Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается 
.
Угол A обозначается соответствующей греческой буквой 
.
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет 
, который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin A
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
cos A
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg A 
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
tg A
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
ctg A 
Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
sin  |
sin cos |
 |
cos  |
1+tg  |
cos = sin  |
tg  |
1+ctg  |
sin = cos |
ctg  |
tg = ctg |
Давайте докажем некоторые из них.
- Сумма углов любого треугольника равна
. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa . - С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
- Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем то есть
Мы получили основное тригонометрическое тождество. - Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
получаем 
то есть 
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 
.
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: 
.
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 
до 
.
 |
0 |  |
 |
 |
 |
| sin |
0 |  |
 |
 |
 |
| cos |
|
|
|
|
0 |
| tg |
0 |  |
|
 |
− |
| ctg |
− | |
|
|
0 |
Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Докажем теорему:
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
В самом деле, пусть АВС и 
— два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и 
и равными острыми углами А и 
Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому 
Из этих равенств следует, что 
т. е. sin А = sin
Аналогично, 
т. е. cos А = cos
и 
т. е. tg A = tg
Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку 
, sin A = cos B = 0,1.
Задача 2. В треугольнике 
угол 
равен , 
, 
.
Найдите 
.
Решение:
Отсюда
Найдем AC по теореме Пифагора.
Ответ: 4,8.
Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен 
AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.
Решение:
Для угла А противолежащий катет – это ВС,
АВ является гипотенузой треугольника, лежит против 
Значит, sin A 
Катет, прилежащий к 
– это катет АС, следовательно, cos А 
Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: 
Тогда 
cos А 
tg A 
Ответ: 0,92; 0,42.
Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.
Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A= 
Найдите BC.
Решение:
AC = b = 2, BC = a, AB = c.
Так как sin A 
По теореме Пифагора 
получим
Ответ: 0,5.
Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен 
tg A = 
Найдите AB.
Решение:
AC = b = 4, tg A 
Ответ: 7.
Задача 6.
В треугольнике АВС угол С равен 
CH – высота, AB = 13, tg A = 
Найдите AH.
Решение:
AВ = с = 13, tg A = 
тогда b = 5a.
По теореме Пифагора 
ABC:
тогда 
(по двум углам), следовательно 
откуда
Ответ: 12,5.
Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен 
CH – высота, BC = 3, sin A = 
Найдите AH.
Решение:
Так как sin A = 
тогда 
c = АВ = 18.
sin A = 
= cos B =
Рассмотрим 
BHC:
= 
получим 
тогда BH = 
= 0,5,
AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.
Ответ: 17,5.
Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90
CH — высота, BC = 3, cos A = 
Найдите АH.
Решение:
Так как для АВС: 
A = 
sin В = 
а для ВНС: sin В = 
= 
, откуда СН = 
По теореме Пифагора найдем ВН:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:
тогда 
Ответ: 17,5.
Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.
Решение:
По определению sin A= 
= 
= 
Рассмотрим BHC : 
ВС найдем по теореме Пифагора:
ВС= 
тогда 
а значит и sin A = 
= 0,28.
Ответ: 0,28.
Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.
Решение:
По определению sin A = = = 
cos A = 
= 
= 
тогда tg A = 
который найдем из BHC:
Ответ: 0,5.
Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, tg A = 
Найдите АН.
Решение:
По определению tg A= 
Для BHC: 
, значит 
СН = 
Для АHC: tg A= 
то 
AH = 
Ответ: 27.
Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, sin A = Найдите АВ.
Решение:
Так как cos В = = sin A =
Из СВН имеем cos В = 
= 
тогда ВС = 
В АВС имеем sinA = = тогда AВ = 
Ответ: 27.
Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.
Решение:
Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:
sin В = 
= 
Для АВС: cos A = 
получили cos A = 0,6.
Найдем АС и АВ несколькими способами.
1-й способ.
Так как cos A = 
то пусть АС = 3х, АВ = 5х,
тогда по теореме Пифагора 
получим 
х = 5 ( так как х
0). Значит, 
2-й способ.
(по двум углам), значит 
или 
k = 
тогда 
АС = 
; 
АВ = 
3-й способ.
(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда 
АН = 144:16 = 9.
АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.
По теореме Пифагора найдем АС:
= 
Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.
Задача 14.
Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.
Найдите АВ и cos А.
Решение:
Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:
ВС = 
= 
cos C = 
Для АВС: sin А = 
= cos C = 
Для АНВ: sin А = 
= 
то 
= АВ = 
Из основного тригонометрического тождества найдем
cos A = 
Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.
Задача 15.
Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = 
Найдите площадь треугольника.
Решение:
В прямоугольном АСЕ sin А = 
значит 
= 14.
Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: 
Площадь прямоугольного треугольника равна S = 
поэтому 
Ответ: 336.
Задача 16.
В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.
Найдите sin 
Результат округлите до сотых.
Решение:
A-общий, 
),
значит 
sin 
Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:
Тогда sin 
Ответ: 0,38.
Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = 
Найдите высоту СН.
Решение:
Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда
высота СН является медианой, то есть АН = НВ = 
Поскольку АСН — прямоугольный,
cos A = 
то есть 
АС = 
По теореме Пифагора 
тогда
Ответ: 15.
Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 sin A = 
AC = 10
Найдите АВ.
Решение:
1-й способ.
Поскольку sin A = 
то можно обозначить
ВС = 11х, АВ = 14х.
По теореме Пифагора 
(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 
100;
учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,
следовательно, АВ = 14 2 = 28.
2-й способ.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством 
cos A = 
По определению cos A =
значит 
Так как АС=10
то 
откуда АВ = 
= 28.
Ответ: 28.
Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 и 4.
Решение:
Пусть 
ВАО = 
Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, 
=
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = 
а катет ВО = 
Поэтому tg
откуда 
Ответ: 
Часто в задачах встречаются треугольники с углами 
и 
или с углами 
и 
. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в 
, равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в 
раз больше катета.
Задача 20.
В треугольнике АВС угол С равен 90 угол А равен 30 АВ = 2
Найдите высоту CH.
Решение:
Рассмотрим АВС:
По свойству катета, лежащего против угла 
имеем ВС = АВ =
В BHC: 
то 
следовательно, ВН = BC = 
По теореме Пифагора найдем НС:
Ответ: 1,5.
Задача 21.
В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, АВ = 2, 
Найдите АH.
Решение:
Из АВС найдем ВС = АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30
),
то 
Из ВСН: 
то 
следовательно,
ВН = ВС =
АН = АВ — НВ = 2 — 
= 1,5.
Ответ: 1,5.
Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.
Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
|
Как найти синус угла? Чему равен синус?
Хоть угол и не обозначен- их два, между катетами и гипотенузой, но один катет равен трем единицам масштаба рисунка, второй четырем, отсюда- гипотенуза- пяти единицам, синус угла при горизонтальном катете= 4/5, при вертикальном 3/5, можно при этих размерах и по отношению tg/ ctg, если это- школьное задание, то школяров сильно балуют…)
Так, как представленный треугольник является треугольником Пифагора, со сторонами 3,4,5 то синус угла будет 3/5, или 0.6 Знаете ответ? |
Как найти синус?
Решение многих как алгебраических, так и геометрических задач невозможно без использования такой тригонометрической функции как синус. Для нахождения величины синуса можно использовать как собственно определение функции, так и соотношения тождеств тригонометрии, формулы приведения, а также теорему синусов. С каждым из данных способов более подробно и познакомит данная статья.
1
Нахождение величины синуса по определению
Формулировка термина “синус” определяет данную тригонометрическую величину как соотношение определенных сторон прямоугольного треугольника – отношение катета, лежащего против искомого угла, к гипотенузе.
Рассмотрим ΔDFG, ∠DFG = 90°. Тогда:
- sinD = FG / DG,
- FG — противолежащий катет,
- DG — гипотенуза представленного треугольника.
2
Нахождение величины синуса через формулу теоремы синусов
Данная теорема является универсальной, т.к. позволяет установить соотношение между углами и сторонами не только прямоугольного, то и произвольного треугольника.
Рассмотрим ΔLMN,
- MN = l, NL = m, ML = n.
- ∠M = η, ∠N = μ, ∠L = γ.
Для произвольного треугольника ΔLMN верно соотношение l / sinL = m / sinM = n / sinN – каждая сторона треугольника пропорциональна синусу угла, напротив которого она располагается.
Обозначив радиус описанной около треугольника окружности через R, соотношение теоремы синусов справедливо в следующей форме:
l / sinL = m / sinM = n / sinN = 2R.
Из соотношения следует:
sinL = l / 2R,
sinM = m / 2R,
sinN = n / 2R.
3
Нахождение величины синуса через площадь треугольника
Перед вами ΔDBC со сторонами
DB = c,
BC = d,
DC = b.
Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться соотношением S = bc / 2sinD (или S = cd / 2sinB, или S = bd / 2sinC). Из этого следует, что:
- sinD = bc / 2S,
- sinB = cd / 2S,
- sinC = bd / 2S.
4
Нахождение величины синуса через тождества тригонометрии
Тождественные выражения справедливы для угла любой градусной меры.
- cos2φ + sin2φ = 1 ⇒ sin2φ = 1 — cos2φ ⇒ ΙsinφΙ = √ 1 — cos2φ ⇒ sinφ = ±√ 1 — cos2φ.
- tgφ = sinφ / cosφ ⇒ sinφ = cosφ * tgφ.
- ctgφ = cosφ / sinφ ⇒ sinφ = cosφ / ctgφ.
- 1/sin2φ = ctg2φ + 1 ⇒ sin2φ = 1 / (ctg2φ + 1) ⇒ ΙsinφΙ = 1 / √ctg2φ + 1 ⇒ sinφ = ± 1 / √ctg2φ + 1.
5
Нахождение величины синуса через формулы преобразования
- sin(η + μ) = sinη * cosμ + cosη * sinμ,
- sin(η – μ) = sinη * cosμ – cosη * sinμ,
- sinη + sinμ = 2sin((η + μ)/2) * cos((η – μ)/2),
- sinη – sinμ = 2cos((η + μ)/2) * sin((η – μ)/2)
- sinη * sinμ = (cos(η – μ) – cos(η + μ))/2,
- sinη = 2tg(η/2) / (1 + tg2(η/2)).
- sin2η =2sinη * cosη,
- sin3η =3sinη – 4sin3η.
6
Нахождение синуса угла – табличные величины
Воспользовавшись таблицей Брадиса, можно определить значение синуса для каждого угла в промежутке от 0° до 360°. Наиболее часто при решении задач школьного курса геометрии используются следующие табличные величины:
- sin0° = 0, sin90° = 1,
- sin30° = 1/2, sin180° = 0,
- sin60° = √3/2, sin270° = -1,
- sin45° = √2/2, sin360° = 0.
План урока:
Синус и косинус угла на единичной окружности
График синуса и косинуса
Тангенс угла
График тангенса
Котангенс угла
Синус и косинус угла на единичной окружности
Впервые мы познакомились с синусом, косинусом и другими тригонометрическими функциями ещё в 8 класс на уроках геометрии, при изучении прямоугольного треугольника. Пусть есть некоторый треуг-ник АВС, у которого∠ С – прямой, а ∠ВАС принимается за α. Тогда sinα – это отношение ВС к АВ, а cosα– это отношение АС к АВ. В свою очередь tgα– это отношение ВС к АС:
С помощью тригонометрических функций удобно было находить стороны прямоугольного треугол-ка. Например, пусть известно, что гипотенуза АВ равна 5, а sinα = 0,8. Тогда из формулы sinα = ВС/АВ легко получить, что
ВС = АВ•sinα = 5•0,8 = 4
Если известно, что cosα = 0,6, то мы сможем найти и второй катет:
cosα = АС/АВ
АС = АВ•cosα = 5•0,6 = 3
Отдельно заметим, что тангенс угла может быть рассчитан не как отношение двух катетов, а как отношение синуса к косинусу:
tgα = ВС/ АС = (АВ•sinα)/(АВ•cosα) = (sinα)/(cosα)
Отметим на единичной окружности произвольную точку А, которой соответствует некоторый угол α. У этой точки есть свои координаты хА и уА:
Попытаемся определить, чему равны координаты точки А. Для этого обозначим буквой B точку, в которой перпендикуляр, опущенный из А, пересекает горизонтальную ось Ох, и рассмотрим треугольник ОАВ:
Ясно, что ОАВ – это прямоугольный треугольник, ведь∠ АОВ = 90°. Значит, отрезок АВ можно рассчитать по формуле
АВ = sinα•ОА
Но ОА – это радиус единичной окружности. Это значит, что ОА = 1. Тогда
АВ = sinα•ОА = sinα•1 = sinα
С другой стороны, видно, что величина отрезка АВ равна координате уА. Получается, что уА = АВ = sinα, или
уА = sinα
Отрезок ОВ также можно найти из прямоугольного треугольника АОВ, используя косинус:
ОВ = cosα•ОА
Учитывая, что ОА = 1, а длина ОВ равна координате хА, мы получим следующее:
хА = ОВ = cosα•ОА = cosα•1 = cosα
то есть координата хА равна cos α:
хА = cosα
Итак, мы выяснили, что координаты точки, лежащей на единичной окружности, равны синусу и косинусу угла, соответствующего этой точке.
Таким образом, нам удалось дать новое определение синусу и косинусу угла:
Заметим, что в прямоугольном треугольнике углы, помимо самого прямого угла, могут быть только острыми. Поэтому предыдущее определение синуса и косинуса, данное в 8 классе в курсе геометрии, было пригодно лишь для углов из диапазона 0 <α < 90°. На единичной окружности можно отложить любой угол, то есть теперь мы можем вычислять тригонометрические ф-ции для произвольных значений α. При этом синус и косинус могут оказаться отрицательными величинами. Например, для угла α = 2π/3 косинус окажется отрицательным, ведь координата хА соответствующей ему точки окажется левее нуля на горизонтальной оси Ох:
Заметим, что знак синуса и косинуса определяется той четвертью, в которой будет располагаться точка на окружности. Углам в диапазоне 0 <α<π/2 соответствует I четверть, здесь все тригонометрические ф-ции принимают положительные значения. Ко II четверти относятся углы из промежутка π/2 <α<π. Здесь косинус становится меньше нуля, а синус остается положительным. В III четверти будут располагаться точки, соответствующие углам из интервала π <α< 3π/2, у них отрицательны и синус, и косинус. Наконец, к IV четверти относят углы из диапазона 3π/2 <α< 2π. Здесь отрицателен синус, а косинус больше нуля.
Как же определять значение синуса угла и его косинуса? Из геометрии нам уже известны их значения для трех углов: 30°, 45° и 60°:
Далее определим тригонометрические ф-ции угла, равного нулю. Если такой угол отложить на единичной окружности, то ему будет соответствовать точка А с координатами (1; 0). Поэтому
sin 0° = уА = 0
cos 0° = xА = 1
Аналогичным образом можно найти значение этих ф-ций и для угла 90°. Прямому углу на единичной окружности соответствует точка В с координатами (0; 1). Поэтому
sin90° = уВ = 1
cos90° = xВ = 0
Для определения тригонометрических ф-ций у углов, больших 90°, удобно использовать симметрию. Например, пусть необходимо вычислить синус для угла 120°. Отложим на окружности две точки, В и А. Первая будет соответствовать 120°, а вторая 60°:
Видно, что эти точки находятся на одном горизонтальном уровне, то есть их ординаты (координаты у) одинаковы. При этом абсциссы у них противоположны, ведь точки симметричны относительно оси Оу. Отсюда можно сделать вывод, что
уВ = уА
хВ = – хА
Но координаты А – это синус и косинус 60°, а координаты В являются тригонометрическими ф-циями угла 120°. То есть можно записать
sin 120° = sin 60°
cos 120° = – cos 60°
Так как для угла 60° значения синуса и косинуса нам уже известны, то можно записать:
В будущем мы изучим более простые способы вычисления синуса и косинуса углов, больших 90°, когда построения нам уже не потребуются. Однако сразу заметим, что в первую очередь необходимо запомнить значения синуса и косинуса для пяти углов: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Приведем таблицу значений тригонометрических функций:
Некоторые люди испытывают проблемы с запоминанием этой таблицы. Однако ее можно представить в более простом виде. Заменим числа 0, 1 и 1/2 следующими выражениями с корнями:
С учетом этого таблицу тригонометрических функций можно переписать так:
Теперь в каждой ячейке стоит дробь, у которой знаменатель равен двум. В числителе же стоит корень. Обратите внимание, что у синуса под корнем последовательно стоят числа 0, 1, 2, 3, и 4. У косинуса эти же числа идут в обратном порядке – от четверки до нуля. В таком виде таблицу запомнить проще.
Для вычисления тригонометрических ф-ций углов, не попадающих в диапазон 0 ⩽ α < 2π их надо привести к этому самому диапазону. Напомним, что для этого можно просто добавить к углу несколько полных оборотов, или отнять их.
Задание. Вычислите cos 7π/3.
Решение. Угол 7π/3 равен углу π/3:
7π/3 = 6π/3 + π/3 = 2π + π/3 = π/3
Значит, и косинус у угла 7π/3 будет равен косинусу угла π/3:
cos 7π/3 = cosπ/3 = 1/2
Ответ: 1/2.
График синуса и косинуса
Заметим, что координаты точек, лежащей на единичной окружности, варьируются в пределах от – 1 до 1. Это означает, что значение синуса и косинуса также может находиться только в интервале между этими числами. Получается, что область значения этих ф-ций – это промежуток [– 1; 1].
Вычислить синус и косинус можно для абсолютно любого угла поворота, поэтому область определения этих тригонометрических ф-ций – вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).
Изучение графиков тригонометрических функций начнем с синуса. В тригонометрии при построении графика синуса принято по оси Ох откладывать значение угла в радианах, а не в градусах. Из-за этого в школьной тетради тяжело точно отметить точки, через которые проходит этот график. Например, возьмем угол, равный 90°. Его величина в радианах π/2, а sinπ/2 = 1. Получается, график должен пройти через точку (π/2; 1). Однако число π/2 – иррациональное, равное примерно 1,5708…, и точно отложить отрезок длиной π/2 невозможно.
Поэтому в учебных целях график строят приближенно (естественно, что на практике точный график можно построить с помощью компьютера с любой требуемой точностью). Считают, что величина π/2 примерно равна 1,5, то есть дроби 3/2. Если выбрать масштаб, при котором единице равны 2 клеточки, то π/2 – это 3 клеточки. Тогда π/6 – это одна клеточка, а π/3 – две.
Мы знаем, что
sin 0 = 0
sin π/6 = 1/2
sin π/2 = 1
Значит, график синуса должен проходить через точки (0; 0), (π/6; 1/2) и (π/2; 1). Отметим их на координатной плоскости:
С помощью некоторых соображений симметрии можно вычислить ещё несколько точек в диапазоне от 0 до 2π. Не будем перечислять их координаты, а просто отметим их на рисунке:
Теперь соединим их плавной кривой:
Мы получили график синуса на промежутке от 0 до 2π. Но ведь мы можем вычислить синус для любого другого угла! При этом мы используем тот факт, что углам, отличающимся на 2π (на один полный оборот), на единичной окружности соответствует одинаковая точка. То есть этим двум углам будут соответствовать точки на графике с одинаковой ординатой (координатой у), но абсциссами, отличающимися на 2π. Другими словами, точку графика можно перенести на 2π (то есть 12 клеточек) влево или вправо:
Перенести можно не одну точку, а сразу всё множество точек, лежащих между 0 и 2π:
Получили ещё два участка графика, на промежутках [– 2π; 0] и [2π; 4π]. Эти участки также можно переместить влево и вправо. Продолжая этот процесс бесконечно, мы получим весь график у = sinx:
В результате мы получили кривую, которую называют синусоидой.
Теперь построим график косинуса. Мы знаем что
cos 0 = 1
cos π/3 = 1/2
cos π/2 = 1
Получается, что график должен проходить через точки (0;1), (π/3; 1/2) и (π/2; 0). Отметим их на плоскости:
Можно вычислить, используя симметрию на единичной окружности, ещё несколько точек, которые должны лежать на графике. Не приводя этих вычислений, просто отметим эти точки на плоскости:
Соединяем эти точки плавной линией:
Как и в случае с синусом, участок графика косинуса можно перенести на 2π (12 клеточек влево и вправо). В результате таких действий получим окончательный вид ф-ции у = cosх:
Можно заметить несколько особенностей полученных графиков. Во-первых, все точки обоих графиков лежат в «полосе» между прямыми у = 1 и у = – 1. Это следствие того, что и у синуса, и у косинуса область значений – это промежуток [– 1; 1]:
Во-вторых, график косинуса очень похож на синусоиду. Он имеет такую же форму, но просто смещен на π/2 (3 клеточки) влево. Это не случайно, в будущих уроках мы узнаем причину этого явления. Но, так как график косинуса – это просто смещенная синусоида, то термин «косинусоида» для его обозначения почти не используется – он просто избыточен.
В-третьих, графики обладают периодичностью. Они «повторяются» с периодом 2π. Дело в том, что углам, отличающимся друг от друга на 2π (то есть ровно на один полный поворот в 360°), на единичной окружности соответствует одна и та же точка. То есть справедливы формулы:
sin (x+ 2π) = sinx
cos (x+ 2π) = sinx
В-четвертых, можно заметить, что график косинуса симметричен относительно оси Ох, а график синуса симметричен относительно начала координат. Это значит, что синус является нечетной функцией, а косинус – четной функцией. Напомним, что ф-ция f(x) является нечетной, если справедливо условие
f(x) = – f(– x)
Если f(x) – четная ф-ция, то должно выполняться условие:
f(x) = f(– x)
Действительно, если отложить на единичной окружности углы α и (– α), то можно заметить, что их косинусы будут равны друг другу, и синусы окажутся противоположными:
Поэтому верны формулы:
sin (– α) = – sinα
cos (– α) = cosα
Тангенс угла
Синус и косинус являются основными, или, как говорят математики, прямыми тригонометрическими ф-циями. Однако есть ещё две производных тригонометрических ф-ций – тангенс и котангенс. Напомним, что тангенс угла в прямоугольном треугол-ке – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Однако в тригонометрии куда удобнее пользоваться другим его определением. Тангенс – это отношение синуса угла к его косинусу:
Для получения тангенса на единичной окружности необходимо продолжить прямую, образующую угол α, до её пересечения с прямой х = 1. Точка их пересечения будет иметь координаты (1; tgα):
Заметим, что если α относится ко второй четверти, то тангенс получится отрицательным. Действительно, с одной стороны, соответствующая прямая пересечет линию х = 1 в точке, лежащей ниже оси Ох:
С другой стороны, мы знаем, что во второй четверти синус положителен, а косинус – отрицателен. Тогда их отношение, то есть тангенс, должно быть отрицательным:
Очевидно, что тангенс должен быть периодической ф-цией. Однако его период вдвое меньше 2π и составляет π. Действительно, углы, отличающиеся на π, будут иметь одинаковое значение тангенса, что видно из построения:
Это значит, что справедлива формула:
tg(α + π) = tg α
С другой стороны, это означает, что тангенсы углов из III четверти положительны, ведь они равны тангенсам углов из I четверти. Аналогично можно утверждать, что тангенсы углов из IV четверти отрицательны:
Также тангенс является нечетной ф-цией. Чтобы убедиться в этом, найдем с помощью единичной окружности tgα и tg (– α):
Из построения видно, что tg (– α) = tgα, поэтому тангенс попадает под определение нечетной ф-ции.
Доказать этот факт можно и иначе. Вспомним, что синус – это нечетная ф-ция, а косинус – четная. Тогда, используя определение тангенса, можно записать:
Для вычисления тангенса проще всего использовать его определение. Мы знаем синусы и косинусы стандартных углов, а потому, деля их друг на друга, сможем найти и тангенсы стандартных углов:
Ещё раз отметим, что важнее всего запомнить значения синусов и косинусов стандартных углов. Зная их, школьник всегда сможет самостоятельно вычислить тангенс.
Можно ли вычислить тангенс для угла π/2, то есть для 90°? Сделать это не получится, ведь cosπ/2 равен нулю. Если подставить cosπ/2 в формулу для вычисления тангенса, то получится деление на ноль! Так как тангенс – периодическая ф-ция, то его нельзя вычислить и в тех точках, которые отличаются от π/2 на целое число π.
В частности, тангенс не определен при х = – π/2.
График тангенса
Так как тангенс обладает периодом, равным π, достаточно построить его график на каком-нибудь промежутке длиной π. Далее его можно будет просто перенести на π единиц влево и вправо. Удобно выбрать промежуток от – π/2 до π/2. Дело в том, что на нем она определена во всех точках, кроме его концов.
Через точки х = – π/2 и х = π/2 проведем штриховые линии – они означают, что график НЕ должен пересекать их. Ясно, что график проходит через точку (0; 0), ведь tg 0 = 0. Тангенс представляет собой дробь sinx/cosx. При увеличении х от 0 до π/2 знаменатель возрастает, а числитель убывает, стремясь к нулю. Поэтому вся дробь неограниченно растет, и график тангенса возрастает до бесконечности:
Так как мы строим график нечетной ф-ции, то мы можем полученную ветвь отобразить симметрично относительно начала координат:
Полученный график называют тангенсоидой. Осталось воспользоваться тем, что мы рассматриваем периодическую ф-цию с периодом π, и перенести тангенсоиду влево и вправо:
Котангенс угла
Помимо тангенса в тригонометрии выделяют ещё одну производную ф-цию – котангенс. Он представляет отношение косинуса к синусу:
Видно, что определение котангенса очень похоже определение тангенса. В принципе, удобней использовать несколько другую формулу:
Почти во всех задачах с помощью формулы
можно избавиться от котангенса, заменив его дробью 1/tgα. Поэтому мы вкратце расскажем об основных особенностях котангенса, ведь он очень редко используется на практике.
Значения этой ф-ции рассчитываются так:
При х = 0 значение котангенса не определено, так как в этой точке косинус становится равным нулю, а деление на ноль невозможно.
График котангенса – это тангенсоида, которая отображена симметрично относительно оси Ох и смещена на π/2:
Можно заметить, что вертикальные штриховые линии (асимптоты) графика проходят через точки, кратные π: –2π, – π, 0, π, 2π… Они разбивают координатную прямую на интервалы (– 2π; – π), (– π; 0), (0; π), (π; 2π), на каждом из которых ф-ция у = ctgx убывает. Видно, что котангенс – это периодическая ф-ция с периодом π.
Для сравнения покажем на одной плоскости графики тангенса и котангенса:
Котангенс, как и тангенс – нечетная ф-ция, то есть
ctg (– x) = – ctgx
Теперь у нас есть представление об основных тригонометрических ф-циях. Важнейшими из них являются синус и косинус. Тангенс является производной ф-цией от них и рассчитывается как отношение синуса к косинусу. Редко используемый котангенс, наоборот, представляет собой отношение косинуса к синусу.
Впервые элементы тригонометрии стали использовать ещё древние греки, которые производили с их помощью астрономические расчеты. В XVIII веке Эйлер сформулировал определения тригонометрических функций с помощью единичной окружности, благодаря которым стало возможным вычислять их значение для любых углов. Изначально тригонометрия использовалась для географических расчетов и навигации, однако со временем область ее применения расширилась. Оказалось, что без неё не обойтись в анализе финансовых рынков и биологических процессов, архитектуре, акустике и оптике, теории вероятностей.
Как Найти Синус. Вычислим синус угла a b c по углу b a c 30° градусов в прямоугольном треугольнике a c b. Синус 0°, 360°, 720° 0 °, 360 °, 720 ° равен 0 0, а косинус равен 1 1.
Так как ам + мв = 9, а am/mb = 1/2, то ам = 3, мв = 6. Можно определить, что tg (360° ⋅z) = 0 1 =0 t g ( 360 ° · z) = 0 1 = 0 , а котангенс не определен. Нажмите «отслеживать», чтобы получать уведомления.
А1(1, 0) А 1 ( 1, 0).
A c 2 + b c 2 = a b 2 9 + 16 = 25 a b = 5 откуда синус равен: Как в си получить значения синуса (допустим 30, 60, 90 градусов). Отмечаем число, синус и косинус которого надо найти:
В Таком Случае Синус Угла Рассчитывается Как Отношение Длины Такого Катета К.
Для вычисления синуса угла с необходимо разделить катет на гипотенузу: То мы сразу можем найти его косинус. S i n ∠ b a c = b c a b.
Чтобы Вычислить Косинус И Синус Некоторого Угла Нужно:
30 ° косинус угла 30 градусов $ cos(30°) = cosbig(largefrac{pi}{6}normalsizebig) = largefrac{sqrt{3}}{2}normalsize $ 0.866: Арктангенс икса — это такое число альфа, но тангенс угла альфа в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть. На вашем калькуляторе над кнопками с синусом и косинусом есть надписи:
45 ° Косинус Угла 45 Градусов $ Cos(45°) = CosBig(LargeFrac{Pi}{4}NormalsizeBig) = LargeFrac{Sqrt{2}}{2}Normalsize $ 0.707:
Мария попова гуру (2513) 11 лет назад. Синус и косинус можно будет узнать с точностью до знака из соотношений: Если угол обозначить буквой α, в общем виде такое решение можно записать так:
Как Отношение Противолежащего Катета К.
Sin (α) = противоположная точка a / гипотенуза c однако для решения в калькуляторе синусов нет необходимости вводить формулу, просто введите соответствующие значения. Если нарисовать окружность радиуса 1, то sin () будет равен. Можно определить, что tg (360° ⋅z) = 0 1 =0 t g ( 360 ° · z) = 0 1 = 0 , а котангенс не определен.