Во-первых, что такое смежный угол? Это угол, который в сумме с заданным углом даёт 180 градусов. Приведём чертёж для пояснения вычислений.
Пусть дан угол ?0, смежный с углом α0 будет угол α1, причём α0 + α1 = 180°.
Если известен синус угла ?0, то по формулам приведения находим синус смежного угла ?1.
sin (а1) = sin (а0)= sin (180° — а1).
Если начертить угол а0 в системе координат, и синус углов а0 и а1 представляет в системе координат одну и ту же ординату у, равную синусу угла.
Здесь угол а0 = углу а, а угол а1 = (180° — а).
И sin (а) = MD = у = sin (180° — а).
Здесь ОМ — единичный вектор, у — ордината точки М и также синус угла ?.
Смежные углы. Свойства смежных углов
Определение 1. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются продолжениями друг друга.
На Рис.1 углы AOB и BOC смежные, так как сторона OB общая для этих углов, а стороны OA и OC являются продолжениями друг друга. Поскольку угол AOC является развернутым углом, то сумма смежных углов равна 180°:
Свойства смежных углов
1. Сумма смежных углов равна 180°
2. Если оба смежных угла равны между собой, то они являются прямыми.
3. В паре смежных углов всегда один острый, а другой тупой, или оба угла прямые.
4. Синусы смежных углов равны.
5. Косинусы, тангенсы и котангенсы смежгых углов равны, но имеют противоположный знак.
Справедливость пунктов 2 и 3 очевидны и следуют из (1).
Доказательство пункта 4. Обозначим через α один из смежных углов. Тогда величина другого угла будет равна 180°−α. Но (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн)
То есть синусы смежных углов равны.
Доказательство пункта 5. Обозначим через α один из смежных углов. Тогда величина другого угла будет равна 180°−α. Но
То есть косинусы, тангенсы и котангенсы смежных углов равны, но имеют противоположный знак.
Работа с внешними углами многоугольника с помощью тригонометрии
Определение
Смежные углы – это два угла, у которых общая вершина и сторона, а другие стороны образуют прямую.
Внешний угол многоугольника – это угол, смежный с каким-нибудь внутренним углом многоугольника.
Утверждение
Для любого действительного (alpha) верно, что
(sinleft(pi — alpharight) = sinalpha),
(cosleft(pi — alpharight) = -cosalpha).
Следствия
Синусы смежных углов равны.
Косинусы смежных углов противоположны.
Следствия
Тангенсы смежных углов либо противоположны, либо оба не существуют (когда смежные углы равны (90^circ)).
Котангенсы смежных углов либо противоположны, либо оба не существуют (когда один из смежных углов развёрнутый).
Синус, косинус, тангенс и котангенс
Острые углы в прямоугольном треугольнике.
В геометрии определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса мы изучаем на примере острых углов в прямоугольном треугольнике.
Вот и они:
Возьмем прямоугольный треугольник АВС и распишем для него формулы для нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острых углов α и β.
Острые углы прямоугольного треугольника обладают очень интересными сверхспособностями, которые могут пригодится при решении геометрических задач.
Во-первых, их сумма равна 90°.
Во-вторых, верны будут следующие равенства (доказать их верность очень легко — смотри предыдущие 8 формул):
Смежные углы.
Теперь немного отстранимся от прямоугольных треугольников. Есть еще очень клевые формулы, но они подходят для смежных углов.
Пусть даны смежные углы α и β (напомню, что сумма смежных углов равна 180°).
Для них будут верны следующие равенства (доказываются через формулы приведения, т.к. α = 180° — β):
Формулы приведения.
| Функции | Углы | ||||||||
| -α | 90°-α | 90°+α | 180°-α | 180°+α | 270°-α | 270°+α | 360°-α | 360°+α | |
| sin | -sinα | +cosα | +cosα | +sinα | -sinα | -cosα | -cosα | -sinα | +sinα |
| cos | +cosα | +sinα | -sinα | -cosα | -cosα | -sinα | +sinα | +cosα | +cosα |
| tg | -tgα | +ctgα | -ctgα | -tgα | +tgα | +ctgα | -ctgα | -tgα | +tgα |
| ctg | -ctgα | +tgα | -tgα | -ctgα | +ctgα | +tgα | -tgα | -ctgα | +ctgα |
Таблица значений тригонометрических функций для «прекрасных» углов.
| α | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
| 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π | |
| sinα | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 | -1 | 0 |
| cosα | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 | 1 |
| tgα | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — | 0 | — | 0 |
| ctgα | — | √3 | 1 | √3/3 | 0 | — | 0 | — |
Осталось это всё запомнить и научиться применять на практике)
Вообще, достаточно запомнить информацию только про синусы и косинусы, а уже через них выводить значения тангенса и котангенса.
Еще рекомендую к прочтению статью про тригонометрические тождества.
Успехов в подготовке!
С уважением, Васильева Анна.
1
Как найти синус смежного угла?
Как соотносятся синусы смежных углов?
3 ответа:
1
0
Ответ: sin A = sin B вот так вроде ну лучше посмотри в интернете
1
0
Смежные углы это 2 угла, сумма которых равна 180°. Смотри рисунок.
Смежные углы имеют общую вершину и одну общую сторону. Итак, сумма углов а + b = 180°. Отсюда а = 180° — b. Далее берем синусы: sina = sin(180° — b) = sinb. Итак имеем
sina = sinb.
1
0
Во-первых, что такое смежный угол? Это угол, который в сумме с заданным углом даёт 180 градусов. Приведём чертёж для пояснения вычислений.
Пусть дан угол ?0, смежный с углом α0 будет угол α1, причём α0 + α1 = 180°.
Если известен синус угла ?0, то по формулам приведения находим синус смежного угла ?1.
sin (а1) = sin (а0)= sin (180° — а1).
Если начертить угол а0 в системе координат, и синус углов а0 и а1 представляет в системе координат одну и ту же ординату у, равную синусу угла.
Здесь угол а0 = углу а, а угол а1 = (180° — а).
И sin (а) = MD = у = sin (180° — а).
Здесь ОМ — единичный вектор, у — ордината точки М и также синус угла ?.
Читайте также
Тут можно посоветовать одну вещь. Уяснить как соотносятся разные тригонометрические функции. Например, sin(60) = sqrt(3)/2 (sqrt — квадратный корень), тогда, зная соотношение sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1, можно легко найти, что cos(60) = sqrt(1 — (sqrt(3)/2)^2) = sqrt(1/4) = 1/2. Также tg(60) = sin(60)/cos(60) = sqrt(3)/2 / (1/2) = sqrt(3), а ctg(60) = 1/tg(60) = 1/sqrt(3). То есть зная несколько тригонометрических формул, можно из одного заученного значения угла вывести несколько других. Достаточно знать значения в 0, 30, 45, 60 и 90 градусах для одной из тригонометрических функций. Остальные могут быть легко «восстановлены». Если использовать формулы понижения степени, свойство периодичности, а также выражения для тригонометрических функций суммы и разности углов, то можно будет восстановить таблицу по трём значениям синуса sin(0) = 0, sin(90) = 1 и sin(30) = 1/2. По мере использования, таблица запомнится сама собой.
Легко запомнить, представив тригонометрический круг, разделенный на 4 четверти по 90 градусов, он заменяет все таблицы. Нарисуйте единичную окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Косинус — это будет ось абсцисс, синус — ось ординат и т.д.
Значение тангенса угла легко найти — поделив синус на косинус.
Так, как AB=BC, значит треугольник ABC-равнобедренный<wbr />, а это значит, что углы ACB и CAB равны, а значит и их синусы тоже будут равны.
<CAB=<CAH;(один и тот же угол)
А синус угла CAH, найти не составит труда:
Sin(CAH)=HC/AC=7/1<wbr />4=1/2=0,5;
<h2>Ответ:</h2>
0,5;
Если известны только углы, то
C=180-arcsin(sin A)-arcsin(sin B)
Если известна хоть одна сторона, то есть теорема синусов.
a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
Зная одну сторону и два синуса, можно найти и третий синус, и остальные две стороны.
И заодно радиус описанной окружности, но это уже другая задача.
Значения синусов и косинусов (и вообще любых функций), а также некоторых чисел, например числа Пи, вычисляются разложением их в ряды. Разложение функций в ряды изучает высшая математика. Пример разложения (и вычисления) синуса приведён в ответе.
Переписывать свой ответ прямо сюда не могу, так как мне припишут неоригинальность (грубо говоря, плагиат), и удалят мой ответ, так со мной уже бывало не раз. Поэтому приходится просто дать ссылку.