Найдем синус 120 градусов, пользуясь формулой приведения для синуса тупого угла от 90º до 180º.
Утверждение:
Доказательство:
Синус угла альфа на единичной окружности — это ордината точки, полученной из точки (1;0) поворотом на угол альфа вокруг точки O.
Для синуса тупого угла (от 90 до 180 градусов) имеет место следующая формула приведения:
Представим
Воспользуемся данной формулой приведения и значением синуса 60º:
Что и требовалось доказать.
Если перевести 120 градусов в радианы, получим:
Отсюда, синус 2П/3 равен
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Значение синуса 120 градусов
Действительно 120 градусов можно представить как применяя формулы приведения, имеем
Переведем в радианы, составим соответствие
По пропорции:
Тогда
На единичной окружности синус 120 градусов находится следующим образом (рис. 1).
Рис. 1
Примеры решения задач
Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |
В статье мы рассмотрим, как найти значения:
(cosfrac{π}{6}), (sin(-frac{7π}{3})), (cosfrac{3π}{4}), (sin(-frac{27π}{2}))
и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.
Для начала внимательно прочтите статью о числовой окружности. Вы должны научиться находить точки на окружности в числах с Пи.
Уже умеете? Тогда два ключевых утверждения:
Например, пусть нам нужно найти синус и косинус числа (frac{π}{6}). Обозначим на числовой окружности точку со значением (frac{π}{6}).
Если построить все точно и крупно, то можно убедиться, что абсцисса этой точки будет равна (0,866…) , что соответствует числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).
Значит, что (cos(frac{π}{6}) = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin(frac{π}{6}) =frac{1}{2}).
Аналогично и для любой другой точки: значение абсциссы совпадает со значением косинуса, а ординаты – синуса. Поэтому:
В тригонометрии ось абсцисс часто называют «ось косинусов», а ординат – «ось синусов».
И обычно на них не наносят значения в десятичных ((0,1); (0,2); (0,3) и т.д.), а сразу отмечают стандартные значения для синуса и косинуса: (frac{1}{2} =0,5); (frac{sqrt{2}}{2} ≈0,707); (frac{sqrt{3}}{2}≈0,866), причем, как со знаком плюс, так и минус. Почему стандартные значения синуса и косинуса именно (frac{1}{2}),(frac{sqrt{2}}{2}) и (frac{sqrt{3}}{2}) вы можете узнать из этого видео.
Как находить значения синуса и косинуса без таблицы, а только с помощью круга?
Алгоритм прост:
- Начертите круг и оси косинусов и синусов.
- Отметьте на круге число, синус и косинус которого надо найти. Если с этим возникают проблемы, прочитайте здесь о том, как расставлять числа на числовой окружности.
- Найдите координаты точки, используя картинку ниже.
Пример. Найдите синус и косинус для числа (-frac{7π}{6}).
Решение:(-frac{7π}{6}=-frac{6π}{6}-frac{π}{6}=-π-frac{π}{6}) , то есть, чтобы отметить на окружности точку (-frac{7π}{6}) сначала находим число (-π) и от него в отрицательную сторону откладываем дугу длиной (frac{π}{6}).
Отмечаем число, синус и косинус которого надо найти:
Получается, что (sin(-frac{7π}{6})=frac{1}{2}), (cos(-frac{7π}{6})=-frac{sqrt{3}}{2}).
Пример. Вычислите (sinfrac{5π}{2}) и (cosfrac{5π}{2}).
Решение: (frac{5π}{2}=frac{4π+π}{2}=frac{4π}{2}+frac{π}{2}=2π+frac{π}{2}).
Точка (frac{5π}{2}) совпадает с (1) на оси синусов, значит (sinfrac{5π}{2}=1). А если провести перпендикуляр из точки (frac{5π}{2}) до оси косинусов, то можно убедиться, что он попадет в (0). Поэтому (cosfrac{5π}{2}=0).
И тут некоторые из вас подумали: «с кругом, на котором подписаны числа, каждый дурак сможет посчитать, а что делать, когда его под рукой нет? Что делать на ЕГЭ?» Ответ прост – нарисуйте круг сами! Для этого вам будет нужно понять логику расположения чисел на осях (подробнее об этом читайте в статье «Как запомнить тригонометрический круг»).
Пример. Найдите а) (sinfrac{3π}{2}), б) (cosfrac{3π}{4}), в) (sin(-frac{π}{3})) .
Решение: а) Чертим круг, оси и отмечаем число (frac{3π}{2}). Обращаем внимание на ось синусов и понимаем, что точка совпала с (-1), получается (sinfrac{3π}{2}=-1).
б) (frac{3π}{4}=frac{4π}{4}-frac{π}{4}=π-frac{π}{4}) — отмечаем число на круге. Проводим перпендикуляр до оси косинусов и вспоминаем, что точки со знаменателем (4) находятся посередине. Мы еще попали и в отрицательную часть оси косинусов, получается (cosfrac{3π}{4}=-frac{sqrt{2}}{2}).
в) (-frac{π}{3}) – отмечаем число на круге. Видим, что перпендикуляр к оси синусов попал в точку близкую к (-1), значит (sin(-frac{π}{3})=-frac{sqrt{3}}{2}).
Как видите не обязательно рисовать, очень красивую или очень большую окружность — вы можете определить нужное вам значение, быстро набросав круг. И ничего не надо учить!
Если вы хотите еще примеров с вычислением синусов и косинусов без тригонометрической таблицы, то прочтите эту статью.
Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения (frac{8}{sin(-frac{27π}{4}) cos(frac{31π}{4})}) .
Решение. (-frac{27π}{4}=-frac{28π}{4}+frac{π}{4}=-7π+frac{π}{4}).
(frac{31π}{4}=frac{32π}{4}-frac{π}{4}=8π-frac{π}{4}).
(sin(-frac{27π}{4})=-frac{sqrt{2}}{2}), (cos(frac{31π}{4})=frac{sqrt{2}}{2}).
(frac{8}{sin(-frac{27π}{4}) cos(frac{31π}{4})})(=) (frac{ 8}{-frac{sqrt{2}}{2}cdotfrac{sqrt{2}}{2}})(=-8:frac{2}{4}=-8cdotfrac{2}{1}=-16).
Ответ: (-16).
Смотрите также:
Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?
Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?
Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
Как найти синус 120 градусов Если ответить совсем кратко: то синус ста двадцати градусов равен корню из трех, разделить пополам. А записать выражение можно так: А можно записать в числовом значении, тогда синус 120 равен 0, 8660. Ниже пояснительный наглядный рисунок, почему все именно так: автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Rafail 4 года назад Если уж Вам знакомо слово синус, то наверное знакомы и формулы приведения. Нужная Вам формула sin(a)= sin(180°-a). Таким образом sin(120)= sin(180°-120°)=sin(60°)= (√3)/2. Ещё одна «очень полезная» формула приведения sin(a)= cos(90°-a). zanoza-1952 3 года назад Вопрос некорректен, так как тригонометрические функции, к которым относятся синус, косинус, тангенс, котангенс, имеют место в прямоугольном треугольнике. Синус угла, это отношение противополжного катета прямоугольного треугольника к гипотенузе. Степан БВ 3 месяца назад Синус 120 градусов равен -0,5. Это можно проверить, используя тригонометрическую таблицу или настроив калькулятор. Для решения задачи можно использовать также тригонометрические формулы и рассчитать синус угла самостоятельно. Знаете ответ? |
In Mathematics, trigonometry is a branch that deals with the study of measures of right-angle triangles such as length, height and angles. Trigonometry has enormous applications in various fields, such as Architecture, Navigation systems, sound waves detections, and so on. In this article, let us discuss the value of sin 120, and the various methods which are used to find the sin 120 values using other trigonometric angles and identities are explained in detail. Also, go through the below-provided article to learn all the sine values.
- Sin 0
- Sin 30 degrees
- Sin 45 Degrees
- Sin 60 Degrees
- Sin 90 Degrees
The sin 120-degrees value can be identified using either unit circle or with the help of other trigonometric angles such as 60, 180 degrees and so on. Let us consider the value 120 degrees in the cartesian plane. We know that the cartesian plane is divided into four quadrants. The value 120 degrees falls on the second quadrant. As the value of sine function in the second quadrant takes the positive value, the value of sin 120 degrees should be a positive value.
By using the unit circle, the value of sin 120 can be calculated. We know the radius of the circle is the hypotenuse of the right triangle which is equal to the value 1. From the cartesian plane, we take, x= cos and y = sin
By looking at the diagram given above, the value of sin 60 is equal to the value of sin 120.
It means that, sin 60 = sin 120 = √3/2.
Method 1
Another method to find the value of sin 120 degrees is by using the other angles of the sine functions such as 60 degrees and 180 degrees which are taken from the trigonometry table.
We know that
180° – 60° = 120°
Also, we know that the trigonometric identity sin (180°- a ) = sin a
Now,
Sin ( 180°- 120°) = sin 120°
Therefore, sin 120°= sin 60°
From the trigonometry table, use the value of sin 60° which is equal to √3/2.
Hence, the value of sin 120 degrees is √3/2
Method 2
By using the value of cosine function relations, we can easily find the value of sin 120 degrees.
Using the trigonometry formula, sin (90 + a) = cos a, we can find the sin 120 value.
As given, sin (90° +30°) = cos 30°
It means that sin 120° = cos 30°
We know that the value of cos 30 degrees is √3/2.
Therefore, sin 120° = √3/2.
Here, the values of other important trigonometric angles for different ratios are provided here for the reference.
Trigonometry Ratio Table |
||||||||
Angles (In Degrees) |
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
180 |
270 |
360 |
Angles (In Radians) |
0 |
π/6 |
π/4 |
π/3 |
π/2 |
π |
3π/2 |
2π |
sin |
0 |
1/2 |
1/√2 |
√3/2 |
1 |
0 |
−1 |
0 |
cos |
1 |
√3/2 |
1/√2 |
1/2 |
0 |
−1 |
0 |
1 |
tan |
0 |
1/√3 |
1 |
√3 |
Not Defined |
0 |
Not Defined |
1 |
cot |
Not Defined |
√3 |
1 |
1/√3 |
0 |
Not Defined |
0 |
Not Defined |
cosec/csc |
Not Defined |
2 |
√2 |
2/√3 |
1 |
Not Defined |
−1 |
Not Defined |
sec |
1 |
2/√3 |
√2 |
2/√3 |
Not Defined |
−1 |
Not Defined |
1 |
Register with BYJU’S – The Learning App and download the app to get all the Maths-related articles and learn in an easy way.