Как найти sinb если известен cosb - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Для решения задачи следует воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1.

Отсюда синус угла равен плюс минус корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.

Какой знак перед корнем квадратным брать зависит от того, где находится угол, косинус которого известен.

Если в условии задачи значение косинуса больше нуля (равенство нулю рассмотрено, как частный случай, ниже, хотя применимы рассуждения и для нуля), то угол находится либо в 1-й, либо в 4-й четверти.

Для определенности в условии задачи обычно дается ограничение для угла.

Если указано, что 0< a< 90 (1 четверть), то значение синуса тоже следует брать со знаком плюс.

Если же 270< a< 360 (4 четверть), то значение синуса следует брать со знаком минус.

Если значение косинуса угла меньше нуля, то это означает, что угол может находиться во 2-й или 3-й четверти.

1) 90< a< 180 (2 четверть).

Тогда синус угла будет положительным и равняется корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.

2) 180< a< 270 (3 четверть).

В этом случае синус угла будет отрицательным и равняется тому же значению, что и в первом случае, только со знаком минус.

Частные случаи: Если cos a = 0, то sina=1; если cos a = 1, то sina=0; cos a = -1, то sina=0. Эти значения также легко находятся из основного тригонометрического тождества.

Приведем примеры.

Пример 1. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 180<a<270 (в градусах)

Решение. Находим разность 1 и квадрата значения cos a, т.е. квадрата (-0,8).

-0,8 возводим в квадрат, получим (-0,8)*(-0,8) = 0, 64. Подставим его в искомую разность:

1-0,64=0,36

Получили квадрат значения синуса. Для нахождения значения самого синуса, извлечем корень квадратный из 0,36 и возьмем его со знаком + и со знаком — (см. картинку). Получим 0,6 или -0,6.

Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение синуса будет отрицательным. Значит выбираем -0,6.

Ответ: sina=-0,6.

Рассмотрим для краткости изложения этот же пример для случая, когда угол находится во второй четверти:

Пример 2. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 90<a<180 (в градусах)

Решение будет точно таким же, как для примера 1.

Изменится лишь выбор ответа. Рассуждения будут следующими:

Так как по условию угол находится во 2 четверти, то искомое значение синуса будет положительным. Значит выбираем 0,6.

Ответ: sina=0,6.

Источник

Формулы связи тригонометрических функций. Примеры из ЕГЭ

Внимание! Эти формулы работают только если аргументы у тригонометрических функций одинаковые, т.е.

(sin^2⁡ 776^° +cos^2⁡ 776^° =1)
(tg, 3xcdot ctg, 3x=1)

(sin^2⁡x+cos^2⁡3x≠1)
(tg, xcdot ctg, y≠1)

Все формулы связи тригонометрических функций учить не надо, потому что они достаточно легко получаются друг из друга несложными преобразованиями (подробности в этих видео). Кроме того, при частом использовании они постепенно запоминаются сами.

Примеры применения формул связи

Зачем нужны формулы связи? Они позволяют найти все тригонометрические функции угла, если известна лишь одна из них, а также дают возможность упрощать выражения, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения , заменяя одну функцию другой и так далее.

Пример. Найдите (5sin⁡,α), если (cos,⁡α=frac>) и (α∈(frac;2π)).
Решение. Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

Подставим вместо косинуса его значение:

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида (x^2=a) (при (a>0)) два корня (x_1=sqrt) и (x_2=-sqrt). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение (frac) , а может (-) (frac) . И какое значение нам надо выбрать — с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что (α∈(frac;2π)). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок ((frac;2π)).

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

Значит, в нашем случае (sin,⁡α=-frac) т.е. (5sin,⁡α=5cdot(-frac)=-1).

Пример.Найдите (tg,α), если (cos,⁡α=) (frac>) и (α∈(frac;2π)).
Решение. Есть 2 пути решения этой задачи:

— напрямую вычислить тангенс через формулу (tg^2α+1=) (frac) ;
— сначала с помощью тождества (sin^2⁡α+cos^2⁡α=1) найти (sin⁡,α), а потом через формулу (tg,α=) (frac) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Теперь вычислим косинус по упомянутой выше формуле:

Опять перед нами стоит выбор плюс или минус. Отметим отрезок ((frac;π)) на тригонометрической окружности и посмотрим какие значения принимает косинус в этой четверти, чтобы определится со знаком.

Очевидно, что косинус отрицателен в этой четверти, а значит (cos,⁡α=-) (frac) .

Осталось найти синус:

Опять используем круг, чтобы определить знак.

Пример (ЕГЭ). Найдите (tg^2 α), если (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6).
Решение. Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6) синус заменим на косинус:

Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения (tg^2α) хорошо подходит формула (tg^2α+1=) (frac) :

Теперь еще одна задача из ЕГЭ, для наглядности мы ее решение оформили картинкой.

Пример. Упростите выражение (frac) (-ctg^2 α-cos^2 β).
Решение.

Самое очевидное, что можно сделать – это представить котангенс как отношение косинуса к синусу.

Приводим дроби к общему знаменателю.

(1-cos^2⁡α) можно заменить на (sin^2 α).

Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30 ° , 45 ° , 60 ° . Если угол выходит за пределы 90 ° , то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α , можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45 ° , мы сможем определить значение синуса 30 ° , воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α . Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° .

Разобьем эти углы на четыре группы: 360 · z градусов ( 2 π · z рад), 90 + 360 · z градусов ( π 2 + 2 π · z рад), 180 + 360 · z градусов ( π + 2 π · z рад) и 270 + 360 · z градусов ( 3 π 2 + 2 π · z рад), где z — любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке:

Для каждой группы соответствуют свои значения.

При повороте из точки A на 360 · z ° , она переходит в себя. А 1 ( 1 , 0 ) . Синус 0 ° , 360 ° , 720 ° равен 0 , а косинус равен 1 . Представим это в виде формулы: sin ( 360 ° · z ) = 0 и cos ( 360 ° · z ) = 1 .

Можно определить, что t g ( 360 ° · z ) = 0 1 = 0 , а котангенс не определен.

Если А ( 1 , 0 ) повернуть на 90 + 360 · z ° , то она перейдет в А 1 ( 0 , 1 ) . По определению: sin ( 90 ° + 360 ° · z ) = 1 и cos ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: c t g ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 1 = 0 .

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А ( 1 , 0 ) на любой из углов 180 + 360 · z ° , она перейдет в A 1 ( − 1 , 0 ) . Мы находим значения функций кроме тангенса.

Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270 + 360 · z ° мы попадем в A 1 ( 0 , − 1 ) . Мы находим значения всех функций кроме тангенса.

Для углов, которые не относятся к перечню от 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° … , точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла − 52 ° . Выполним построения.

Согласно рисунку, абсцисса А 1 ≈ 0 , 62 , а ордината ≈ − 0 , 78 . Соответственно, sin ( — 52 ° ) ≈ — 0 , 78 и cos ( — 52 ° ) ≈ 0 , 62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом.

Выполняем вычисления: t g ( — 52 ° ) ≈ — 0 , 78 0 , 62 ≈ — 1 , 26 и c t g ( — 52 ° ) ≈ 0 , 62 — 0 , 78 ≈ — 0 , 79 .

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α , cos α , t g α , c t g α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1 . Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 1 2 — 1 2 2 = 3 2 . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30 ° = 1 2 1 = 1 2 и sin 60 ° = 3 2 1 = 3 2 .

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30 ° = 3 2 1 = 3 2 и cos 60 ° = 1 2 1 = 1 2 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.

Вычисляем: t g 30 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 и t g 60 ° = 3 2 1 2 = 3 . Находим котангенс по подобной схеме: с t g 30 ° = 3 2 1 2 = 3 и с t g 60 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45 ° и гипотенузой, которая равна 1 . Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 2 2 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: c t g 45 ° = 2 2 2 2 = 1 .

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α , cos α , t g α , c t g α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Тангенс по известному косинусу t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α .

Котангенс по известному синусу или наоборот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: t g α · c t g α = 1 .

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Необходимо найти значение синуса угла π 8 , если t g π 8 = 2 — 1 .

Сначала найдем котангенс угла: c t g π 8 = 1 t g π 8 = 1 2 — 1 = 2 + 1 ( 2 — 1 ) · ( 2 + 1 ) = 2 + 1 ( 2 ) 2 — 1 2 = 2 + 1 Воспользуемся формулой 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin 2 π 8 = 1 1 + c t g 2 π 8 = 1 1 + ( 2 + 1 ) 2 = 1 4 + 2 2 = 1 2 · ( 2 + 2 ) = 2 — 2 2 · ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = = 2 — 2 2 · ( 2 2 — ( 2 ) 2 ) = 2 — 2 4

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π 8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π 8 = sin 2 π 8 = 2 — 2 4 = 2 — 2 2 . sin π 8 = 2 — 2 2 .

Сведение к углу

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 ° . Сведение к углу из интервала от 0 до 90 ° . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210 ° . Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30 ° : sin 210 ° = sin ( 180 ° + 30 ° ) = — sin 30 ° = — 1 2 , или косинуса 60 ° sin 210 ° = sin ( 270 ° — 60 ° ) = — cos 60 ° = — 1 2 .

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π 8 , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Найдите значение t g π 8 .

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 . Значения косинуса угла π 4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 = 1 — 2 2 1 + 2 2 = 2 — 2 2 + 2 = = ( 2 — 2 ) 2 ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = ( 2 — 2 ) 2 2 2 — ( 2 ) 2 = ( 2 — 2 ) 2 2

Угол π 8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: t g π 8 = t g 2 π 8 = ( 2 — 2 ) 2 2 = 2 — 2 2 = 2 — 1

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

Теорема косинусов и синусов

О чем эта статья:

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из формулы следует: a 2 = c 2 — b 2

К полученному выражению прибавим и отнимем квадрат второго катета:

Но так как b = c * cos α, то

Эту формулу мы получили для катетов в прямоугольном треугольнике, но аналогичная связь между стороной а и косинусом противолежащего угла справедлива и для произвольного треугольника.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

cos 2 α + sin 2 α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы косинусов: теорему косинусов также можно использовать для определения косинуса угла треугольника:

Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
Когда b 2 + c 2 — a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

AD = b * cos α,
DB = c – b * cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

h 2 = b 2 — (b * cos α) 2
h 2 = a 2 — (c – b * cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

b 2 — (b * cos α) 2 = a 2 — (c — b * cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc * cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

b 2 = a 2 + c 2 — 2ac * cos β;
c 2 = a 2 + b 2 — 2ab * cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Таким образом, теорема косинусов обобщает теорему Пифагора. Закон косинуса может быть использован для любого вида треугольника.

Описание формулы косинуса угла из теоремы косинусов

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .

С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .

Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.

Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Как найти косинус угла, если известен синус?

Ответ мой будет аналогичным ответу на похожий вопрос (см. здесь).

Из основного тригонометрического тождества:

выразим косинус в квадрате угла а:

Значит косинус угла равен либо корню квадратному из этого выражения, либо ему же, только со знаком -.

Знак перед корнем зависит от ограничения, которое накладывается для определенности в условии задачи.

Если дано положительное значение синуса,то угол находится в 1-й или во 2-й четверти. В первой четверти (0

Примеры.

Пример 1. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 180 (в градусах)

Решение. Находим разность 1 и квадрата значения sina, т.е. квадрата (-0,6).

-0,6 в квадрате находится так: (-0,6)*(-0,6) = 0,36. Подставим его в искомую разность:

Получили квадрат значения косинуса. Для нахождения значения самого косинуса, извлечем корень квадратный из 0,64 и возьмем его со знаком + или со знаком — . Получим 0,8 или -0,8.

Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение косинуса будет также меньше нуля. Значит выбираем -0,8.

Рассмотрим пример для случая, когда угол находится в 4 четверти:

Пример 2. Найти косинус угла, если sina = -0,6. 270 (в градусах)

Решение такое же (см. пример 1).

Перед выбором ответа рассуждаем так:

Т. к. по условию угол расположен в 4 четверти, то значение косинуса будет больше нуля. Значит выбираем 0,8.

Что-то из них по тригонометрии равен отношению того к отношению этого, т.е надо перевернуть доску другой стороной кверху если синус угла наклона внизу и вернуть в исходное положение для того чтобы найти косинус угла наклона!

Всё предельно просто и основные вычисления строятся на базе одного всем известного уравнения, при котором сумма квадратов cos и sin одного и того же угла дают в итоге единицу.

Основным моментом, который может вызвать затруднения станет постановка положительного или отрицательного знак перед корнем.

Для таких случаев нужно помнить всегда главное тригонометрическое тождество

косинус квадрат альфа+ синус квадрат альфа=1

и вот отсюда уже выводим

Будем считать, что основное тригонометрическое тождество помнят все.

Если кто — то забыл, то напоминаю:

Сумма квадратов синуса и косинуса какого — то (одного) угла Альфа равняется одному (1).

Формулу вспомнили, а дальше все легко.

В левой части уравнения оставляем косинус угла в квадрате, а в правую часть (где уже присутствует единица) перекидываем квадрат синуса угла. Получается следующее:

Нам нужен не квадрат косинуса, а косинус, поэтому уравнение выше преобразовываем и получаем:

Косинус угла равен квадратному корню единицы минус квадрат синуса (cos=sqrt(1-sin^2)).

Найти косинус угла можно из этого выражения:

То есть для того чтобы найти косинус нужно оставить косинус на левой стороне. Получится вот такое выражение — cos=sqrt(1-sin^2), косинус найден.

Как называется формула не помню:

С уроков в школе примерно 10-11 класс, я помню формулу основного тригонометрического тождества, которую мы учили наизусть:

Получаем искомую функцию:

Таким несложным способом можно найти косинус, если известен синус. И использовать его при решении задач.

Формулы по тригонометрии — это тема, которую изучают ученики в 10 и 11 классах. Чтобы найти косинус угла, зная синус, нужно воспользоваться основной формулой.

Сначала воспользуемся теоремой Пифагора

теперь подставляем полученные данные

Вычислить косинус угла, зная его синус очень просто. Для этого стоит знать основу основ тригонометрии — сумма квадратов синуса и косинуса равна единице. Зная эту формулу, легко вычислить косинус угла. Тригонометрическое тождество визуально представлено в следующих формулах, по которым можно вычислить в том числе и косинус.

Не стоит забывать, что при нахождении косинуса, следует убрать его квадрат и вычислить его квадратный корень. То есть те же значения после цифры равно поставить в квадратный корень при вычислении.

Между синусом и косинусом для одного и того же угла можно найти взаимосвязь, которая позволит найти косинус, зная синус. Вот так выглядит эта взаимосвязь:

Получается чтобы найти косинус в данном случае нам просто напросто будет нужно произвести извлечение корня из выражения (1-sin в квадрате конкретного угла).

По правде сказать, я практически ничего не помню про синусы, косинусы и тангенсы с котангенсами. Какие-то формулы смутно маячат на задворках моей памяти, но вспомнить их для меня уже затруднительно. А все потому, что после окончания школы я ими не занималась, поскольку дальнейшее мое образование было гуманитарного толка, и математику я уже больше не изучала.

Тем не менее я считаю, что изучение всех этих функций в школе пользу приносит. В частности, мозги развивает. Так что, может быть, эти синусы и косинусы мне и пригодились в некоторым смысле. Как знать, вдруг мое мышление было бы другим без их изучения.

Перепишем ваше неравенство следующим образом

Здесь sgrt2=2^(1/2) – квадратный корень из 2. Сокращение sgrt происходит от английских слов square root – квадратный корень. Так часто пишут в интернете. Удобно произвести такую замену

Тогда неравенство (1) запишется так cos(2A)-sgrt2*sinA>1. Вспомним хорошо известную в тригонометрии формулу для косинуса двойного угла cos(2A)=1-2sin^2(A), где sin^2(A) – синус А в квадрате. Тогда наше неравенство сводится к виду 1-2sin^2(A)-sgrt2*sinA>1.

Перепишем его так (единицы сокращаются)

2sin^2(A)+sgrt2*sinA 0. То есть у -1. Эти 2 неравенства можно свети к такому виду -1 0 и y+1 0 и у 1. Так что, как видно и из (7), х=0 не входит в диапазон значений для переменной х. Возьмем левый предел для величины х, х=-pi/2. Тогда cosx=cos(-pi/2)=0, sin(x/2)=sin(-pi/4)=-(sgrt2)/2 и тогда имеем из неравенства (1) у=1. Это такое же предельное значение для у. Можно убедиться, что при х внутри диапазона (7) величина у больше 1.

Источник

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла alpha , называется противолежащим (по отношению к углу alpha ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла alpha , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.$

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.$

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.$

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.$

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A $=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.$

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin $displaystyle alpha = frac{a}{c}$	sin ${}^2 alpha +$ cos $displaystyle {}^2 alpha =1$	$alpha + beta = 90 ^{circ}$
cos $displaystyle alpha = frac{b}{c}$	1+tg $displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha}$	cos = sin
tg $displaystyle alpha = frac{a}{b}$	1+ctg $displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha}$	sin = cos
ctg $displaystyle alpha = frac{b}{a}$		tg = ctg

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна $180^{circ}$ . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa $90^{circ}$ .
С одной стороны, $sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}$ как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, $cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}$ , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, $cos left( 90^{circ}-A right) = sin A$ .
Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем $displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 ,$ то есть
Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: $1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }.$ Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, $1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.$

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна $180^{circ}$ .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от $0^{circ}$ до $90^{circ}$ .

	0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3}$	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}$
sin	0	$displaystyle frac{1}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{2}}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}$
cos		$displaystyle frac{sqrt{3}}{2}$	$displaystyle frac{sqrt{2}}{2}$	$displaystyle frac{1}{2}$	0
tg	0	$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$			−
ctg	−			$genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}}$	0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому $displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .$

Из этих равенств следует, что $displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} ,$ т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, $displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1},$ т. е. cos А = cos A_1, и $displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1},$ т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен $90^{circ}$ , sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку $A+B = 90^{circ}$ , sin A = cos B = 0,1.

Задача 2. В треугольнике ABC угол равен $90^{circ}$ , AB=5 , $sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}$ .

Найдите .

Решение:

$sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.$

Отсюда

$BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.$

Найдем AC по теореме Пифагора.

$AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.$

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A $displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.$

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А $displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.$

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:

Тогда $AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.$

cos⁡ А $displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;$

tg A $displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.$

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A= $displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .$

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A $displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17},$ $displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} ,$ $displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.$

По теореме Пифагора получим

$a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;$

$displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;$

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен AC = 4, tg A = $displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} .$ Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A $displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},$

$displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}},$ $displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},$

$AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.$

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = $displaystyle frac{1}{5} .$ Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = $displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} ,$ тогда b = 5a.

По теореме Пифагора ABC:

$displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}},$ тогда $displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.$

(по двум углам), следовательно $displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} ,$ откуда

$displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.$

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен

CH – высота, BC = 3, sin A = $displaystyle frac{1}{6} .$

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = $displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6},$ тогда $displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} ,$ c = АВ = 18.

sin A = $displaystyle frac{a}{c}$ = cos⁡ B = $displaystyle frac{1}{6} .$

Рассмотрим BHC:

${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}$ = $displaystyle frac{1}{6} ,$ получим $displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},$

тогда BH = $displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2}$ = 0,5,

AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BC = 3, cos A = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.$

Найдите АH.

Решение:

Так как для АВС: cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=$ sin В = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6},$

а для ВНС: sin В = $displaystyle frac{CH}{BC}$ = $displaystyle frac{sqrt{35}}{6}$ , откуда СН = $displaystyle frac{BC cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},$

По теореме Пифагора найдем ВН:

$BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=$

$=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.$

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:

${CH}^2=AH cdot BH,$ тогда $AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.$

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= $displaystyle frac{a}{c}$ = $displaystyle frac{BC}{AB}$ =

Рассмотрим BHC : ${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}.$

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= $sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,$

тогда ${cos B= }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28,$ а значит и sin A = = 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = $displaystyle frac{a}{c}$ = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = cos A = $displaystyle frac{b}{c}$ = $displaystyle frac{AC}{AB}$ =

тогда tg A = $displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB,$ который найдем из BHC:

$ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.$

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BН = 12, tg A = $displaystyle frac{2}{3}.$ Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= $displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.$

Для BHC: $ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3}$ , значит $displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3},$ СН = $displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.$

Для АHC: tg A= $displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3},$ то $displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3},$ AH = $displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, BН = 12, sin A = $displaystyle frac{2}{3}.$ Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = sin A = $displaystyle frac{2}{3}.$

Из СВН имеем cos В = $displaystyle frac{HB}{BC}$ = $displaystyle frac{2}{3},$ тогда ВС = $displaystyle frac{3 cdot HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.$

В АВС имеем sinA = $displaystyle frac{BC}{AB}$ = $displaystyle frac{2}{3},$ тогда AВ = $displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.$

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:

$HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=$

sin В = $displaystyle frac{CH}{BC}$ = $displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.$

Для АВС: cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5},$ получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = $displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5},$ то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора ${AC}^2+{BC}^2= {AB}^2,$ получим ${(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2$
${25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,$

${16x}^2= {20}^2,$

$x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,$
х = 5 ( так как х0). Значит,

2-й способ.

(по двум углам), значит $displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB}$ или $displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,$

k = $displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} ,$ тогда $displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5},$ АС = $displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15$ ; $displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5},$ АВ = $displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.$

3-й способ.

${CH}^2=AH cdot HB$ (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда ${12}^2=AH cdot 16,$ АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

$AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)}$ =

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = $sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}$ =

cos C = $displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.$

Для АВС: sin А = $displaystyle frac{BC}{AC}$ = cos C = $displaystyle frac{3}{5}.$

Для АНВ: sin А = $displaystyle frac{BH}{AB}$ = $displaystyle frac{3}{5},$ то $displaystyle frac{24}{AB}$ = $displaystyle frac{3}{5},$ АВ = $displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.$

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = $sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.$

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = $displaystyle frac{7}{25}.$

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном АСЕ sin А = $displaystyle frac{CE}{AC},$

значит $displaystyle frac{7}{25}$ = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: $AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};$

$AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.$

Площадь прямоугольного треугольника равна S = $displaystyle frac{1}{2}ab,$

поэтому $S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.$

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin Результат округлите до сотых.

Решение:

A-общий, $angle AKC=angle ACB=90{}^circ$ ),

значит sin $angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.$

Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:

$AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=$

Тогда sin $angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.$

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = $displaystyle frac{12}{13}.$ Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = $displaystyle frac{1}{2}AB=36.$

Поскольку АСН — прямоугольный,

cos A = $displaystyle frac{AH}{AC}=$ $displaystyle frac{12}{13},$ то есть $displaystyle frac{36}{AC}=$ $displaystyle frac{12}{13}$ АС = $displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.$

По теореме Пифагора ${AH}^2+{CH}^2={AC}^2,$ тогда

$CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=$

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ sin A = $displaystyle frac{11}{14},$ AC = 10 Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = $displaystyle frac{BC}{AB}=$ $displaystyle frac{11}{14},$ то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора $AC^2+{BC}^2={AB}^2;$

${(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;$

${(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;$

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${sin}^2A+{cos}^2A=1;$

cos A = $sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.$

По определению cos A = $displaystyle frac{AC}{AB},$ значит $displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.$

Так как АС=10 то $displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14},$ откуда АВ = $displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}}$ = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = $displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3},$ а катет ВО = $displaystyle frac{1}{2}BD =2.$

Поэтому tg $alpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}},$ откуда $alpha =30{}^circ .$

$angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .$

Ответ: ${60}^circ,$ ${120}^circ,$ ${60}^circ,$ ${120}^circ .$

Часто в задачах встречаются треугольники с углами $90^{circ},, 30^{circ}$ и $60^{circ}$ или с углами $90^{circ},, 45^{circ}$ и $45^{circ}$ . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами $90^{circ},, 30^{circ}$ и $60^{circ}$ катет, лежащий напротив угла в $30^{circ}$ , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами $90^{circ},, 45^{circ}$ и $45^{circ}$ — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ угол А равен 30 ${}^circ,$ АВ = 2

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим АВС:

По свойству катета, лежащего против угла ${30}^circ,$ имеем ВС = $displaystyle frac{1}{2}$ АВ =

В BHC: $angle BHC=90{}^circ ,; angle B=60{}^circ ,$ то $angle HCB=30{}^circ ,$ следовательно, ВН = $displaystyle frac{1}{2}$ BC = $displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.$

По теореме Пифагора найдем НС:

$HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=$

$=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.$

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90 ${}^circ,$ CH — высота, АВ = 2, $angle A=30{}^circ .$ Найдите АH.

Решение:

Из АВС найдем ВС = $displaystyle frac{1}{2}$ АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30 ${}^circ$ ),

$angle A=30{}^circ ,$ то $angle B=60{}^circ .$

Из ВСН: $angle BHC=90{}^circ , angle B=60{}^circ ,$ то $angle HCB=30{}^circ ,$ следовательно,

ВН = $displaystyle frac{1}{2}$ ВС = $displaystyle frac{1}{2}.$

АН = АВ — НВ = 2 — $displaystyle frac{1}{2}$ = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Воспользуемся формулой основной тригонометрической формулой:

cos^2А + sin^2A = 1;

sin^2A = 1 — cos^2А ;

sin^2A = 1 — 4/9;

sin^2A= 9/9 — 4/9;

cos^2А = 5/9;

cos А = √5/3.

Так как угол А больше 90 градусов и меньше 180 градусов, то есть принадлежит второй четверти. Значения синуса в этой четверти принимают положительные значения.

Ответ: √5/3.

Источник

beldiyarsen1

+100

Решено

8 месяцев назад

Геометрия

5 — 9 классы

Знайти sinB;tgB; ctgB если cosB = 4/5
Помогите

Смотреть ответ

Ответ

5
(1 оценка)

manyny06
8 месяцев назад

Светило науки — 25068 ответов — 41155 раз оказано помощи

Ответ:

решение смотри на фотографии

(1 оценка)

Остались вопросы?

Задай вопрос

Найди нужный

Новые вопросы по предмету Математика

Медіана, проведена до основи рівнобедреного трикутника дорівнює 12. Знайти бісектрису, провед до основи

Найдите длину отрезка x:

скажите пожалуйста пошагово как нужно это найти и это срочно умоляю отдаю все баллы!!!) это геометрия пожалуйста завтра сдавать надо!!!!!!!!!!! …

65, 12 37,015 48, 47 500,05

Прямая АВ -общая внешняя касательная двух окружностей с центрами О1 и 02, которые касаются внешним образом (рис. 346), точки касания прямой А и …

Знайти sinB;tgB; ctgB если cosB = 4/5<br />Помогите

Источник