, ни нечетная. Для нее выполняется тождество

Обратные тригонометрические функции

4) Функция у = arccos х монотонно убывающая.

5) График пересекает ось Ох в точке (1, 0), а ось Оу в точке Обратные тригонометрические функции.

6) Обратные тригонометрические функции на всем отрезке [—1, 1].

Функция y = arctg x (арктангенс)

Рассмотрим функцию y = tg x. Область определения этой функции — вся ось Ох, за исключением точек вида

Обратные тригонометрические функции

и область изменения значений — вся ось Оу. Об обратной функции (по отношению к функции у = tg x) можно уже говорить для всей оси Оу. Задача нахождения х из уравнения tg х = а и здесь имеет бесчисленное множество решений. На рис. 131 видно, что существует бесконечно много значений аргумента Обратные тригонометрические функции таких, что Обратные тригонометрические функции, где i = 1, 2, …

Обратные тригонометрические функции

Для того чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции y = tg x, достаточно рассмотреть какой-либо наибольший интервал оси Ох, на котором она монотонно возрастает. Функция у= tg x монотонно возрастает от Обратные тригонометрические функции до Обратные тригонометрические функции, например, на интервале Обратные тригонометрические функции и вообще на любом интервале вида Обратные тригонометрические функции, где k = 0, ±1, ±2,… В качестве интервала оси Ох, на котором рассматривается функция у = tg x и обратная к ней функция, берут обычно интервал Обратные тригонометрические функции. На этом интервале функция у = tg x монотонно возрастает, принимая все значения от Обратные тригонометрические функции до Обратные тригонометрические функции. Следовательно, для любого Обратные тригонометрические функции, лежащего на оси Оу, найдется, и притом только одно, значение Обратные тригонометрические функции из интервала Обратные тригонометрические функции такое, что , т. е. для функции y = tg x на указанном интервале существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арктангенсом и обозначать так: х = arctg у. Меняя, как обычно, обозначения, мы будем писать:

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Найти Обратные тригонометрические функции.

Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от Обратные тригонометрические функции до Обратные тригонометрические функции тангенс которого равен Обратные тригонометрические функции.

Решение:

Существует бесчисленное множество аргументов, тангенс которых равен Обратные тригонометрические функции, например: Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале Обратные тригонометрические функции. Таким аргументом будетОбратные тригонометрические функции . Итак,

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Найти Обратные тригонометрические функции.

Решение:

Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы получим Обратные тригонометрические функции.

График функции у = arctg х симметричен с графиком функции y = tg x относительно биссектрисы I — III координатных углов (см. рис. 21 в п. 35).

Свойства функции у = arctg x вытекают из соответствующих свойств функции y = tg x на интервале Обратные тригонометрические функции и видны из графика на рис. 132.

Обратные тригонометрические функции

Перечислим эти свойства:

1) Область определения: x — любое действительное число.

2) Область изменения: интервал Обратные тригонометрические функции.

3) Функция y = arctg х нечетная: arctg ( —x) =— arctg x.

4) Функция у = arctg x монотонно возрастающая.

5) График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.

6) arctg x < 0 при Обратные тригонометрические функции и arctg x > 0 при Обратные тригонометрические функции.

7) Прямые Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции — горизонтальные асимптоты графика.

Функция y = arcctg x (арккотангенс)

Функция y = ctg x определена на всей оси Ох, за исключением точек вида Обратные тригонометрические функции, где n = 0, ± 1, ± 2, … Областью изменения се значений является вся ось Оу. Так же как и для функций, рассмотренных в пп. 130—132, существует бесконечно много значений аргумента Обратные тригонометрические функции, для которых Обратные тригонометрические функции, где i = 1, 2, … (рис. 133).

Обратные тригонометрические функции

В качестве интервала оси Ох, на котором определяется обратная функция по отношению к функции у = ctg x, берут обычно интервал Обратные тригонометрические функции. На этом интервале функция у = ctg x монотонно убывает, принимая все значения от Обратные тригонометрические функции до Обратные тригонометрические функции. Следовательно, для любого Обратные тригонометрические функции, лежащего на оси Оу, найдется, и притом только одно, значение Обратные тригонометрические функции из интервала Обратные тригонометрические функции такое, что Обратные тригонометрические функции, а это и значит, что на указанном интервале существует обратная (однозначная) функция, которую называют арккотангенсом и обозначают так: x = arcctg у. Меняя обозначение, будем писать:

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Найти Обратные тригонометрические функции.

Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент а, лежащий в пределах от 0 до Обратные тригонометрические функции, котангенс которого равен Обратные тригонометрические функции.

Решение:

Существует бесчисленное множество аргументов, котангенс которых равен Обратные тригонометрические функции, например: Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции и т. д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале Обратные тригонометрические функции. Таким аргументом будет Обратные тригонометрические функции. Итак,

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Найти а = arcctg 1.

Решение:

Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, мы получим Обратные тригонометрические функции.

График функции у = arcctg x симметричен с графиком функции у = ctg x относительно углов (см. рис. 21 в п. 35). Свойства функции y = arcctg x вытекают из соответствующих свойств функции y = ctg x на интервале Обратные тригонометрические функции и видны из графика на рис. 134.

Обратные тригонометрические функции

Перечислим эти свойства:

1) Область определения: х — любое действительное число.

2) Область изменения: интервал Обратные тригонометрические функции.

3) Функция у = arcctg х ни четная и ни нечетная. Для нее выполняется тождество

Обратные тригонометрические функции

4) Функция у = arcctg x монотонно убывающая.

5) График пересекает ось Оу в точке Обратные тригонометрические функции. К оси Ох при Обратные тригонометрические функции он приближается асимптотически (ось Ох является для него горизонтальной асимптотой при Обратные тригонометрические функции). Прямая Обратные тригонометрические функции также служит асимптотой графика (при Обратные тригонометрические функции).

6) arcctg x > 0 при любых х.

Пример:

Построим график функции Обратные тригонометрические функции.

1) Область определения: функция определена для х, удовлетворяющих неравенству

Обратные тригонометрические функции

Последнее неравенство удовлетворяется при Обратные тригонометрические функции.

2) Область изменения значений функции: Обратные тригонометрические функции, так как Обратные тригонометрические функции.

3) Функция четная, так как Обратные тригонометрические функции.

4) Точки пересечения с осями координат:

а) с осью Оу (х = 0) функция не может иметь точек пересечения, так как она определена только при Обратные тригонометрические функции;

б) с осыо Ох (у = 0) она пересекается в точках (—1, 0) и (1, 0) (нули функции), так как Обратные тригонометрические функции лишь при х = ±1.

5) Наименьшее и наибольшее значения функции в области определения. В силу четности функции достаточно ее исследовать для Обратные тригонометрические функции. Если х = 1, то y (1) = arccos 1 = 0. Если Обратные тригонометрические функции, то Обратные тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции, следовательно, Обратные тригонометрические функции, причем Обратные тригонометрические функции . Итак, при х = 1 (и при x = —1) функция принимает наименьшее значение, равное нулю, а при Обратные тригонометрические функции (и при Обратные тригонометрические функции) стремится к Обратные тригонометрические функции, оставаясь меньше Обратные тригонометрические функции. Ни при каком х не выполняется равенство Обратные тригонометрические функции, т. е. наибольшего значения наша функция не имеет.

6) Интервалы знакопостоянства: функция всюду в области определения неотрицательна, т. е. Обратные тригонометрические функции.

Для построения графика функции найдем некоторые опорные его точки, а затем соединим их плавной линией с учетом свойств функции.

Так как функция Обратные тригонометрические функции четная, то достаточно построить ее график для Обратные тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции, а затем продолжить его симметрично относительно оси Оу для Обратные тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции. Составим таблицу значений функции Обратные тригонометрические функции (с точностью до 0,01) для некоторых «хороших» значений х с непостоянным шагом h.

Обратные тригонометрические функции

Соединив полученные опорные точки плавной линией и учтя, что прямая Обратные тригонометрические функции является горизонтальной асимптотой при Обратные тригонометрические функции, мы получим график функции Обратные тригонометрические функции на бесконечном полуинтервале Обратные тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции

Продолжив его четным образом на бесконечный полуинтервал Обратные тригонометрические функции, мы получим график функции Обратные тригонометрические функции во всей области ее определения (рис. 135).

Операции над обратными тригонометрическими функциями

Тригонометрические операции: Рассмотрим некоторые простейшие тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями (первая группа формул).

1) y= sin (arcsin х). По определению

Обратные тригонометрические функции

Пример 1. sin (arcsin 0,93) = 0,93.

2) у = cos (arccos х). По определению

Обратные тригонометрические функции

Пример:

cos [arccos (— 0,79)] = — 0,79.

Следует подчеркнуть, что тождества (135.1) и (135.2) справедливы только в области определения (существования) арксинуса и арккосинуса, т. е. при Обратные тригонометрические функции. Например, нельзя писать sin (arcsin 1,2) = 1,2, ибо выражение arcsin 1,2 не имеет смысла.

На основании предыдущего заметим также, что функции

Обратные тригонометрические функции

совпадают только в области определения арксинуса и арккосинуса, т. е. на отрезке [—1, 1] оси Ох. Вне этого отрезка последние две функции просто не существуют.

3) y = tg (arctg х). По определению

Обратные тригонометрические функции

Пример:

tg (arctg 123) = 123.

4) y = ctg (arcctg x). По определению

Обратные тригонометрические функции

Пример:

ctg [arcctg (— 987)] = — 987.

Функции y = x, y =tg (arctg x), у = ctg (arcctg x) совпадают на всей оси Ox.

5) у = sin (arccos x). Положив arccos x = a, получим cos a = x.

На основании формулы (100.3) будем иметь

Обратные тригонометрические функции

т. е.

Обратные тригонометрические функции

Мы взяли перед корнем знак « + » потому, что а = arccos х удовлетворяет неравенствам Обратные тригонометрические функции.

Пример:

Обратные тригонометрические функции

6) у = cos (arcsin x). Положив arcsin x = а, получим sin a = x. На основании формулы (100.1) будем иметь

Обратные тригонометрические функции

т. e.

Обратные тригонометрические функции

Мы взяли перед корнем знак « + » потому, что угол а = arcsin х удовлетво-ряет неравенствам Обратные тригонометрические функции.

Пример:

Обратные тригонометрические функции

7) На основании тождества tg а = 1 /ctg а имеем

Обратные тригонометрические функции

Пример:

tg (arcctg (1/9)) = 9.

8) Ha основании тождества ctg a = 1/tg a имеем

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Обратные тригонометрические функции

9) На основании формулы Обратные тригонометрические функции и предыдущих результатов полу чим еще формулу

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Обратные тригонометрические функции

Аналогично предыдущему, можно доказать следующие формулы:

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Вычислить:

Обратные тригонометрические функции

Решение:

На основании формулы (125.5) имеем

Обратные тригонометрические функции

Знаменатель этой дроби преобразуем по формуле (123.2):

Обратные тригонометрические функции

Окончательно найдем: А = 2b/а.

С помощью формул (135.1)—(135.16) получим ряд новых соотношений (вторая группа формул).

10) у = sin (2 arcsin х).

Обозначив arcsin x через а, будем иметь sin 2а = 2 sin а cos а, откуда

Обратные тригонометрические функции

Мы воспользовались формулами (135.1) и (135.6). Итак,

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Обратные тригонометрические функции

11) у = sin (2 arccos x). Имеем

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Обратные тригонометрические функции

12) у = cos (2 arccos x). Аналогично предыдущему, будем иметь

Обратные тригонометрические функции

Есть другие возможные случаи, аналогичные случаям 10) —12), можно вывести соответствующие формулы. Например:

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Проверить равенство

Обратные тригонометрические функции

Решение:

Вычислим левую и правую части предполагаемого равенства. Обозначим arctg (1/7) через а, тогда tg a = 1/7. Далее, воспользовавшись формулой (122.2), получим

Обратные тригонометрические функции

Обозначим arctg (1/3) через Обратные тригонометрические функции, тогда Обратные тригонометрические функции. Далее, на основании формул (119.1), (122.1) и (122.2) имеем

Обратные тригонометрические функции

Следовательно, cos (2 arctg (1/7)) = sin (4 arctg (1/3)). Решая пример 13, мы попутно вывели еще две формулы:

Обратные тригонометрические функции

Выведем теперь некоторые формулы для тригонометрических функций от половины обратной тригонометрической функции (третья группа формул).

13) Обратные тригонометрические функции. Обозначив arccos x через а, будем иметь Обратные тригонометрические функции.Так как а = arccos x, то Обратные тригонометрические функции, следовательно, а/2 удовлетворяет неравенствам Обратные тригонометрические функции, поэтому перед корнем мы должны брать знак « + », и мы имеем

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Обратные тригонометрические функции

14) Обратные тригонометрические функции. Аналогично предыдущему, можно вывести следующую формулу:

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Обратные тригонометрические функции

Используя формулы сложения и полученные выше формулы, выведем еще ряд соотношений (четвертая группа формул).

15) А = sin (arcsin + arcsin у). На основании формул (116.1), (135.1) и (135.6) будем иметь

Обратные тригонометрические функции

Итак,

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Обратные тригонометрические функции

16) А = sin (arccos x + arccos у). На основании формул (116.1), (135.5) и (135.2) будем иметь

Обратные тригонометрические функции

Итак,

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Обратные тригонометрические функции

В этой группе формул можно образовать очень много различных соотношений. Запоминать все эти формулы не имеет смысла. В дальнейшем при решении примеров мы в каждом конкретном случае будем выводить ту или иную формулу.

Пример:

Вычислить:

Обратные тригонометрические функции

Решение:

В общем виде наш пример можно записать так:

Обратные тригонометрические функции

На основании формул (116.2), (135.24), (135.25), (135.21) и (135.22) будем иметь

Обратные тригонометрические функции

В нашем конкретном случае x = 3/5 и у = —2. Следовательно,

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Вычислить:

Обратные тригонометрические функции

где a > 0.

Решение:

В общем виде наш пример можно записать так:

Обратные тригонометрические функции

На основании формул (117.3) и (135.12) будем иметь

Обратные тригонометрические функции

где Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. В нашем случае Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Следовательно,

Обратные тригонометрические функции

Окончательно получаем:

Обратные тригонометрические функции

Операции сложения (вычитания)

Выведем теперь некоторые соотношения между обратными тригонометрическими функциями.

Теорема:

Для всех х из отрезка [—1, 1] имеет место тождество

Обратные тригонометрические функции

Доказательство:

По определению Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Заметим, что Обратные тригонометрические функции. По формуле приведения имеем

Обратные тригонометрические функции

Итак, аргументы arcsin x и Обратные тригонометрические функции заключены в отрезке Обратные тригонометрические функции, в котором синус монотонно возрастает от —1 до + 1, и имеют одинаковый синус, равный x. Следовательно, сами аргументы также равны, т. е. Обратные тригонометрические функции, откуда и получаем тождество (136.1).

Теорема:

Для всех Обратные тригонометрические функции имеет место тождество

Обратные тригонометрические функции

Тождество (136.2) доказывается так же, как и тождество (136.1). Рекомендуем читателю провести это доказательство самостоятельно.

Аналогично предыдущему могут быть получены формулы для arcsin х + arcsin у, arccos x + arccos у, arctg х + arctg у и т. д. Мы не будем их выводить, а приведем ряд примеров, на которых покажем метод решения таких задач.

Пример:

Проверить, имеет ли место равенство

Обратные тригонометрические функции

Решение:

Обозначим Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Заметим, что Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции, следовательно, Обратные тригонометрические функции. Найдем теперь Обратные тригонометрические функции. Согласно формуле (115.4) и формулам и. 135 имеем

Обратные тригонометрические функции

Итак, Обратные тригонометрические функции, причем Обратные тригонометрические функции. Следовательно, Обратные тригонометрические функции. Если бы мы знали только, что Обратные тригонометрические функции, то отсюда еще нельзя было бы заключить, что Обратные тригонометрические функции, ибо, например, и Обратные тригонометрические функции. Здесь существенно то, что аргумент Обратные тригонометрические функции находится в интервале монотонности косинуса, а в интервале монотонности функция не может принимать одинаковые значения в различных точках интервала.

Пример:

Проверить, имеет ли место равенство

Обратные тригонометрические функции

Решение:

Обозначим Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Заметим, что Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Следовательно, Обратные тригонометрические функции. Поэтому Обратные тригонометрические функции не может равняться Обратные тригонометрические функции. Интересно, что все же Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Проверим неочевидное равенство Обратные тригонометрические функции:

Обратные тригонометрические функции

Итак, Обратные тригонометрические функции, но Обратные тригонометрические функции.

Пример:

Проверить, имеет ли место равенство

Обратные тригонометрические функции

Решение:

На основании формулы (131.2)

Обратные тригонометрические функции

Предполагаемое равенство (*) перейдет в равенство

Обратные тригонометрические функции

Воспользовавшись формулой (136.1), получим

Обратные тригонометрические функции

Обозначим Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции. Заметим, что

Обратные тригонометрические функции

Если мы докажем теперь, что

Обратные тригонометрические функции

то будет доказано равенство (**), а тем самым и предполагаемое равенство ():

Обратные тригонометрические функции

Итак,

Обратные тригонометрические функции

Следовательно, справедливо и равенство (*).

Пример:

Доказать, что

Обратные тригонометрические функции

Решение:

Обозначим Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции, Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Заметим, что каждое из Обратные тригонометрические функции, заключено в пределах Обратные тригонометрические функции. Следовательно,

Обратные тригонометрические функции

Если нам удастся доказать теперь, что Обратные тригонометрические функции, то предполагаемое равенство (*) будет доказано, ибо единственный аргумент в интервале Обратные тригонометрические функции, тангенс которого равен 1, есть Обратные тригонометрические функции. Заметим, что

Обратные тригонометрические функции

и

Обратные тригонометрические функции

Далее,

Обратные тригонометрические функции

Следовательно, равенство (*) имеет место.

Пример:

Исследовать функцию

Обратные тригонометрические функции

и построить ее график.

Решение:

Функция определена всюду, кроме х =—1. Обозначим Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Заметим, что Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции; следовательно, Обратные тригонометрические функции. Теперь найдем

Обратные тригонометрические функции

Итак, мы имеем Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции, а это возможно, если Обратные тригонометрические функции или Обратные тригонометрические функции. Равенство Обратные тригонометрические функции может иметь место только тогда, когда одновременно Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции, а эти последние неравенства выполняются, если одновременно Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Система неравенств

Обратные тригонометрические функции

удовлетворяется, если Обратные тригонометрические функции. Если же Обратные тригонометрические функции, то Обратные тригонометрические функции. Итак,

Обратные тригонометрические функции

График исследуемой функции изображен на рис. 136.

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями

Функция у = arcsin (sin x)

Исследуем функцию y =arcsin (sin х) и построим ее график.

1) Область определения (существования): функция определена для всех x Обратные тригонометрические функции. Напомним еще раз, что х — число, a sin х — тригонометрическая функция числового аргумента.

2) Область изменения функции: из определения арксинуса следует, что Обратные тригонометрические функции.

3) Сформулируем словесно правило, определяющее у по заданному х: каждому значению аргумента х Обратные тригонометрические функции ставится в соответствие значение функции у из отрезка [Обратные тригонометрические функции], т. е. Обратные тригонометрические функции. такое, что sin y = sin х.

Пример:

Обратные тригонометрические функции

Здесь Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции, ибо Обратные тригонометрические функции.

Пример:

Обратные тригонометрические функции

Здесь Обратные тригонометрические функции, а Обратные тригонометрические функции, так как Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Ошибкой являлось бы утверж дение, что Обратные тригонометрические функции, ибо аргумент Обратные тригонометрические функции не попадает в отрезок Обратные тригонометрические функции.

4) Функция нечетна. В самом деле.

Обратные тригонометрические функции

Следовательно,

Обратные тригонометрические функции

5) Функция периодическая с периодом Обратные тригонометрические функции, так как sin х — периодическая функция с основным периодом Обратные тригонометрические функции

6) График функции y = arcsin (sin х) на отрезке Обратные тригонометрические функции.

а) При Обратные тригонометрические функции имеем

Обратные тригонометрические функции

б) При Обратные тригонометрические функции получим

Обратные тригонометрические функции

ибо

Обратные тригонометрические функции

Итак,

Обратные тригонометрические функции

Построив график функции у = arcsin (sin х) на отрезке [Обратные тригонометрические функции], мы его продолжаем симметрично относительно начала координат на отрезок [Обратные тригонометрические функции], учитывая нечетность данной функции. График функции, построенный уже на отрезке [Обратные тригонометрические функции], мы, используя периодичность данной функции, продолжаем на есю числовую ось. График функции у = arcsin (sin х) изображен на рис. 137.

Обратные тригонометрические функции

Пример:

Найти а = arcsin (sin 2).

Решение:

Требуется найти угол а, лежащий в пределах от Обратные тригонометрические функции до Обратные тригонометрические функции, синус которого равен sin 2. Заметим, что если угол х удовлетворяет неравенствам Обратные тригонометрические функции, то равенство arcsin (sin х) = х справедливо. В противном же случае последнее равенство не имеет места. В нашем же случае Обратные тригонометрические функции. Применив формулу приведения, получим Обратные тригонометрические функции. Теперь уже угол Обратные тригонометрические функции удовлетворяет неравенствам Обратные тригонометрические функции, и поэтому можно писать:

Обратные тригонометрические функции

Следовательно, Обратные тригонометрические функции.

Пример:

Вычислить:

Обратные тригонометрические функции

Решение:

Воспользовавшись формулой Обратные тригонометрические функции, будем иметь

Обратные тригонометрические функции

После этого получим

Обратные тригонометрические функции

138. Функция y = arctg (tg x). Исследуем функцию y = arctg (tg x) и построим ее график.

1) Область определения (существования): функция определена для всех x, за исключением Обратные тригонометрические функции, где n = 0, ±1, ±2, …

2) Область изменения функции: из определения арктангенса следует, что Обратные тригонометрические функции.

3) Каждому значению х из области определения данной функции ставшей в соответствие значение функции и находящееся в интервале (Обратные тригонометрические функции), такое, что tg y = tg х.

Пример:

y= aictg (tg (Обратные тригонометрические функции) = Обратные тригонометрические функции. Здесь х = Обратные тригонометрические функции и у = Обратные тригонометрические функции, ибо Обратные тригонометрические функции.

Пример:

Обратные тригонометрические функции

Здесь Обратные тригонометрические функции, а Обратные тригонометрические функции, ибоОбратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. Ошибкой являлось бы утверждение, что Обратные тригонометрические функции, так как аргумент Обратные тригонометрические функции не попадает в интервал (Обратные тригонометрические функции).

4) Функция нечетна, так как tg (—x) = — tg x и arctg(—u) = — arctg u. Следовательно, arctg (tg (—x)] = — arctg (tg x).

5) Функция периодична с периодом Обратные тригонометрические функции, так как tg х —периодическая функция с периодом Обратные тригонометрические функции.

6) График функции y = arctg (tg x) на интервале Обратные тригонометрические функции. В левом конце интервала Обратные тригонометрические функции, т. е. при х = 0, функция определена и равна 0, так как y (0) = arctg (tg 0) = arctg 0 = 0. В правом же конце интервала Обратные тригонометрические функции, т.е. при Обратные тригонометрические функции, функция не определена, ибо при Обратные тригонометрические функции не существует tg х. Следовательно, функция у = arctg (tg x) определена на полуоткрытом отрезке Обратные тригонометрические функции, т. е. при Обратные тригонометрические функции. На этом полуоткрытом отрезке y = arctg (tg x) = x. При Обратные тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции и Обратные тригонометрические функции. График функции у = arctg (tg x) изображен на рис. 138.

Обратные тригонометрические функции

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти 100 первых простых чисел
  • Рукав шире проймы как исправить
  • Desktop ini как его найти
  • Как найти площадь треугольника только через высоту
  • Как найти дешевые авиабилеты с пересадками