Как найти sin по кругу

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30 ° , 45 ° , 60 ° . Если угол выходит за пределы 90 ° , то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α , можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45 ° , мы сможем определить значение синуса 30 ° , воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α . Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° .

Разобьем эти углы на четыре группы: 360 · z градусов ( 2 π · z рад), 90 + 360 · z градусов ( π 2 + 2 π · z рад), 180 + 360 · z градусов ( π + 2 π · z рад) и 270 + 360 · z градусов ( 3 π 2 + 2 π · z рад), где z — любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке:

Для каждой группы соответствуют свои значения.

При повороте из точки A на 360 · z ° , она переходит в себя. А 1 ( 1 , 0 ) . Синус 0 ° , 360 ° , 720 ° равен 0 , а косинус равен 1 . Представим это в виде формулы: sin ( 360 ° · z ) = 0 и cos ( 360 ° · z ) = 1 .

Можно определить, что t g ( 360 ° · z ) = 0 1 = 0 , а котангенс не определен.

Если А ( 1 , 0 ) повернуть на 90 + 360 · z ° , то она перейдет в А 1 ( 0 , 1 ) . По определению: sin ( 90 ° + 360 ° · z ) = 1 и cos ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: c t g ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 1 = 0 .

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А ( 1 , 0 ) на любой из углов 180 + 360 · z ° , она перейдет в A 1 ( − 1 , 0 ) . Мы находим значения функций кроме тангенса.

Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270 + 360 · z ° мы попадем в A 1 ( 0 , − 1 ) . Мы находим значения всех функций кроме тангенса.

Для углов, которые не относятся к перечню от 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° … , точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла − 52 ° . Выполним построения.

Согласно рисунку, абсцисса А 1 ≈ 0 , 62 , а ордината ≈ − 0 , 78 . Соответственно, sin ( — 52 ° ) ≈ — 0 , 78 и cos ( — 52 ° ) ≈ 0 , 62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом.

Выполняем вычисления: t g ( — 52 ° ) ≈ — 0 , 78 0 , 62 ≈ — 1 , 26 и c t g ( — 52 ° ) ≈ 0 , 62 — 0 , 78 ≈ — 0 , 79 .

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α , cos α , t g α , c t g α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1 . Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 1 2 — 1 2 2 = 3 2 . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30 ° = 1 2 1 = 1 2 и sin 60 ° = 3 2 1 = 3 2 .

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30 ° = 3 2 1 = 3 2 и cos 60 ° = 1 2 1 = 1 2 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.

Вычисляем: t g 30 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 и t g 60 ° = 3 2 1 2 = 3 . Находим котангенс по подобной схеме: с t g 30 ° = 3 2 1 2 = 3 и с t g 60 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45 ° и гипотенузой, которая равна 1 . Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 2 2 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: c t g 45 ° = 2 2 2 2 = 1 .

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α , cos α , t g α , c t g α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Тангенс по известному косинусу t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α .

Котангенс по известному синусу или наоборот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: t g α · c t g α = 1 .

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Необходимо найти значение синуса угла π 8 , если t g π 8 = 2 — 1 .

Сначала найдем котангенс угла: c t g π 8 = 1 t g π 8 = 1 2 — 1 = 2 + 1 ( 2 — 1 ) · ( 2 + 1 ) = 2 + 1 ( 2 ) 2 — 1 2 = 2 + 1 Воспользуемся формулой 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin 2 π 8 = 1 1 + c t g 2 π 8 = 1 1 + ( 2 + 1 ) 2 = 1 4 + 2 2 = 1 2 · ( 2 + 2 ) = 2 — 2 2 · ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = = 2 — 2 2 · ( 2 2 — ( 2 ) 2 ) = 2 — 2 4

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π 8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π 8 = sin 2 π 8 = 2 — 2 4 = 2 — 2 2 . sin π 8 = 2 — 2 2 .

Сведение к углу

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 ° . Сведение к углу из интервала от 0 до 90 ° . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210 ° . Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30 ° : sin 210 ° = sin ( 180 ° + 30 ° ) = — sin 30 ° = — 1 2 , или косинуса 60 ° sin 210 ° = sin ( 270 ° — 60 ° ) = — cos 60 ° = — 1 2 .

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π 8 , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Найдите значение t g π 8 .

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 . Значения косинуса угла π 4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 = 1 — 2 2 1 + 2 2 = 2 — 2 2 + 2 = = ( 2 — 2 ) 2 ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = ( 2 — 2 ) 2 2 2 — ( 2 ) 2 = ( 2 — 2 ) 2 2

Угол π 8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: t g π 8 = t g 2 π 8 = ( 2 — 2 ) 2 2 = 2 — 2 2 = 2 — 1

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

Алгебра

План урока:

Синус и косинус угла на единичной окружности

Впервые мы познакомились с синусом, косинусом и другими тригонометрическими функциями ещё в 8 класс на уроках геометрии, при изучении прямоугольного треугольника. Пусть есть некоторый треуг-ник АВС, у которого∠ С – прямой, а ∠ВАС принимается за α. Тогда sinα – это отношение ВС к АВ, а cosα– это отношение АС к АВ. В свою очередь tgα– это отношение ВС к АС:

С помощью тригонометрических функций удобно было находить стороны прямоугольного треугол-ка. Например, пусть известно, что гипотенуза АВ равна 5, а sinα = 0,8. Тогда из формулы sinα = ВС/АВ легко получить, что

ВС = АВ•sinα = 5•0,8 = 4

Если известно, что cosα = 0,6, то мы сможем найти и второй катет:

АС = АВ•cosα = 5•0,6 = 3

Отдельно заметим, что тангенс угла может быть рассчитан не как отношение двух катетов, а как отношение синуса к косинусу:

tgα = ВС/ АС = (АВ•sinα)/(АВ•cosα) = (sinα)/(cosα)

Отметим на единичной окружности произвольную точку А, которой соответствует некоторый угол α. У этой точки есть свои координаты хА и уА:

Попытаемся определить, чему равны координаты точки А. Для этого обозначим буквой B точку, в которой перпендикуляр, опущенный из А, пересекает горизонтальную ось Ох, и рассмотрим треугольник ОАВ:

Ясно, что ОАВ – это прямоугольный треугольник, ведь∠ АОВ = 90°. Значит, отрезок АВ можно рассчитать по формуле

Но ОА – это радиус единичной окружности. Это значит, что ОА = 1. Тогда

АВ = sinα•ОА = sinα•1 = sinα

С другой стороны, видно, что величина отрезка АВ равна координате уА. Получается, что уА = АВ = sinα, или

Отрезок ОВ также можно найти из прямоугольного треугольника АОВ, используя косинус:

Учитывая, что ОА = 1, а длина ОВ равна координате хА, мы получим следующее:

хА = ОВ = cosα•ОА = cosα•1 = cosα

то есть координата хА равна cos α:

Итак, мы выяснили, что координаты точки, лежащей на единичной окружности, равны синусу и косинусу угла, соответствующего этой точке.

Таким образом, нам удалось дать новое определение синусу и косинусу угла:

Заметим, что в прямоугольном треугольнике углы, помимо самого прямого угла, могут быть только острыми. Поэтому предыдущее определение синуса и косинуса, данное в 8 классе в курсе геометрии, было пригодно лишь для углов из диапазона 0 1 I и II четверть

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

    • А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    источники:

    http://100urokov.ru/predmety/urok-2-funkcii-trigonometricheskie

    http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trigonometricheskij-krug/

    Источник

    Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

    Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
    Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

    • Тригонометрический круг

    Вот что мы видим на этом рисунке:

        1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2 pi радиан.
        2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси X, а значение синуса — на оси Y.
        3. И синус, и косинус принимают значения от -1 до 1.
        4. Значение тангенса угла alpha тоже легко найти — поделив sin alpha на cos alpha. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
        5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
        6. Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
        7. Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен 2 pi.

    А теперь подробно о тригонометрическом круге

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY, в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси OX против часовой стрелки.

    Полный круг — 360 градусов.
    Точка с координатами left( 1;0 right) соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами left( -1;0 right) отвечает углу в 180^{circ}, точка с координатами left( 0;1 right) — углу в 90^{circ}. Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу alpha.

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси OY) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу alpha.

    Например:

    cosmkern 2mu 60^{circ}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2};

    cosmkern 2mu 0^{circ}=1;
    sinmkern 2mu 45^{circ}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2};
    sinmkern 2mu 240^{circ}=-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}.

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса left( x right), синус — ордината left( y right). Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от -1 до 1:

    -1leqslant cosmkern 2mualpha leqslant 1,
    -1leqslant sinmkern 2mualpha leqslant 1.

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    cos^2mkern 2mualpha+sin^2mkern 2mualpha=1.

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу alpha, смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по x (это косинус угла alpha) и по y (это синус угла alpha).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: 360 градусов, то есть полный круг, соответствует 2 pi радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол -30^{circ} — это угол величиной в 30^{circ}, который отложили от положительного направления оси x по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    cosmkern 2muleft( -alpha right)=cosmkern 2mualpha,
    sinmkern 2muleft( -alpha right)=-sinmkern 2mualpha.

    Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол 732^{circ} — это два полных оборота по часовой стрелке и еще 12^{circ}. Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по x и по y, значения синуса и косинуса повторяются через 360^{circ}. То есть:

    cosmkern 2muleft( alpha +360^{circ}cdot n right)=cosmkern 2mualpha,
    sinmkern 2muleft( alpha +360^{circ}cdot n right)=sinmkern 2mualpha,

    где n — целое число.

    То же самое можно записать в радианах:

    cosmkern 2muleft( alpha +2pi n right)=cosmkern 2mualpha,
    sinmkern 2muleft( alpha +2pi n right)=sinmkern 2mualpha.

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения.

    По определению:

    tgmkern 2mualpha=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sinmkern 2mualpha}{displaystyle cosmkern 2mualpha},

    ctgmkern 2mualpha=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cosmkern 2mualpha}{displaystyle sinmkern 2mualpha}.

    В результате получим следующую таблицу.

    varphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2 pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 3 pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 5 pi}{displaystyle 6} pi
    tgmkern 2muvarphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 1 sqrt{3} не существует -sqrt{3} -1 -frac{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0
    ctgmkern 2muvarphi не существует sqrt{3} 1 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0 -frac{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} -1 -sqrt{3} не существует

    Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
    Информация на странице «Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
    Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
    Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

    Публикация обновлена:
    08.05.2023

    Источник

    В статье мы рассмотрим, как найти значения:

    (cosfrac{π}{6}),       (sin⁡(-frac{7π}{3})),     (cosfrac{3π}{4}),     (sin⁡(-frac{27π}{2}))

    и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

    Для начала внимательно прочтите статью о числовой окружности. Вы должны научиться находить точки на окружности в числах с Пи.

    Уже умеете? Тогда два ключевых утверждения:

    Например, пусть нам нужно найти синус и косинус числа (frac{π}{6}). Обозначим на числовой окружности точку со значением (frac{π}{6}).

    Если построить все точно и крупно, то можно убедиться, что абсцисса этой точки будет равна (0,866…) , что соответствует числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).

    Как найти синус пи на 6 и косинус пи на 6

    Значит, что (cos⁡(frac{π}{6}) = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin(frac{π}{6}) ⁡=frac{1}{2}).

    Аналогично и для любой другой точки: значение абсциссы совпадает со значением косинуса, а ординаты – синуса. Поэтому:

    В тригонометрии ось абсцисс часто называют «ось косинусов», а ординат – «ось синусов».

    И обычно на них не наносят значения в десятичных ((0,1); (0,2); (0,3) и т.д.), а сразу отмечают стандартные значения для синуса и косинуса: (frac{1}{2} =0,5); (frac{sqrt{2}}{2} ≈0,707); (frac{sqrt{3}}{2}≈0,866), причем, как со знаком плюс, так и минус. Почему стандартные значения синуса и косинуса именно (frac{1}{2}),(frac{sqrt{2}}{2}) и (frac{sqrt{3}}{2}) вы можете узнать из этого видео.

    Как находить значения синуса и косинуса без таблицы, а только с помощью круга?

    Алгоритм прост:

    1. Начертите круг и оси косинусов и синусов.
    2. Отметьте на круге число, синус и косинус которого надо найти. Если с этим возникают проблемы, прочитайте здесь о том, как расставлять числа на числовой окружности. 
    3. Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

    тригонометрический круг

    Пример. Найдите синус и косинус для числа (-frac{7π}{6}).
    Решение:(-frac{7π}{6}=-frac{6π}{6}-frac{π}{6}=-π-frac{π}{6}) , то есть, чтобы отметить на окружности точку (-frac{7π}{6}) сначала находим число (-π) и от него в отрицательную сторону откладываем дугу длиной (frac{π}{6}).

    Находим - 7пи на 6

    Отмечаем число, синус и косинус которого надо найти:

    Находим синус - 7 пи на 6

    Получается, что (sin⁡(-frac{7π}{6})=frac{1}{2}), (cos⁡(-frac{7π}{6})=-frac{sqrt{3}}{2}).

    Пример. Вычислите (sinfrac{5π}{2}) и (cosfrac{5π}{2}).
    Решение:  (frac{5π}{2}=frac{4π+π}{2}=frac{4π}{2}+frac{π}{2}=2π+frac{π}{2}).

    5 пи на 2 на тригонометрической окружности

    Точка (frac{5π}{2}) совпадает с (1) на оси синусов, значит (sin⁡frac{5π}{2}=1). А если провести перпендикуляр из точки (frac{5π}{2}) до оси косинусов, то можно убедиться, что он попадет в (0). Поэтому (cosfrac{5π}{2}=0).

    как вычислить косинус 5 пи на 2

    И тут некоторые из вас подумали: «с кругом, на котором подписаны числа, каждый дурак сможет посчитать, а что делать, когда его под рукой нет? Что делать на ЕГЭ?» Ответ прост – нарисуйте круг сами! Для этого вам будет нужно понять логику расположения чисел на осях (подробнее об этом читайте в статье «Как запомнить тригонометрический круг»).

    Пример. Найдите а) (sin⁡frac{3π}{2}), б) (cos⁡frac{3π}{4}), в) (sin⁡(-frac{π}{3})) .
    Решение: а) Чертим круг, оси и отмечаем число (frac{3π}{2}). Обращаем внимание на ось синусов и понимаем, что точка совпала с (-1), получается (sin⁡frac{3π}{2}=-1).
    б) (frac{3π}{4}=frac{4π}{4}-frac{π}{4}=π-frac{π}{4}) — отмечаем число на круге. Проводим перпендикуляр до оси косинусов и вспоминаем, что точки со знаменателем (4) находятся посередине. Мы еще попали и в отрицательную часть оси косинусов, получается (cos⁡frac{3π}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}).
    в) (-frac{π}{3}) – отмечаем число на круге. Видим, что перпендикуляр к оси синусов попал в точку близкую к (-1), значит (sin⁡(-frac{π}{3})=-frac{sqrt{3}}{2}).

    как рисовать тригонометрический круг

    Как видите не обязательно рисовать, очень красивую или очень большую окружность — вы можете определить нужное вам значение, быстро набросав круг. И ничего не надо учить!

    Если вы хотите еще примеров с вычислением синусов и косинусов без тригонометрической таблицы, то прочтите эту статью.

    Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (frac{8}{sin⁡(-frac{27π}{4}) cos⁡(frac{31π}{4})}) .
    Решение.    (-frac{27π}{4}=-frac{28π}{4}+frac{π}{4}=-7π+frac{π}{4}).
    (frac{31π}{4}=frac{32π}{4}-frac{π}{4}=8π-frac{π}{4}).

    как рисовать тригонометрический круг

    (sin⁡(-frac{27π}{4})=-frac{sqrt{2}}{2}),      (cos⁡(frac{31π}{4})=frac{sqrt{2}}{2}).

    (frac{8}{sin⁡(-frac{27π}{4}) cos⁡(frac{31π}{4})})(=) (frac{ 8}{-frac{sqrt{2}}{2}cdotfrac{sqrt{2}}{2}})(=-8:frac{2}{4}=-8cdotfrac{2}{1}=-16).

    Ответ: (-16).

    Смотрите также:
    Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?
    Из градусов в радианы и наборот
    Тригонометрическая таблица с кругом
    Почему в тригонометрической таблице такие числа?

    Для тех кто хочет закрепить знания:
    Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

    Источник

    Синус и косинус на единичной числовой окружности

    1. Синус и косинус острого угла в прямоугольном треугольнике
    2. Основное тригонометрическое тождество
    3. Синус и косинус угла на числовой окружности
    4. Знаки синусов и косинусов
    5. Синусы и косинусы углов πk/2
    6. Синусы и косинусы углов π/4+πk/2
    7. Синусы и косинусы углов π/6+πk/2
    8. Синусы и косинусы углов π/3+πk/2
    9. Примеры

    п.1. Синус и косинус острого угла в прямоугольном треугольнике

    Синус и косинус острого угла в прямоугольном треугольнике Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
    sinα=$frac{a}{c} $
    Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
    cosα=$frac{b}{c} $

    Например:

    B ΔABC, ∠C = 90°, a = 2, b = 4. Найдем синус и косинус ∠A.
    По теореме Пифагора гипотенуза равна (c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{2^2+4^2}=2sqrt{5})
    Получаем: $$ sinA=frac{a}{c}=frac{2}{2sqrt{5}}=frac{1}{sqrt{5}}, cosA=frac{b}{c}=frac{4}{2sqrt{5}}=frac{2}{sqrt{5}} $$

    п.2. Основное тригонометрическое тождество

    Из теоремы Пифагора следует: $$ a^2+b^2=c^2Rightarrow frac{a^2+b^2}{c^2}=1Rightarrowleft(frac{a}{c}right)^2+left(frac{b}{c}right)^2=1Rightarrow sin^2alpha+cos^2alpha=1 $$

    Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице: $$ sin^2alpha+cos^2alpha=1 $$

    п.3. Синус и косинус угла на числовой окружности

    Синус и косинус угла на числовой окружности Числовая окружность расположена в декартовой прямоугольной системе координат.
    Отметим на числовой окружности точку M, где луч OM составляет с положительным направлением оси OX угол α. Найдем координаты точки M.
    Рассмотрим ΔMOK.
    ∠MKO=90°, ∠MOK=α
    OM=1 – гипотенуза
    По определению синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем: begin{gather*} cosalpha=frac{OK}{OM}=frac{x}{1}=x\ sinalpha=frac{MK}{OM}=frac{y}{1}=y end{gather*}

    Каждому углу α на числовой окружности соответствует точка, координаты которой: $$ x=cosalpha, y=sinalpha $$

    Уравнение числовой окружности по определению: x2 + y2 = 1
    Откуда снова получаем основное тригонометрическое тождество:

    sin2α + cos2α = 1

    п.4. Знаки синусов и косинусов

    п.5. Синусы и косинусы углов (frac{pi k}{2})

    Синусы и косинусы углов πk/2 Базовыми точками на числовой окружности для углов, кратных прямому углу (углы (frac{pi k}{2})), будут четыре точки: 0°, 90°, 180°, 270° (left(0, frac{pi}{2}, pi, frac{3pi}{2}right)).
    Все остальные точки (например, 360°, 900° или –540°) будут отличаться от базовых точек на один или несколько полных периодов 2πk, т.е. будут совпадать с ними на окружности.
    Синусы и косинусы для совпадающих точек равны. Косинус – это координата x, синус – координата y.
    α 0° 90° 180° 270°
    0 π/2 π 3π/2
    x cosα 1 0 –1 0
    y sinα 0 1 0 –1

    п.6. Синусы и косинусы углов (frac{pi}{4}+frac{pi k}{2})

    Синусы и косинусы углов π/4+πk/2 Базовыми точками на числовой окружности для угла 45° и всех отстоящих от него на углы, кратные прямому (углы (frac{pi}{4}+frac{pi k}{2})), будут четыре точки: 45°, 135°, 225°, 315° (left(frac{pi}{4}, frac{3pi}{4}, frac{5pi}{4}, frac{7pi}{4}right)).
    Все остальные точки (например, 405°, 945° или –585°) будут отличаться от базовых точек на один или несколько полных периодов 2πk, т.е. будут совпадать с ними на окружности.
    Синусы и косинусы для совпадающих точек равны. Косинус – это координата x, синус – координата y.

    Как видно из чертежа, для этих углов синус и косинус по модулю равны и отличаются только по знаку. Найдем модуль из тригонометрического тождества.
    Обозначим для угла (45^{circ} sin45^{circ}=cos45^{circ}=mgt 0.) Тогда
    $$ sin^2 45^{circ}+cos^2 45^{circ}=1Rightarrow m^2+m^2=1Rightarrow 2m^2=1Rightarrow m^2=frac12 overset{mgt 0}{Rightarrow} m=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} $$ Все исследуемые точки на числовой окружности будут иметь пару координат (frac{sqrt{2}}{2} text{и} frac{sqrt{2}}{2}), только с разными знаками.

    α 45° 135° 225° 315°
    π/4 3π/4 5π/4 7π/4
    x cosα (frac{sqrt{2}}{2}) (-frac{sqrt{2}}{2}) (-frac{sqrt{2}}{2}) (frac{sqrt{2}}{2})
    y sinα (frac{sqrt{2}}{2}) (frac{sqrt{2}}{2}) (-frac{sqrt{2}}{2}) (-frac{sqrt{2}}{2})

    п.7. Синусы и косинусы углов π/6+πk/2

    Синусы и косинусы углов π/6+πk/2 Базовыми точками на числовой окружности для угла 30° и всех отстоящих от него на углы, кратные прямому (углы (frac{pi}{6}+frac{pi k}{2})), будут четыре точки: 30°, 120°, 210°, 300° (left(frac{pi}{6}, frac{2pi}{3}, frac{7pi}{6}, frac{5pi}{3}right)).
    Все остальные точки (например, 390°, 960° или –420°) будут отличаться от базовых точек на один или несколько полных периодов 2πk, т.е. будут совпадать с ними на окружности.
    Синусы и косинусы для совпадающих точек равны. Косинус – это координата x, синус – координата y.

    Известно, что (sin 30^{circ}=frac12). Тогда из основного тригонометрического тождества: $$ cos30^{circ}=sqrt{1-sin^230^{circ}}=sqrt{1-frac14}=frac{sqrt{3}}{2}. $$ Все исследуемые точки на числовой окружности будут иметь пару координат из чисел (frac12 text{и} frac{sqrt{3}}{2}) в разном порядке и с разными знаками. Чтобы различать их «на глаз», заметим, что (frac{sqrt{3}}{2}approx 0,87gtfrac12). Т.е, отрезок короче будет равен по модулю (frac12), а длиннее (frac{sqrt{3}}{2}).

    α 30° 120° 210° 300°
    π/6 2π/3 7π/6 5π/3
    x cosα (frac{sqrt{3}}{2}) (-frac12) (-frac{sqrt{3}}{2}) (frac12)
    y sinα (frac12) (frac{sqrt{3}}{2}) (-frac12) (-frac{sqrt{3}}{2})

    п.8. Синусы и косинусы углов π/3+πk/2

    Синусы и косинусы углов π/3+πk/2 Базовыми точками на числовой окружности для угла 60° и всех отстоящих от него на углы, кратные прямому (углы (frac{pi}{3}+frac{pi k}{2})), будут четыре точки: 60°, 150°, 240°, 330° (left(frac{pi}{3}, frac{5pi}{6}, frac{4pi}{3}, frac{11pi}{6}right)).
    Все остальные точки (например, 390°, 960° или –420°) будут отличаться от базовых точек на один или несколько полных периодов 2πk, т.е. будут совпадать с ними на окружности.
    Синусы и косинусы для совпадающих точек равны. Косинус – это координата x, синус – координата y.

    Известно, что (cos60^{circ}=sin 30^{circ}=frac12). Тогда из основного тригонометрического тождества: $$ sin60^{circ}=sqrt{1-cos^2 60^{circ}}=sqrt{1-frac14}=frac{sqrt{3}}{2}. $$ Все исследуемые точки на числовой окружности будут иметь пару координат из чисел (frac12 text{и} frac{sqrt{3}}{2}) в разном порядке и с разными знаками. Чтобы различать их «на глаз», заметим, что (frac{sqrt{3}}{2}approx 0,87gtfrac12). Т.е, отрезок короче будет равен по модулю (frac12), а длиннее (frac{sqrt{3}}{2}).

    α 60° 150° 240° 330°
    π/3 5π/6 4π/3 11π/6
    x cosα (frac12) (-frac{sqrt{3}}{2}) (-frac12) (frac{sqrt{3}}{2})
    y sinα (frac{sqrt{3}}{2}) (frac12) (-frac{sqrt{3}}{2}) (-frac12)

    п.9. Примеры

    Пример 1.
    а) Найдите косинус угла α, если известно, что (sinalpha=0,8, fracpi2 lt alpha lt pi)
    Угол находится во второй четверти, значит, косинус отрицательный:
    (cosalpha=-sqrt{1-sin^2alpha}=-sqrt{1-0,8^2}=-sqrt{0,36}=-0,6)

    б) Найдите синус угла, если известно, что (cosalpha=frac{5}{13}, -fracpi2 lt alpha lt 0)
    Угол находится в четвертой четверти, значит синус отрицательный:
    (sinalpha=-sqrt{1-cos^2alpha}=-sqrt{1-frac{5}{13}^2}=-sqrt{frac{144}{169}}=-frac{12}{13})

    Пример 2. Сравните числа
    а) sin10° и sin320°
    Угол 10° находится в 1-й четверти, sin⁡10° > 0
    Угол 320° находится в 4-й четверти, sin⁡320° < 0
    Получаем: sin⁡320° < 0 < sin10°
    sin⁡10° > sin320°.

    б) cos115° и sin85°
    Угол 85° находится в 1-й четверти, sin85° > 0
    Угол 115° находится во 2-й четверти, cos115° < 0
    Получаем: cos115° < 0 < sin85°
    cos115° < sin85°.

    в) (sinfrac{8pi}{7}) и (cosfrac{11pi}{25})
    (pilt frac{8pi}{7}lt frac{3pi}{2}Rightarrow) угол (frac{8pi}{7}) находится в 3-й четверти, (sinfrac{8pi}{7}lt 0)
    (0lt frac{11pi}{25}lt frac{pi}{2}Rightarrow) угол (frac{11pi}{25}) находится в 1-й четверти, (cosfrac{11pi}{25}gt 0)
    Получаем: (sinfrac{8pi}{7} lt 0lt cosfrac{11pi}{25})
    (sinfrac{8pi}{7}lt cosfrac{11pi}{25})

    Пример 3. Заданы точки на числовой окружности. Найдите их координаты

    Пример 4. Найти sin⁡t,cos⁡t для данных t.

    (a) t=frac{13pi}{4})

    Пример 4a Отнимем полный оборот: (frac{13pi}{4}-2pi=frac{13-8}{4}pi=frac{5pi}{4})
    Угол кратный (fracpi4), его синус и косинус по модулю равны (frac{sqrt{2}}{2}), знаки определяются расположением угла.
    (piltfrac{5pi}{4}ltfrac{3pi}{2}Rightarrow) угол находится в 3-й четверти, синус и косинус отрицательные.
    Получаем: begin{gather*} sinfrac{13pi}{4}=sinfrac{5pi}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}\ cosfrac{13pi}{4}=cosfrac{5pi}{4}=-frac{sqrt{2}}{2} end{gather*}

    (б) t=frac{11pi}{2})

    Пример 4б Отнимем 2 полных оборота: (frac{11pi}{2}-2cdot 2pi=frac{11-8}{2}pi=frac{3pi}{2})
    Угол кратный (fracpi2), находится на оси Y, в нижней точке числовой окружности.
    Получаем: begin{gather*} sinfrac{11pi}{2}=sinfrac{3pi}{2}=-1\ cosfrac{11pi}{2}=cosfrac{3pi}{2}=0 end{gather*}

    (в) t=frac{17pi}{6})

    Пример 4в Отнимем полный оборот: (frac{17pi}{6}-2pi=frac{17-12}{6}pi=frac{5pi}{6})
    Угол типа (fracpi6), в котором синус и косинус – это пара из (frac12) и (frac{sqrt{3}}{2}), фактическое значение определяется по чертежу, исходя из того, что (frac{sqrt{3}}{2}approx 0,87gtfrac12). Знаки определяются по расположению угла в четверти: (fracpi2ltfrac{5pi}{6}ltpiRightarrow) угол находится во 2-й четверти.
    Из чертежа получаем:
    Косинус – длинный отрицательный
    Синус – короткий положительный
    Таким образом: begin{gather*} sinfrac{17pi}{6}=sinfrac{5pi}{6}=frac12\ cosfrac{17pi}{6}=cosfrac{5pi}{6}=-frac{sqrt{3}}{2} end{gather*}

    (г) t=-frac{4pi}{3})

    Пример 4г Добавим полный оборот: (-frac{4pi}{3}+2pi=frac{-4+6}{3}pi=frac{2pi}{3})
    Угол типа (fracpi3), в котором синус и косинус – это пара из (frac12) и (frac{sqrt{3}}{2}), фактическое значение определяется по чертежу, исходя из того, что (frac{sqrt{3}}{2}approx 0,87gtfrac12). Знаки определяются по расположению угла в четверти: (fracpi2ltfrac{2pi}{3}ltpiRightarrow) угол находится во 2-й четверти.
    Из чертежа получаем:
    Косинус – короткий отрицательный
    Синус – длинный положительный
    Таким образом: begin{gather*} sinleft(-frac{4pi}{3}right)=sinfrac{2pi}{3}=frac{sqrt{3}}{2}\ cosleft(-frac{4pi}{3}right)=cosfrac{2pi}{3}=-frac12 end{gather*}
    Источник

    Единичная окружность помогает понять, чему равны sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 6.

    Итак, речь идет об углах в радианах. 1 радиан — это угол, длина дуги которого равна радиусу окружности. Соответственно, определяем приблизительное местонахождение на единичной окружности углов в 2, 3, 4, 5 и 6 радиан, отмечая каждую следующую точку через дугу, длина которой равна радиусу.  Впрочем, если вспомнить, что п приближенно равно 3,14, задача существенно упростится.

    Рисунок позволяет наглядно определять приблизительные значения sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 6, а также сравнивать их.

    Поскольку синус — это ордината соответствующей точки на единичной окружности (как это легко запомнить — здесуглы в радианах на единичной окружностиь), то для нахождения sin 1, sin 2, sin 3, sin 4, sin 5, sin 6 достаточно определить значение y в точках 1, 2, 3, 4, 5 и 6 радиан.

    синус 1, синус 2, синус 3, синус 4, синус 5, синус 6Поскольку синус — это y, то вверху, над осью x, синус принимает положительные значения. Поэтому sin 1>0, sin 2>0, sin 3>0.

    Соответственно внизу синус отрицателен: sin 4<0, sin 5<0, sin 6<o. Поэтому легко сравнить sin2 и sin4, например: sin2>sin4, ведь любое положительное число больше любого отрицательного.

    Если требуется сравнить значения синуса одного знака, например, sin2 и sin3, то исходя из геометрических соображений, sin2>sin3.

    Если нужно уточнить, чему равен 1 радиан, 2, 3, 4, 5 и 6 радиан в градусах, то приближенные значения таковы:

        [{1radian approx {{57}^0}17'}]

        [{2rad approx {{115}^0}}]

        [{3rad approx {{172}^0}}]

        [{4rad approx {{229}^0}}]

        [{5rad approx {{286}^0}}]

        [{6rad approx {{343}^0}}]

    Приближенно чему равен синус 1, синус 2 и синус 3, можно узнать по таблицам Брадиса:

        [sin 1 approx 0,8415]

        [sin 2 approx 0,9093]

        [sin 3 approx 0,1411.]

    Используя геометрические соображения, можно найти и приблизительные значения углов, больших 6 радиан.

    Источник

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти сайт зайцев нет
  • Как найти человека пропавшего в отечественной войне
  • Как найти напряженность поля внутри пластины
  • Дворник поцарапал лобовое стекло как исправить
  • Сбис как исправить подписанный документ