Как найти sint tgt ctgt если cost

Урок математики в 10-м классе по теме «Тригонометрические уравнения вида cost = a sint = a»

Разделы: Математика

Цель урока: обобщение и систематизация знаний по данной теме

Задачи урока:

Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы. Создать условия контроля усвоения знаний и умений,

Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти,

Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Методы обучения:

• частично – поисковый
• проверка уровня знаний,
• работа по обобщающей схеме,
• решение познавательных обобщающих задач,
• системные обобщения,
• самопроверка,
• восприятие нового материала,
• взаимопроверка.

Формы организации урока:

• индивидуальная,
• фронтальная.

Оборудование и источники информации:

• экран;
• мультимедийный проектор;
• компьютер,
• у учащихся на партах карточка с таблицей для заполнения значений обратных тригонометрических функций;
• бланк для записи ответов.

Оформление доски (определение обратных тригонометрических функций, решение тригонометрических уравнений вида cost=а, sint=a)

План урока:

1. Организационный момент.
2. Информационный проект «История развития тригонометрии».
3. Фронтальная работа по содержанию учебного материала.
4. Закрепление и проверка знаний учащихся по предыдущим темам.
5. Итог урока.
6. Домашние задание.

1. Организационный момент.

Французский писатель Анатоль Франс (1844–1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Сегодня у нас обобщающий урок по теме «Тригонометрические уравнения вида cost=а, sin t=a». Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные виды, типы, методы и приемы решений тригонометрических уравнений.

Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению тригонометрических уравнений.

2. Информационный проект «История развития тригонометрии».

Но в начале мы с вами совершим экскурс в прошлое. Узнаем, с чем связано возникновение тригонометрии? Кто впервые ввел понятие тригонометрии и тригонометрических функций?

Алена Зажигина познакомит нас с историей становления тригонометрии. (Презентация. Слайды 3-15)

3.Фронтальная работа по содержанию учебного материала.

1. Дайте определение арккосинуса числа а.

Если |a| ≤ 1, то arccos a = t

2. Дайте определение арксинуса числа а.

Если |a|≤ 1, то arcsin a = t

3. Определите значения обратных тригонометрических функций (устно). (слайд 16)

4.Задание выполняем на листочках. Заполните таблицу (слайд 17)

—

10 кл решение простейших тригонометрических уравнений

10 кл решение простейших тригонометрических уравнений

Просмотр содержимого документа
«10 кл решение простейших тригонометрических уравнений»

Тема. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Систематизировать, обобщить знания учащихся по пройденным темам. Ознакомить учащихся с формулами корней простейших тригонометрических уравнений вида

cost=a, sint=a, tgt=a, ctgt=a

Развивать навыки решения простейших тригонометрических уравнений, умение анализировать, применять полученные знания к решению заданий по теме урока, навыки самостоятельной работы, развивать логическое мышление.

Воспитывать мотивацию к учению, развивать познавательный интерес к предмету.

Оборудование: интерактивная доска, мел, кроссворд, плакат

Учебник : алгебра и начала анализа 10 класс, автор Колмогоров А.Н.

Сообщение темы урока;

Постановка цели урока;

Сообщение этапов урока

— Здравствуйте ребята! Я рад видеть вас, давайте поприветствуем наших гостей. Сегодня у нас интересный урок, урок познания нового материала, Давайте поделимся хорошим настроением и попробуем сохранить его до конца урока.

Сегодня наш урок состоит из следующих этапов:

1. Организационный момент (2 мин)

2. Проверка домашнего задания (3 мин)

3. Повторение пройденного материала (7 мин)

4. Изучение нового материала (15 мин)

5. Первичное закрепление нового материала (5 мин)

6. Закрепление (9 мин)

а) Работа в группах

в) Самостоятельная работа

7. Рефлексия (2мин)

8. Домашнее задание (1 мин)

9. Итог урока (1 мин)

Проверка домашнего задания

а) ответы на вопросы учащихся по дз

б) разбор нерешенных заданий.

3. Повторение пройденного материала

Хочется вспомнить слова английского философа, Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, а те, которые превращаются в умственные мышцы». Давайте накачивать «умственные мышцы», начнём урок с фронтального опроса

( разминка для ума).

1.Сформулируйте теорему о корне. (Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке , число а- любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в данном промежутке.

2. Дайте определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Арксинусом числа a называется такое число

из отрезка [-π/2 ; π/2], синус которого равен a.

Арккосинусом числа a называется такое число

из отрезка [0; π], косинус которого равен a.

Арктангенсом числа a называется такое число

из интервала (-π/2 ; π/2), тангенс которого равен a.

Арккотангенсом числа a называется такое число

из интервала (0; π), котангенс которого равен a.

Как находят арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы отрицательных чисел?

arcsin (-a) = — arcsin a

arccos (-a) = π — arccos a

arctg (-a) = — arctg a

arcctg (-a) = π — arcctg a

У стно:

1 ) Имеет ли смысл выражение:

1.Ордината точки на единичной окружности? (синус).

2. 2пn для функций у= sinx и y=cosx? (период).

3. Угловая величина дуги, длина которой равна её радиусу (радиан).

4.Формулы вида …. называются? (приведения).

5.Абсцисса точки на единичной окружности? (косинус).

6.Сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента равна…?(единица).

7. Число из отрезка…,синус которого равен а? (арксинус).

8.Математическая постоянная = 3,14? (пи).

9. Отношение синуса числа к косинусу того же числа (тангенс).

— Как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься?

— Что необходимо знать, чтобы решить любое тригонометрическое уравнение?

4. Изучение нового материала (Объясняю материал)

Альберт Эйнштейн говорил:

«Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

5. Первичное закрепление нового материала

Проверка теста делается в форме физминутки, т.е. я называю вариант, если этот вариант правильный, то ребята руки поднимают вверх, если этот вариант неправильный, то руки вперед перед собой.

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)