Как найти синус наибольшего угла - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.

Игры с линейкой и карандашом

Простая задача: как найти синус угла, нарисованного на бумаге? Для решения понадобится обычная линейка, треугольник (или циркуль) и карандаш. Простейшим способом вычислить синус угла можно, разделив дальний катет треугольника с прямым углом на длинную сторону — гипотенузу. Таким образом, сначала нужно дополнить острый угол до фигуры прямоугольного треугольника, прочертив перпендикулярную одному из лучей линию на произвольном расстоянии от вершины угла. Потребуется соблюсти угол именно 90°, для чего нам и понадобится канцелярский треугольник.

Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени. На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий. Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.

В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.

Найти синус для угла больше 90°

Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.

Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям

Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.

Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.

Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.

Как находить синус при известном котангенсе угла? Значение котангенса можно вычислить, разделив длину ближнего от угла катета на длину дальнего, а также поделив косинус на синус, то есть котангенс — функция, обратная тангенсу относительно числа 1. Для расчёта синуса можно вычислить тангенс по формуле tg α = 1 / ctg α и воспользоваться формулой во втором варианте. Также можно вывести прямую формулу по аналогии с тангенсом, которая будет выглядеть следующим образом.

Как находить синус по трём сторонам треугольника

Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.

Ну, а синус можно далее рассчитать по косинусу согласно формулам выше.

Источник

Вычислить синус большего угла

Соня спросил 5 лет назад

Катеты прямоугольного треугольника равны 1 см и 3 см. Вычислить синус большего угла.

Источник

Синус угла. Таблица синусов.

Синус угла через градусы, минуты и секунды

Синус угла через десятичную запись угла

Как найти угол зная синус этого угла

У синуса есть обратная тригонометрическая функция — arcsin(y)=x

sin(arcsin(y))=y

Пример sin(30°) = 1/2; arcsin(1/2) = 30°

Рассчитать арксинус

Определение синуса

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синусом угла α называется ордината точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.

sin(α) = BC/AB

sin(-α) = -sin(α)

Периодичность синуса

Функция y = sin(x) периодична, с периодом 2π

sin(α ± 2π) = sin(α)

Пример sin(5π) = sin(4π + π) = sin(π)

Таблица синусов в радианах

sin(0°) = 0sin(π/12) = sin(15°) = 0.2588190451sin(π/6) = sin(30°) = 0.5sin(π/4) = sin(45°) = 0.7071067812sin(π/3) = sin(60°) = 0.8660254038sin(5π/12) = sin(75°) = 0.9659258263sin(π/2) = sin(90°) = 1sin(7π/12) = sin(105°) = 0.9659258263sin(2π/3) = sin(120°) = 0.8660254038sin(3π/4) = sin(135°) = 0.7071067812sin(5π/6) = sin(150°) = 0.5sin(11π/12) = sin(165°) = 0.2588190451sin(π) = sin(180°) = 0sin(13π/12) = sin(195°) = -0.2588190451sin(7π/6) = sin(210°) = -0.5sin(5π/4) = sin(225°) = -0.7071067812sin(4π/3) = sin(240°) = -0.8660254038sin(17π/12) = sin(255°) = -0.9659258263sin(3π/2) = sin(270°) = -1sin(19π/12) = sin(285°) = -0.9659258263sin(5π/3) = sin(300°) = -0.8660254038sin(7π/4) = sin(315°) = -0.7071067812sin(11π/6) = sin(330°) = -0.5sin(23π/12) = sin(345°) = -0.2588190451

Таблица Брадиса синусы

sin(0) = 0	sin(120) = 0.8660254038	sin(240) = -0.8660254038
sin(1) = 0.01745240644	sin(121) = 0.8571673007	sin(241) = -0.8746197071
sin(2) = 0.0348994967	sin(122) = 0.8480480962	sin(242) = -0.8829475929
sin(3) = 0.05233595624	sin(123) = 0.8386705679	sin(243) = -0.8910065242
sin(4) = 0.06975647374	sin(124) = 0.8290375726	sin(244) = -0.8987940463
sin(5) = 0.08715574275	sin(125) = 0.8191520443	sin(245) = -0.906307787
sin(6) = 0.1045284633	sin(126) = 0.8090169944	sin(246) = -0.9135454576
sin(7) = 0.1218693434	sin(127) = 0.79863551	sin(247) = -0.9205048535
sin(8) = 0.139173101	sin(128) = 0.7880107536	sin(248) = -0.9271838546
sin(9) = 0.156434465	sin(129) = 0.7771459615	sin(249) = -0.9335804265
sin(10) = 0.1736481777	sin(130) = 0.7660444431	sin(250) = -0.9396926208
sin(11) = 0.1908089954	sin(131) = 0.7547095802	sin(251) = -0.9455185756
sin(12) = 0.2079116908	sin(132) = 0.7431448255	sin(252) = -0.9510565163
sin(13) = 0.2249510543	sin(133) = 0.7313537016	sin(253) = -0.956304756
sin(14) = 0.2419218956	sin(134) = 0.7193398003	sin(254) = -0.9612616959
sin(15) = 0.2588190451	sin(135) = 0.7071067812	sin(255) = -0.9659258263
sin(16) = 0.2756373558	sin(136) = 0.6946583705	sin(256) = -0.9702957263
sin(17) = 0.2923717047	sin(137) = 0.6819983601	sin(257) = -0.9743700648
sin(18) = 0.3090169944	sin(138) = 0.6691306064	sin(258) = -0.9781476007
sin(19) = 0.3255681545	sin(139) = 0.656059029	sin(259) = -0.9816271834
sin(20) = 0.3420201433	sin(140) = 0.6427876097	sin(260) = -0.984807753
sin(21) = 0.3583679495	sin(141) = 0.629320391	sin(261) = -0.9876883406
sin(22) = 0.3746065934	sin(142) = 0.6156614753	sin(262) = -0.9902680687
sin(23) = 0.3907311285	sin(143) = 0.6018150232	sin(263) = -0.9925461516
sin(24) = 0.4067366431	sin(144) = 0.5877852523	sin(264) = -0.9945218954
sin(25) = 0.4226182617	sin(145) = 0.5735764364	sin(265) = -0.9961946981
sin(26) = 0.4383711468	sin(146) = 0.5591929035	sin(266) = -0.9975640503
sin(27) = 0.4539904997	sin(147) = 0.544639035	sin(267) = -0.9986295348
sin(28) = 0.4694715628	sin(148) = 0.5299192642	sin(268) = -0.999390827
sin(29) = 0.4848096202	sin(149) = 0.5150380749	sin(269) = -0.9998476952
sin(30) = 0.5	sin(150) = 0.5	sin(270) = -1
sin(31) = 0.5150380749	sin(151) = 0.4848096202	sin(271) = -0.9998476952
sin(32) = 0.5299192642	sin(152) = 0.4694715628	sin(272) = -0.999390827
sin(33) = 0.544639035	sin(153) = 0.4539904997	sin(273) = -0.9986295348
sin(34) = 0.5591929035	sin(154) = 0.4383711468	sin(274) = -0.9975640503
sin(35) = 0.5735764364	sin(155) = 0.4226182617	sin(275) = -0.9961946981
sin(36) = 0.5877852523	sin(156) = 0.4067366431	sin(276) = -0.9945218954
sin(37) = 0.6018150232	sin(157) = 0.3907311285	sin(277) = -0.9925461516
sin(38) = 0.6156614753	sin(158) = 0.3746065934	sin(278) = -0.9902680687
sin(39) = 0.629320391	sin(159) = 0.3583679495	sin(279) = -0.9876883406
sin(40) = 0.6427876097	sin(160) = 0.3420201433	sin(280) = -0.984807753
sin(41) = 0.656059029	sin(161) = 0.3255681545	sin(281) = -0.9816271834
sin(42) = 0.6691306064	sin(162) = 0.3090169944	sin(282) = -0.9781476007
sin(43) = 0.6819983601	sin(163) = 0.2923717047	sin(283) = -0.9743700648
sin(44) = 0.6946583705	sin(164) = 0.2756373558	sin(284) = -0.9702957263
sin(45) = 0.7071067812	sin(165) = 0.2588190451	sin(285) = -0.9659258263
sin(46) = 0.7193398003	sin(166) = 0.2419218956	sin(286) = -0.9612616959
sin(47) = 0.7313537016	sin(167) = 0.2249510543	sin(287) = -0.956304756
sin(48) = 0.7431448255	sin(168) = 0.2079116908	sin(288) = -0.9510565163
sin(49) = 0.7547095802	sin(169) = 0.1908089954	sin(289) = -0.9455185756
sin(50) = 0.7660444431	sin(170) = 0.1736481777	sin(290) = -0.9396926208
sin(51) = 0.7771459615	sin(171) = 0.156434465	sin(291) = -0.9335804265
sin(52) = 0.7880107536	sin(172) = 0.139173101	sin(292) = -0.9271838546
sin(53) = 0.79863551	sin(173) = 0.1218693434	sin(293) = -0.9205048535
sin(54) = 0.8090169944	sin(174) = 0.1045284633	sin(294) = -0.9135454576
sin(55) = 0.8191520443	sin(175) = 0.08715574275	sin(295) = -0.906307787
sin(56) = 0.8290375726	sin(176) = 0.06975647374	sin(296) = -0.8987940463
sin(57) = 0.8386705679	sin(177) = 0.05233595624	sin(297) = -0.8910065242
sin(58) = 0.8480480962	sin(178) = 0.0348994967	sin(298) = -0.8829475929
sin(59) = 0.8571673007	sin(179) = 0.01745240644	sin(299) = -0.8746197071
sin(60) = 0.8660254038	sin(180) = 0	sin(300) = -0.8660254038
sin(61) = 0.8746197071	sin(181) = -0.01745240644	sin(301) = -0.8571673007
sin(62) = 0.8829475929	sin(182) = -0.0348994967	sin(302) = -0.8480480962
sin(63) = 0.8910065242	sin(183) = -0.05233595624	sin(303) = -0.8386705679
sin(64) = 0.8987940463	sin(184) = -0.06975647374	sin(304) = -0.8290375726
sin(65) = 0.906307787	sin(185) = -0.08715574275	sin(305) = -0.8191520443
sin(66) = 0.9135454576	sin(186) = -0.1045284633	sin(306) = -0.8090169944
sin(67) = 0.9205048535	sin(187) = -0.1218693434	sin(307) = -0.79863551
sin(68) = 0.9271838546	sin(188) = -0.139173101	sin(308) = -0.7880107536
sin(69) = 0.9335804265	sin(189) = -0.156434465	sin(309) = -0.7771459615
sin(70) = 0.9396926208	sin(190) = -0.1736481777	sin(310) = -0.7660444431
sin(71) = 0.9455185756	sin(191) = -0.1908089954	sin(311) = -0.7547095802
sin(72) = 0.9510565163	sin(192) = -0.2079116908	sin(312) = -0.7431448255
sin(73) = 0.956304756	sin(193) = -0.2249510543	sin(313) = -0.7313537016
sin(74) = 0.9612616959	sin(194) = -0.2419218956	sin(314) = -0.7193398003
sin(75) = 0.9659258263	sin(195) = -0.2588190451	sin(315) = -0.7071067812
sin(76) = 0.9702957263	sin(196) = -0.2756373558	sin(316) = -0.6946583705
sin(77) = 0.9743700648	sin(197) = -0.2923717047	sin(317) = -0.6819983601
sin(78) = 0.9781476007	sin(198) = -0.3090169944	sin(318) = -0.6691306064
sin(79) = 0.9816271834	sin(199) = -0.3255681545	sin(319) = -0.656059029
sin(80) = 0.984807753	sin(200) = -0.3420201433	sin(320) = -0.6427876097
sin(81) = 0.9876883406	sin(201) = -0.3583679495	sin(321) = -0.629320391
sin(82) = 0.9902680687	sin(202) = -0.3746065934	sin(322) = -0.6156614753
sin(83) = 0.9925461516	sin(203) = -0.3907311285	sin(323) = -0.6018150232
sin(84) = 0.9945218954	sin(204) = -0.4067366431	sin(324) = -0.5877852523
sin(85) = 0.9961946981	sin(205) = -0.4226182617	sin(325) = -0.5735764364
sin(86) = 0.9975640503	sin(206) = -0.4383711468	sin(326) = -0.5591929035
sin(87) = 0.9986295348	sin(207) = -0.4539904997	sin(327) = -0.544639035
sin(88) = 0.999390827	sin(208) = -0.4694715628	sin(328) = -0.5299192642
sin(89) = 0.9998476952	sin(209) = -0.4848096202	sin(329) = -0.5150380749
sin(90) = 1	sin(210) = -0.5	sin(330) = -0.5
sin(91) = 0.9998476952	sin(211) = -0.5150380749	sin(331) = -0.4848096202
sin(92) = 0.999390827	sin(212) = -0.5299192642	sin(332) = -0.4694715628
sin(93) = 0.9986295348	sin(213) = -0.544639035	sin(333) = -0.4539904997
sin(94) = 0.9975640503	sin(214) = -0.5591929035	sin(334) = -0.4383711468
sin(95) = 0.9961946981	sin(215) = -0.5735764364	sin(335) = -0.4226182617
sin(96) = 0.9945218954	sin(216) = -0.5877852523	sin(336) = -0.4067366431
sin(97) = 0.9925461516	sin(217) = -0.6018150232	sin(337) = -0.3907311285
sin(98) = 0.9902680687	sin(218) = -0.6156614753	sin(338) = -0.3746065934
sin(99) = 0.9876883406	sin(219) = -0.629320391	sin(339) = -0.3583679495
sin(100) = 0.984807753	sin(220) = -0.6427876097	sin(340) = -0.3420201433
sin(101) = 0.9816271834	sin(221) = -0.656059029	sin(341) = -0.3255681545
sin(102) = 0.9781476007	sin(222) = -0.6691306064	sin(342) = -0.3090169944
sin(103) = 0.9743700648	sin(223) = -0.6819983601	sin(343) = -0.2923717047
sin(104) = 0.9702957263	sin(224) = -0.6946583705	sin(344) = -0.2756373558
sin(105) = 0.9659258263	sin(225) = -0.7071067812	sin(345) = -0.2588190451
sin(106) = 0.9612616959	sin(226) = -0.7193398003	sin(346) = -0.2419218956
sin(107) = 0.956304756	sin(227) = -0.7313537016	sin(347) = -0.2249510543
sin(108) = 0.9510565163	sin(228) = -0.7431448255	sin(348) = -0.2079116908
sin(109) = 0.9455185756	sin(229) = -0.7547095802	sin(349) = -0.1908089954
sin(110) = 0.9396926208	sin(230) = -0.7660444431	sin(350) = -0.1736481777
sin(111) = 0.9335804265	sin(231) = -0.7771459615	sin(351) = -0.156434465
sin(112) = 0.9271838546	sin(232) = -0.7880107536	sin(352) = -0.139173101
sin(113) = 0.9205048535	sin(233) = -0.79863551	sin(353) = -0.1218693434
sin(114) = 0.9135454576	sin(234) = -0.8090169944	sin(354) = -0.1045284633
sin(115) = 0.906307787	sin(235) = -0.8191520443	sin(355) = -0.08715574275
sin(116) = 0.8987940463	sin(236) = -0.8290375726	sin(356) = -0.06975647374
sin(117) = 0.8910065242	sin(237) = -0.8386705679	sin(357) = -0.05233595624
sin(118) = 0.8829475929	sin(238) = -0.8480480962	sin(358) = -0.0348994967
sin(119) = 0.8746197071	sin(239) = -0.8571673007	sin(359) = -0.01745240644

Похожие калькуляторы

Источник

Как искать синус угла

Содержание

Игры с линейкой и карандашом
Найти синус для угла больше 90°
Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям
Как находить синус по трём сторонам треугольника
Линии тригонометрических функций
Значения основных функций тригонометрии
Сведение к углу
Использование формул
Частные случаи

Игры с линейкой и карандашом

Найти синус для угла больше 90°

Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям

Как находить синус по трём сторонам треугольника

Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.

В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.

Рассмотрим подробно каждый случай.

Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.

Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30 ° , 45 ° , 60 ° . Если угол выходит за пределы 90 ° , то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.

Если известно значение синуса для α , можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.

В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45 ° , мы сможем определить значение синуса 30 ° , воспользовавшись правилом из тригонометрии.

Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.

Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α . Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° .

Разобьем эти углы на четыре группы: 360 · z градусов ( 2 π · z рад), 90 + 360 · z градусов ( π 2 + 2 π · z рад), 180 + 360 · z градусов ( π + 2 π · z рад) и 270 + 360 · z градусов ( 3 π 2 + 2 π · z рад), где z — любое целое число.

Изобразим данные формулы на рисунке:

Для каждой группы соответствуют свои значения.

При повороте из точки A на 360 · z ° , она переходит в себя. А 1 ( 1 , 0 ) . Синус 0 ° , 360 ° , 720 ° равен 0 , а косинус равен 1 . Представим это в виде формулы: sin ( 360 ° · z ) = 0 и cos ( 360 ° · z ) = 1 .

Можно определить, что t g ( 360 ° · z ) = 0 1 = 0 , а котангенс не определен.

Если А ( 1 , 0 ) повернуть на 90 + 360 · z ° , то она перейдет в А 1 ( 0 , 1 ) . По определению: sin ( 90 ° + 360 ° · z ) = 1 и cos ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: c t g ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 1 = 0 .

Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А ( 1 , 0 ) на любой из углов 180 + 360 · z ° , она перейдет в A 1 ( − 1 , 0 ) . Мы находим значения функций кроме тангенса.

Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270 + 360 · z ° мы попадем в A 1 ( 0 , − 1 ) . Мы находим значения всех функций кроме тангенса.

Для углов, которые не относятся к перечню от 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° … , точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла − 52 ° . Выполним построения.

Согласно рисунку, абсцисса А 1 ≈ 0 , 62 , а ордината ≈ − 0 , 78 . Соответственно, sin ( — 52 ° ) ≈ — 0 , 78 и cos ( — 52 ° ) ≈ 0 , 62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом.

Выполняем вычисления: t g ( — 52 ° ) ≈ — 0 , 78 0 , 62 ≈ — 1 , 26 и c t g ( — 52 ° ) ≈ 0 , 62 — 0 , 78 ≈ — 0 , 79 .

Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.

Линии тригонометрических функций

Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.

Рассмотрим их на подробном рисунке

Как найти sin α , cos α , t g α , c t g α

Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.

Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1 . Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 1 2 — 1 2 2 = 3 2 . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30 ° = 1 2 1 = 1 2 и sin 60 ° = 3 2 1 = 3 2 .

Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30 ° = 3 2 1 = 3 2 и cos 60 ° = 1 2 1 = 1 2 .

Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.

Вычисляем: t g 30 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 и t g 60 ° = 3 2 1 2 = 3 . Находим котангенс по подобной схеме: с t g 30 ° = 3 2 1 2 = 3 и с t g 60 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45 ° и гипотенузой, которая равна 1 . Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 2 2 . Т

Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.

Выводим формулу: c t g 45 ° = 2 2 2 2 = 1 .

Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.

Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.

Значения основных функций тригонометрии

Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α , cos α , t g α , c t g α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.

Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Тангенс по известному косинусу t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α .

Котангенс по известному синусу или наоборот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .

Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: t g α · c t g α = 1 .

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере

Необходимо найти значение синуса угла π 8 , если t g π 8 = 2 — 1 .

Сначала найдем котангенс угла: c t g π 8 = 1 t g π 8 = 1 2 — 1 = 2 + 1 ( 2 — 1 ) · ( 2 + 1 ) = 2 + 1 ( 2 ) 2 — 1 2 = 2 + 1 Воспользуемся формулой 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем
sin 2 π 8 = 1 1 + c t g 2 π 8 = 1 1 + ( 2 + 1 ) 2 = 1 4 + 2 2 = 1 2 · ( 2 + 2 ) = 2 — 2 2 · ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = = 2 — 2 2 · ( 2 2 — ( 2 ) 2 ) = 2 — 2 4

Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π 8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π 8 = sin 2 π 8 = 2 — 2 4 = 2 — 2 2 . sin π 8 = 2 — 2 2 .

Сведение к углу

Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 ° . Сведение к углу из интервала от 0 до 90 ° . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.

Задача заключается в том, чтобы найти синус 210 ° . Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30 ° : sin 210 ° = sin ( 180 ° + 30 ° ) = — sin 30 ° = — 1 2 , или косинуса 60 ° sin 210 ° = sin ( 270 ° — 60 ° ) = — cos 60 ° = — 1 2 .

Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.

Использование формул

Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.

Для примера вычислим значение тангенса π 8 , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.

Найдите значение t g π 8 .

Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 . Значения косинуса угла π 4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса.
t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 = 1 — 2 2 1 + 2 2 = 2 — 2 2 + 2 = = ( 2 — 2 ) 2 ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = ( 2 — 2 ) 2 2 2 — ( 2 ) 2 = ( 2 — 2 ) 2 2

Угол π 8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: t g π 8 = t g 2 π 8 = ( 2 — 2 ) 2 2 = 2 — 2 2 = 2 — 1

Частные случаи

Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.

Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.

Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Найдем по теореме Пифагора.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Источник

В статье мы расскажем, как находить значения:

(cos300^°), (sin⁡(-540^°)), (cos 510^°), (sin⁡(-135^°))

и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы.

Как вычисляются синусы и косинусы углов?

Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно:
1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу;
2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен — абсциссе, а синус угла — ординате.

Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.

Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac{sqrt{3}}{2}) , а ордината равна (0,5), то есть (frac{1}{2}).

Получается, (cos 30^° = frac{sqrt{3}}{2}), а (sin⁡30^° =frac{1}{2}).

Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:

В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».

Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac{1}{2}=±0,5); (±frac{sqrt{2}}{2} ≈±0,707); (±frac{sqrt{3}}{2} ≈±0,866).

Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.

Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?

Для этого нужно знать несколько фактов:

Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°), а четверти (90^°);
Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:

Одна точка может соответствовать разным углам;

Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.

Пример. Отметьте угол в (90^° ) и (-90^°).
Решение:

Пример. Отметьте угол в (225^° ) и (-135^°).
Решение: (225^°=180^°+45^°)
(-135^°=-90^°-45^°)

Пример. Отметьте угол в (420^° ) и (-390^°).
Решение: (420^°=360^°+60^°)
(-390^°=-360^°-30^°)

Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).

Как находить синус и косинус любого угла?

Простой алгоритм:

Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
Найдите координаты точки, используя картинку ниже.

Пример. Вычислите (sin⁡300^°) и (cos⁡300^°) .
Решение: (⁡300^°=360^°-60^°)

(cos⁡ 300^°=frac{1}{2}), (sin⁡{300^°}=-frac{sqrt{3}}{2}).

Пример . Вычислите (sin⁡(-540^°)) и (cos(-540^°)) .
Решение. (-540^°=-360^°-180^°).

(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos⁡(-540^°)=-1), а (sin⁡(-540^° )=0).

Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье.

Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).

Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ

В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.

Пример . Найдите значение выражения (-18sqrt{2}sin⁡(-135^°)).
Решение. (-135^°=-90^°-45^°)

Получается (-18sqrt{2} sin⁡(-135^° )=-18sqrt{2}cdot-frac{sqrt{2}}{2}=frac{18cdotsqrt{2}cdotsqrt{2}}{2}=9cdot 2=18.)
Ответ: (18).

Пример . Найдите значение выражения (54sqrt{3}cos⁡(510^°)).
Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)

(54sqrt{3}cos⁡(510^°)=54sqrt{3}cdot(-frac{sqrt{3}}{2})=-frac{54cdot sqrt{3}cdot sqrt{3}}{2}=-27cdot 3=-81.)
Ответ: (-81).

Смотрите также:
Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы? Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов

Источник