Как найти синус неравенства

Согласно неравенству, нам нужны значения синуса больше либо равные (-frac{sqrt{2}}{2}), на рисунке показали их при помощи синей штриховки. Этим значениям соответствуют углы, лежащие на дуге (MN), включая точки (M) и (N). Дугу (MN) с нужными углами можно записать в виде промежутка ПРОТИВ часовой стрелки. То есть от точки (M) к (N). Получается такой промежуток:

$$x in [-frac{pi}{4}+2pi*n; -frac{3pi}{4}+2pi*n], quad n in Z;$$

Скобки квадратные так как знак неравенства нестрогий и не забываем про период (2pi*n). Но сам промежуток неправильный!

Внимание! Так записывать ответ нельзя, потому что промежуток всегда должен быть от меньшего числа к большему. У нас это правило не соблюдается:

$$-frac{pi}{4}>-frac{3pi}{4};$$

Чтобы ответ был в правильном виде, достаточно просто прибавить к правой границе промежутка (2pi).

$$x in [-frac{pi}{4}+2pi*n; -frac{3pi}{4}+2pi+2pi*n], quad n in Z;$$

Приведем подобные слагаемые:

$$x in [-frac{pi}{4}+2pi*n; frac{5pi}{4}+2pi*n], quad n in Z;$$

Левая граница меньше правой, значит можно записывать ответ.

Ответ: (x in [-frac{pi}{4}+2pi*n; frac{5pi}{4}+2pi*n], quad n in Z).

Рассмотрим неравенство с синусом, которое наиболее часто встречается при нахождении ОДЗ.

Пример 3
$$sin(x)>0;$$

Решение аналогично предыдущим примерам. Рисуем единичную окружность, отмечаем на оси синусов значение (0), оно находится в начале координат. Углы на окружности, синус от которых будет равен (0) находятся в точках (A) и (C): это углы (0+2pi*n) и (pi+2pi*n). Все значения синуса выше (0) нас устраивают, соответствующие им углы лежат на дуге (AC), от точки (A) до (C).

08
Фев 2014

Категория: Справочные материалыТригонометрические выражения, уравнения и неравенства

Простейшие тригонометрические неравенства

2014-02-08
2015-04-20

Часть 1. 

(Часть 2 см. здесь)

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

sinxvee a,

 cosxvee a,

 tgxvee a,

ctgxvee a,

где vee – один из знаков <,;>,;leq,;geq, ain R.

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I,  часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.

Решить неравенство: cosx<frac{1}{2}.

Решение: 

Отмечаем на оси  косинусов frac{1}{2}.

Все значения cosx, меньшие frac{1}{2},левее точки frac{1}{2} на оси косинусов.

87

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше frac{1}{2}.

ен

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки frac{pi}{3} до frac{5pi}{3}.

Обратите внимание, многие, назвав первую точку frac{pi}{3}, вместо второй точки  frac{5pi}{3}  указывают точку -frac{pi}{3}, что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:

frac{pi}{3}+2pi n<x<frac{5pi}{3}+2pi n,;nin Z.

Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик 2pi n,;nin Z.

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

тригонометрические неравенства

Пример 2.

Решить неравенство: cosxgeq -frac{sqrt2}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси  косинусов -frac{sqrt2}{2}.

Все значения cosx, большие или равные -frac{sqrt2}{2}правее точки -frac{sqrt2}{2}, включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают тому условию, что  cosxgeq -frac{sqrt2}{2}.

г-frac{3pi}{4}+2pi nleq xleq frac{3pi}{4}+2pi n,; nin Z.

Пример 3.

Решить неравенство: sinxgeq -frac{sqrt3}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси синусов -frac{sqrt3}{2}.

Все значения sinx, большие или равные -frac{sqrt3}{2},выше точки -frac{sqrt3}{2}, включая саму точку.

67

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

6 -frac{pi}{3}+2pi n leq xleq frac{4pi}{3}+2pi n,;nin Z

Пример 4.

Решить неравенство: sinx<1.

Решение:

Кратко:

л

frac{pi}{2}+2pi n<x<frac{5pi}{2}+2pi n,;nin Z

или все x, кроме frac{pi}{2}+2pi n,;nin Z.

Пример 5.

Решить неравенство: sinxgeq 1.

Решение:

Неравенство sinxgeq 1 равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx[-1;1].

78н

x=frac{pi}{2}+2pi n,;nin Z.

Пример 6.

Решить неравенство: sinx<frac{1}{3}.

Решение:

Действия  – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.

89

pi -arcsinfrac{1}{3}+2pi n<x<arcsinfrac{1}{3}+2pi+2pi n,;nin Z

Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать

Тренируемся в решении простейших тригонометрических неравенств

Имейте ввиду, решения (ответы) к одному и тому же неравенству могут выглядеть по-разному, неся один и тот же смысл собою. Например, в задании 2 ответ можно было записать и так: frac{5pi}{4}+2pi nleq xleq frac{11pi}{4}+2pi n,; nin Z.

1. Решить неравенство: sinx<-frac{1}{2}.

Ответ: + показать

2. Решить неравенство: cosx>-frac{1}{2}.

Ответ: + показать

3. Решить неравенство: sinxgeq -1.

Ответ: + показать

4. Решить неравенство: sinxgeq 0.

Ответ: + показать

5. Решить неравенство: cosxleq 0,2.

Ответ: + показать

Часть 2
Если у вас  есть  вопросы, – пожалуйста, – спрашивайте!

стрелка вниз

Автор: egeMax |

комментариев 179

Печать страницы

  1. Решение неравенств с синусом
  2. Решение неравенств с косинусом
  3. Решение неравенств с тангенсом
  4. Решение неравенств с котангенсом
  5. Примеры

п.1. Решение неравенств с синусом

Алгоритм решения неравенства (sinxgt a)

Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой (a). Провести горизонталь (y=a), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение (sin⁡x=a). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: ((arcsina+2pi k; pi-arcsin a+2pi k))

Например:

Решение неравенств с синусом $$ sin xgt frac12 $$ 1. Проводим горизонталь (y=frac12), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое).
2. Решаем уравнение (sinx=frac12) begin{gather*} x=(-1)^kfracpi6+pi k= left[ begin{array}{l l} fracpi6+2pi k\ frac{5pi}{6}+2pi k end{array} right. end{gather*} Подписываем точку справа (fracpi6) и точку слева (frac{5pi}{6}).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: ((fracpi6; frac{5pi}{6})). Добавляем к концам интервала полный период.
Ответ: (left(fracpi6;+2pi k; frac{5pi}{6}+2pi kright))

Алгоритм решения неравенства (sinxgeq a) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства (sin⁡xlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью (y=a). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).

Наконец, в неравенстве (sin⁡xleq a) всё будет то же, что и в (sin⁡xlt a). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

Например:

Решение неравенств с синусом $$ sin xleq -frac{sqrt{2}}{2} $$ 1. Проводим горизонталь (y=-frac{sqrt{2}}{2}), отмечаем точки пересечения (закрашенные, т.к. неравенство нестрогое).
2. Решаем уравнение (sinx=-frac{sqrt{2}}{2}) begin{gather*} x=(-1)^kleft(-fracpi4right)+pi k= left[ begin{array}{l l} -frac{3pi}{4}+2pi k\ -frac{pi}{4}+2pi k end{array} right. end{gather*} Подписываем точку справа (-frac{3pi}{4}) и точку слева (-frac{pi}{4}).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: (left[-frac{3pi}{4};-frac{pi}{4}right]). Добавляем к концам отрезка полный период.
Ответ: (left[-frac{3pi}{4}+2pi k;-frac{pi}{4}+2pi kright])

п.2. Решение неравенств с косинусом

Алгоритм решения неравенства (cosxgt a)

Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой (a). Провести вертикаль (x=a), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение (cos⁡x=a). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: ((-arccos⁡a+2pi k; arccos⁡a+2pi k))

Например:

Решение неравенств с косинусом $$ cosxgt frac{sqrt{3}}{2} $$ 1. Проводим вертикаль (x=frac{sqrt{3}}{2}), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое).
2. Решаем уравнение (cosx=frac{sqrt{3}}{2}) begin{gather*} x=pmfracpi6+2pi k end{gather*} Подписываем точку снизу (-fracpi6) и точку сверху (frac{pi}{6}).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: (left(-fracpi6;fracpi6right)). Добавляем к концам интервала полный период.
Ответ: (left(-fracpi6;+2pi k; frac{pi}{6}+2pi kright))

Алгоритм решения неравенства (cosxgeq a) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства (cosxlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали (x=a). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.

Наконец, в неравенстве (cos⁡xleq a) всё будет то же, что и в (cosxlt a). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

п.3. Решение неравенств с тангенсом

Алгоритм решения неравенства (tgxgt a)

Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой (a). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение (tg⁡x=a). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.

Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до (fracpi2) (в которой (tgxrightarrow +infty)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: (left(arctga+pi k; fracpi2+pi kright))

Например:

Решение неравенств с тангенсом $$ tg xgt -frac{1}{sqrt{3}} $$ 1. На оси тангенсов отмечаем точку (-frac{1}{sqrt{3}}). Проводим луч из начала координат через эту точку.
2. Решаем уравнение (tgx=-frac{1}{sqrt{3}}) begin{gather*} x=-fracpi6+pi k end{gather*} Подписываем точку снизу (-fracpi6.) Верхней границей интервала будет (fracpi2), угол, в котором (tgxrightarrow +infty .)
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: (left(-fracpi6;fracpi2right)). Добавляем к концам интервала период для тангенса.
Строго говоря, на числовой окружности длиной (2pi) получим две дуги для тангенса с периодом (pi). Ответ: (left(-fracpi6;+pi k; frac{pi}{2}+pi kright))

Алгоритм решения неравенства (tg⁡xlt a) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки (-fracpi2) (в которой (tgxrightarrow -infty)) до найденного арктангенса.

Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки (pmfracpi2) ((tgxrightarrow pminfty)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.

п.4. Решение неравенств с котангенсом

Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).

В неравенствах вида (ctgxgt a) пределу (ctgxrightarrow +infty) соответствует угол 0.

В неравенствах вида (ctgxlt a) пределу (ctgxrightarrow -infty) соответствует угол (pi).

п.5. Примеры

Пример 1. Решите неравенства:

Пример 2*. Решите неравенства:

Пример 2а a) (cosxgt -1)
Справа от вертикали (x=-1) расположена вся числовая окружность, кроме точки (pi).

Ответ: (xne pi+2pi k)

Пример 2б б) (4cos^2frac x2-3leq 0)
(4cdot frac{1+cosx}{2}leq 3)
(2+2cosxleq 3)
(cosxleqfrac12)

Ответ: (left[fracpi3+2pi k; frac{5pi}{3}+2pi kright])

в) (-sqrt{3}lt tgxleq 5)
(-arctgsqrt{3}+pi klt xleq arctg5+pi k)
(-fracpi3+pi klt xleq arctg5+pi k)
Ответ: (left.left(-frac{pi}{3}+pi k; arctg5+pi kright.right])

г) (tgleft(x-fracpi4right)gtsqrt{3})
(arctgsqrt{3}+pi klt x-fracpi4ltfracpi2+pi k)
(fracpi4+fracpi3+pi klt xltfracpi4+fracpi2+pi k)
(frac{7pi}{12}+pi klt xltfrac{3pi}{4}+pi k)
Ответ: (left(frac{7pi}{12}+pi k; frac{3pi}{4}+pi kright))

Содержание:

Для решение простейших тригонометрических неравенств можно использовать как единичную окружность, так и графики тригонометрических функций.

Пример 1.

Решим неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Запишем решение в общем виде.

Решить данное неравенство значит, найти абсциссы множества точек графика функции Тригонометрические неравенства с примерами решения, ординаты которых больше Тригонометрические неравенства с примерами решения.

1.Построим график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения .

2.В одной системе координат построим график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения .

3.Отметим точки пересечения графиков.

4. Как видно, прямая Тригонометрические неравенства с примерами решения делит график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения на две части. Абсциссы множества точек расположенные в верхней части от прямой Тригонометрические неравенства с примерами решения удовлетворяют неравенству. На интервале Тригонометрические неравенства с примерами решения эти точки имеют абсциссы Тригонометрические неравенства с примерами решения. Значит, решением неравенства на интервале Тригонометрические неравенства с примерами решения является множество точек, удовлетворяющих условию Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Также решения тригонометрических неравенств можно ясно увидеть на единичной окружности. Все остальные интервалы, удовлетворяющие решению неравенства получаются смещением интервала Тригонометрические неравенства с примерами решения на расстояние длиной в Тригонометрические неравенства с примерами решения влево или вправо. Поэтому решения неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения записываются так:

Тригонометрические неравенства с примерами решения. Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример 2.

Решим неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Решения уравнения Тригонометрические неравенства с примерами решения являются абсциссами точек пересечения графиков функций Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения. Если один из корней, на промежутке длиной Тригонометрические неравенства с примерами решения равен Тригонометрические неравенства с примерами решения, то другой корень будет равен Тригонометрические неравенства с примерами решения. На графике отметим точки пересечения с абсциссами Тригонометрические неравенства с примерами решенияи Тригонометрические неравенства с примерами решения.

От каждой из них, по обе стороны, отметим ещё две точки — вправо от

точки Тригонометрические неравенства с примерами решения на Тригонометрические неравенства с примерами решения: Тригонометрические неравенства с примерами решения,и влево от точкиТригонометрические неравенства с примерами решения на Тригонометрические неравенства с примерами решения : Тригонометрические неравенства с примерами решения

Они также являются абсциссами точек пересечения графиков.

Тригонометрические неравенства с примерами решения

На промежутке (Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения) ординаты точек графика функции у = sin х меньшеТригонометрические неравенства с примерами решения. Приняв во внимание период функции, решения неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения можно записать в виде: Тригонометрические неравенства с примерами решения. Из графика видно, что интервал Тригонометрические неравенства с примерами решения удовлетворяет решению неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения. Все остальные интервалы, удовлетворяющие неравенству Тригонометрические неравенства с примерами решения получаются смещением интервала Тригонометрические неравенства с примерами решения влево и вправо на отрезок длиной в Тригонометрические неравенства с примерами решения. Значит, в общем виде решения неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения записываются так: Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Пример 3.

Решим неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Найдём абсциссы точек пересечения графиков функций Тригонометрические неравенства с примерами решения

и Тригонометрические неравенства с примерами решения из уравнения Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Получим:Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения

При Тригонометрические неравенства с примерами решения абсциссы точек пересечения будут равны Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения. Отметим эти точки на графике. От каждой из них, по обе стороны, отметим ещё две точки.

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Отметим от точки Тригонометрические неравенства с примерами решения справа на расстоянии Тригонометрические неравенства с примерами решения точку

Тригонометрические неравенства с примерами решения и от точки Тригонометрические неравенства с примерами решения слева на расстоянии Тригонометрические неравенства с примерами решения точку

Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Один из промежутков, удовлетворяющих неравенству, расположен между наименьших но абсолютному значению корней соответствующего уравнения, т.е. между точками Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения .

Приняв во внимание периодичность Тригонометрические неравенства с примерами решения функции, получим следующие решения неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения.

По графику решение неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения будет:

Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Пример 4.

Решим неравенстваТригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Решение:

В одной системе координат построим графики функций Тригонометрические неравенства с примерами решения и у = 1.

Найдём абсциссу точки пересечения , расположенной в интервале Тригонометрические неравенства с примерами решениярешив уравнениеТригонометрические неравенства с примерами решения. Функция Тригонометрические неравенства с примерами решения возрастает на промежутке Тригонометрические неравенства с примерами решения tg х = 1 при Тригонометрические неравенства с примерами решения. Тогда, еслиТригонометрические неравенства с примерами решения, то tg х < 1. Если Тригонометрические неравенства с примерами решения , то tg х > 1.

Так как функция Тригонометрические неравенства с примерами решения имеет период Тригонометрические неравенства с примерами решения, то решение неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решениябудет Тригонометрические неравенства с примерами решения, а решение неравенства

tg х > 1 будет Тригонометрические неравенства с примерами решения .

Пример 5.

Решим неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решения .

Решение:

На одной координатной плоскости построим графики функций Тригонометрические неравенства с примерами решения иТригонометрические неравенства с примерами решения . Абсциссу точки пересечения графиков на промежутке (0; Тригонометрические неравенства с примерами решения) найдём из уравнения Тригонометрические неравенства с примерами решения : Тригонометрические неравенства с примерами решения Функция ctg х убывает на промежутке (0; Тригонометрические неравенства с примерами решения) и при Тригонометрические неравенства с примерами решения . Тогда, если Тригонометрические неравенства с примерами решения , то Тригонометрические неравенства с примерами решения, а

если Тригонометрические неравенства с примерами решения , то Тригонометрические неравенства с примерами решения .

Это говорит о том , что условию неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения удовлетворяют Тригонометрические неравенства с примерами решения, а условию неравенства

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Для решения тригонометрических неравенств:

1) В одной системе координат постройте графики функций из левой и правой частей неравенства;

2) Решите соответствующие уравнения. Найдите абсциссы для нескольких точек пересечения, расположенных близко к началу координат и отметьте их на графике;

3) Определите какой-либо интервал, удовлетворяющий неравенству;

4) Принимая во внимание периодичность функции, запишите все решения.

Пример 6.

Решите неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения на интервале Тригонометрические неравенства с примерами решения.Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

1.Построим график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Как видно из графика, значения Тригонометрические неравенства с примерами решения меньше 0 или равные 0 соответствуют точкам, расположенным на оси абсцисс (прямой у = 0 ) или ниже её. Решениями неравенства из интервала Тригонометрические неравенства с примерами решения являются промежутки Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример 7.

Решим неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения на интервале Тригонометрические неравенства с примерами решения .

Решение:

1. Построим графики функций Тригонометрические неравенства с примерами решения и Тригонометрические неравенства с примерами решенияпри помощи графкалькулятора.

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решением неравенства являются абсциссы всех точек, которые расположены на прямой у = 2 и выше неё. Это точки Тригонометрические неравенства с примерами решенияиз интервала Тригонометрические неравенства с примерами решения.

А общее решение неравенства имеет вид Тригонометрические неравенства с примерами решения .

Проверка: На интервале решения для проверки выберем одну точку, напри-л

мер Тригонометрические неравенства с примерами решения проверим правильность решения:

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример 8.

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решенияТригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Пусть Тригонометрические неравенства с примерами решения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример решении задачи:

Карусель, радиусом 20 м за каждые 40 секунд совершает один оборот. Самое низкое сиденье находится на высоте 1 м.

а)Изобразите график, соответствующий задаче.

Тригонометрические неравенства с примерами решения

б)Запишите функцию зависимости движения человека, находящегося на сиденье карусели в виде Тригонометрические неравенства с примерами решения .

в)В какие секунды за один полный оборот человек на карусели, окажется на высоте выше 21 м?

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

а) Изобразим схематично решение задачи. Отметим на окружности точки, соответствующие каждой четвёртой части оборота при движении карусели. Соединим эти точки и получим график, в виде синусоиды, движения карусели за один оборот (360°).

б)Из графика видно, что с 10 но 30 секунду человек на карусели, будет находится на высоте от 21 ми более.

в)По данным задачи и графику запишем формулу функции.

Зная период, найдём частоту b: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Найдём амплитуду и среднюю линию, зная максимальное и минимальное значения. Тригонометрические неравенства с примерами решения Найдём фазу смещения с. Функция синуса принимает наибольшее значение в одной четвёртой периода. Однако можно заметить, что максимум функции достигается с задержкой на 10 секунд (на 20-ой секунде), а значит сдвиг но фазе с = 10.

Формула имеет вид Тригонометрические неравенства с примерами решения.

Решение неравенств

Понятия неравенства с одной переменной и его способы решения:

Определение:

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков Тригонометрические неравенства с примерами решенияТригонометрические неравенства с примерами решения то получим неравенство с переменной. В общем виде неравенство с одной переменной Тригонометрические неравенства с примерами решения (например, для случая «больше») записывают так: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решением неравенства с переменной называется значение переменной, которое обращает заданное неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Тригонометрические неравенства с примерами решения одно из решений неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения так как при Тригонометрические неравенства с примерами решения получаем верное неравенство: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Область допустимых значений (ОДЗ):

Областью допустимых значений (или областью определения) неравенства называется общая область определения для функций Тригонометрические неравенства с примерами решения которые стоят в левой и правой частях неравенства.

Для неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения то есть Тригонометрические неравенства с примерами решения так как область определения функции Тригонометрические неравенства с примерами решения определяется условием: Тригонометрические неравенства с примерами решения а областью определения функции Тригонометрические неравенства с примерами решения является множество всех действительных чисел.

Два неравенства называется равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения, то есть каждое решение первого неравенства является решением второго и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого.

  1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве).
  2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не меняя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного неравенства).
  3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное задан ному (на ОДЗ заданного неравенства).
  4. Метод интервалов (решения неравенств вида Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решите неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пусть Тригонометрические неравенства с примерами решения

ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Нули функции Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения ( входят в ОДЗ)

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Схема поиска плана решения неравенства

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Понятия неравенства с переменной и его решение

Если два выражения с переменной соединить одним из знаков Тригонометрические неравенства с примерами решения то получаем неравенство с переменной.

Аналогично уравнению, неравенство с переменной (например, со знаком Тригонометрические неравенства с примерами решения чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении тех значений аргументов, при которых значение одной из заданных функций больше, чем значение другой заданной функции. Поэтому в общем виде неравенство с одной переменной Тригонометрические неравенства с примерами решения (например, для случаев «больше») записывают так: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Напомним, что решением неравенства называется значение переменной, которое обращает это неравенство в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Например, решениями неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения являются все значения Тригонометрические неравенства с примерами решения для неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения решениями являются все действительные числа Тригонометрические неравенства с примерами решения а неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения не имеет решений, поскольку значение Тригонометрические неравенства с примерами решения не может быть отрицательным числом.

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется аналогично ОДЗ уравнения. Если задано неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения то общая область определения функций Тригонометрические неравенства с примерами решения называется областью допустимых значений этого неравенства (иногда используются также термины « область определения неравенства» или «множество допустимых значений неравенства»). Например, для неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения областью допустимых значений являются все действительные числа (это можно записать, например, так: ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения поскольку функции Тригонометрические неравенства с примерами решения имеют области определения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Понятно, что каждое решение заданного неравенства входит как в область определения функции Тригонометрические неравенства с примерами решения так и в область определения функции Тригонометрические неравенства с примерами решения(иначе мы не сможем получить верное числовое неравенство). Таким образом, каждое решение неравенства обязательно входит в ОДЗ этого неравенства. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ неравенства для его решения.

Например, в неравенстве Тригонометрические неравенства с примерами решения функция Тригонометрические неравенства с примерами решения определена при всех действительных значениях Тригонометрические неравенства с примерами решения а функция Тригонометрические неравенства с примерами решения— только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Таким образом, ОДЗ этого неравенства задается системой Тригонометрические неравенства с примерами решения из которой получаем систему Тригонометрические неравенства с примерами решения не имеющую решений. Таким образом, ОДЗ заданного неравенства не содержит ни одного числа, поэтому это неравенство не имеет решений.

В основном при решении неравенств различных видов приходится применять один из двух методов решения: равносильные преобразования неравенств или так называемый метод интервалов.

Равносильные неравенства

С понятием равносильности неравенств вы знакомы еще из курса алгебры 9 класса. Как и для случая равносильных уравнений, равносильность неравенств мы будем рассматривать на определенном множестве.

Два неравенства называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же решения, то есть каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства является решением первого.

Договоримся, что в дальнейшем все равносильные преобразования неравенств будем выполнять на ОДЗ заданного неравенства. Укажем, что в том случае, когда ОДЗ заданного неравенства является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем его записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных неравенств). И в других случаях главное — не записать ОДЗ при решении неравенства, а действительно учесть ее при выполнении равносильных преобразований заданного неравенства.

Общие ориентиры выполнения равносильных преобразований неравенств аналогичны соответствующим ориентирам выполнения равносильных преобразований уравнений.

Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования неравенств, необходимо учитывать ОДЗ заданного неравенства — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований неравенств.

По определению равносильности неравенств необходимо обеспечить, чтобы каждое решение первого неравенства было решением второго, и наоборот, каждое решение второго неравенства было решением первого. Для этого достаточно обеспечить сохранение верного неравенства на каждом шаге решения не только при прямых, а и при обратных преобразованиях. Это и есть второй ориентир для решения неравенств с помощью равносильных преобразований. Действительно, каждое решение неравенства обращает его в верное числовое неравенство, и если верное неравенство сохраняется, то решение каждого из неравенств будет также и решением другого, таким образом, неравенства будут равносильны (соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 38).

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований неравенствоТригонометрические неравенства с примерами решениядостаточно учесть его ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения и условие положительности дроби (дробь будет положительной тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки), а также учесть, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

Решение:

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тогда получаем Тригонометрические неравенства с примерами решения

Таким образом, Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Комментарий:

Заметим, что при записи условия положительности дроби — совокупности систем (2) — мы неявно учли ОДЗ неравенства (1). Действительно, если Тригонометрические неравенства с примерами решения поэтому в явном виде ОДЗ заданного неравенства не записано при оформлении решения. Кроме выделенных общих ориентиров, для выполнения равносильных преобразований неравенств можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности неравенств обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности неравенств, известных из курса алгебры 9 класса.

  1. Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное заданному (на любом множестве).
  2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и положительна на ОДЗ заданного неравенства), не изменяя знак неравенства, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).
  3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (или на одну и ту же функцию, которая определена и отрицательна на ОДЗ заданного неравенства) и изменить знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).

Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований заданного неравенства.

Замечание. Для обозначения перехода от заданного неравенства к неравенству, равносильному ему, можно применять специальный значок Тригонометрические неравенства с примерами решения но его использование при оформлении решений не является обязательным (хотя иногда мы будем его использовать, чтобы подчеркнуть, что было выполнено именно равносильное преобразование).

Метод интервалов

Решение неравенств методом интервалов опирается на свойства функций, связанные с изменением знаков функции. Объясним эти свойства, используя графики известных нам функций, например функций Тригонометрические неравенства с примерами решения(рис. 100).

Рассматривая эти графики, замечаем, что функция может изменить свой знак только в двух случаях:

  1. если график разрывается (как в случае функции Тригонометрические неравенства с примерами решения(рис. 100, а) — график разрывается в точке 0 и знак функции изменяется в точке 0);
  2. если график без разрыва переходит из нижней полуплоскости в верхнюю (или наоборот). Но тогда график пересекает ось Тригонометрические неравенства с примерами решения (как в случае функции Тригонометрические неравенства с примерами решения (рис. 100,6).

На оси Тригонометрические неравенства с примерами решения значения функции равны нулю. (Напомним, что значения аргумента, при которых функция равна нулю, называют нулями функции.) Таким образом, любая функция может поменять свой знак только в нулях или в точках, где разрывается график функции (в так называемых точках разрыва функции ). Тригонометрические неравенства с примерами решения

Точки, в которых разрывается график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения мы выделяем, как правило, когда находим область определения этой функции. Например, если Тригонометрические неравенства с примерами решения то ее область определения Тригонометрические неравенства с примерами решения и именно в точке 0 график этой функции разрывается (рис. 100, а). Если же на каком-нибудь промежутке области определения график функции не разрывается и функция не равна нулю, то по приведенному выше выводу она не может на этом промежутке поменять свой знак. Таким образом, если отметить нули функции на ее области определения, то область определения разобьется на промежутки, внутри которых знак функции измениться не может (и поэтому этот знак можно определить в любой точке из этого промежутка).

В таблице 39 приведено решение дробно-рационального неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения методом интервалов; комментарии, объясняющий каждый этап решения; план решения неравенств вида Тригонометрические неравенства с примерами решения методом интервалов.

Пример №1

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Тригонометрические неравенства с примерами решения

1. ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения то есть Тригонометрические неравенства с примерами решения

Рассмотрим функцию, стоящую в левой части этого неравенства, и обозначим ее через Тригонометрические неравенства с примерами решения Решением неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения могут быть только числа, которые входят в область определения функции Тригонометрические неравенства с примерами решения то есть числа, входящие в ОДЗ неравенства. Поэтому первым этапом решения неравенства методом интервалов будет нахождение его ОДЗ.

1. Найти ОДЗ неравенства.

2. Нули Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения

Нас интересуют те промежутки области определения функции Тригонометрические неравенства с примерами решения на которых эта функция положительна. Как было отмечено выше, функция Тригонометрические неравенства с примерами решения может поменять знак в своих нулях, поэтому вторым этапом решения неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения будет нахождение нулей функции (для этого приравниваем функцию Тригонометрические неравенства с примерами решения к нулю и решаем полученное уравнение).

2. Найти нули

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Если теперь отметить нули на области определения функции Тригонометрические неравенства с примерами решения то область определения разбивается на промежутки, внутри каждого из которых функция Тригонометрические неравенства с примерами решения не меняет свой знак. Поэтому знак функции на каждом промежутке можно определить в любой точке этого промежутка. Это и является третьим этапом решения.

3. Отметить нули на ОДЗ и найти знак функции в каждом промежутке, на которые разбивается ОДЗ.

4 Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Из рисунка видно, что решением неравенства является объединение промежутков Тригонометрические неравенства с примерами решения

4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Приведем пример решения более сложного дробно-рационального неравенства методом интервалов и с помощью равносильных преобразований.

Пример №2

Решите неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения

1 способ (метод интервалов)

Решение:

Пусть Тригонометрические неравенства с примерами решения

1 ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

2. Нули

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения (принадлежат ОДЗ).

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ и находим знак Тригонометрические неравенства с примерами решения в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (см. рисунок).

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Комментарий:

Данное неравенство имеет вид Тригонометрические неравенства с примерами решения и для его решения можно применить метод интервалов. Для этого используем план, приведенный выше и на с. 232.

При нахождении нулей Тригонометрические неравенства с примерами решения следим за тем, чтобы найденные значения принадлежали ОДЗ (или выполняем проверку найденных корней уравнения Тригонометрические неравенства с примерами решения

Записывая ответ к нестрогому неравенству, следует учесть, что все нули функции должны войти в ответ (в данном случае — числа -3 и 1).

2 способ (с помощью равносильных преобразований)

Комментарий:

Выберем для решения метод равносильных преобразований неравенства. При выполнении равносильных преобразований мы должны учесть ОДЗ данного неравенства, то есть учесть ограничение Тригонометрические неравенства с примерами решения

Но если Тригонометрические неравенства с примерами решенияи тогда в данной дроби знаменатель положителен. Если выполняется данное неравенство, то числитель дроби Тригонометрические неравенства с примерами решения (и наоборот, если выполняется последнее неравенство, то на ОДЗ дробь Тригонометрические неравенства с примерами решения то есть данное неравенство равносильно на ОДЗ неравенству Тригонометрические неравенства с примерами решения

Чтобы решить полученное квадратное неравенство, найдем корни квадратного трехчлена Тригонометрические неравенства с примерами решения и построим эскиз графика функции Тригонометрические неравенства с примерами решения Решение квадратного неравенства: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Поскольку все преобразования были равносильными только на ОДЗ, то мы должны выбрать те решения квадратного неравенства, которые удовлетворяют ограничению ОДЗ.

Решение:

ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения и данное неравенство на его ОДЗ равносильно неравенству Тригонометрические неравенства с примерами решения Поскольку Тригонометрические неравенства с примерами решенияТригонометрические неравенства с примерами решения (эти значения Тригонометрические неравенства с примерами решения принадлежат ОДЗ), получаем Тригонометрические неравенства с примерами решения (см. рисунок). -3

Учитывая ОДЗ, получаем ответ.

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Уравнения и неравенства с модулями

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Использование геометрического смысла модуля ( при Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Обобщение:

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Использование специальных соотношений:

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности их квадратов.

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Решение любых уравнений или неравенств с модулем

Решать любое уравнение или неравенство с модулем можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений (табл. 40).

В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример №3

Решите уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решения

1 способ (по определению модуля)

Решение:

  1. ЕслиТригонометрические неравенства с примерами решения то получаем уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения что удовлетворяет и условию (1).
  2. Если Тригонометрические неравенства с примерами решения то получаем уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения что удовлетворяет и условию (2).

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Комментарий:

Чтобы раскрыть знак модуля по определению, рассмотрим два случая: Тригонометрические неравенства с примерами решения По определению модулем положительного (неотрицательного) числа является само это число, а модулем отрицательного числа является противоположное ему число. Поэтому при Тригонометрические неравенства с примерами решения а при Тригонометрические неравенства с примерами решения

В каждом случае решаем полученное уравнение и выясняем, удовлетворяет ли каждый из найденных корней тому условию, при котором мы его находили.

2 способ (использование геометрического смысла модуля)

Решение:

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: 5; -1.

Комментарий:

С геометрической точки зрения Тригонометрические неравенства с примерами решения — это расстояние от точки 0 до точки Тригонометрические неравенства с примерами решения По условию уравнения оно равно 6, но расстояние 6 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 6), так и влево (получаем число -6). Таким образом, равенство Тригонометрические неравенства с примерами решения возможно тогда и только тогда, когда Тригонометрические неравенства с примерами решения или Тригонометрические неравенства с примерами решения

Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

Общая схема решения уравнений и неравенств с модулями — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями видаТригонометрические неравенства с примерами решения

Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции Тригонометрические неравенства с примерами решения будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения

Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции Тригонометрические неравенства с примерами решения а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции Тригонометрические неравенства с примерами решения Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций Тригонометрические неравенства с примерами решения то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).

Чтобы продолжить решение неравенств Тригонометрические неравенства с примерами решения методом интервалов, необходимо найти нули функций Тригонометрические неравенства с примерами решения то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир). Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир). В каждом из полученных промежутков знаки функций Тригонометрические неравенства с примерами решения не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы).

Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.

Примеры решения задач:

Пример №4

Решите уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

1. ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

2. Нули подмодульных функций: Тригонометрические неравенства с примерами решения

3. Нули 0 и 2 разбивают ОДЗ на четыре промежутка, в которых подмодульные функции имеют знаки*, показанные на рисунке.

Тригонометрические неравенства с примерами решения

4. Находим решения данного уравнения в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций одинаковы на промежутках 1 и 3, удобно для решения объединить эти промежутки).

Промежутки 1 и 3 : Тригонометрические неравенства с примерами решения Учитывая знаки подмодульных функций на этих промежутках и определение модуля, получаем, что в этих промежутках данное уравнение равносильно уравнению Тригонометрические неравенства с примерами решения Отсюда Тригонометрические неравенства с примерами решения В рассмотренные промежутки полученные значения не входят, таким образом, в этих промежутках корней нет.

Промежуток 2: Тригонометрические неравенства с примерами решения (Следует обратить внимание на то, чтобы не пропустить значение Тригонометрические неравенства с примерами решения которое принадлежит ОДЗ.) В этом промежутке получаем уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решения Отсюда Тригонометрические неравенства с примерами решения — корень, поскольку принадлежит этому промежутку.

Промежуток 4: Тригонометрические неравенства с примерами решения(И в этом промежутке необходимо не забыть значение Тригонометрические неравенства с примерами решения Получаем уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решения Отсюда Тригонометрические неравенства с примерами решения — корень, поскольку принадлежит этому промежутку. Объединяя все решения, которые мы получили в каждом промежутке, имеем решение данного уравнения на всей ОДЗ.

Ответ: 0; 2.

Проиллюстрируем также получение и использование специальных соотношений, приведенных в таблице 40. Обоснуем, например, соотношение Тригонометрические неравенства с примерами решения

Запишем заданное равенство в виде Тригонометрические неравенства с примерами решения и проанализируем его, опираясь на известные из 6 класса правила действий над числами с одинаковыми и с разными знаками. Чтобы сложить два числа Тригонометрические неравенства с примерами решения мы сложили их модули, таким образом, эти числа имеют одинаковые знаки. Если бы эти числа были оба отрицательными, то и их сумма была бы тоже отрицательна, но и Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда получаем, что числа Тригонометрические неравенства с примерами решения — оба

неотрицательные. Наоборот, если Тригонометрические неравенства с примерами решения то выполняется равенство Тригонометрические неравенства с примерами решения Таким образом, действительно, уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решения равносильно системе неравенств Тригонометрические неравенства с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №5

Решите уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Поскольку Тригонометрические неравенства с примерами решения то данное уравнение имеет вид Тригонометрические неравенства с примерами решенияТригонометрические неравенства с примерами решения но это равенство может выполняться тогда и только тогда, когда числа Тригонометрические неравенства с примерами решения — оба неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Таким образом, Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Комментарий:

Если обозначить Тригонометрические неравенства с примерами решенияТригонометрические неравенства с примерами решения и данное уравнение имеет вид Тригонометрические неравенства с примерами решения а по соотношению 5 такое уравнение равносильно системе Тригонометрические неравенства с примерами решения

Заметим, что данное уравнение можно решать и по общей схеме, но тогда решение будет более громоздким но системе

При решении неравенств с модулями рассуждения, связанные с раскрытием знаков модулей, полностью аналогичны рассуждениям, которые использовались при решении уравнений с модулями.

Пример №6

Решите неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Учитывая геометрический смысл модуля, получаем, что заданное неравенство равносильно неравенству Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения таким образом,

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Комментарий:

Неравенство вида Тригонометрические неравенства с примерами решения (где Тригонометрические неравенства с примерами решения удобно решать, используя геометрический смысл модуля. Поскольку заданное неравенство — это неравенство вида Тригонометрические неравенства с примерами решения а модуль числа — это расстояние на координатной прямой от точки, изображающей данное число, до точки 0, то заданному неравенству удовлетворяют все точки, находящиеся в промежутке Тригонометрические неравенства с примерами решения Таким образом, Тригонометрические неравенства с примерами решения Если возникают затруднения с решением двойного неравенства (1), то его заменяют на равносильную систему Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример №7

Решите неравенствоТригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

1. ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения таким образом:

Тригонометрические неравенства с примерами решения

2. Нули подмодульных функций: Тригонометрические неравенства с примерами решения — не принадлежит ОДЗ) и

Тригонометрические неравенства с примерами решения

3. Нуль 2 разбивает ОДЗ на четыре промежутка, на которых подмодульные функции имеют знаки, показанные на рисунке (на каждом из промежутков первый знак — это знак функции Тригонометрические неравенства с примерами решения а второй — знак функции Тригонометрические неравенства с примерами решения

4. Находим решения заданного неравенства в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций являются одинаковыми на промежутках I и II, удобно для решения объединить эти промежутки). Промежутки I и II: Тригонометрические неравенства с примерами решенияУчитывая знаки подмодульных функций в этих промежутках и определение модуля, получаем, что при Тригонометрические неравенства с примерами решения заданное неравенство равносильно неравенству Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения то есть Тригонометрические неравенства с примерами решения Отсюда Тригонометрические неравенства с примерами решения В промежутки, которые мы рассмотрели, входят все значения Тригонометрические неравенства с примерами решения таким образом, в этом случае решением будет Тригонометрические неравенства с примерами решения

Промежуток III: Тригонометрические неравенства с примерами решения На этом промежутке получаем неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения Но при любом значении Тригонометрические неравенства с примерами решения из III промежутка последнее неравенство обращается в неверное неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения Таким образом, в промежутке III неравенство (1) решений не имеет.

Промежуток IV: Тригонометрические неравенства с примерами решения В этом промежутке получаем неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения Как видим, при любом Тригонометрические неравенства с примерами решения из IV промежутка неравенство (1) обращается в верное числовое неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения Таким образом, решением неравенства (1) в IV промежутке есть любое число из этого промежутка Тригонометрические неравенства с примерами решения

Объединяя все решения, полученные в каждом из промежутков, имеем решение данного неравенства на всей ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Укажем, что для решения некоторых неравенств с модулями удобно применять также специальные соотношения, приведенные в таблице 40.

Пример №8

Решите неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Поскольку Тригонометрические неравенства с примерами решения и функция Тригонометрические неравенства с примерами решения монотонно возрастает на множестве неотрицательных чисел, то все разности модулей в неравенстве можно заменить на разности их квадратов (то есть воспользоваться соотношением 4: Тригонометрические неравенства с примерами решения Получаем неравенство, равносильное заданному

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Раскладывая на множители все разности квадратов, имеем: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Далее методом интервалов (см. рисунок)получаем

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Общая схема, предложенная в таблице 40, может быть использована не только при решении уравнений или неравенств с модулями, но и при выполнении преобразований выражений с модулями.

Например, для построения графика функции Тригонометрические неравенства с примерами решения удобно сначала по общей схеме раскрыть знаки модулей, а уже потом строить график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения

Оформление решения подобного примера может быть таким.

Пример №9

Постройте график функции Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

1. Область определения функции: Тригонометрические неравенства с примерами решения

2. Нули подмодульных функций: Тригонометрические неравенства с примерами решения

3. Отмечаем нули на области определения и разбиваем область определения на промежутки (на рисунке также указаны знаки подмодульных функций в каждом из промежутков). 4. Тогда

Тригонометрические неравенства с примерами решения Таким образом, Тригонометрические неравенства с примерами решения

Строим график этой функции (см. рисунок).

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение тригонометрических неравенств

Примеры решения простейших тригонометрических неравенств:

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Способы решения более сложных тригонометрических неравенств:

а) Использование равносильных преобразований и, в частности, сведение тригонометрического неравенства к алгебраичкому неравенству по схеме: 1) к одному аргументу, 2) к одной функции, 3) замена переменной (аналогично схеме решения тригонометрических уравнений, приведенной на с. 170) и последующее решение полученных простейших тригонометрических неравенств.

б) Использование метода интервалов (после сведения неравенства к виду Тригонометрические неравенства с примерами решения по схеме:

  1. Найти ОДЗ неравенства.
  2. Найти общий период (если он существует) для всех функций, входящих в неравенство, то есть период функции Тригонометрические неравенства с примерами решения
  3. Найти нули функции: Тригонометрические неравенства с примерами решения
  4. Отметить нули функции на ОДЗ на одном периоде и найти знак функции Тригонометрические неравенства с примерами решения в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (на одном периоде).
  5. Записать ответ, учитывая знак заданного неравенства и период функции Тригонометрические неравенства с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Решение простейших тригонометрических неравенств

Простейшими тригонометрическими неравенствами считают неравенства вида Тригонометрические неравенства с примерами решенияТригонометрические неравенства с примерами решения (на месте знака Тригонометрические неравенства с примерами решения может стоят любой из знаков неравенства: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Чтобы рассуждения по нахождению решений этих неравенств были более наглядными, используют единичную окружность или графики соответствующих функций, как это показано в первом пункте таблицы 41.

Пример №10

Объясним более детально решение неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения приведенное в пункте 1 таблицы 41, с использованием единичной окружности (рис. 101).

Решение:

Поскольку Тригонометрические неравенства с примерами решения — это ордината соответствующей точки Тригонометрические неравенства с примерами решения единичной окружности, то при всех значениях Тригонометрические неравенства с примерами решения удовлетворяющих данному неравенству, ордината точки Тригонометрические неравенства с примерами решения больше Тригонометрические неравенства с примерами решения Все такие точки на единичной окружности лежат выше, чем прямая Тригонометрические неравенства с примерами решения (они изображены на рисунке синей дугой Тригонометрические неравенства с примерами решения без крайних точек, поскольку в крайних точках Тригонометрические неравенства с примерами решенияа не больше Тригонометрические неравенства с примерами решения Если, записывая ответ, двигаться против часовой стрелки, то точка Тригонометрические неравенства с примерами решения будет началом дуги Тригонометрические неравенства с примерами решения а точка Тригонометрические неравенства с примерами решения — ее концом. Сначала запишем ответ на одном периоде (напомним, что для синуса период равен Тригонометрические неравенства с примерами решения Для точек Тригонометрические неравенства с примерами решения выделенной дуги Тригонометрические неравенства с примерами решения Поскольку точка Тригонометрические неравенства с примерами решения находится в правой полуплоскости, то можно взять Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения Таким образом, на одном периоде решениями заданного неравенства являются: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Через период Тригонометрические неравенства с примерами решения значения синуса повторяются, поэтому все остальные решения заданного неравенства получаем прибавлением к найденным решениям чисел вида Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Для решения неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения можно воспользоваться также графиками функций Тригонометрические неравенства с примерами решения (рис. 102).

Решениями неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения будут те и только те значения Тригонометрические неравенства с примерами решения для которых соответствующие точки графика функции Тригонометрические неравенства с примерами решения находятся выше прямой Тригонометрические неравенства с примерами решения (на рисунке 102 соответствующие части графика функции выделены синими линиями). Чтобы найти абсциссы точек пересечения этих графиков: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Достаточно решить уравнение Тригонометрические неравенства с примерами решенияУчитывая периодичность функции Тригонометрические неравенства с примерами решения достаточно записать решение данного неравенства на одном периоде. На отрезке длиной Тригонометрические неравенства с примерами решения можно взять, например, такие абсциссы точек пересечения графиков функций Тригонометрические неравенства с примерами решения (все другие абсциссы точек пересечения отличаются от них на Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда на одном периоде решениями данного неравенства являются: Тригонометрические неравенства с примерами решения (абсциссы выделенных точек графика Тригонометрические неравенства с примерами решения Все остальные решения данного неравенства получаются прибавлением к найденным решениям чисел вида Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Аналогично можно получить и решения других видов простейших неравенств, приведенных в пункте 1 таблицы 41.

Пример №11

Решите неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Поскольку Тригонометрические неравенства с примерами решения — это абсцисса соответствующей точки Тригонометрические неравенства с примерами решения единичной окружности, то при всех значениях Тригонометрические неравенства с примерами решения которые удовлетворяют данному неравенству, абсцисса точки Тригонометрические неравенства с примерами решения больше Тригонометрические неравенства с примерами решенияВсе такие точки на единичной окружности (рис. 103) лежат справа от прямой Тригонометрические неравенства с примерами решения (они изображены на рисунке синей дугой Тригонометрические неравенства с примерами решения без крайних точек, поскольку в крайних точках Тригонометрические неравенства с примерами решения не больше Тригонометрические неравенства с примерами решения Если, записывая ответ, двигаться против часовой стрелки, то точка Тригонометрические неравенства с примерами решения будет началом дуги Тригонометрические неравенства с примерами решения а точка Тригонометрические неравенства с примерами решения — ее концом. Сначала запишем ответ на одном периоде (напомним, что для косинуса он равен Тригонометрические неравенства с примерами решения Для точек Тригонометрические неравенства с примерами решения выделенной дуги Тригонометрические неравенства с примерами решения Поскольку точка Тригонометрические неравенства с примерами решения находится в верхней полуплоскости, то можно взять Тригонометрические неравенства с примерами решенияУчитывая симметричность (относительно оси Тригонометрические неравенства с примерами решения точек Тригонометрические неравенства с примерами решения получаем Тригонометрические неравенства с примерами решения

Таким образом, на одном Тригонометрические неравенства с примерами решения Через период Тригонометрические неравенства с примерами решения решениями данного неравенства являются Тригонометрические неравенства с примерами решения. Через период 2л значения косинуса повторяются. Поэтому все остальные решения данного неравенства получаем прибавлением к найденным решениям чисел вида Тригонометрические неравенства с примерами решения где Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Рассуждения при использовании графической иллюстрации решения неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения полностью аналогичны приведенным выше рассуждениям по решению неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример №12

Решите неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Период тангенса равен Тригонометрические неравенства с примерами решения Поэтому сначала найдем решения этого неравенства на промежутке длиной Тригонометрические неравенства с примерами решения например, на промежутке Тригонометрические неравенства с примерами решения а потом используем периодичность тангенса. Для выделения тех точек Тригонометрические неравенства с примерами решения правой полуокружности, значения Тригонометрические неравенства с примерами решения которых удовлетворяют данному неравенству, воспользуемся линией тангенсов (рис. 104). Сначала выделим на линии тангенсов значения тангенсов, большие или равные (-1) (на рисунке они выделены синей линией), а потом для каждой точки линии тангенсов найдем соответствующую точку Тригонометрические неравенства с примерами решения на правой полуокружности (для этого достаточно соединить центр окружности с выделенной точкой на линии тангенсов и взять точку пересечения проведенного отрезка с окружностью). Множество соответствующих точек Тригонометрические неравенства с примерами решения единичной окружности выделено на рисунке синей дугой Тригонометрические неравенства с примерами решения (обратите внимание: точка Тригонометрические неравенства с примерами решения принадлежит рассмотренному множеству, а точка Тригонометрические неравенства с примерами решения —нет).

Поскольку точка Тригонометрические неравенства с примерами решения находится в правой полуплоскости, то можно взять Тригонометрические неравенства с примерами решения Таким образом, на одном периоде решениями данного неравенства являются Тригонометрические неравенства с примерами решения Через период Тригонометрические неравенства с примерами решения значение тангенса повторяется. Поэтому все остальные решения данного неравенства получаем прибавлением к найденным решениям чисел вида Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Заметим, что при решении данного неравенства с использованием графиков достаточно, как и в предыдущих случаях, на одном периоде (например, на промежутке Тригонометрические неравенства с примерами решения записать те абсциссы, для которых соответствующие точки графика функции Тригонометрические неравенства с примерами решения находятся выше прямой Тригонометрические неравенства с примерами решения или на самой прямой. (На рисунке в таблице 41 соответствующие части графика функции Тригонометрические неравенства с примерами решения выделены синими линиями.)

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример №13

Решите неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Период котангенса равен Тригонометрические неравенства с примерами решения Поэтому сначала найдем решение этого неравенства на промежутке длиной Тригонометрические неравенства с примерами решения например на промежутке Тригонометрические неравенства с примерами решения а потом воспользуемся периодичностью котангенса. Для выделения тех точек Тригонометрические неравенства с примерами решения верхней полуокружности, значения Тригонометрические неравенства с примерами решения которых удовлетворяют данному неравенству, воспользуемся линией котангенсов (рис. 105).

Сначала выделим на линии котангенсов значения котангенсов, меньшие, чем Тригонометрические неравенства с примерами решения (на рисунке 105 они выделены синей линией), а потом для каждой точки линии котангенсов найдем соответствующую точку Тригонометрические неравенства с примерами решенияна верхней полуокружности (для этого достаточно соединить центр окружности с выделенной точкой на линии котангенсов и взять точку пересечения проведенного отрезка с окружностью). Множество соответствующих точек Тригонометрические неравенства с примерами решения единичной окружности обозначено на рисунке 105 синей дугой Тригонометрические неравенства с примерами решения Поскольку точка Тригонометрические неравенства с примерами решения находится в верхней полуплоскости, то можно взять Тригонометрические неравенства с примерами решения

Таким образом, на одном периоде решениями данного неравенства являются

Тригонометрические неравенства с примерами решения Через период Тригонометрические неравенства с примерами решения значение котангенса повторяется. Таким образом, все остальные решения данного неравенства получаем прибавлением к найденным решениям чисел вида Тригонометрические неравенства с примерами решения Ответ: Тригонометрические неравенства с примерами решения Аналогично предыдущим случаям при решении неравенства Тригонометрические неравенства с примерами решения с использованием графиков достаточно на одном периоде (например, на промежутке Тригонометрические неравенства с примерами решения записать те абсциссы, для которых соответствующие точки графика функции Тригонометрические неравенства с примерами решения находятся ниже прямой Тригонометрические неравенства с примерами решения (На рисунке в таблице 41 соответствующие части графика функции Тригонометрические неравенства с примерами решения выделены синими линиями.)

Способы решения более сложных тригонометрических неравенств

Способы решения более сложных тригонометрических неравенств также проиллюстрируем на примерах.

Пример №14

Решите неравенство: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решенияЗамена: Тригонометрические неравенства с примерами решения дает неравенство

Тригонометрические неравенства с примерами решения решение которого:

Тригонометрические неравенства с примерами решения (см. рисунок).

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Обратная замена дает: Тригонометрические неравенства с примерами решения (решений нет) или Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Таким образом,

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Комментарий:

Используем равносильные преобразования данного неравенства. Для этого приведем его к алгебраическому по схеме, аналогичной схеме решения

  1. к одному аргументу Тригонометрические неравенства с примерами решения
  2. к одной функции Тригонометрические неравенства с примерами решения
  3. проведем замену переменной Тригонометрические неравенства с примерами решения После обратной замены решим полученные простейшие тригонометрические неравенства.

Решая более сложные тригонометрические неравенства, можно также применить метод интервалов, немного изменив его. Необходимость коррекции известной схемы решения неравенств Тригонометрические неравенства с примерами решения методом интервалов (с. 232) связана с тем, что в случае, когда функция Тригонометрические неравенства с примерами решения — тригонометрическая, она, как правило, имеет бесконечное множество нулей (которые получаются при целых значениях параметра). Поэтому, если пытаться обозначить нули на ОДЗ, придется обозначить бесконечное их множество, что невозможно. Избежать этого можно, если найти период функции Тригонометрические неравенства с примерами решения (если он существует) и рассмотреть знак функции на каждом промежутке внутри одного периода.

Таким образом, метод интервалов для решения тригонометрических неравенств Тригонометрические неравенства с примерами решения может применяться по схеме:

  1. Найти ОДЗ неравенства.
  2. Найти период функции Тригонометрические неравенства с примерами решения (если он существует).
  3. Найти нули функции Тригонометрические неравенства с примерами решения
  4. Отметить нули на ОДЗ внутри одного периода и найти знак функции в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ (внутри одного периода).
  5. Записать ответ (учитывая знак заданного неравенства и период функции Тригонометрические неравенства с примерами решения

Пример №15

Решите неравенство Тригонометрические неравенства с примерами решения

Решение:

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого приведем его к виду Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тригонометрические неравенства с примерами решения

1. ОДЗ: Тригонометрические неравенства с примерами решения — любое действительное число.

2. Как мы знаем, период функции Тригонометрические неравенства с примерами решения равен Тригонометрические неравенства с примерами решения Тогда период функции Тригонометрические неравенства с примерами решения будет Тригонометрические неравенства с примерами решения период функции Тригонометрические неравенства с примерами решения а период функции Тригонометрические неравенства с примерами решения

На отрезке длиной Тригонометрические неравенства с примерами решения периоды Тригонометрические неравенства с примерами решения помещаются целое число раз. Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения будет общим периодом для всех этих трех функций, и поэтому Тригонометрические неравенства с примерами решения является периодом функции Тригонометрические неравенства с примерами решения

3.Найдем нули этой функции: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Тогда Тригонометрические неравенства с примерами решения

Отсюда Тригонометрические неравенства с примерами решения Решая последние уравнения, получаем Тригонометрические неравенства с примерами решения

4. Отметим все нули на периоде длиной Тригонометрические неравенства с примерами решения например на отрезке от 0 до Тригонометрические неравенства с примерами решения и получим 9 промежутков (см. рисунок).

Тригонометрические неравенства с примерами решения

Находим знаки функции Тригонометрические неравенства с примерами решения на каждом из промежутков. Для этого удобно записать функцию Тригонометрические неравенства с примерами решения в виде произведения: Тригонометрические неравенства с примерами решения

Ответ (записывается с учетом периода): Тригонометрические неравенства с примерами решения

Замечание. При решении тригонометрических неравенств методом интервалов часто приходится находить знак функции в большом количестве промежутков. Для того чтобы уменьшить объем работы, можно предложить такой способ: следить за тем, через какой нуль мы проходим при переходе от одного интервала к другому и изменяется ли знак заданной функции в этом нуле.

В случае, когда функция Тригонометрические неравенства с примерами решения которая стоит в левой части неравенства, записана в виде произведения Тригонометрические неравенства с примерами решения необходимо обращать внимание на то, что знак произведения не меняется, если одновременно оба множителя (функции Тригонометрические неравенства с примерами решения меняют знаки на противоположные.

Практически для использования этого свойства в случае, если левая часть неравенства записана как произведение нескольких функций, нули каждого множителя отмечают на промежутке разным цветом (так, как это сделано на рисунке к задаче 6), или, если множителей только два, нули первого множителя обозначают под осью, а нули второго — над осью.

Если у функций-множителей нет одинаковых нулей, то знак функции Тригонометрические неравенства с примерами решения меняется автоматически при переходе через каждый нуль (при условии, что только одна из функций-множителей меняет знак при переходе через этот нуль). В этом случае для нахождения всех знаков функции Тригонометрические неравенства с примерами решения на периоде достаточно найти ее знак только в одном промежутке, а в других расставить знаки, чередуя их. Если же у функций-множителей есть одинаковые нули, то при переходе через такой нуль знак произведения может не меняться, и это учитывается при расстановке знаков.

  • Формулы приведения
  • Синус, косинус, тангенс суммы и разности
  • Формулы двойного аргумента
  • Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
  • Функция y=cos x и её свойства и график
  • Функции y=tg x и y=ctg x — их свойства, графики
  • Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
  • Тригонометрические уравнения

Большинство студентов тригонометрические неравенства недолюбливают. А зря. Как говаривал один персонаж,

«Вы просто не умеете их готовить»

Так как же «готовить» и с чем подавать неравенство с синусом мы разберёмся в этой статье. Решать мы будем самым простым способом — с помощью единичной окружности.

Условные обозначения единичной окружности

Условные обозначения единичной окружности

Итак, перво-наперво нам потребуется следующий алгоритм.

Алгоритм решения неравенств с синусом:

  1. на оси синуса откладываем число $a$ и проводим прямую параллельно оси косинусов до пересечения с окружностью;
  2. точки пересечения этой прямой с окружностью будут закрашенными, если неравенство нестрогое, и не закрашенными, если неравенство строгое;
  3. область решения неравенства будет находится выше прямой и до окружности, если неравенство содержит знак «$>$», и ниже прямой и до окружности, если неравенство содержит знак «$<$»;
  4. для нахождения точек пересечения, решаем тригонометрическое уравнение $sin{x}=a$, получаем $x=(-1)^{n}arcsin{a} + pi n$;
  5. полагая $n=0$, мы находим первую точку пересечения (она находится или в первой, или в четвёртой четверти);
  6. для нахождения второй точки, смотрим, в каком направлении мы идём по области ко второй точке пересечения: если в положительном направлении, то следует брать $n=1$, а, если в отрицательном, то $n=-1$;
  7. в ответ выписывается промежуток от меньшей точки пересечения $+ 2pi n$ до большей $+ 2pi n$.

Ограничение алгоритма

Важно: данный алгоритм не работает для неравенств вида $sin{x} > 1; sin{x} geq 1, sin{x} < -1, sin{x} leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом — решение сводится к решению уравнения $sin{x} = 1$ или $sin{x} = -1$.

Частные случаи при решении неравенства с синусом

Важно отметить также следующие случаи, которые гораздо удобнее решить логически, не используя вышеуказанный алгоритм.

Частный случай 1. Решить неравенство:

$sin{x} leq 1.$

В силу того, что область значения тригонометрической функции $y=sin{x}$ не больше по модулю $1$, то левая часть неравенства при любом $x$ из области определения (а область определения синуса — все действительные числа) не больше $1$. А, значит, в ответ мы записываем: $x in R$.

Следствие: аналогично решается и неравенство

$sin{x} geq -1.$

Частный случай 2. Решить неравенство:

$sin{x} < 1.$

Применяя аналогичные частному случаю 1 рассуждения, получим, что левая часть неравенства меньше $1$ для всех $x in R$, кроме точек, являющихся решением уравнения $sin{x} = 1$. Решая это уравнение, будем иметь:

$x = (-1)^{n}arcsin{1}+ pi n = (-1)^{n}frac{pi}{2} + pi n.$

А, значит, в ответ мы записываем: $x in R backslash left{(-1)^{n}frac{pi}{2} + pi nright}$.

Следствие: аналогично решается и неравенство

$sin{x} > -1.$

Примеры решения неравенств с помощью алгоритма.

Пример 1: Решить неравенство:

$sin{x} geq frac{1}{2}.$

  1. Отметим на оси синусов координату $frac{1}{2}$.Первый шаг решения примера 1 (неравенство с синусом)
  2. Проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку.Второй шаг решения примера 1 (неравенство с синусом)
  3. Отметим точки пересечения. Они будут закрашенными, так как неравенство нестрогое.Третий шаг решения примера 1 (неравенство с синусом)
  4. Знак неравенства $geq$, а значит закрашиваем область выше прямой, т.е. меньший полукруг.Четвёртый шаг решения примера 1 (неравенство с синусом)
  5. Находим первую точку пересечения. Для этого неравенство превращаем в равенство и решаем его: $sin{x}=frac{1}{2} Rightarrow x=(-1)^{n}arcsin{frac{1}{2}}+pi n =(-1)^{n}frac{pi}{6} + pi n$. Полагаем далее $n=0$ и находим первую точку пересечения: $x_{1}=frac{pi}{6}$.Пятый шаг решения примера 1 (неравенство с синусом)
  6. Находим вторую точку. Наша область идёт в положительном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $1$: $x_{2}=(-1)^{1}frac{pi}{6} + pi cdot 1 = pi — frac{pi}{6} = frac{5pi}{6}$.Шестой шаг решения примера 1 (неравенство с синусом)

Таким образом, решение примет вид:

$x in left[frac{pi}{6} + 2pi n; frac{5pi}{6} + 2 pi nright], n in Z.$

Пример 2: Решить неравенство:

$sin{x} < -frac{1}{2}$

Отметим на оси синусов координату $- frac{1}{2}$ и проведём прямую параллельно оси косинусов и проходящую через эту точку. Отметим точки пересечения. Они будут не закрашенными, так как неравенство строгое. Знак неравенства $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$sin{x}=-frac{1}{2}$

$x=(-1)^{n}arcsin{left(-frac{1}{2}right)}+ pi n =(-1)^{n+1}frac{pi}{6} + pi n$.

Полагая далее $n=0$, находим первую точку пересечения: $x_{1}=-frac{pi}{6}$. Наша область идёт в отрицательном направлении от первой точки, значит $n$ полагаем равным $-1$: $x_{2}=(-1)^{-1+1}frac{pi}{6} + pi cdot (-1) = -pi + frac{pi}{6} = -frac{5pi}{6}$.

Окружность решения примера 2 (неравенство с синусом)Итак, решением этого неравенства будет промежуток:

$x in left(-frac{5pi}{6} + 2pi n; -frac{pi}{6} + 2 pi nright), n in Z.$

Пример 3: Решить неравенство:

$1 — 2sin{left(frac{x}{4}+frac{pi}{6}right)} leq 0.$

Этот пример решать сразу с помощью алгоритма нельзя. Для начала его надо преобразовать. Делаем в точности так, как делали бы с уравнением, но не забываем про знак. Деление или умножение на отрицательное число меняет его на противоположный!

Итак, перенесём всё, что не содержит тригонометрическую функцию в правую часть. Получим:

$- 2sin{left(frac{x}{4}+frac{pi}{6}right)} leq -1.$

Разделим левую и правую часть на $-2$ (не забываем про знак!). Будем иметь:

$sin{left(frac{x}{4}+frac{pi}{6}right)} geq frac{1}{2}.$

Опять получилось неравенство, которое мы не можем решить с помощью алгоритма. Но здесь уже достаточно сделать замену переменной:

$t=frac{x}{4}+frac{pi}{6}.$

Получаем тригонометрическое неравенство, которое можно решить с помощью алгоритма:

$sin{t} geq frac{1}{2}.$

Это неравенство было решено в примере 1, поэтому позаимствуем оттуда ответ:

$t in left[frac{pi}{6} + 2pi n; frac{5pi}{6} + 2 pi nright].$

Однако, решение ещё не закончилось. Нам нужно вернуться к исходной переменной.

$(frac{x}{4}+frac{pi}{6}) in left[frac{pi}{6} + 2pi n; frac{5pi}{6} + 2 pi nright].$

Представим промежуток в виде системы:

$left{begin{array}{c} frac{x}{4}+frac{pi}{6} geq frac{pi}{6} + 2pi n, \ frac{x}{4}+frac{pi}{6} leq frac{5pi}{6} + 2 pi n. end{array} right.$

В левых частях системы стоит выражение ($frac{x}{4}+frac{pi}{6}$), которое принадлежит промежутку. За первое неравенство отвечает левая граница промежутка, а за второе — правая. Причём скобки играют немаловажную роль: если скобка квадратная, то неравенство будет нестрогим, а если круглая, то строгим. наша задача получить слева $x$ в обоих неравенствах.

Перенесём $frac{pi}{6}$ из левой части в правые, получим:

$left{begin{array}{c} frac{x}{4} geq frac{pi}{6} + 2pi n -frac{pi}{6}, \ frac{x}{4} leq frac{5pi}{6} + 2 pi n — frac{pi}{6}. end{array} right.$

Упрощая, будем иметь:

$left{begin{array}{c} frac{x}{4} geq 2pi n, \ frac{x}{4} leq frac{2pi}{3} + 2 pi n. end{array} right.$

Умножая левые и правые части на $4$, получим:

$left{begin{array}{c} x geq 8pi n, \ x leq frac{8pi}{3} + 8 pi n. end{array} right.$

Собирая систему в промежуток, получим ответ:

$x in left[ 8pi n; frac{8pi}{3} + 8 pi nright], n in Z.$

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти угол через его косинус
  • Как найти фото своей машины в интернете
  • Как найти мотоцикл по фото
  • Нет подключения к сети на компьютере как исправить
  • Как составить договор на поставку продукции товара