Синус 135 градусов найдем по формуле приведения для синуса тупого угла от 90 до 180 градусов.
Утверждение:
Доказательство:
Синус угла альфа на единичной окружности — это ордината точки, полученной из точки (1;0) при повороте на угол альфа вокруг точки O.
Для синуса тупого угла (от 90º до 180º) имеет место следующая формула приведения:
Так как
то воспользовавшись этой формулой приведения и значением синуса 45º, получаем:
Что и требовалось доказать.
Если перевести 135 градусов в радианы:
то получим значение синуса 3П/4:
Синус 135 градусов
Синус 135 градусов найдем по формуле приведения для синуса тупого угла от 90 до 180 градусов.
Синус угла альфа на единичной окружности — это ордината точки, полученной из точки (1;0) при повороте на угол альфа вокруг точки O.
Для синуса тупого угла (от 90º до 180º) имеет место следующая формула приведения:
то воспользовавшись этой формулой приведения и значением синуса 45º, получаем:
Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?
В статье мы расскажем, как находить значения:
и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы .
Как вычисляются синусы и косинусы углов?
Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен — абсциссе, а синус угла — ординате.
Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.
Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac<sqrt<3>><2>) , а ордината равна (0,5), то есть (frac<1><2>).
Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:
В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».
Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac<1><2>=±0,5); (±frac<sqrt<2>> <2>≈±0,707); (±frac<sqrt<3>> <2>≈±0,866).
Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.
Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?
Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°), а четверти (90^°);
Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:
- Одна точка может соответствовать разным углам;
- Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.
Задание 1 . Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).
Как находить синус и косинус любого угла?
- Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
- Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
- Найдите координаты точки, используя картинку ниже.
(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos(-540^°)=-1), а (sin(-540^° )=0).
Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье .
Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).
Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ
В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.
Пример . Найдите значение выражения (54sqrt<3>cos(510^°)).
Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)
Тригонометрические функции на единичной окружности. Тангенс и котангенс
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан.
Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π .
Например, для угла 90° будет 90°180°· π = 12π
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
Видео
Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике
Прямоугольный вид треугольника — это тот, у которого один из углов равен 90°. Он образован катетами и гипотенузой со всеми значениями тригонометрии. Катеты две стороны треугольника, которые прилегают к углу 90°, а третья гипотенуза, она всегда длиннее катетов.
Синусом называется отношение одного из катетов к гипотенузе, косинусом отношение другого катета к ней, а тангенсом отношение двух катетов. Отношение символизирует деление. Также тангенсом является деление острого угла на синус с косинусом. Котангенсом является противоположное тангенсу отношение.
Формулы последних двух отношений выглядят следующим образом: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).
Тангенс угла
Синус и косинус являются основными, или, как говорят математики, прямыми тригонометрическими ф-циями. Однако есть ещё две производных тригонометрических ф-ций – тангенс и котангенс. Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугол-ке – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Однако в тригонометрии куда удобнее пользоваться другим его определением. Тангенс – это отношение синуса угла к его косинусу:
Для получения тангенса на единичной окружности необходимо продолжить прямую, образующую угол α, до её пересечения с прямой х = 1. Точка их пересечения будет иметь координаты (1; tgα):
Заметим, что если α относится ко второй четверти, то тангенс получится отрицательным. Действительно, с одной стороны, соответствующая прямая пересечет линию х = 1 в точке, лежащей ниже оси Ох:
С другой стороны, мы знаем, что во второй четверти синус положителен, а косинус – отрицателен. Тогда их отношение, то есть тангенс, должно быть отрицательным:
Очевидно, что тангенс должен быть периодической ф-цией. Однако его период вдвое меньше 2π и составляет π. Действительно, углы, отличающиеся на π, будут иметь одинаковое значение тангенса, что видно из построения:
Это значит, что справедлива формула:
С другой стороны, это означает, что тангенсы углов из III четверти положительны, ведь они равны тангенсам углов из I четверти. Аналогично можно утверждать, что тангенсы углов из IV четверти отрицательны:
Также тангенс является нечетной ф-цией. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью единичной окружности tgα и tg (– α):
Из построения видно, что tg (– α) = tgα, поэтому тангенс попадает под определение нечетной ф-ции.
Доказать этот факт можно и иначе. Вспомним, что синус – это нечетная ф-ция, а косинус – четная. Тогда, используя определение тангенса, можно записать:
Для вычисления тангенса проще всего использовать его определение. Мы знаем синусы и косинусы стандартных углов, а потому, деля их друг на друга, сможем найти и тангенсы стандартных углов:
Ещё раз отметим, что важнее всего запомнить значения синусов и косинусов стандартных углов. Зная их, школьник всегда сможет самостоятельно вычислить тангенс.
Можно ли вычислить тангенс для угла π/2, то есть для 90°? Сделать это не получится, ведь cosπ/2 равен нулю. Если подставить cosπ/2 в формулу для вычисления тангенса, то получится деление на ноль! Так как тангенс – периодическая ф-ция, то его нельзя вычислить и в тех точках, которые отличаются от π/2 на целое число π.
В частности, тангенс не определен при х = – π/2.
Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».
( displaystyle cos 30<>^circ =frac<sqrt<3>><2>)Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: ( displaystyle 60<>^circ ) и ( displaystyle 45<>^circ )
Можно схитрить: в частности для угла в ( displaystyle 60<>^circ ) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 60<>^circ ) градусам, то второй – ( displaystyle 30<>^circ ) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:( displaystyle sin 30<>^circ =cos 60<>^circ )( displaystyle sin 60<>^circ =cos 30<>^circ )Тогда так как ( displaystyle sin 30<>^circ =0,5), то и ( displaystyle cos 60<>^circ =0,5). Так как ( displaystyle cos 30<>^circ =frac<sqrt<3>><2>), то и ( displaystyle sin 60<>^circ =frac<sqrt<3>><2>).
C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.
Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.
Тогда:( displaystyle si<^<2>>45<>^circ +co<^<2>>45<>^circ =2si<^<2>>45<>^circ =1)( displaystyle si<^<2>>45<>^circ =co<^<2>>45<>^circ =1/2)Откуда: ( displaystyle sin 45<>^circ =cos 45<>^circ =sqrt<1/2>=frac<sqrt<2>><2>)
Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!
У тебя должно было получиться:
( displaystyle sin 0<>^circ =0), ( displaystyle cos 0<>^circ =1), ( displaystyle sin 90<>^circ =1), ( displaystyle cos 90<>^circ =0).Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:
( displaystyle textg alpha =frac<sin alpha ><cos alpha >), ( displaystyle ctg alpha =frac)Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!
Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:
Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.
Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!
( displaystyle ctg 0=frac<cos 0><sin 0>=frac<1><0>=. )Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс ( displaystyle 90) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!
Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:
- Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
- Угол больше ( displaystyle 360) градусов.
Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.
Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.
Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).
Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.
Как мы поступаем? Да точно так же!
Давай рассмотрим вместо вот такого случая…
…вот такой:
То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?
У точки ( displaystyle <_<1>>), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle <_<1>>) и ( displaystyle <_<1>>).
Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!
Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.
Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.
Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?
Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).
Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.
Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.
Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:
Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Два случая, когда тригонометрическая окружность может пригодиться для решения уравнений
- В ответе у нас не получается «красивый» угол, но тем не менее надо производить отбор корней
- В ответе получается уж слишком много серий корней
Никаких специфических знаний тебе не требуется, кроме знания темы: «Тригонометрические уравнения»
Тему «тригонометрические уравнения» я старался писать, не прибегая к окружности. Многие бы меня за такой подход не похвалили.
Но мне милее формулы, уж что тут поделать. Однако в некоторых случаях формул оказывается мало. Например здесь:
Решите уравнение: ( displaystyle 8co<^<4>>x-10co<^<2>>x+3=0)
Решение:
Ну что же. Решить само уравнение несложно.
Замена ( displaystyle t=co<^<2>>x).
( displaystyle cosx=frac<sqrt<3>><2>) или ( displaystyle cosx=-frac<sqrt<3>><2>)
Отсюда наше исходное уравнение равносильно аж четырем простейшим уравнениям!
Неужели нам нужно будет записывать 4 серии корней?!
http://cos-cos.ru/ege/zadacha209/357/
http://naiti-ludei.ru/posts/trigonometricheskie-funkcii-na-edinichnoy-okruzhnosti-tangens-i-kotangens/
Один из способов вычисления синуса 135 градусов без технических средств на подобие калькулятора — это использование тригонометрических формул.
К примеру, аргумент 135 градусов можно разложить как сумму 90 и 45 градусов или разность 180 и 45 градусов. Эти значения являются табличными, поэтому можно использовать формулу синуса суммы или разности, а затем вычислить синус 135 градусов при помощи таблицы значений тригонометрических функций, применяя простые арифметические действия.
Начнем с разложения синуса 135 градусов на разность двух аргументов:
Используем формулу синуса от разности двух аргументов:
Полученные тригонометрические функции можно узнать из таблицы значений синусов и косинусов от 180 и 45 градусов. Подставив эти значения, получим:
Можно вычислить приближенное значение получившейся дроби:
Также некоторые таблицы значений тригонометрических функций содержат и значения от таких углов, как 135, 225, 315 и т.д. градусов. Поэтому можно использовать сразу их.
Есть еще один способ, который не требует применения формул. Заключается он в использовании таблиц Брадиса.
По таблицам Брадиса для синуса значение синуса 135 градусов равно 0,7071, что соответствует полученному приближенному значению, которое вычислили аналитическим путем.
Синус онлайн калькулятор
Введите число от 0 до 360.
(обязательное поле)
Введите число от 0 до 59.
(не обязательное поле, по умолчанию — 0)
Введите число от 0 до 59.
(не обязательное поле, по умолчанию — 0)
Математика, Геометрия 9 класс.
Cинус 135 градусов таблица.
Синус 135 градусов 0 минут равен = 0.7071
Синус 135 градусов 1 минут равен = 0.7069
Синус 135 градусов 2 минут равен = 0.7067
Синус 135 градусов 3 минут равен = 0.7065
Синус 135 градусов 4 минут равен = 0.7063
Синус 135 градусов 5 минут равен = 0.7061
Синус 135 градусов 6 минут равен = 0.7059
Синус 135 градусов 7 минут равен = 0.7057
Синус 135 градусов 8 минут равен = 0.7055
Синус 135 градусов 9 минут равен = 0.7053
Синус 135 градусов 10 минут равен = 0.705
Синус 135 градусов 11 минут равен = 0.7048
Синус 135 градусов 12 минут равен = 0.7046
Синус 135 градусов 13 минут равен = 0.7044
Синус 135 градусов 14 минут равен = 0.7042
Синус 135 градусов 15 минут равен = 0.704
Математика, Геометрия 9 класс.
Синус(sin) равен = Косинусу(cos).
Синус(sin) 135° градусов равен = Косинусу(cos) 45° градусов = 0.70710678118655
Косинус 45° градусов
Математика, Геометрия 9 класс.
Синус угла 135 градусов
Синус 135 таблица.
Синус 135 градусов 16 минут равен = 0.7038
Синус 135 градусов 17 минут равен = 0.7036
Синус 135 градусов 18 минут равен = 0.7034
Синус 135 градусов 19 минут равен = 0.7032
Синус 135 градусов 20 минут равен = 0.703
Синус 135 градусов 21 минут равен = 0.7028
Синус 135 градусов 22 минут равен = 0.7026
Синус 135 градусов 23 минут равен = 0.7024
Синус 135 градусов 24 минут равен = 0.7022
Синус 135 градусов 25 минут равен = 0.7019
Синус 135 градусов 26 минут равен = 0.7017
Синус 135 градусов 27 минут равен = 0.7015
Синус 135 градусов 28 минут равен = 0.7013
Синус 135 градусов 29 минут равен = 0.7011
Синус 135 градусов 30 минут равен = 0.7009
Математика, Геометрия 9 класс.
Синус 135 равен:
Таблица значений синусов 135 градусов.
Синус 135 градусов 31 минут равен = 0.7007
Синус 135 градусов 32 минут равен = 0.7005
Синус 135 градусов 33 минут равен = 0.7003
Синус 135 градусов 34 минут равен = 0.7001
Синус 135 градусов 35 минут равен = 0.6999
Синус 135 градусов 36 минут равен = 0.6997
Синус 135 градусов 37 минут равен = 0.6995
Синус 135 градусов 38 минут равен = 0.6992
Синус 135 градусов 39 минут равен = 0.699
Синус 135 градусов 40 минут равен = 0.6988
Синус 135 градусов 41 минут равен = 0.6986
Синус 135 градусов 42 минут равен = 0.6984
Синус 135 градусов 43 минут равен = 0.6982
Синус 135 градусов 44 минут равен = 0.698
Синус 135 градусов 45 минут равен = 0.6978
Математика, Геометрия 9 класс.
Найти синус 135 градусов:
SIN 135 градусов равен:
Синус 135 градусов 46 минут равен = 0.6976
Синус 135 градусов 47 минут равен = 0.6974
Синус 135 градусов 48 минут равен = 0.6972
Синус 135 градусов 49 минут равен = 0.697
Синус 135 градусов 50 минут равен = 0.6967
Синус 135 градусов 51 минут равен = 0.6965
Синус 135 градусов 52 минут равен = 0.6963
Синус 135 градусов 53 минут равен = 0.6961
Синус 135 градусов 54 минут равен = 0.6959
Синус 135 градусов 55 минут равен = 0.6957
Синус 135 градусов 56 минут равен = 0.6955
Синус 135 градусов 57 минут равен = 0.6953
Синус 135 градусов 58 минут равен = 0.6951
Синус 135 градусов 59 минут равен = 0.6949
Синус 135 градусов 60 минут равен = 0.6947
Недавние расчеты
Синус 135 градусов 32 минут и 13 секунд равен = 0.70044921316742
(2.3655659386482 радиан)
Синус 135 градусов 25 минут и 41 секунд равен = 0.70180431686385
(2.3636654690182 радиан)
Синус 135 градусов 12 минут и 32 секунд равен = 0.70452411841203
(2.3598402890743 радиан)
Синус 135 градусов 19 минут и 9 секунд равен = 0.70315688579486
(2.3617649993883 радиан)
Синус 135 градусов 27 минут и 55 секунд равен = 0.70134137753634
(2.3643151193509 радиан)
Синус 135 градусов 5 минут и 47 секунд равен = 0.70591621294645
(2.3578767936658 радиан)
Синус 135 градусов 34 минут и 34 секунд равен = 0.69996117176211
(2.3662495259386 радиан)
Синус 135 градусов 5 минут и 49 секунд равен = 0.70590934508776
(2.3578864899394 радиан)
Синус 135 градусов 24 минут и 25 секунд равен = 0.70206674784586
(2.3632970106206 радиан)
Синус 135 градусов 33 минут и 20 секунд равен = 0.70021734776717
(2.3658907638145 радиан)
Вася Иванов
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.