Как найти синус 15 градусов геометрически

Как найти значения тригонометрических функций для угла 15 градусов

Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для угла 15 градусов аналитическим способом.
На первый взгляд, нахождение значений синуса, косинуса и тангенса для угла 15 градусов — задача сложная. Однако, это не совсем так.
Нам на помощь придут формулы преобразования двойного угла тригонометрических функций.

Дело в том, что мы можем представить угол в 30 градусов, как двойной угол 15 градусов ( 2 * 15 ).

Тогда, отталкиваясь от тождества:
cos 2α = 1 — 2sin²α

Принимаем двойной угол как 2 * 15 градусов, тогда
cos 30 = 1 — 2sin²15
sin²15 = ( 1 — cos 30 ) / 2

Значение косинуса для угла 30 градусов легко вычислить. Оно равно √3/2
sin²15 = ( 1 — √3/2 ) / 2
sin 15 = √ (( 1 — √3/2 ) / 2 )
верхнюю часть дроби под корнем приведем к общему знаменателю (2)
sin 15 = √ ((  (2 — √3) /2 ) / 2 ) = √(  (2 — √3) / 4 )
теперь у нас одна дробь под знаком корня. Умножим числитель и знаменатель на два
sin 15 = √(  (2 — √3) / 4 ) = √( (4 — 2√3) / 8 )
самый интересный момент, мы можем представить 4 — 2√3 как (√3-1)²
тогда
sin 15 = √( (√3-1)² / 8 ) = (√3-1)/ √8 = (√3-1)/ (2√2)

путем несложных агебраических преобразований получаем:

Как видно из примера, значения тригонометрических функций углов синуса, косинуса и тангенса 15 градусов могут быть получены путем несложных тригонометрических преобразований с использованием тригонометрических тождеств преобразований двойных углов и половин заданных углов.

См. также полную таблицу значений тригонометрических функций (таблицу синусов, косинусов и тангенсов).

Ниже приведены также значения тригонометрических функций для угла 15 градусов в виде десятичной дроби с четырьмя знаками после запятой.

0
 

 Таблица значений тригонометрических функций |

Описание курса

| Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) — таблица значений 

Один из способов как найти синус 15 градусов, не применяя технические средства — это использование тригонометрических формул.
Например, аргумент 15 градусов можно разложить как разность 60 и 45 градусов, а эти величины являются табличными. Таким образом, можно воспользоваться формулой синуса разности и вычислить синус 15 градусов с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций и простых арифметических действий.
Итак, разложим синус 15 градусов на разность двух аргументов:

Применим формулу синуса разности двух аргументов:

Поскольку получившиеся тригонометрические функции можно вычислить с помощью таблицы значений синуса и косинуса от 60 и 45 градусов, получим:

Можно вычислить приближенное значение получившейся дроби:

Еще одним способом, без применения формул, является использование для вычисления значений тригонометрических функций от любых углов таблиц Брадиса.
Согласно этим таблицам значение синуса 15 градусов равно 0,258819, что не на много отличается от полученного приближенного значения, которое было вычислено аналитическим путем.

There’s a nice way to derive this one geometrically, as with many trig expressions. And the answer is certainly on the internet if you give it a quick google. but rather than link you, i’ll give you a hint at what image to consider.
The idea in these derivations is often similar:
Try to construct an image out of triangles which you know about, (45-45-90) or (30-60-90) triangles, such that in some way (sometimes requiring some cleverness) a new triangle is formed whose interior angles satisfy your needs. in this case we want to get a (15-75-90) triangle.

As a start, try drawing a triangle with angles 30-45-105. You can split this into two special triangles, a 30-60-90 triangle and a 45-45-90 triangle. Now look for a way that you can add a 15-75-90 triangle to make your 30-45-105 triangle into a nice special right triangle. there are a few ways to do this.

once you have this diagram, you can express the lengths of the hypotenuse and leg opposite to the 15 degree angle in terms of some unit length side.