Как найти синус косинус тангенс в задачах

План урока:

Основное тригонометрическое тождество

Тригонометрические функции суммы и разности

Формулы двойного угла

Формулы понижения степени

Формулы приведения

Сумма тригонометрических функций

Произведение тригонометрических функций

Основное тригонометрическое тождество

Несложно догадаться, что синус и косинус угла – это величины, связанные друг с другом. Отложим на единичной окружности произвольный угол α и опустим из точки А перпендикуляр на ось Ох, в некоторую точку В:

Изучим треугольник АОВ. Он прямоугольный, а потому для него можно записать теорему Пифагора:

АВ² + ОВ² = ОА²

Мы рассматриваем единичную окружность, а потому ОА = 1, ОВ = соsα, AB = sinα. Подставив эти величины в равенство, получим тождество:

sin²α + соs²α = 1

Его называют основным тригонометрическим тождеством, ведь именно оно связывает значение двух прямых тригонометрических ф-ций – синуса и косинуса.

Задание. В прямоугольном треугольнике есть угол α. Известно, что sin α = 0,8. Чему равен соsα?

Решение. Подставим в основное тригон-кое тождество значение sinα = 0,8 и получим уравнение:

sin²α + соs²α = 1

0,8² + соs²α = 1

0,64 + соs²α = 1

соs²α = 1 – 0,64

соs²α = 0,36

соsα = – 0,6 или соsα = 0,6

Нашли два возможных значения косинуса. Но по условию α – это острый угол, ведь в прямоугольном треугольнике угол не может быть больше 90°. То есть угол α относится к первой четверти, а потому его косинус положителен. Значит, соsα = 0,6.

Ответ: 0,6.

Рассмотренный пример показал, что одному заданному значению синуса соответствует сразу два противоположных друг другу значения косинуса. Верно и обратное. Действительно, отложим по оси Ох некоторую величину соsα и проведем вертикальную линию, чтобы найти соответствующие ему значения синуса. Она пересечет единичную окружность в двух точках с противоположными ординатами:

По этой причине при решении задач на использование основного тригон-кого тождества обычно указывают, к какой четверти относится угол α.

Задание. Вычислите sinα, если соsα = 0,28 и α принадлежит IV четверти.

Решение.

sin²α + соs²α = 1

0,28² + sin²α = 1

0,0784 + sin²α = 1

sin²α = 1 – 0,0784

sin²α = 0,9216

sin α = –0,96 или sin α = 0,96

Так как α принадлежит IV четверти, то sinα должен быть отрицательным, поэтому sinα = – 0,96.Напомним, что в IV четверти значение косинуса положительно, ведь соответствующая ей дуга единичной окружности располагается правее оси Оу, то есть абсциссы точек, принадлежащих ей, положительны.

Ответ: – 0,96.

Задание. Найдите tgα, если sinα = 5/13 и π/2 < α < π.

Решение. Здесь задача уже в два действия! Сначала определим соsα:

sin²α + соs²α = 1

соs²α = 1 – sin²α = 1 – (5/13)² = 169/169 – 25/169 = 144/169

соsα = – 12/13 или соsα = 12/13

Условие π/2 < α < π указывает на то, что угол относится ко II четверти, в которой косинус отрицателен, поэтому соsα = – 12/13.

Далее находим тангенс, просто деля синус на косинус:

tgα = sinα:соsα = (5/13):(12/13) = (5/13)•(13/12) = 5/12

Ответ: 5/12

Рассмотренный пример показал нам, что, зная синус, можно рассчитать не только косинус, но и тангенс. А возможно ли совершить обратное действие, найти по тангенсу синус или косинус? Да, но для этого нужно получить новую тригонометрическую формулу.

Запишем тождество

sin²α + соs²α = 1

Далее поделим его на величину соs²α:

Крайнее левое слагаемое – это величина tg²α, а следующая дробь равна единице, так как у неё совпадают числитель и знаменатель:

В итоге нам удалось получить ф-лу, которая связывает значение тангенса и косинуса угла. Есть такая формула и для котангенса. Для ее получения необходимо поделить основное тригон-кое тождество на sin²α:

Задание. Известно, что tgα = 0,75. Найдите соsα и sinα, если угол α принадлежит III четверти.

Решение.

Просто подставляем в ф-лу известное значение тангенса и решаем получившееся уравнение. Для простоты вычислении заменим десятичную дробь 0,75 на обычную 3/4:

Так как угол относится к III четверти, где косинус отрицателен, то

соsα = – 0,8

Синус угла найдем, используя основное тригон-кое тождество:

sin²α + соs²α = 1

sin²α = 1 – соs²α = 1 – (– 0,8)² = 1 – 0,64 = 0,36

sinα = – 0,6 или sinα = 0,6

С учетом того, что в III четверти синус становится отрицательным, следует выбрать вариант sinα = – 0,6

Ответ: sinα = – 0,6; соsα = – 0,8.

Иногда ф-лы используют не для вычисления значений тригон-ких выражений, а для упрощения выражений. Из тождества sin²α + соs²α = 1 несложно получить из выражения

sin²α = 1 – соs²α

и

соs²α = 1 – sin²α

которые помогают в работе с длинными ф-лами.

Задание. Упростите выражение

4sin²α + 9соs²α – 6

таким образом, чтобы в нем не содержалось синуса.

Решение. Произведем замену sin²α = 1 – соs²α:

4sin²α+ 9соs²α – 6 = 4(1 – соs²α)+ 9соs²α – 6 =

= 4 – 4 соs²α + 9соs²α – 6 = 5соs²α – 2

Видим, что получилось значительно более простое выражение.

Ответ: 5соs²α – 2.

Задание. Избавьтесь от синуса в выражении

sin⁴α – соs⁴α

Решение. Воспользуемся ф-лой разности квадратов:

sin⁴α – соs⁴α = (sin²α – соs²α)(sin²α + соs²α) = (sin²α – соs²α)•1 =

= 1 – соs²α– соs²α = 1 – 2 соs²α

Ответ:1 – 2 соs²α.

Задание. Упростите дробь

Решение.

Ответ: ctg⁶α.

Тригонометрические функции суммы и разности

Легко проводить вычисления, когда все тригонометрические действия выполняются над одним углом α. Однако иногда в задачах добавляется ещё один угол, который обычно обозначают как β. Существуют ф-лы, с помощью которых можно вычислять тригон-кие ф-ции от суммы и разности углов α и β.

Вывод этих ф-л достаточно сложен, поэтому сначала мы просто без доказательства приведем две из них, позволяющие вычислять синус суммы и косинус суммы:

Достаточно запомнить их, а далее следующие формулы можно выводить из них. Так, если вместо β подставить угол (–β), то получим формулы для разности. При этом мы используем тот факт, что синус – нечетная ф-ция, то естьsin (– β) = – sinβ, а косинус – четная ф-ция, то есть соs (– β) = соsβ:

Теперь поступим также с ф-лой для косинуса разности:

Итак, нам удалось получить ф-лы для нахождения синуса и косинуса суммы и разности углов.

С помощью этих формул возможно вычислить значение тригон-ких ф-ций для некоторых нестандартных углов. (Стандартными считаются углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°, ведь для них значение тригон-ких ф-ций можно узнать из таблички.)

Задание. Вычислите соs 150°.

Решение. В табличке стандартных углов есть углы, равные 90° и 60°. Их сумма как раз равна 150°. Поэтому запишем:

Задание. Вычислите синус, косинус и тангенс для угла 15°.

Решение. Угол в 15° можно представить как разность 45° – 30°. Тогда синус будет вычисляться так:

Далее вычислим косинус:

Можно выполнить проверку. Полученные значения должны удовлетворять основному тригон-кому тождеству. И действительно:

Проверка пройдена: сумма квадратов синуса и косинуса оказалась равной единице. Теперь посчитаем tg 15°, используя определение тангенса:

Задание. Вычислите значение тригонометрического выражения

sinπ/7 соsπ/42 + sinπ/42 соsπ/7

Решение: Значение тригон-ких ф-ций для углов π/7 и π/42 мы не знаем, однако это не помешает вычислениям. Можно заметить, что исходное выражение представляет собой синус суммы π/7 и π/42:

sinπ/7 соsπ/42 + sinπ/42 соsπ/7 = sin (π/7 + π/42) = sinπ/6 = 1/2

Ответ: 1/2.

Задание. Упростите выражение

Решение.

Вынесем за скобки множитель 2:

Теперь произведем замену:

C учетом этого можно переписать выражение и использовать ф-лу суммы косинусов:

Ответ: 2соs (π/6 + α).

Формулы двойного угла

Что будет, если формулу синуса суммы подставить не два различных угла α и β, а два одинаковых угла α и α? Получится ф-ла для синуса двойного угла:

Аналогично можно составить ф-лу и для косинуса двойного угла:

Итак, справедливы следующие ф-лы:

Задание. Вычислите sin 120° и соs 120°.

Решение.

Задание. Упростите выражение

соs²t– соs 2t

Решение.

соs²t – соs 2t = соs²t – (соs² t – sin²t) = соs²t – соs² t + sin²t = sin²t

Ответ: sin²t.

Задание. Докажите, что функция

является периодической и имеет период, равный π.

Решение. Используем ф-лу квадрата суммы:

Таким образом, исходную ф-цию можно переписать в виде

у = 1 + sin 2x

По определению, ф-ция является периодической с периодом Т, если выполняется условие у(х + Т) = у(х). Поэтому подставим в нашу ф-цию величину х + π:

Получили, что у(х + π) = y(x), то есть ф-ция имеет период, равный π.

Задание. Выведите формулы синуса и косинуса тройного угла.

Решение. Для их получения следует использовать ф-лу синуса суммы углов, в которую подставляют вместо β величину 2α:

Аналогично можно получить и ф-лу для косинуса тройного угла:

Формулы понижения степени

Если нам необходимо узнать косинус угла, который вдвое больше табличного, мы используем ф-лу:

соs 2α = соs²α – sin²α

А что делать, если нам надо вычислить косинус угла, который вдвое меньше известного? Попробуем преобразовать ф-лу косинуса двойного угла:

В результате нам удалось получить тождество, позволяющее по косинусу удвоенного угла найти косинус самого угла! Однако значительно чаще в тригонометрии это равенство записывают в обратном порядке:

и называют ф-лой понижения степени. Действительно, в левой части стоит косинус в квадрате, а справа – косинус без квадрата, но вычисляется он от угла 2α, а не α.

Попробуем получить аналогичную ф-лу и для синуса. Для этого используем основное тригон-кое тождество:

С помощью этих ф-л можно вычислять тригон-кие ф-ции для некоторых малых углов. Так, ранее мы с использованием ф-лу разности синусов определили, что

При этом мы представляли угол 15° как разность 45° – 30°. Но как посчитать соs 7,5°? Этот угол невозможно представить как разницу или сумму известных нам табличных углов (0°, 30°; 45°; 60° и 90°). Однако поможет ф-ла понижения степени. Действительно, ведь 2•7,5° = 15°. Тогда можно записать:

Мы нашли соs² 7,5°. Чтобы узнать соs 7,5°, необходимо извлечь квадратный корень:

Так как угол 7,5° принадлежит I четверти, то его косинус должен быть положительным, поэтому можно записать:

Видно, что получается довольно громоздкое выражение. Используя ф-лу понижения степени, можно найти косинус и угла, который ещё вдвое меньше, то есть равен 3,75°, но в результате получится ещё более громоздкое выражение.

Задание. Вычислите sinπ/8.

Решение. Угол π/4 является табличным (его градусная мера составляет 45°). Поэтому можно записать:

Эти примеры показывают, что тригон-кие ф-ции многих нестандартных углов можно выразить, используя квадратные корни. Возникает вопрос – а любую ли тригонометрическую ф-цию можно выразить таким способом? Оказывается, что нет. Например, sin 10° невозможно найти ни в одной, даже самой подробной тригонометрической таблице. Мы не будем это доказывать, но эту величину невозможно представить в виде выражения, используя арифметические операции и корни. Однако существуют приближенные методы, позволяющие с любой наперед заданной точностью вычислять значение тригонометрических ф-ций.

Формулы приведения

Возможно, вы уже заметили, что синусы и косинусы принимают одинаковые значения в углах, чья сумма равна 90°. Например, sin30° = соs60° = 1/2, и при этом 30° + 60° = 90°. Также мы знаем, что sin 45° = соs 45° (45° + 45° = 90°) и sin60° = соs30° (60° + 30°). В чем причина такой закономерности и справедлива ли она для нестандартных углов?

Используя ф-лу синуса разности, мы можем записать, что

Полученная ф-ла sin (90° – α) = соsα называется формулой приведения. При ее выводе мы использовали тот факт, что sin 90° = 1, а соs 90° = 0, поэтому формула получилась очень простой. Однако синусы и косинусы других углов, кратных 90° (или кратных π/2, если измерять углы в радианах), также равны 0, 1 или – 1, поэтому для них тоже можно получить подобные простые ф-лы, например:

Похожих ф-л можно написать несколько десятков! Все их запоминать не надо, так как существует особое мнемоническое правило, позволяющее записать необходимую ф-лу.

Пусть есть некоторое тригон-кое выражение вида

f(k ± α)

где f – тригонометрическая ф-ция (sin; соs; tg; ctg)

k– угол, кратный π/2 (π/2, π, 3π/2, 2π)

Мы хотим заменить ее другой ф-цией, только от угла α. На первом шаге мы смотрим на слагаемое k. Если оно кратно π (– π, π, 2π), то ф-ция f остается неизменной. Если же слагаемое k – это число π/2 или 3π/2, то ф-цию f надо поменять на так называемую кофункцию (синус меняем на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

Далее надо определить знак, стоящий перед новой ф-цией. Для этого мы предполагаем, что α – это острый угол, то есть он принадлежит I четверти. Далее с учетом этого предположения смотрим, в какую четверть попадает угол k ± α, и какое значение принимает там исходная тригонометрическая ф-ция. Если она отрицательна, то перед новой тригонометрической ф-цией надо поставить минус. В противном случае ничего ставить не надо.

Лучше всего изучить это алгоритм на примерах.

Задание. Упростите выражение соs (π/2 + α).

Решение. Первый шаг – смотрим на слагаемое под знаком косинуса. Это число π/2. Оно НЕ кратно π, а потому мы должны поменять косинус на синус:

sinα

Второй шаг – надо определить, надо ли ставить минус перед синусом. Если α – это острый угол, то угол (π/2 + α) попадет во II четверть:

Во второй четверти косинус отрицателен, а потому перед синусом следует поставить минус:

соs (π/2 + α) = – sinα

Ответ: – sinα.

Важное примечание. В этом примере для составления формулы приведения мы «предположили», что угол α является острым. В результате нам удалось получить формулу соs (π/2 + α) = – sinα. Однако отметим, что полученная нами формула выполняется для абсолютно любых значений угла α, а не только для 0° < α < 90°. Предположение об остроте угла – это лишь часть мнемонического правила для составления формул приведения, позволяющая быстро определить, надо ли в ней перед тригонометрической функцией ставить знак минус или не надо.

Это мнемоническое правило работает абсолютно точно, однако надо понимать, что всё-таки для строгого вывода формул приведения следует использовать формулу косинуса суммы

соs (π/2 + α) = cosπ/2 cos α – sin π/2 sin α = 0•cos α – 1•sin α = – sin α

Получили тот же результат, что и с помощью формулы приведения. При этом нам не потребовалось предположение об остроте угла α, то есть формула верна для любых α. Но практика показывает, что люди просто не могут запомнить формулу косинусов суммы. Поэтому для «упрощения жизни» школьникам рассказывают об относительно простом мнемоническом правиле.

Задание. Составьте ф-лу приведения для выражения tg (α – π).

Решение. Сначала смотрим на слагаемое под знаком тангенса. Это число (– π), кратное π. Поэтому сама ф-ция не меняется на кофункцию:

tgα

Примем, что угол α принадлежит I четверти, тогда угол α – π будет ему противоположен и окажется в III четверти:

Тангенс в III четверти положителен. Значит, минуса перед тангенсом ставить не надо:

tg (α– π) = tgα

Задание. Вычислите sin 7π/6.

Решение. Представим угол 7π/6 как сумму: 7π/6 = π + π/6. Получается, нам надо вычислить величину sin (π + π/6). Составим ф-лу приведения для выражения π + α Так как в скобках стоит слагаемое π, то ф-ция sin остается, а не меняется на косинус:

sinα

Угол (π + α) относится к III четверти, где синус отрицателен. Следовательно, надо добавить знак минус:

sin (π + α) = – sinα

Остается подставить вместо α величину π/6:

sin (π + π/6) = – sinπ/6 = – 1/2

Ответ: – 1/2.

Задание. Чему равен ctg7π/4?

Решение. Угол 7π/4 можно представить как 3π/2 + π/4. Найдем ф-лу приведения для ctg (3π/2 + α). Из-за слагаемого 3π/2, не кратного π, ф-ция должна измениться с котангенса на тангенс:

ctg (3π/2 + α) = tgα

Угол 3π/2 + α попадает в IV четверть, где котангенс отрицателен. Поэтому необходимо добавить знак минуса перед ф-цией:

ctg (3π/2 + α) = –tgα

Ф-ла приведения получена. Осталось подставить в неё значение α = π/4:

ctg (7π/4) = ctg (3π/2 + π/4) = – tgπ/4 = – 1

Ответ: – 1.

Откуда же возникло название «формула приведения»? Дело в том, что с их помощью вычисление тригонометрических ф-ций от углов из диапазона 0 ≤ π ≤ 2π можно привести к вычислению ф-ций от углов из I четверти, то есть из диапазона 0 ≤ α ≤ π/2. Это означает, что нет смысла заучивать большие таблицы, в которых указаны синусы и косинусы углов, больших 90°. Достаточно знать ф-ции от стандартных углов: 0, π/6; π/4, π/3 и π/2.

Если всё же использование ф-л приведения вызывает сложности, то вместо них всегда можно использовать обычные ф-лы косинуса и синуса суммы, которые дадут такой же результат.

В прошлом уроке, строя графики косинуса, мы заметили, что он представляет собой синусоиду, смещенную на π/2 единиц:

Теперь становится ясна причина этого смещения. Дело в ф-ле приведения

соsx = sin (x + π/2)

Она показывает, что точки графика косинуса могут быть получены параллельным переносом точек синусоиды на π/2 единиц влево.

Сумма тригонометрических функций

Мы видим, что тригон-ких формул довольно много. Надо ли все их учить? Этого делать не надо. Достаточно иметь под рукой справочник при решении задач, связанных с преобразованием тригонометрических выражений, в котором все эти ф-лы можно посмотреть. В крайнем случае можно всегда самостоятельно вывести все ф-лы, используя только основное тригон-кое тождество и ф-лы синуса и косинуса суммы. Они, кстати, выдаются в качестве раздаточного материала учащимся при сдаче ЕГЭ. Ещё важно помнить определение тангенса, которое в раздаточном материале не записано.

Пусть есть два произвольных угла s и t. Найдем синусы их разности и суммы:

Сложим эти два уравнения:

Теперь произведем замену. Будем считать, что

x = s + t

у = s – t

Это значит, чтох + у = 2s, или

s = (x + y)/2

С другой стороны

х – у = s + t– (s– t) = 2t

то есть

t = (x – у)/2

Подставляем всё это в ф-лу (1):

Получили формулу, с помощью которой можно найти сумму любых двух синусов! Теперь попытаемся составить аналогичную ф-лу и для их разности синусов. При этом мы учтем нечетность синуса (это значит, что sin (– у) = – sinу):

Задание. Упростите выражения

Решение.

Теперь попробуем составить ф-лы для сложения и вычитания косинусов. Для этого запишем ф-лы для произвольных величин s и t:

Сложив уравнения, мы получим тождество

Далее произведем замены, которые выполняли и ранее:

x = s + t

у = s – t

s = (x + y)/2

t = (x – у)/2

Подставляя всё это в (3), получим:

Получили ф-лу, с помощью которой можно складывать косинусы. Чтобы их можно было вычитать, вычтем из (1) уравнение (2):

Снова произведем замены переменных s и t:

Получили ф-лу и для разности косинусов.

Задание. Упростить тригонометрические выражения

Решение.

в) Здесь мы сталкиваемся с более сложным случаем, так как из косинуса надо вычесть синус. У нас нет готовой ф-лы для такого действия. Однако вспомним, что с помощью формул приведения легко заменить синус на косинус:

sinx = соs (π/2 – х)

Тогда исходное выражение уже можно будет преобразовать:

Произведение тригонометрических функций

В предыдущем разделе, когда мы выводили ф-лы для вычисления суммы синусов и косинусов, мы сначала получали уравнения:

Далее мы производили замену переменных sи t. Однако давайте вместо этого просто поделим первые два уравнения на двойку, а третье – на (– 2):

В случае с последней формулой мы воспользовались правилом, по которому знак минус перед дробью можно убрать, если в числителе поменять местами вычитаемое и уменьшаемое.

Получили ф-лы, которые позволяют заменять произведение тригонометрических ф-ций их суммой.

Задание. Преобразуйте произведение в сумму:

Решение.

На этом наше знакомство с основными тригонометрическими формулами заканчивается. Ещё раз напомним, что в рамках школьного курса заучивать все ф-лы не нужно, можно при необходимости пользоваться смотреть в справочник. Тригон-кие преобразования помогут в будущем при решении сложных тригон-ких уравнений.

В самом конце приведем перечень всех формул, выведенными в этом уроке:

 Для многих школьников такие наименования как синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике кажутся чем-то магическим и непостижимым, но на само деле в этом нет ничего сложного. Ведь это не более чем отношение сторон прямоугольного треугольника. И в зависимости от того, какие из сторон мы сравниваем одну с другой, такое и наименование имеет это отношение, то есть: синус, косинус и тангенс.

Если конкретно, то дело обстоит так. Косинус (cos) угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Cинус (sin) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Тангенс угла tg(α) — есть отношение противолежащего катета a к прилежащему катету. И еще один лайфхак. Если вы вдруг прям забудете такие простые вещи, мало ли, тоже бывает, то как находить косинус, синус и тангенс, загляните в справочные материалы на ваших листах с заданиями, там будут подсказки (в разделе геометрии).

В открытом банке заданий ФИПИ есть следующие задачи на эту тему, которые могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.

Задания из банка ФИПИ с sin, cos, tg

Найти катет по известному синусу угла и гипотенузе

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=4/15, AB=45. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=45*4/15=12

Ответ: 12

D8213E

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=7/12, AB=48. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=48*7/12=28

Ответ: 28

B972FB

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=4/11, AB=55. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=55*4/11=20

Ответ: 20

E65720

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=5/17, AB=51. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=51*5/17=15

Ответ: 15

D893F0

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=3/7, AB=21. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=21*3/7=9

Ответ: 9

6544F6

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=4/9, AB=18. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=18*4/9=8

Ответ: 8

F6882F

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=5/8, AB=16. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=16*5/8=10

Ответ: 10

564758

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=3/5, AB=10. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=10*3/5=6

Ответ: 6

50A4DC

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=5/16, AB=80. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=80*5/16=25

Ответ: 25

3D5005

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=7/20, AB=40. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=40*7/20=14

Ответ: 14

14A018

Найти катет по известному косинусу и гипотенузе

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=2/5, AB=10. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=10*2/5=4

Ответ: 4

1B8713

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=5/6, AB=18. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=18*5/6=15

Ответ: 15

481278

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=4/7, AB=21. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=21*4/7=12

Ответ: 12

D4E48F

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=3/8, AB=64. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=64*3/8=24

Ответ: 24

3F99AC

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=7/9, AB=54. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=54*7/9=42

Ответ: 42

915280

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=9/10, AB=60. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=60*9/10=54

Ответ: 54

56F660

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=5/12, AB=60. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=60*5/12=25

Ответ: 25

CA8E29

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=9/14, AB=42. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=42*9/14=27

Ответ: 27

52D8C1

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=11/15, AB=75. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=75*11/15=55

Ответ: 55

73E3A7

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=13/16, AB=96. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=96*13/16=78

Ответ: 78

D8738D

Найти катет по известному катету и тангенсу

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=3/4, BC=12. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=12*3/4=9

Ответ: 9

08FD08

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=7/6, BC=18. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=18*7/6=21

Ответ: 21

1BBB13

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=9/7, BC=42. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=42*9/7=54

Ответ: 54

14C45C

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=8/5, BC=20. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=20*8/5=32

Ответ: 32

1DB806

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=11/8, BC=24. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=24*11/8=33

Ответ: 33

EF04D8

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=5/9, BC=27. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=27*5/9=15

Ответ: 15

A915AF

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=7/12, BC=48. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=48*7/12=28

Ответ: 28

48CB65

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=4/7, BC=35. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=35*4/7=20

Ответ: 20

1EB6B0

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=7/4, BC=36. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=36*7/4=63

Ответ: 63

93C176

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=3/5, BC=30. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=30*3/5=18

Ответ: 18

757BB5

Найти синус по косинусу и наоборот

В решении заданий такого типа используйте основное тригонометрическое тождество

sin²α + cos²α=1

Выражаем то, что нужно найти, и подставляем известные значения.

Синус острого угла А треугольника АВС равен $frac{sqrt{21}}5$. Найдите cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^√21/₅)² = 1 — ²¹/₂₅ = 1 — 0,84 = 0,16
cosA = 0,4

Ответ: 0,4

99B7F9

Синус острого угла А треугольника АВС равен $frac{3sqrt{11}}{10}$. Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^3√11/₁₀)² = 1 — ⁹⁹/₁₀₀ = 0,01
cosA = 0,1

Ответ: 0,1

E52F99

Синус острого угла А треугольника АВС равен $frac{sqrt{91}}{10}$. Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^√91/₁₀)² = 1 — ⁹¹/₁₀₀ = 0,09
cosA = 0,3

Ответ: 0,3

5F0BC9

Синус острого угла A треугольника ABC равен $frac{2sqrt6}5$. Найдите cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^2√6/₅)² = 1 — ²⁴/₂₅ = 1-0,96 = 0,04
cosA = 0,2

Ответ: 0,2

DF0885

Синус острого угла A треугольника ABC равен $frac{3sqrt7}8$ . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^3√7/₈)² = 1 — ⁶³/₆₄ = 1-0,984375 = 0,015625
cosA = 0,125

Ответ: 0,125

Обратите внимание, что корень придется извлекать самостоятельно, поскольку числа 125 (трехзначного) в таблице квадратов на экзамене не будет.

D56817

Синус острого угла A треугольника ABC равен 4/5 . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (⁴/₅)² = 1 — ¹⁶/₂₅ = 1-0,64 = 0,36
cosA = 0,6

Ответ: 0,6

F548B1

Синус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt7}4$ . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^√7/₄)² = 1 — ⁷/₁₆ = 1-0,4375 = 0,5625
cosA = 0,75

Ответ: 0,75

F6FBB5

Синус острого угла A треугольника ABC равен 3/5 . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (³/₅)² = 1 — ⁹/₂₅ = 1-0,36 = 0,64
cosA = 0,8

Ответ: 0,8

4257EE

Синус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{19}}{10}$ . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^√19/₁₀)² = 1 — ¹⁹/₁₀₀ = 1-0,19 = 0,81
cosA = 0,9

Ответ: 0,9

DC7D62

Синус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{15}}4$ . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^√15/₄)² = 1 — ¹⁵/₁₆ = 1-0,9375 = 0,0625
cosA = 0,25

Ответ: 0,25

11D7EC

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{21}}5$ . Найдите  sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^√21/₅)² = 1 — ²¹/₂₅ = 1-0,84 = 0,16
sinA = 0,4

Ответ: 0,4

4BD96F

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{3sqrt{11}}{10}$ . Найдите  sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^3√11/₁₀)² = 1 — ⁹⁹/100 = 1-0,99 = 0,01
sinA = 0,1

Ответ: 0,1

EE565F

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{91}}{10}$ . Найдите  sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^√91/₁₀)² = 1 — ⁹¹/₁₀₀ = 1-0,91 = 0,09
sinA = 0,3

Ответ: 0,3

EE4155

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{2sqrt6}5$. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^2√6/₅)² = 1 — ²⁴/₂₅ = 1-0,96 = 0,04
sinA = 0,2

Ответ: 0,2

2657CA

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{3sqrt7}8$. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^3√7/₈)² = 1 — ⁶³/₆₄ = 1-0,984375 = 0,015625
sinA = 0,125

Ответ: 0,125

Обратите внимание, что корень придется извлекать самостоятельно, поскольку числа 125 (трехзначного) в таблице квадратов на экзамене не будет.

857A3B

Косинус острого угла A треугольника ABC равен 4/5. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (⁴/₅)² = 1 — ¹⁶/₂₅ = 1-0,64 = 0,36
sinA = 0,6

Ответ: 0,6

588CA0

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt7}4$. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^√7/₄)² = 1 — ⁷/₁₆ = 1-0,4375 = 0,5625
sinA = 0,75

Ответ: 0,75

5AC6CD

Косинус острого угла A треугольника ABC равен 3/5. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (³/₅)² = 1 — ⁹/₂₅ = 1-0,36 = 0,64
sinA = 0,8

Ответ: 0,8

3B3235

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{19}}{10}$. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^√19/₁₀)² = 1 — ¹⁹/₁₀₀ = 1-0,19 = 0,81
sinA = 0,9

Ответ: 0,9

4D93A9

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{15}}4$. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^√15/₄)² = 1 — ¹⁵/₁₆ = 1-0,9375 = 0,0625
sinA = 0,25

Ответ: 0,25

A426BF

Найти площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Подставляем известные величины и считаем.

Формула так же есть в справочных материалах ОГЭ, на экзамене можете ими воспользоваться.

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=10, sin∠ABC=1/3. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=6*10*1/3=20
Ответ: 20

D8DE10

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=12, sin∠ABC=1/4. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=6*12*1/4=18
Ответ: 18

510B5D

В треугольнике ABC известно, что AB=20, BC=7, sin∠ABC=2/5. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=20*7*2/5=56
Ответ: 56

21430B

В треугольнике ABC известно, что AB=15, BC=8, sin∠ABC=5/6. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=15*8*5/6=100
Ответ: 100

770975

В треугольнике ABC известно, что AB=14, BC=5, sin∠ABC=6/7. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=14*5*6/7=60
Ответ: 60

845EFC

В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=20, sin∠ABC=5/8. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=12*20*5/8=150
Ответ: 150

34F484

В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=15, sin∠ABC=4/9. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=12*15*4/9=80
Ответ: 80

86F9F5

В треугольнике ABC известно, что AB=16, BC=25, sin∠ABC=3/10. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=16*25*3/10=120
Ответ: 120

6B1EDE

В треугольнике ABC известно, что AB=9, BC=16, sin∠ABC=7/12. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=9*16*7/12=84
Ответ: 84

521C5A

В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=10, sin∠ABC=8/15. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=12*10*8/15=64
Ответ: 64

3A3D0B

Найти косинус угла, если известны 3 стороны треугольника

Вспомним теорему косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

а² = b² + с² — 2bс • cosα

Нужно выразить косинус и подставить известные величины.

Эта формула так же будет у вас под рукой на экзамене в справочных материалах ОГЭ.

В треугольнике АВС известно, что AB=8, BC=10, AC=12. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
cosα = (8² +10² + 12²) : 2*8*10 = 164/160 = 1,025

Ответ: 1,025

40840C

В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=7, AC=9. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2ast bast с}$=
Ответ: 

112015

В треугольнике ABC известно, что AB=3, BC=8, AC=7. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2ast bast с}$=
Ответ: 

6E8D8A

В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=10, AC=11. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2ast bast с}$=
Ответ: 

844A89

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=7, AC=8. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2ast bast с}$=
Ответ: 

79B29A

В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=6, AC=4. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2ast bast с}$=
Ответ: 

6557F1

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=8, AC=4. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2ast bast с}$=
Ответ: 

B5CF05

В треугольнике ABC известно, что AB=7, BC=8, AC=13. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2ast bast с}$=
Ответ: 

91941D

В треугольнике ABC известно, что AB=8, BC=10, AC=14. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2ast bast с}$=
Ответ: 

755B8F

В треугольнике ABC известно, что AB=2, BC=3, AC=4. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2ast bast с}$=
Ответ: 

05C64C

Найти синус по двум сторонам

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. И тот, и другой, известны. Подставляем и считаем.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, AB=10. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 6/10 = 0,6
Ответ: 0,6

A67245

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=4, AB=5. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 4/5 = 0,8
Ответ: 0,8

46D9DF

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=7, AB=25. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 7/25 = 0,28
Ответ: 0,28

6DA700

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=24, AB=25. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 24/25 = 0,96
Ответ: 0,96

C7A2A0

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, AB=20. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 6/20 = 0,3
Ответ: 0,3

ED2D47

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=11, AB=20. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 11/20 = 0,55
Ответ: 0,55

F1D3F8

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, AB=40. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 8/40 = 0,2
Ответ: 0,2

CDC6C7

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=16, AB=40. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 16/40 = 0,4
Ответ: 0,4

20BC46

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=9, AB=25. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 9/25 = 0,36
Ответ: 0,36

E2F916

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=13, AB=20. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 13/20 = 0,65
Ответ: 0,65

2C2621

Найти косинус по двум сторонам треугольника

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Подставляем известные значения и считаем.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=8, AB=10. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 8/10 = 0,8
Ответ: 0,8

36727A

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=3, AB=5. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 3/5 = 0,6
Ответ: 0,6

E4988D

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=14, AB=50. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 14/50 = 0,28
Ответ: 0,28

B9AA7C

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=72, AB=75. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 72/75 = 0,96
Ответ: 0,96

6E5515

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=14, AB=20. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 14/20 = 0,7
Ответ: 0,7

E812C8

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, AB=20. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 9/20 = 0,45
Ответ: 0,45

C759C5

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=30, AB=40. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 30/40 = 0,75
Ответ: 0,75

8854A8

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=26, AB=40. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 26/40 = 0,65
Ответ: 0,65

C5CD1E

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=16, AB=25. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 16/25 = 0,64
Ответ: 0,64

C3A5F2

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=7, AB=20. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 7/20 = 0,35
Ответ: 0,35

D58395

Найти тангенс угла по двум катетам

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Подставляем значения катетов и считаем.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, AC=2. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 2/5 = 0,4
Ответ: 0,4

98C7DF

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, AC=3. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 3/5 = 0,6
Ответ: 0,6

22FD03

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=10, AC=7. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 7/10 = 0,7
Ответ: 0,7

C18053

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=10, AC=8. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 8/10 = 0,8
Ответ: 0,8

33DA26

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=15, AC=3. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 3/15 = 0,2
Ответ: 0,2

DD620C

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, AC=27. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 27/9 = 3
Ответ: 3

342F0C

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, AC=20. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 20/5 = 4
Ответ: 4

B800B8

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=3, AC=18. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 18/3 = 6
Ответ: 6

FF498A

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=4, AC=28. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 28/4 = 7
Ответ: 7

C9E181

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=7, AC=35. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 35/7 = 5
Ответ: 5

0663D4

Задачи ОГЭ с развернутым ответом

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt{15}}4$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 4*15
АE = $sqrt{4ast15}$= $sqrt{60}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{60}$² +4² — 2*$sqrt{60}$*4*$frac{sqrt{15}}4$= 60+16-2*$sqrt{60}$*$sqrt{15}$=76-2*30=16
EM = $sqrt{16}$ =4

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{60}$² +15² — 2*$sqrt{60}$*15*$frac{sqrt{15}}4$=60+225-($sqrt{900}$*15)/2=285-225=60
EN = $sqrt{60}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{60}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

 $sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{sqrt{15}}4right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{sqrt{15}}4right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac{15}{16}\sinangle ENA^2;=;frac1{16}\sinangle ENA;=frac14\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2astsinangle;E;N;A};;=frac4{2ast{displaystylefrac14}}=8\\\\$  
Ответ: 8

F41EBF

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt7}4$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 12*21
АE = $sqrt{12ast21}$= $sqrt{252}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{252}$² +12² — 2*$sqrt{252}$*12*$frac{sqrt7}4$= 252+144-2*$sqrt{252}$*12*$frac{sqrt7}4$=396-252=$sqrt{144}$
EM = $sqrt{144}$ =12

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{252}$² +21² — 2*$sqrt{252}$*21*$frac{sqrt7}4$=252+441-441=252
EN = $sqrt{252}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{252}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

 $sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{sqrt7}4right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{sqrt7}4right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac7{16}\sinangle ENA^2;=;frac9{16}\sinangle ENA^;=frac34\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2sinangle ENA}=frac{12}{2{displaystylefrac34}}=frac{48}6=8$

Ответ: 8

23C5ED

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 8 и 30 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt{15}}4$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 8*30
АE = $sqrt{8ast30}$= $sqrt{240}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{240}$² +8² — 2*$sqrt{240}$*8*$frac{sqrt{15}}4$=240+64-240=64
EM = 8

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{240}$² +30² — 2*$sqrt{240}$*30*$frac{sqrt{15}}4$=240+900-900=240
EN = $sqrt{240}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{240}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

$sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{sqrt{15}}4right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{sqrt{15}}4right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac{15}{16}\sinangle ENA^2;=;frac1{16}\sinangle ENA;=frac14\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2sinangle ENA}=frac8{2{displaystylefrac14}}=frac{32}2=16$

Ответ: 16

1D3A90

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 22 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt{11}}6$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 18*22
АE = $sqrt{18ast22}$= $sqrt{396}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{396}$² +18² — 2*$sqrt{396}$*18*$frac{sqrt{11}}6$=396+324-396=324
EM = 18

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{396}$² +22² — 2*$sqrt{396}$*22*$frac{sqrt{11}}6$=396+484-484=396
EN = $sqrt{396}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{396}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

$sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{sqrt{11}}6right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{sqrt{11}}6right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac{11}{36}\sinangle ENA^2;=;frac{25}{36}\sinangle ENA;=frac56\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2sinangle ENA}=frac18{2{displaystylefrac56}}=frac{21.6}2=10.8$

Ответ: 10.8

35C690

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt5}3$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 18*40
АE = $sqrt{18ast40}$= $sqrt{720}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{720}$² +18² — 2*$sqrt{720}$*18*$frac{sqrt{5}}3$=720+324-720=324
EM = 18

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{720}$² +40² — 2*$sqrt{720}$*40*$frac{sqrt{5}}3$=720+1600-1600=720
EN = $sqrt{720}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{720}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

$sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{sqrt5}3right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{sqrt5}3right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac59\sinangle ENA^2;=;frac49\sinangle ENA;=frac23\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2sinangle ENA}=frac18{2{displaystylefrac23}}=frac{54}4=13.5$

Ответ: 13.5

CCD611

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 35 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt{35}}6$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 9*35
АE = $sqrt{9ast35}$= $sqrt{315}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{315}$² +9² — 2*$sqrt{315}$*9*$frac{sqrt{35}}6$=315+81-315=81
EM = 9

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{315}$² +35² — 2*$sqrt{315}$*35*$frac{sqrt{35}}6$=315+1225-1225=315
EN = $sqrt{315}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{315}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

$sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{sqrt{35}}6right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{sqrt{35}}6right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac{35}{36}\sinangle ENA^2;=;frac1{36}\sinangle ENA;=frac16\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2sinangle ENA}=frac9{2{displaystylefrac16}}=frac{54}2=27$

Ответ: 27

65B0A0

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt{15}}4$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 12*45
АE = $sqrt{12ast45}$= $sqrt{540}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{540}$² +12² — 2*$sqrt{540}$*12*$frac{sqrt{15}}4$=540+144-540=144
EM = 12

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{540}$² +45² — 2*$sqrt{540}$*45*$frac{sqrt{15}}4$=540+2025-2025=540
EN = $sqrt{540}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{540}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

$sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{sqrt{15}}4right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{sqrt{15}}4right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac{15}{16}\sinangle ENA^2;=;frac1{16}\sinangle ENA;=frac14\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2sinangle ENA}=frac{12}{2{displaystylefrac14}}=frac{48}2=24$

Ответ: 24

36C43D

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{2sqrt2}3$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 9*32
АE = $sqrt{9ast32}$= $sqrt{288}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{288}$² +9² — 2*$sqrt{288}$*9*$frac{2sqrt2}3$=288+81-288=81
EM = 9

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{288}$² +32² — 2*$sqrt{288}$*32*$frac{2sqrt2}3$=288+1024-1024=288
EN = $sqrt{288}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{288}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

$sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{2sqrt2}3right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{2sqrt2}3right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac89\sinangle ENA^2;=;frac13\sinangle ENA;=frac13\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2sinangle ENA}=frac9{2{displaystylefrac13}}=frac{27}2=13,5$

Ответ: 13,5

A077B6

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 24 и 42 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt7}4$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 24*42
АE = $sqrt{24ast42}$= $sqrt{1008}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{1008}$² +24² — 2*$sqrt{1008}$*24*$frac{sqrt7}4$=1008+576-1008=576
EM = 24

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{1008}$² +42² — 2*$sqrt{1008}$*42*$frac{sqrt7}4$=1008+1764-1764=1008
EN = $sqrt{1008}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{1008}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

$sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{sqrt7}4right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{sqrt7}4right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac7{16}\sinangle ENA^2;=;frac9{16}\sinangle ENA;=frac34\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2sinangle ENA}=frac{24}{2{displaystylefrac34}}=frac{96}3=32$

Ответ: 32

973563

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 36 и 44 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt{11}}6$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 36*44
АE = $sqrt{36ast44}$= $sqrt{1584}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{1584}$² +36² — 2*$sqrt{1584}$*36*$frac{sqrt11}6$=1584+1296-1584=1296
EM = 36

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{1584}$² +44² — 2*$sqrt{1584}$*44*$frac{sqrt11}6$=1584+1936-1936=1584
EN = $sqrt{1584}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{1584}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

$sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{sqrt{11}}6right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{sqrt{11}}6right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac{11}{36}\sinangle ENA^2;=;frac{25}{36}\sinangle ENA;=frac56\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2sinangle ENA}=frac{36}{2{displaystylefrac56}}=frac{216}{10}=21.6$

Ответ: 21.6

A142B2

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 16 и 39 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt{39}}8$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 16*39
АE = $sqrt{16ast39}$= $sqrt{624}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = $sqrt{624}$² +16² — 2*$sqrt{624}$*16*$frac{sqrt{39}}8$=624+256-624=256
EM = 16

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = $sqrt{624}$² +39² — 2*$sqrt{624}$*39*$frac{sqrt{39}}8$=624+1521-1521=624
EN = $sqrt{624}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = $sqrt{624}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

$sinangle ENA^2+cosangle ENA^2;=1\sinangle ENA^2+left(frac{sqrt{39}}8right)^2;=1\sinangle ENA^2=1-left(frac{sqrt{39}}8right)^2\sinangle ENA^2;=;1;-;frac{39}{64}\sinangle ENA^2;=;frac{25}{64}\sinangle ENA;=frac58\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2sinangle ENA}=frac{39}{2{displaystylefrac58}}=frac{312}{10}=31.2$

Ответ: 31.2

553368

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=$frac{sqrt{11}}6$.

Решение:

Найдем AE, по теореме (свойствам) о касательной и секущей. Подробно мы рассказали об этом в другой статье.

Если из одной точки (А) к окружности проведена секущая (АN) и касательная (АE), то произведение всей секущей (АN) на ее внешнюю часть (АM) равно квадрату отрезка касательной (АE).

АE² = АN·АM 
АE² = 9*11
АE = $sqrt{9ast11}$= 3$sqrt{11}$

Теперь по теореме косинусов найдем EM

EM² = AE²+AM² — 2AE*AM*cos∠BAC
EM² = 3²$sqrt{11}$² +9² — 2*3$sqrt{11}$*9*$frac{sqrt{11}}6$=9*11+81-11*9=81
EM = 9

из той же теоремы найдем 

EN² = AE²+AN² — 2AE*AN*cos∠BAC
EN² = 3²$sqrt{11}$² +11² — 2*3$sqrt{11}$*11*$frac{sqrt{11}}6$=3²$sqrt{11}$² +121-121 = 3²$sqrt{11}$² 
EN = 3$sqrt{11}$

Из получившегося значения EN можно сделать вывод, что △AEN равнобедренный, где AE = EN = 3$sqrt{11}$.

Делаем вывод о том, что △AME подобен треугольнику △AEN по общему углу и по тому, что они равнобедренные. 

Теперь из основного тригонометрического тождества найдем ∠BAC или он же ∠ENA, через sin угла. 

$sinangle B;A;C^2+cosangle B;A;C^2=1\sinangle B;A;C^2=1-cosangle B;A;C^2\sinangle B;A;C^2=1-frac{sqrt{11}}6^2\sinangle B;A;C^2;=;1-frac{11}{36}\sinangle B;A;C^2;=frac{25}{36}\sinangle B;A;C;=;frac56\\\\$

При этом из формулы радиуса описанной окружности получаем.

$R=frac{EM}{2astsinangle;B;A;C};;=frac9{2ast{displaystylefrac56}}=5.4\\\\$ 

Ответ: 5.4

B83171

Каталог заданий.
1. Синус, косинус, тангенс, котангенс

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Вспоминаем, что такое синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике.

 Таким образом, синус и косинус задействуют гипотенузу, а тангенс — только катеты. Синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе; косинус — прилежащего к гипотенузе; тангенс — противолежащего катета к прилежащему.

Если на ОГЭ вы от волнения забудете, как находить косинус, синус и тангенс, загляните в справочные материалы на ваших листах с заданиями, там будут подсказки (в разделе геометрии).

В открытом банке заданий ФИПИ есть следующие задачи на эту тему, которые могут вам попасться на реальном экзамене в этом году.

Задания из банка ФИПИ с sin, cos, tg

Найти катет по известному синусу угла и гипотенузе

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=4/15, AB=45. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=45*4/15=12

Ответ: 12

D8213E

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=7/12, AB=48. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=48*7/12=28

Ответ: 28

B972FB

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=4/11, AB=55. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=55*4/11=20

Ответ: 20

E65720

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=5/17, AB=51. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=51*5/17=15

Ответ: 15

D893F0

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=3/7, AB=21. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=21*3/7=9

Ответ: 9

6544F6

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=4/9, AB=18. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=18*4/9=8

Ответ: 8

F6882F

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=5/8, AB=16. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=16*5/8=10

Ответ: 10

564758

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=3/5, AB=10. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=10*3/5=6

Ответ: 6

50A4DC

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=5/16, AB=80. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=80*5/16=25

Ответ: 25

3D5005

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB=7/20, AB=40. Найдите AC.

Решение:

По определению синуса:
sinB=^AC/_AB
AC=AB*sinB=40*7/20=14

Ответ: 14

14A018

Найти катет по известному косинусу и гипотенузе

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=2/5, AB=10. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=10*2/5=4

Ответ: 4

1B8713

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=5/6, AB=18. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=18*5/6=15

Ответ: 15

481278

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=4/7, AB=21. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=21*4/7=12

Ответ: 12

D4E48F

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=3/8, AB=64. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=64*3/8=24

Ответ: 24

3F99AC

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=7/9, AB=54. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=54*7/9=42

Ответ: 42

915280

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=9/10, AB=60. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=60*9/10=54

Ответ: 54

56F660

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=5/12, AB=60. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=60*5/12=25

Ответ: 25

CA8E29

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=9/14, AB=42. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=42*9/14=27

Ответ: 27

52D8C1

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=11/15, AB=75. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=75*11/15=55

Ответ: 55

73E3A7

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=13/16, AB=96. Найдите BC.

Решение:

По определению косинуса:
cosB=^BC/_AB
BC=АВ*cosB=96*13/16=78

Ответ: 78

D8738D

Найти катет по известному катету и тангенсу

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=3/4, BC=12. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=12*3/4=9

Ответ: 9

08FD08

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=7/6, BC=18. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=18*7/6=21

Ответ: 21

1BBB13

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=9/7, BC=42. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=42*9/7=54

Ответ: 54

14C45C

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=8/5, BC=20. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=20*8/5=32

Ответ: 32

1DB806

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=11/8, BC=24. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=24*11/8=33

Ответ: 33

EF04D8

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=5/9, BC=27. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=27*5/9=15

Ответ: 15

A915AF

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=7/12, BC=48. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=48*7/12=28

Ответ: 28

48CB65

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=4/7, BC=35. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=35*4/7=20

Ответ: 20

1EB6B0

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=7/4, BC=36. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=36*7/4=63

Ответ: 63

93C176

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=3/5, BC=30. Найдите AC.

Решение:

По определению тангенса:
tgB=^AC/_BC
AC=BC*tgB=30*3/5=18

Ответ: 18

757BB5

Найти синус по косинусу и наоборот

В решении заданий такого типа используйте основное тригонометрическое тождество

sin²α + cos²α=1

Выражаем то, что нужно найти, и подставляем известные значения.

Синус острого угла А треугольника АВС равен $frac{sqrt{21}}5$. Найдите cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^√21/₅)² = 1 — ²¹/₂₅ = 1 — 0,84 = 0,16
cosA = 0,4

Ответ: 0,4

99B7F9

Синус острого угла А треугольника АВС равен $frac{3sqrt{11}}{10}$. Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^3√11/₁₀)² = 1 — ⁹⁹/₁₀₀ = 0,01
cosA = 0,1

Ответ: 0,1

E52F99

Синус острого угла А треугольника АВС равен $frac{sqrt{91}}{10}$. Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^√91/₁₀)² = 1 — ⁹¹/₁₀₀ = 0,09
cosA = 0,3

Ответ: 0,3

5F0BC9

Синус острого угла A треугольника ABC равен $frac{2sqrt6}5$. Найдите cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^2√6/₅)² = 1 — ²⁴/₂₅ = 1-0,96 = 0,04
cosA = 0,2

Ответ: 0,2

DF0885

Синус острого угла A треугольника ABC равен $frac{3sqrt7}8$ . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^3√7/₈)² = 1 — ⁶³/₆₄ = 1-0,984375 = 0,015625
cosA = 0,125

Ответ: 0,125

Обратите внимание, что корень придется извлекать самостоятельно, поскольку числа 125 (трехзначного) в таблице квадратов на экзамене не будет.

D56817

Синус острого угла A треугольника ABC равен 4/5 . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (⁴/₅)² = 1 — ¹⁶/₂₅ = 1-0,64 = 0,36
cosA = 0,6

Ответ: 0,6

F548B1

Синус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt7}4$ . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^√7/₄)² = 1 — ⁷/₁₆ = 1-0,4375 = 0,5625
cosA = 0,75

Ответ: 0,75

F6FBB5

Синус острого угла A треугольника ABC равен 3/5 . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (³/₅)² = 1 — ⁹/₂₅ = 1-0,36 = 0,64
cosA = 0,8

Ответ: 0,8

4257EE

Синус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{19}}{10}$ . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^√19/₁₀)² = 1 — ¹⁹/₁₀₀ = 1-0,19 = 0,81
cosA = 0,9

Ответ: 0,9

DC7D62

Синус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{15}}4$ . Найдите  cosA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
cos²A = 1 — sin²A =1 — (^√15/₄)² = 1 — ¹⁵/₁₆ = 1-0,9375 = 0,0625
cosA = 0,25

Ответ: 0,25

11D7EC

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{21}}5$ . Найдите  sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^√21/₅)² = 1 — ²¹/₂₅ = 1-0,84 = 0,16
sinA = 0,4

Ответ: 0,4

4BD96F

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{3sqrt{11}}{10}$ . Найдите  sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^3√11/₁₀)² = 1 — ⁹⁹/100 = 1-0,99 = 0,01
sinA = 0,1

Ответ: 0,1

EE565F

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{91}}{10}$ . Найдите  sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^√91/₁₀)² = 1 — ⁹¹/₁₀₀ = 1-0,91 = 0,09
sinA = 0,3

Ответ: 0,3

EE4155

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{2sqrt6}5$. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^2√6/₅)² = 1 — ²⁴/₂₅ = 1-0,96 = 0,04
sinA = 0,2

Ответ: 0,2

2657CA

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{3sqrt7}8$. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^3√7/₈)² = 1 — ⁶³/₆₄ = 1-0,984375 = 0,015625
sinA = 0,125

Ответ: 0,125

Обратите внимание, что корень придется извлекать самостоятельно, поскольку числа 125 (трехзначного) в таблице квадратов на экзамене не будет.

857A3B

Косинус острого угла A треугольника ABC равен 4/5. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (⁴/₅)² = 1 — ¹⁶/₂₅ = 1-0,64 = 0,36
sinA = 0,6

Ответ: 0,6

588CA0

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt7}4$. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^√7/₄)² = 1 — ⁷/₁₆ = 1-0,4375 = 0,5625
sinA = 0,75

Ответ: 0,75

5AC6CD

Косинус острого угла A треугольника ABC равен 3/5. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (³/₅)² = 1 — ⁹/₂₅ = 1-0,36 = 0,64
sinA = 0,8

Ответ: 0,8

3B3235

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{19}}{10}$. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^√19/₁₀)² = 1 — ¹⁹/₁₀₀ = 1-0,19 = 0,81
sinA = 0,9

Ответ: 0,9

4D93A9

Косинус острого угла A треугольника ABC равен $frac{sqrt{15}}4$. Найдите sinA.

Решение:

Воспользуемся основной тригонометрической формулой:
sin²A+cos²A=1
sin²A = 1 — cos²A =1 — (^√15/₄)² = 1 — ¹⁵/₁₆ = 1-0,9375 = 0,0625
sinA = 0,25

Ответ: 0,25

A426BF

Найти площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Подставляем известные величины и считаем.

Формула так же есть в справочных материалах ОГЭ, на экзамене можете ими воспользоваться.

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=10, sin∠ABC=1/3. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=6*10*1/3=20
Ответ: 20

D8DE10

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=12, sin∠ABC=1/4. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=6*12*1/4=18
Ответ: 18

510B5D

В треугольнике ABC известно, что AB=20, BC=7, sin∠ABC=2/5. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=20*7*2/5=56
Ответ: 56

21430B

В треугольнике ABC известно, что AB=15, BC=8, sin∠ABC=5/6. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=15*8*5/6=100
Ответ: 100

770975

В треугольнике ABC известно, что AB=14, BC=5, sin∠ABC=6/7. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=14*5*6/7=60
Ответ: 60

845EFC

В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=20, sin∠ABC=5/8. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=12*20*5/8=150
Ответ: 150

34F484

В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=15, sin∠ABC=4/9. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=12*15*4/9=80
Ответ: 80

86F9F5

В треугольнике ABC известно, что AB=16, BC=25, sin∠ABC=3/10. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=16*25*3/10=120
Ответ: 120

6B1EDE

В треугольнике ABC известно, что AB=9, BC=16, sin∠ABC=7/12. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=9*16*7/12=84
Ответ: 84

521C5A

В треугольнике ABC известно, что AB=12, BC=10, sin∠ABC=8/15. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

S=¹/₂аb•sinγ=12*10*8/15=64
Ответ: 64

3A3D0B

Найти косинус угла, если известны 3 стороны треугольника

Вспомним теорему косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

а² = b² + с² — 2bс • cosα

Нужно выразить косинус и подставить известные величины.

Эта формула так же будет у вас под рукой на экзамене в справочных материалах ОГЭ.

В треугольнике АВС известно, что AB=8, BC=10, AC=12. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
cosα = (8² +10² — 12²) : 2*8*10 = 20/160 = 0,125

Ответ: 0,125

40840C

В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=7, AC=9. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{5^2+7^2-9^2}{2ast 5ast 7}$ = -7/70 = -0,1
Ответ: -0,1

112015

В треугольнике ABC известно, что AB=3, BC=8, AC=7. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{3^2+8^2-7^2}{2ast 3ast 8}$= 24/48 = 0,5
Ответ: 0,5

6E8D8A

В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=10, AC=11. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{5^2+10^2-11^2}{2ast 5ast 10}$= 4/100 = 0,04
Ответ: 0,04

844A89

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=7, AC=8. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{6^2+7^2-8^2}{2ast 6ast 7}$= 21/84 = 0,25
Ответ: 0,25

79B29A

В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=6, AC=4. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{5^2+6^2-4^2}{2ast 5ast 6}$= 45/60 = 0,75
Ответ: 0,75

6557F1

В треугольнике ABC известно, что AB=6, BC=8, AC=4. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{6^2+8^2-4^2}{2ast 6ast 8}$= 84/96
Ответ: 0,875

B5CF05

В треугольнике ABC известно, что AB=7, BC=8, AC=13. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{7^2+8^2-13^2}{2ast 7ast 8}$= -56/112 = -0,5
Ответ: -0,5

91941D

В треугольнике ABC известно, что AB=8, BC=10, AC=14. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{8^2+10^2-14^2}{2ast 8ast 10}$= -32/160 = -0,2
Ответ: -0,2

755B8F

В треугольнике ABC известно, что AB=2, BC=3, AC=4. Найдите cos∠ABC.

Решение:

а² = b² + с² — 2bс • cosα
2bс • cosα =  b² + с² —  а²
$cosalpha=frac{b^2+с^2-а^2}{2bс}$
$cosalpha=frac{2^2+3^2-4^2}{2ast 2ast 3}$= -3/12 = -0,25
Ответ: -0,25

05C64C

Найти синус по двум сторонам

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. И тот, и другой, известны. Подставляем и считаем.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, AB=10. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 6/10 = 0,6
Ответ: 0,6

A67245

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=4, AB=5. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 4/5 = 0,8
Ответ: 0,8

46D9DF

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=7, AB=25. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 7/25 = 0,28
Ответ: 0,28

6DA700

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=24, AB=25. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 24/25 = 0,96
Ответ: 0,96

C7A2A0

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, AB=20. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 6/20 = 0,3
Ответ: 0,3

ED2D47

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=11, AB=20. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 11/20 = 0,55
Ответ: 0,55

F1D3F8

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, AB=40. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 8/40 = 0,2
Ответ: 0,2

CDC6C7

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=16, AB=40. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 16/40 = 0,4
Ответ: 0,4

20BC46

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=9, AB=25. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 9/25 = 0,36
Ответ: 0,36

E2F916

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=13, AB=20. Найдите sinB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
sinB = АС/АВ = 13/20 = 0,65
Ответ: 0,65

2C2621

Найти косинус по двум сторонам треугольника

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Подставляем известные значения и считаем.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=8, AB=10. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 8/10 = 0,8
Ответ: 0,8

36727A

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=3, AB=5. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 3/5 = 0,6
Ответ: 0,6

E4988D

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=14, AB=50. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 14/50 = 0,28
Ответ: 0,28

B9AA7C

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=72, AB=75. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 72/75 = 0,96
Ответ: 0,96

6E5515

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=14, AB=20. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 14/20 = 0,7
Ответ: 0,7

E812C8

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, AB=20. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 9/20 = 0,45
Ответ: 0,45

C759C5

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=30, AB=40. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 30/40 = 0,75
Ответ: 0,75

8854A8

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=26, AB=40. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 26/40 = 0,65
Ответ: 0,65

C5CD1E

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=16, AB=25. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 16/25 = 0,64
Ответ: 0,64

C3A5F2

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=7, AB=20. Найдите cosB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
cosB = ВС/АВ = 7/20 = 0,35
Ответ: 0,35

D58395

Найти тангенс угла по двум катетам

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Подставляем значения катетов и считаем.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, AC=2. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 2/5 = 0,4
Ответ: 0,4

98C7DF

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, AC=3. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 3/5 = 0,6
Ответ: 0,6

22FD03

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=10, AC=7. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 7/10 = 0,7
Ответ: 0,7

C18053

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=10, AC=8. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 8/10 = 0,8
Ответ: 0,8

33DA26

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=15, AC=3. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 3/15 = 0,2
Ответ: 0,2

DD620C

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, AC=27. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 27/9 = 3
Ответ: 3

342F0C

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, AC=20. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 20/5 = 4
Ответ: 4

B800B8

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=3, AC=18. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 18/3 = 6
Ответ: 6

FF498A

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=4, AC=28. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 28/4 = 7
Ответ: 7

C9E181

В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=7, AC=35. Найдите tgB.

Решение:

∠ C = 90°, значит треугольник прямоугольный.
tgB = АС/ВС = 35/7 = 5
Ответ: 5

0663D4