Как найти синус используя единичную полуокружность

Единичная окружность

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

• Если угол находится в первом квадранте, все тригонометрические функции имеют положительные значения.
• Для угла во втором квадранте все функции, за исключением sin и cos, отрицательны.
• В третьем квадранте значения всех функций, кроме tg и ctg, меньше нуля.
• В четвертом квадранте все функции, за исключением cos и sec, имеют отрицательные значения.

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

• 2π радиан = 360°
• 1 радиан = (360/2π) градусов
• 1 радиан = (180/π) градусов
• 360° = 2π радиан
• 1° = (2π/360) радиан
• 1° = (π/180) радиан

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уравнение единичной окружности

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

• 

Вот что мы видим на этом рисунке:

Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.

Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .

И синус, и косинус принимают значения от до .

Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус — функция нечётная, косинус — чётная.

Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .

А теперь подробно о тригонометрическом круге:

Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

Полный круг — градусов.
Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

Легко заметить, что

Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Синус и косинус угла на единичной окружности

Впервые мы познакомились с синусом, косинусом и другими тригонометрическими функциями ещё в 8 класс на уроках геометрии, при изучении прямоугольного треугольника. Пусть есть некоторый треуг-ник АВС, у которого∠ С – прямой, а ∠ВАС принимается за α. Тогда sinα – это отношение ВС к АВ, а cosα– это отношение АС к АВ. В свою очередь tgα– это отношение ВС к АС:

С помощью тригонометрических функций удобно было находить стороны прямоугольного треугол-ка. Например, пусть известно, что гипотенуза АВ равна 5, а sinα = 0,8. Тогда из формулы sinα = ВС/АВ легко получить, что

ВС = АВ•sinα = 5•0,8 = 4

Если известно, что cosα = 0,6, то мы сможем найти и второй катет:

АС = АВ•cosα = 5•0,6 = 3

Отдельно заметим, что тангенс угла может быть рассчитан не как отношение двух катетов, а как отношение синуса к косинусу:

tgα = ВС/ АС = (АВ•sinα)/(АВ•cosα) = (sinα)/(cosα)

Отметим на единичной окружности произвольную точку А, которой соответствует некоторый угол α. У этой точки есть свои координаты х_А и у_А:

Попытаемся определить, чему равны координаты точки А. Для этого обозначим буквой B точку, в которой перпендикуляр, опущенный из А, пересекает горизонтальную ось Ох, и рассмотрим треугольник ОАВ:

Ясно, что ОАВ – это прямоугольный треугольник, ведь∠ АОВ = 90°. Значит, отрезок АВ можно рассчитать по формуле

Но ОА – это радиус единичной окружности. Это значит, что ОА = 1. Тогда

АВ = sinα•ОА = sinα•1 = sinα

С другой стороны, видно, что величина отрезка АВ равна координате у_А. Получается, что у_А = АВ = sinα, или

Отрезок ОВ также можно найти из прямоугольного треугольника АОВ, используя косинус:

Учитывая, что ОА = 1, а длина ОВ равна координате х_А, мы получим следующее:

х_А = ОВ = cosα•ОА = cosα•1 = cosα

то есть координата х_А равна cos α:

Итак, мы выяснили, что координаты точки, лежащей на единичной окружности, равны синусу и косинусу угла, соответствующего этой точке.

Таким образом, нам удалось дать новое определение синусу и косинусу угла:

Заметим, что в прямоугольном треугольнике углы, помимо самого прямого угла, могут быть только острыми. Поэтому предыдущее определение синуса и косинуса, данное в 8 классе в курсе геометрии, было пригодно лишь для углов из диапазона 0 1 I и II четверть

План урока:

Тригонометрические функции тупых углов

Вычисление координат точки

Вычисление площади треугольника

Площадь параллелограмма

Теорема синусов

Теорема косинусов

Тригонометрические функции тупых углов

Впервые с тригонометрическими функциями мы познакомились в 8 классе. Определить их значение можно было с помощью прямоугольного треугольника, рассматривая отношения его сторон (катетов и гипотенуз). Но такой способ определения тригонометрических функций подходит только для острых углов, попадающих в интервал от 0 до 90°. Оказывается, есть способ для вычисления значений тригонометрических функций и от больших углов.

Построим на координатной плоскости полуокружность, центр которой располагается в начале координат, а радиус равен единице. Ее называют единичной полуокружностью. Проведем из точки (0; 0) луч под некоторым углом α, который пересечет полуокружность в некоторой точке М с координатами (х; у). Заметим, что каждому значению α соответствует своя точка М на единичной полуокружности:

Опустим из М перпендикуляр на ось Ох в некоторую точку D. Тогда, если угол α острый,получается прямоугольный треугольник МOD, длины сторон которого можно определить так:

Получается, что координаты точки M как раз и являются синусом и косинусом угла α. Логично считать, что если α – не острый угол, то всё равно координаты точки M будут определять синус и косинус угла α.

Видно, что при тупом угле α точка М оказывается левее оси Оу, поэтому ее абсцисса становится отрицательной. Получается, что косинус может принимать отрицательные значения.

С помощью единичной полуокружности несложно выяснить значения синусов и косинусов для углов 0°, 90° и 180°. Они соответствуют координатам точек А, В и С на рисунке:

Так как эти точки имеют координаты (1; 0), (0; 1) и (– 1; 0), то можно записать следующее:

Используя это определение, найдем тангенс для углов 0° и 180°:

Заметим, что для 90° использовать эту формулу не удастся, так как это приведет к делению на ноль. Поэтому считается, что для 90° значение тангенса не определено, то есть его нельзя вычислить.

Единичная полуокружность является дугой окружности, чей радиус равен единице, а центр находится в начале координат. То есть она может быть задана уравнением

Тем самым мы доказали, что это тождество, которое показывает связь тригонометрических функций друг с другом, выполняется не только для острых углов, но и для всех углов из диапазона 0° ≤α ≤ 180°.

Для вычисления значений тригонометрических углов тупых углов удобно пользоваться так называемыми формулами приведения. Их довольно много, и изучаются они в основном в 10 классе, нам же хватит всего двух формул:

Например, пусть надо вычислить синус для угла 120°. Для этого мы представляем угол в виде разности, где в качестве уменьшаемого используется угол 180°:

Убедиться в справедливости этих двух формул приведения можно с помощью такого построения:

Точка М соответствует углу α, а точка K – углу (180° – α). Опустим из этих точек перпендикуляры МС и KD. Так как

Получается, что ∆OKD и ∆ОМС – прямоугольные, у них есть одинаковый острый угол α, и их гипотенузы ОК и ОМ также одинаковы как радиусы одной окружности. Тогда эти треугольники равны, и поэтому

Знак минус в первом из этих равенств показывает, что точки K отрицательная абсцисса. В итоге мы доказали две формулы приведения.

Задание. Вычислите sin 150°.

Решение. Представим угол 150° в виде разности:

Вычисление координат точки

Пусть есть некоторая точка А(х;у) с неотрицательной ординатой. Соединим ее с началом координат прямой, которая образует угол α с осью Ох. Посмотрим, как связаны координаты А со значением α.

Пусть луч ОА пересечет единичную окружность в точке М. Опустим из М и А перпендикуляры на Ох, в точки Н и С соответственно. Теперь сравним ∆ОМН и ∆ОАС. Они прямоугольные, и у них есть одинаковый угол α, следовательно, они подобны. Коэффициент подобия можно найти, поделив ОА на ОМ, при этом учтем, что ОМ = 1, так как М лежит на единичной полуокружности:

Примечание. Данное доказательство не рассматривает частные случаи, когда точка А лежит непосредственно на осях Ох и Оу, и тогда подобные треугольники ∆ОМН и ∆ОАС построить не удается. Эти случаи можно рассмотреть отдельно и показать, что для них выведенные формулы также справедливы.

Задание. Точка А находится на расстоянии 3 от начала координат (точки О), причем луч ОА образует с осью Ох угол 135°. Найдите координаты точки А.

Решение. Используя выведенные формулы, мы можем записать:

Вычисление площади треугольника

В 8 классе мы уже познакомились с одной из формул для определения площади треугольника. Однако на практике возникают ситуации, когда удобнее использовать другие формулы, одну из которых мы сейчас выведем.

Пусть в произвольном ∆АВС известны две стороны, например, ВС (обозначим ее буквой а) и АС (ее обозначим как b). Также известна величина угла между ними:

Разместим этот треугольник в системе координат так, чтобы точка С совпала с началом координат, в находилась на оси Ох и имела положительную абсциссу, А располагалась в первой четверти:

В этом случае координаты А будут определяться формулами:

Найдите площадь ∆МКН.

Решение.

Задание. Используя калькулятор, найдите площадь треугольника со сторонами 14 и 7 см, если угол между ними равен 48°. Ответ округлите до десятых долей см².

Решение. Подставляя числа в формулу, получаем:

Задание. Диагонали прямоугольника пересекаются под углом 30°, причем они равны 10 см. Вычислите площадь этого прямоугольника.

Решение.

Заметим, что диагонали прямоугольника при пересечении образуют не один, а два угла. Пусть в прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О, и ∠АОВ = 30°. Тогда можно найти ∠ВОС, ведь он смежный с ∠АОВ:

Чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем найти площади 4 треугольников, из которых он состоит, и потом сложить их. Для каждого из этих треугольников нам известны две стороны (они составляют по 5 см) и угол между ними:

Площадь параллелограмма

Из выведенной нами формулы площади треугольника вытекает и новая формула для площади параллелограмма. Пусть в параллелограмме нам известны смежные и угол между ними:

На рисунке смежные стороны АВ и AD обозначены буквами a и b, а угол между ними обозначен как α. Проведем диагональ BD. Площадь ∆ABD можно вычислить:

Задание. Стороны параллелограмма имеют длины 8 и 11 см, а один из углов параллелограмма равен 30°. Какова площадь этого параллелограмма?

Решение. Просто подставляем данные в формулу

Ответ: 44 см².

Задание. Известна площадь параллелограмма MNEF, одна из его сторон и угол:

Так как противоположные стороны в параллелограмме одинаковы, то MF также имеет длину 5:

MF = NE = 5

Запишем формулу для площади и подставим в нее известные данные:

Теорема синусов

Пусть есть некоторый ∆АВС, в котором стороны мы обозначим буквами:

Посчитаем его площадь, используя стороны b и c:

Также площадь треугольника можно выразить через а и с:

Полученная формула показывает, что в каждом треугольнике отношение стороны к синусу противолежащего угла – это константа, не зависящая от выбора стороны. Другими словами,в любом треугольнике стороны пропорциональны синусам углов, которые лежат против них. Это утверждение именуют теоремой синусов.

В большинстве задач достаточно выведенной формулы

Однако можно дополнить теорему синусов, выяснив, чему же именно равны все эти три отношения. Для этого впишем треугольник в окружность, после чего построим диаметр BD:

Пусть радиус этой окружности равен R, тогда диаметр BD будет вдвое больше:

Теперь рассмотрим ∆ВСD. ∠С здесь – прямой, ведь это вписанный угол, опирающийся на полуокружность, то есть дугу в 180°. По определению синуса, которое мы давали ещё в 8 классе, можно записать:

C учетом уже выведенного равенства (6) теорема синусов примет вид:

С помощью теоремы синусов у любого треугольника можно найти две неизвестные стороны, если известны третья сторона и два угла. Процесс нахождение неизвестных элементов треугольника по уже известным элементам именуется решением треугольника. Всего у треугольника 6 элементов – три стороны и три угла. Для нахождения всех элементов в общем случае достаточно знать только 3 из них, а остальные можно найти, используя теорему синусов или иные геометрические соображения.

Задание. Решите треугольник, если одна из его сторон равна 14, а прилегающие к ней углы имеют величину 60° и 40°.

Решение.

Обозначим описанный в условии треугольник как ∆МВК. Пусть МК = 14, ∠М = 60° и∠К = 40°. Тогда нам надо найти ∠В, МВ и ВК. Проще всего найти∠В, ведь в любом треугольнике все углы в сумме дают 180°:

Обратите внимание, что так как углы 40° и 80° не являются табличными, то их значения надо вычислять на калькуляторе, а результат вычисления получается приближенным. В данном случае мы округлили его до сотых.

Осталось найти сторону ВК, это также делается с помощью теоремы синусов:

Задание. В ∆SRT∠S = 30°, ∠R = 45°, а высота RM, опущенная на сторону TS, имеет длину 6. Решите ∆SRT.

Решение.

Теперь надо найти какую-нибудь сторону в ∆SRT. Для этого рассмотрим ∆RMS. Он прямоугольный, а потому для него можно записать:

Для нахождения двух оставшихся сторон можно использовать теорему синусов:

Задание. В параллелограмме MNEF∠MFE составляет 120°, а диагональ NF равна 24 и образует со стороной NE угол 40°. Найдите длину МN и MF.

Решение.

Далее заметим, что ∠FNE и ∠MFN одинаковы, ведь они накрест лежащие при параллельных отрезках NE и MF и секущей NF:

Теперь в ∆MNF известна сторона NF и все три угла. Это позволяет с помощью теоремы синусов найти и остальные две стороны:

Задание. В окружности радиусом 5 построен вписанный угол величиной 30°. Определите длину хорды, на которую он опирается.

Решение.

Решение. По теореме синусов мы можем записать, что

Теорема косинусов

Теорема синусов помогает решать треугольники, в которых известны хотя бы два угла, а также одна из сторон. Но что делать в случае, если наоборот, даны две стороны, но только один угол? Здесь необходима другая теорема, которую именуют теоремой косинусов.

Возьмем произвольный треугольник со сторонами а, b и c и поместим его на координатной плоскости так, как показано на рисунке:

Обозначим угол между а и b как α. Тогда координаты А будут определяться так:

Точка В в свою очередь будет иметь координаты (а; 0). Зная координаты А и В, мы можем найти квадрат расстояния между ними, то есть величину с²:

Полученное соотношение как раз и является теоремой косинусов.

Данная формула позволяет находить третью сторону треугольника, если известны две другие, а также угол между ними. Однако ее можно переписать так, чтобы с ее помощью можно было вычислять косинус угла, зная все три стороны треугольника:

Это позволяет решать те треугольники, для которых теоремы синусов недостаточно.

Легко заметить, что теорема косинусов похожа на теорему Пифагора. Более того, если угол α = 90°, то формула теоремы косинусов превращается в теорему Пифагора, которая, таким образом, является ее частным случаем. По этой причине иногда теорему косинусов именуют обобщенной теоремой Пифагора.

Задание. Решите ∆MNE, если

Решение. По теореме косинусов находим сторону NE:

Осталось найти ∠N и ∠Е. Для этого запишем теорему косинусов так, чтобы в ней фигурировал ∠N:

Мы нашли cosN. Чтобы вычислить сам ∠N, следует использовать особую функцию на калькуляторе или компьютере, которая называется арккосинусом и является обратной для операции «извлечение косинуса». Более подробно она изучается уже в 10 классе. С ее помощью мы узнаем, что

Обратите внимание, что обычно калькулятор выдает результат, показывая десятые и сотые доли градусы, не переводя их в минуты и секунды. Можно оставить ответ и в таком виде. При желании перевести сотые доли в минуты следует дробную часть умножить на 60:

Задание. На различных сторонах угла∠А, равного 45°, отложены точки В и С так что

Задание. Решите треугольник, если его стороны имеют длину 14, 18 и 20.

Решение.

Решение. Здесь надо дважды применить теорему косинусов, чтобы найти какие-нибудь два угла в ∆АВС:

∠C также можно найти через теорему косинусов, но проще просто вычесть из 180° два уже вычисленных угла:

Во всех рассмотренных задачах на решение треугольника мы знали три элемента треугольника и по ним однозначно вычисляли три других элемента. Однако иногда это невозможно. Так, если в задаче помимо двух сторон указан угол, который НЕ лежит между ними, то в итоге задача может иметь два решения.

Задание. В ∆MNE ∠M составляет 60°, а стороны МЕ и NE имеют длины 10 и 9 соответственно. Какова длина MN?

Решение. Теорему синусов здесь применить не удастся, так как для нее необходимо знать хотя бы два угла. Поэтому остается только записать теорему косинусов так, чтобы в ней использовался ∠M:

Получили квадратное уравнение, решить его можно через дискриминант:

В рамках данного урока мы узнали про теоремы синусов и косинусов и научились использовать их для решения треугольников. Также мы познакомились с новыми формулами для вычисления площадей треугольника и параллелограмма.



5.2. Определение синуса, косинуса,
тангенса и котангенса через единичную окружность

Не так давно мы определили эти отношения для острого угла, и

сейчас распространим на произвольный угол. Для этого используют так называемую единичную окружность (радиуса ). Изобразим её в декартовой системе с центром в начале

координат:
Рассмотрим

произвольную точку , принадлежащую

окружности, и положительно ориентированный угол  (зелёная стрелка).
Синусом угла  называют отношение

ординаты точки  к радиусу окружности: .
Косинусом угла  называют отношение

абсциссы точки  к радиусу окружности:

.
Тангенс угла  – есть отношение  (если  ), и котангенс:  (если  ).
Так, углам  (да-да, угол

можно «накручивать» и дальше!) соответствуют точка , и поэтому: , а котангенса не существует, ибо ордината этой точки равна нулю.
Углу  соответствует точка , следовательно:
, тангенса не существует, .
Углу  соответствует точка , следовательно:

Угол  – самостоятельно

(сверьтесь по Тригономометрической таблице).

Аналогично для отрицательно ориентированных углов. В частности, углу  (красная стрелка на

чертеже), соответствует точка , следовательно: , тангенс аминь, .
На практике бывает удобно как «прикрутить» оборот к углу, так и «скрутить лишние». Так, угла  нет в Тригонометрической таблице, но к нему можно мысленно

прибавить  (один оборот), в результате чего

получится угол в  радиан с теми же самыми

значениями синуса, косинуса и котангенса. И, наоборот, в некоторых задачах появляются углы с «лишними» оборотами. Рассмотрим, например,

угол  – здесь целесообразно «скрутить» два оборота: , получая эквивалентный угол.

И, как вы правильно догадались, угол можно «накручивать» до бесконечности в любом направлении. Представьте, что по единичной окружности «ездит»

точка. По мере того, как мы будем проходить оборот за оборотом (в любую сторону) значения синусов и компании будут периодически

повторяться. Таким образом, возникают:

5.3. Тригонометрические функции

5.1. Об угле подробно

| Оглавление |