Как найти синус по основному тригонометрическому тождеству

Основное тригонометрическое тождество

12 ноября 2011

Это последний и самый главный урок, необходимый для решения задач B11. Мы уже знаем, как переводить углы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а также умеем определять знак тригонометрической функции, ориентируясь по координатным четвертям (см. урок «Знаки тригонометрических функций»).

Дело осталось за малым: вычислить значение самой функции — то самое число, которое записывается в ответ. Здесь на помощь приходит основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество. Для любого угла α верно утверждение:

sin² α + cos² α = 1.

Эта формула связывает синус и косинус одного угла. Теперь, зная синус, мы легко найдем косинус — и наоборот. Достаточно извлечь квадратный корень:

Обратите внимание на знак «±» перед корнями. Дело в том, что из основного тригонометрического тождества непонятно, каким был исходный синус и косинус: положительным или отрицательным. Ведь возведение в квадрат — четная функция, которая «сжигает» все минусы (если они были).

Именно поэтому во всех задачах B11, которые встречаются в ЕГЭ по математике, обязательно есть дополнительные условия, которые помогают избавиться от неопределенности со знаками. Обычно это указание на координатную четверть, по которой можно определить знак.

Внимательный читатель наверняка спросит: «А как быть с тангенсом и котангенсом?» Напрямую вычислить эти функции из приведенных выше формул нельзя. Однако существуют важные следствия из основного тригонометрического тождества, которые уже содержат тангенсы и котангенсы. А именно:

Важное следствие: для любого угла α можно переписать основное тригонометрическое тождество следующим образом:

Эти уравнения легко выводятся из основного тождества — достаточно разделить обе стороны на cos² α (для получения тангенса) или на sin² α (для котангенса).

Рассмотрим все это на конкретных примерах. Ниже приведены настоящие задачи B11, которые взяты из пробных вариантов ЕГЭ по математике 2012.

Задача. Найдите sin α, если известно следующее:

Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:

sin² α + cos² α = 1 ⇒ sin² α + 99/100 = 1 ⇒ sin² α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку угол α ∈ (π/2; π), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).

Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.

Задача. Найдите cos α, если известно следующее:

Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Обе эти функции есть в основном тригонометрическом тождестве. Подставляем:

sin² α + cos² α = 1 ⇒ 3/4 + cos² α = 1 ⇒ cos² α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Осталось разобраться со знаком перед дробью. Что выбрать: плюс или минус? По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π/2). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим: α ∈ (180°; 270°).

Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если известно следующее:

Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества:

Получаем: tg α = ±3. Знак тангенса определяем по углу α. Известно, что α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим α ∈ (270°; 360°).

Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = −3.

Задача. Найдите cos α, если известно следующее:

Снова известен синус и неизвестен косинус. Запишем основное тригонометрическое тождество:

sin² α + cos² α = 1 ⇒ 0,64 + cos² α = 1 ⇒ cos² α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Знак определяем по углу. Имеем: α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из градусной меры в радианную: α ∈ (270°; 360°) — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Следовательно, cos α = 0,6.

Задача. Найдите sin α, если известно следующее:

Запишем формулу, которая следует из основного тригонометрического тождества и напрямую связывает синус и котангенс:

Отсюда получаем, что sin² α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно, что угол α ∈ (0; π/2). В градусной мере это записывается так: α ∈ (0°; 90°) — I координатная четверть.

Итак, угол находится в I координатной четверти — все тригонометрические функции там положительны, поэтому sin α = 0,2.

Смотрите также:

1. Как формулы приведения работают в задаче B11
2. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
3. Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
4. Решение задач B12: №440—447
5. Задачи про температуру и энергию звезд
6. Задача B4 про шерсть и свитер

Катетами являются стороны, которые образуют прямой угол в треугольнике, соответственно, гипотенузой является третья (самая длинная) сторона.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: синус угла — это отношение дальнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

В случае с рисунком, описанным выше: sin⁡α=acsinalpha=frac{a}{c}

Если в задаче известен косинус угла и нужно найти его синус, то наличие известных длин катетов и гипотенузы не обязательны. Достаточно просто воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, которое имеет следующий вид:

Испытываете проблемы с вычислением синуса? Оформите задачу по математике на заказ у наших экспертов!

Тест по теме «Вычисление синуса»

Основное тригонометрическое тождество

Классическое основное тригонометрическое тождество.

Перед тем, как переходить к различным тригонометрическим ужасам, в школе разбирают основное тригонометрическое тождество, благодаря которому, можно находить синус угла, зная его косинус, и наоборот.

Само тождество выглядит весьма мило:

Из этой формулы выразим синус и косинус:

Стоит обратить особое внимание на знаки «±». Почему их важно не забыть?

Посмотри на картинку ниже.

Если угол находится в первой четверти, то знаки его синуса и косинуса положительны.

Если угол находится во второй четверти, то знак его синуса положительный, а знак косинуса отрицательный.

Если угол находится в третьей четверти, то знаки его синуса и косинуса отрицательны.

Если угол находится в четвертой четверти, то знак его синуса отрицательный, а знак косинуса положительный.

Давай попробуем решить парочку примеров.

Задание 1.

Найдите sinx, если cosx = и 180° < x < 270°.

Угол х находится в третьей четверти, значит синус этого угла будет отрицательный и при выражении синуса из основного тригонометрического тождества мы должны перед корнем поставить знак минус.

Переводим дробь в десятичную.

Ответ: -0,2.

Задание 2.

Найдите cosx, если sinx = 0.6 и 90° < x < 180°.

Определяем знак косинуса. Угол х находится во второй четверти, значит значение косинуса будет отрицательным (см. окружности выше).

Тогда

Ответ: -0,8.

Другие полезные тождества.

Еще нельзя не упомянуть другие тригонометрические тождества, которые в своей сущности также являются основными.

1. Базовые формулы.

2. Связь между тангенсом и котангенсом.

3. Следствия из основного тригонометрического тождества.

Эти формулы получаются путем деления обеих частей равенства на косинус (первая формула) и на синус (вторая формула). 

Рекомендую к изучению: статья о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе.

Успехов в учебе!

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

$1$ радиан $={180}/{π}≈57$ градусов

$1$ градус $={π}/{180}$ радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

1. если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ (${π}/{2}$ и ${3π}/{2}$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2. чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

$sinα=±√{1-cos^2α}$

$cosα=±√{1-sin^2α}$

1. $tgα·ctgα=1$
2. $1+tg^2α={1}/{cos^2α}$
3. $1+ctg^2α={1}/{sin^2α}$

Свойства тригонометрических функций

Отсюда вытекает много интересных свойств и тригонометрических формул.
Во-первых, надеюсь, все знают, что в прямоугольном треугольнике самая большая сторона – это гипотенуза.
Поэтому из определения синуса и косинуса ((sin(alpha)=frac{a}{c}; quad cos(alpha)=frac{b}{c})) следует, что они всегда меньше единицы, ведь мы катет (меньшую сторону) делим на гипотенузу (большую сторону треугольника). И как мы узнаем позже, синус и косинус всегда больше минус единицы. То есть синус и косинус могут принимать только значения из промежутка:

$$ sin(alpha) in [-1;1];$$
$$ cos(alpha) in [-1;1];$$

Для тангенса и котангенса никаких ограничений нет, они могут принимать абсолютно любые значения.

Теперь выведем несколько формул, без которых нам точно потом не обойтись. Например, можно обратить внимание, что тангенс выражается через деление синуса на косинус, просто расписав их по определению:

$$frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{frac{a}{c}}{frac{b}{c}}=frac{a}{c}*frac{c}{b}=frac{a}{b};$$

А последняя формула есть ни что иное, как определение тангенса:
$$ tg(alpha)=frac{a}{b};$$
Значит
$$ tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}.$$

Аналогичные рассуждения можно провести для котангенса:
$$frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}=frac{frac{b}{c}}{frac{a}{c}}=frac{b}{c}*frac{c}{a}=frac{b}{a};$$
А котангенс по определению:
$$ctg(alpha)=frac{b}{a};$$
Значит
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}.$$

Кроме этого, легко заметить, что функции тангенса и котангенса взаимно обратны:
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=frac{a}{b}*frac{b}{a}=1.$$

А теперь мы подобрались к не самой очевидной тригонометрической формуле, но одной из самых главных во всей тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad (1)$$

Выводится оно тоже из определений синуса и косинуса с использованием теоремы Пифагора (гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна сумме квадратов катетов (c^2=a^2+b^2;)):
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=left(frac{a}{c}right)^2+left(frac{b}{c}right)^2=left(frac{a^2}{c^2}right)+left(frac{b^2}{c^2}right)=frac{a^2+b^2}{c^2}=frac{c^2}{c^2}=1.$$
С основным тригонометрическим тождеством вы будете сталкиваться постоянно и в 9-м и в 10-м классах.

И разберем еще две важные формулы:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
Выводится она очень легко, опять же, используя определения тангенса и косинуса. Рекомендую потренироваться и сделать это самим.
$$1+left(frac{a}{b}right)^2=frac{1}{frac{b^2}{c^2}};$$
$$left(frac{b^2}{b^2}right)+left(frac{a^2}{b^2}right)=1*frac{c^2}{b^2};$$
$$frac{b^2+a^2}{b^2}=frac{c^2}{b^2};$$
Используем теорему Пифагора:
$$frac{c^2}{b^2}=frac{c^2}{b^2};$$
Получили верное равенство, значит формула верна.

И вторая аналогичная формула для котангенса:
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)};$$
Вывод один в один, сделайте сами.

Для удобства соберем все формулы вместе.
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad(1)$$
$$ tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}. qquad(2)$$
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}. qquad(3)$$
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=1.qquad(4)$$
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)}. qquad(5)$$
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)}. qquad(6)$$

Это далеко не все тригонометрические формулы, их гораздо больше. Но для начала и для 9-го класса этого вполне достаточно.

Зачем же они нужны? Оказывается, эти формулы помогают связать тригонометрические функции между собой. Посмотрите внимательно на первую формулу (1): зная, например, чему равен косинус, можно легко найти синус, и наоборот.

Пример 1
Пусть (cos(alpha) =frac{1}{2}), найдите (sin(alpha)=?)

Берем основное тригонометрическое тождество (формула (1)) и подставляем в него известный по условию задачи (cos(alpha)=frac{1}{2}:)
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$
$$sin^2(alpha)+left(frac{1}{2}right)^2=1;$$
А дальше просто решаем получившееся уравнение относительно синуса:
$$sin^2(alpha)=1-left(frac{1}{2}right)^2;$$
$$sin^2(alpha)=1-frac{1}{4};$$
Приводим к общему знаменателю:

$$sin^2(alpha)=frac{4}{4}-frac{1}{4};$$
$$sin^2(alpha)=frac{3}{4};$$
И здесь внимательно решаем квадратное уравнение:
$$sin(alpha)=pmfrac{sqrt{3}}{2};$$
Обратите внимание на (pm). Синус может быть как положительным, так и отрицательным, так как при подстановке и возведении в квадрат минус сгорает. Значит здесь получается два ответа.

Ответ:(sin(alpha)=pmfrac{sqrt{3}}{2}.)

Аналогично, зная хотя бы одну тригонометрическую функцию, можно найти все остальные, используя тригонометрические формулы. Рассмотрим еще пример:

Пример 2
Пусть (sin(alpha) =frac{1}{3}), найдите (ctg(alpha)=?)

Смотрим на наш список формул и находим такую, в которой есть и синус и котангенс — это формула (6):
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)}.$$
Подставляем известный из условия синус (sin(alpha) =frac{1}{3}):
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{left(frac{1}{3}right)^2}.$$
Перевернем правую часть:
$$1+сtg^2(alpha)=left(frac{3}{1}right)^2.$$
$$1+сtg^2(alpha)=9.$$
Теперь решим уравнение и найдем котангенс:
$$сtg^2(alpha)=8.$$
$$сtg(alpha)=pmsqrt{8}=pmsqrt{4}*sqrt{2}=pm2sqrt{2}.$$

Ответ:(сtg(alpha)=pm2sqrt{2}).

Выглядит пугающе, но учить вам это НЕ НУЖНО! В некоторых школах есть изверги, которые заставляют учить такую таблицу, но в этом совершенно нет необходимости. В дальнейшем мы научимся сами выводить все значения тригонометрических функций только из маленькой таблицы.

Обратите внимание, что синус некоторого угла в треугольнике всегда положителен, неважно, тупой или острый угол. А вот косинус, тангенс и котангенс в треугольнике положительны только от острых углов и отрицательны от тупых.

Тут может возникнуть вопрос, как может существовать синус, косинус, тангенс или котангенс от тупого угла, большего чем (90^o), если мы давали определение всех тригонометрических функций через прямоугольный треугольник, в котором нет углов больших (90^o). Ну что ж, да тригонометрические функции существуют для любых углов и острых, и тупых, но для самого начала тригонометрии определения через прямоугольный треугольник нам более чем достаточно. Просто запомните выводы, которые мы сделали в предыдущем абзаце.

Рассмотрим пример на тригонометрию по типу схожий с заданиями ОГЭ. Обычно задачи сводятся просто к нахождению тригонометрической функции некоторого угла, нарисованного на рисунке:

Пример 2
По рисунку определить значение (sin(alpha)=?)

По определению синус в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Первым делом достроим наш синий угол (angle{ABC}) до прямоугольного треугольника, для этого опустим из точки (A) высоту (AH) к (BC). Получили прямоугольный треугольник (AHB). Теперь можем воспользоваться определением синуса:
$$sin(alpha)=frac{AH}{AB};$$
По клеточкам на рисунке найдем длину отрезка (AH=15). А гипотенузу (AB) найти по клеточкам не выйдет, так как она идет по диагонали. Но мы можем найти опять по клеточкам второй катет в прямоугольном треугольнике (BH=12) и применить теорему Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2;$$
$$AB^2=15^2+12^2=225+144=369;$$
$$AB=sqrt{369}=3sqrt{41};$$
Подставим в формулу для синуса и найдем его:
$$sin(alpha)=frac{AH}{AB}=frac{15}{3sqrt{41}};$$

Ответ: (sin(alpha)= frac{15}{3sqrt{41}}.)

Разберем еще примеры посложнее на нахождение тригонометрических функций друг через друга. Некоторые даже будут из реального ЕГЭ:

Пример 3
Пусть (tg(alpha)=sqrt{3}), найти (cos(alpha)=?), если известно, что (alpha<90^o).
Задание из ЕГЭ по профильной математике.

Условие аналогично условию в примерах №1 и 2, но появилось еще какое-то ограничение на угол (alpha), пока не будем обращать на него внимания, и решаем как обычно. Воспользуемся формулой (5), в ней есть и косинус, и тангенс, как раз одна из функций нам дана, а другую надо найти:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+(sqrt{3})^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+3=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$4=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{4};$$
$$cos(alpha)=pmfrac{1}{2}.$$

У нас опять получилось два ответа из-за квадрата. В условии сказано, что задание из первой части ЕГЭ, а значит два ответа быть не может. Для этого нам и дано, что (alpha<90^o). Это означает, что угол (alpha) острый, а значит косинус у острого угла обязательно должен быть положительный.

Ответ: (cos(alpha)=frac{1}{2}.)

Пример 4
Пусть (tg(alpha) =-2), найти (sin(alpha)=?), при (90^o<alpha<180^o).

Опять обратимся к нашим формулам (1-6) и пытаемся найти такую, в которой есть и синус и тангенс. И тут оказывается, что такой формулы нет. Но нам никто не запрещает, зная тангенс и используя формулу (5), найти косинус:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+(-2)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$5=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{5};$$
$$cos^2(alpha)=pmsqrt{frac{1}{5}};$$
Так как согласно условию (alpha>90^o), то значение косинуса должно быть отрицательным:
$$cos(alpha)=-sqrt{frac{1}{5}};$$

А потом, уже зная косинус, по основному тригонометрическому тождеству (1) можно найти требуемый в задаче синус:
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$
$$sin^2(alpha)+left(-sqrt{frac{1}{5}}right)^2=1;$$
$$sin^2(alpha)+frac{1}{5}=1;$$
$$sin^2(alpha)=-frac{1}{5}+1;$$
$$sin^2(alpha)=frac{4}{5};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{4}{5}};$$
Синус у нас положительный и при острых ((alpha<90^o)) и при тупых углах ( (90<alpha<180) ):
$$sin(alpha)=sqrt{frac{4}{5}};$$

Ответ: (sin(alpha)=sqrt{frac{4}{5}}.)

Итак, зная значение хотя бы одной из четырех тригонометрических функций, при помощи формул (1-6) можно найти три оставшихся, именно для этого формулы и нужны.

Зная угол (angle{A}=60^o), мы знаем все тригонометрические функции от этого угла. Смотрите в таблицу (1):
$$sin(60^o)=frac{sqrt{3}}{2};$$
$$cos(60^o)=frac{1}{2};$$
$$tg(60^o)=sqrt{3};$$
$$ctg(60^o)=frac{1}{sqrt{3}};$$
С другой стороны, можно расписать функции по определению через отношение сторон в прямоугольном треугольнике:
$$sin(angle{A})=frac{BC}{AB};$$
$$cos(angle{A})=frac{AC}{AB};$$
$$tg(angle{A})=frac{BC}{AC};$$
$$ctg(angle{A})=frac{AC}{BC};$$

Не пугайтесь, все нам не понадобится. Воспользуемся пока формулами:
$$cos(60^o)=frac{1}{2};$$
$$cos(angle{A}=60^o)=frac{AC}{AB};$$
Нам известны косинус (angle{A}) и сторона (AC), а значит, мы можем найти гипотенузу (AB):
$$frac{1}{2}=frac{5}{AB};$$
$$AB=frac{5}{frac{1}{2}}=5*frac{2}{1}=10;$$
Нашли гипотенузу, теперь найдем последнюю сторону (BC). Для этого нам нужна любая формула с (BC), например:
$$sin(angle{A})=frac{BC}{AB};$$
Синус знаем, (AB) только что нашли — выражаем (BC):
$$BC=AB*sin(60^o)=10*frac{sqrt{3}}{2}=5*sqrt{3}.$$

Ответ: (AB=10;) (BC=5*sqrt{3}.)

Подведем итоги. Зная любую сторону в прямоугольном треугольнике и хотя бы один из острых углов, можно найти все остальные стороны при помощи тригонометрии.

Рассмотрим задачу посложнее.

Пример 6
Дан прямоугольный треугольник (bigtriangleup{ABC}), в котором угол (angle{C}=90^o), угол (tg(angle{A})=frac{1}{5}), сторона (AB=13). В треугольнике из прямого угла (angle{C}) проведена высота (CH). Найти (AH).

Первым делом обратите внимание на один очень важный факт. Если провести высоту в прямоугольном треугольнике из прямого угла, то она поделит треугольник еще на два прямоугольных. В нашем случае (bigtriangleup{ACH}) и (bigtriangleup{CHB}) тоже будут прямоугольными. А значит в них выполняются все соотношения для тригонометрических функций.
Например, в (bigtriangleup{ACH}) для угла (angle{A}) противолежащим катетом будет (CH), а прилежащим — сторона (AH), гипотенуза будет соответственно (AC). А значит можно записать формулы, следующие из определения тригонометрических функций:

$$sin(angle{A})=frac{CH}{AC};$$
$$cos(angle{A})=frac{AH}{AC};$$
$$tg(angle{A})=frac{CH}{AH};$$
$$ctg(angle{A})=frac{AH}{CH};$$

Аналогичные соотношения можно записать и для (bigtriangleup{CHB}) и (bigtriangleup{ABC}). Не буду нагромождать, запишите эти соотношения сами в качестве тренировки.

Следующий важный момент, на который следует обратить внимание — это углы в получившихся треугольниках. Обозначим угол (angle{CAB}=alpha). Тогда, так как (angle{CHA}=90^o), можно выразить угол:
$$angle{ACH}=180-angle{CAB}-angle{CHA}=180-alpha-90=90-alpha;$$
Напомню, что треугольник (bigtriangleup{ABC}) прямоугольный с прямым углом (angle{ACB}=90^o).
Значит
$$angle{HCB}=angle{ACB}-angle{ACH}=90-(90-alpha)=alpha=angle{CAB};$$

Важный факт: (angle{HCB}=angle{CAB})! А равенство этих углов само собой означает и равенство всех тригонометрических функций. То есть, например, (sin(angle{HCB})=sin(angle{ACB})). Точно так же у них равны и косинусы, и тангенсы, и даже котангенсы!

Аналогичные рассуждения можно провести для углов (angle{ACH}=angle{CBA}).
Запомните это!

А теперь приступим непосредственно к решению задачи. Нам известна гипотенуза (AB) и (tg(alpha)). По определению тангенса в (bigtriangleup{ABC}):
$$tg(angle{A})=frac{CB}{AC};$$
Либо из (bigtriangleup{ACH}):
$$tg(angle{A})=frac{CH}{AH};$$

В этих формулах есть проблема: нет известной нам стороны, гипотенузы (AB). А значит, у нас две неизвестные, и решить мы не можем.

Но зная тангенс, мы легко можем найти косинус по формуле:
$$1+tg(alpha)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+left(frac{1}{5}right)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+frac{1}{25}=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$frac{26}{25}=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{frac{26}{25}}=1*frac{25}{26}=frac{25}{26};$$
$$cos(alpha)=pmsqrt{frac{25}{26}}=pmfrac{5}{sqrt{26}};$$
Так как (anglealpha) это острый угол из прямоугольного треугольника, то его косинус точно будет положительным:
$$cos(alpha)=frac{5}{sqrt{26}}.$$
Не самый приятный косинус, но что делать, будем решать так, как есть.

С другой стороны, из (bigtriangleup{ABC}):
$$cos(alpha)=frac{AC}{AB};$$
Подставим известное (AB):
$$frac{5}{sqrt{26}}=frac{AC}{13};$$
$$AC=13*frac{5}{sqrt{26}}=frac{13*5}{sqrt{26}};$$
Либо косинус еще можно расписать в (bigtriangleup{ACH}):
$$cos(alpha)=frac{AH}{AC}=frac{5}{sqrt{26}};$$
Подставим найденное (AC):
$$frac{AH}{frac{13*5}{sqrt{26}}}=frac{5}{sqrt{26}};$$
$$AH=frac{5}{sqrt{26}}*frac{13*5}{sqrt{26}}=frac{5*13*5}{26}=frac{25}{2}=12,5.$$

Ответ: (AH=12,5.)