Как найти синус суммы двух углов

Синус суммы углов, формула

Данная формула позволяет найти синус суммы углов зная синус и косинус этих углов по отдельности:

[
sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)
]

Вычислить, найти синус суммы углов, по формуле (1)

α° (градусов)	α´ (минут)	α˝ (секунд)
β° (градусов)	β´ (минут)	β˝ (секунд)

нажмите кнопку для расчета

Синус суммы углов	стр. 213

Содержание:

Известные значения синуса, косинуса, тангенса углов можно использовать для вычисления значений синуса, косинуса, тангенса других углов.

Угол 

Выведем формулу  — синуса суммы двух углов. Рассмотрим случай, когда  — острые углы в треугольнике  (рис. 115).

Выразим площадь треугольника  дважды:

Треугольник  — прямоугольный, тогда  Из прямоугольного треугольника  имеем:  и  Тогда

Приравняем правые части равенств (1) и (2):

Разделим обе части равенства на  и получим формулу синуса суммы двух углов:

• 

Если углы  не являются острыми, то можно воспользоваться свойством периодичности синуса и формулами приведения.

Например, если  являются углами второй четверти, то  — острые углы.

Применим к ним выведенную для острых углов формулу синуса суммы: 

• 

Воспользуемся формулами приведения в левой части равенства (3) и получим: 

Применим формулы приведения к правой части равенства (3): 

Таким образом,

 — формула синуса суммы двух углов.

Остальные случаи принадлежности углов различным четвертям рассматриваются аналогично предыдущему.

Синус суммы

Воспользуемся полученной формулой 

Выведем формулу синуса разности двух углов.

Для этого  представим в виде  и применим формулу синуса суммы двух углов:

Получили формулу синуса разности двух углов:

Синус разности

Вычислим, например, 

Для вывода формулы косинуса суммы двух углов воспользуемся формулами приведения и получим: 

Тогда по формуле синуса разности двух углов имеем:

Получили формулу косинуса суммы двух углов:

Косинус суммы

Применим полученную формулу и вычислим, например, 

Представив разность  в виде суммы   можно получить формулу косинуса разности двух углов: 

Косинус разности

Найдем, например, 

Пример №1

Вычислите:

 

Решение:

Применим полученные формулы «справа налево»: Выведем формулы тангенса суммы и тангенса разности двух углов.

Разделим числитель и знаменатель дроби на  тогда:

Таким образом, получили формулу тангенса суммы двух углов:

Воспользуемся формулой тангенса суммы и вычислим, например, 

Тангенс суммы

Представив разность  в виде суммы  можно получить формулу тангенса разности двух углов:

Найдем, например, 

Тангенс разности

 

Пример №2

Вычислите:

 

Решение:

Применим формулы тангенса суммы и тангенса разности «справа налево»:

Полученные формулы синуса суммы, синуса разности, косинуса суммы, косинуса разности, тангенса суммы, тангенса разности двух углов называют формулами сложения.

Примеры заданий и их решения

Пример №3

С помощью формул сложения преобразуйте выражение: 

Решение:

а) По формуле синуса разности получим:

б) Применим формулу тангенса суммы:

Пример №4

Найдите значение выражения:

Решение:

а) По формуле синуса суммы получим: 

б)    По формулам приведения получим, что  

Тогда Воспользуемся формулой косинуса разности и получим: 

в)    По формулам приведения 

Тогда 

По формуле тангенса разности:

Пример №5

Вычислите:

Решение:

б) По формулам приведения: 

По формуле тангенса разности получим:

Таким образом,

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №6

Упростите выражение:

Решение:

а) Воспользуемся нечетностью синуса и формулой косинуса разности:

б)    Применим формулу косинуса разности и получим:

Пример №7

Решите уравнение 

Решение:

Запишем уравнение в виде  и по формуле синуса разности получим: 

Ответ:  

Пример №8

Вычислите  если 

Решение:

Применим формулу косинуса разности:

Из основного тригонометрического тождества выразим  и найдем  Так как  то   Значит,  или  Поскольку  т. е.  угол второй четверти, то  Тогда

Пример №9

Докажите тождество 

Решение:

Воспользуемся формулами сложения и получим:

Пример №10

Найдите значение выражения:

Решение:

  9.

Пример №11

Найдите множество значений функции

Решение:

Применим формулу синуса разности и запишем функцию в виде 

Так как   Таким образом, имеем: 

Основные тригонометрические формулы

Содержание

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение тангенса угла через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

Тригонометрические функции двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

Выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

Наиболее часто встречающиеся тригонометрические формулы:

(blacktriangleright) Основные тождества: [begin{array}{|l|l|}
hline sin^2 alpha+cos^2 alpha =1& mathrm{tg}, alpha cdot
mathrm{ctg}, alpha =1 \
&(sinalphane 0, cosalphane 0)\[0.5ex]
hline &\
mathrm{tg}, alpha=dfrac{sin alpha}{cos alpha}
&mathrm{ctg}, alpha
=dfrac{cos alpha}{sin alpha} \&\
1+mathrm{tg}^2, alpha =dfrac1{cos^2 alpha} & 1+mathrm{ctg}^2, alpha=dfrac1{sin^2 alpha}\&\
(cosalphane 0)& (sinalphane 0) \
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы сложения углов: [begin{array}{|l|r|}
hline &\
sin{(alphapm beta)}=sinalphacdot cosbetapm sinbetacdot
cosalpha & cos{(alphapm beta)}=cosalphacdot cosbeta mp
sinalphacdot sinbeta\ &\
hline &\
mathrm{tg}, (alphapm beta)=dfrac{mathrm{tg}, alphapm
mathrm{tg}, beta}{1 mp mathrm{tg}, alphacdot
mathrm{tg}, beta} & mathrm{ctg}, (alphapmbeta)=-dfrac{1mp mathrm{ctg}, alphacdot mathrm{ctg}, beta}{mathrm{ctg}, alphapm mathrm{ctg}, beta}\&\
cosalphacosbetane 0&sinalphasinbetane 0\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы двойного и тройного углов: [begin{array}{|lc|cr|}
hline sin {2alpha}=2sin alphacos alpha & qquad &qquad & cos{2alpha}=cos^2alpha -sin^2alpha\
sin alphacos alpha =dfrac12sin {2alpha} && & cos{2alpha}=2cos^2alpha -1\
& & & cos{2alpha}=1-2sin^2 alpha\
hline &&&\
mathrm{tg}, 2alpha = dfrac{2mathrm{tg},
alpha}{1-mathrm{tg}^2, alpha} && & mathrm{ctg}, 2alpha
= dfrac{mathrm{ctg}^2, alpha-1}{2mathrm{ctg}, alpha}\&&&\
cosalphane 0, cos2alphane 0 &&& sinalphane 0,
sin2alphane 0\
hline &&&\
sin {3alpha}=3sin alpha -4sin^3alpha && &
cos{3alpha}=4cos^3alpha -3cos alpha\&&&\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы понижения степени: [begin{array}{|lc|cr|}
hline &&&\
sin^2alpha=dfrac{1-cos{2alpha}}2 &&&
cos^2alpha=dfrac{1+cos{2alpha}}2\&&&\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы произведения функций: [begin{array}{|c|}
hline \
sinalphasinbeta=dfrac12bigg(cos{(alpha-beta)}-cos{(alpha+beta)}bigg)\\
cosalphacosbeta=dfrac12bigg(cos{(alpha-beta)}+cos{(alpha+beta)}bigg)\\
sinalphacosbeta=dfrac12bigg(sin{(alpha-beta)}+sin{(alpha+beta)}bigg)\\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формулы суммы/разности функций: [begin{array}{|lc|cr|}
hline &&&\
sinalpha+sinbeta=2sin{dfrac{alpha+beta}2}cos{dfrac{alpha-beta}2}
&&&
sinalpha-sinbeta=2sin{dfrac{alpha-beta}2}cos{dfrac{alpha+beta}2}\&&&\
cosalpha+cosbeta=2cos{dfrac{alpha+beta}2}cos{dfrac{alpha-beta}2}
&&& cosalpha
-cosbeta=-2sin{dfrac{alpha-beta}2}sin{dfrac{alpha+beta}2}\&&&\
mathrm{tg}, alpha pm mathrm{tg},
beta=dfrac{sin{(alphapmbeta)}}{cosalphacosbeta} &&&
mathrm{ctg}, alphapm mathrm{ctg}, beta= — dfrac{sin{(alphapm beta)}}{sinalphasinbeta}\&&&\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного угла: [begin{array}{|l|r|}
hline &\
sin{2alpha}=dfrac{2mathrm{tg}, alpha}{1+mathrm{tg}^2, alpha} & cos{2alpha}=dfrac{1-mathrm{tg}^2, alpha}{1+mathrm{tg}^2, alpha}\&\
cosalphane 0 & sinalphane 0\
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Формула вспомогательного аргумента: [begin{array}{|c|}
hline text{Частный случай}\
hline \
sinalphapm cosalpha=sqrt2cdot
sin{left(alphapm dfrac{pi}4right)}\\
sqrt3sinalphapm cosalpha=2sin{left(alphapm dfrac{pi}6right)}\\
sinalphapm sqrt3cosalpha=2sin{left(xpm dfrac{pi}3right)}\\
hline text{Общий случай}\
hline\
asinalphapm bcosalpha=sqrt{a^2+b^2}cdot sin{(alphapm
phi)}, cosphi=dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}, sinphi=dfrac
b{sqrt{a^2+b^2}}\\
hline
end{array}]

Зная идею вывода формул, вы можете запомнить лишь несколько из них. Тогда остальные формулы вы всегда сможете быстро вывести.

Вывод всех основных тождеств был рассказан в предыдущем разделе “Введение в тригонометрию”.

(blacktriangleright) Вывод формулы косинуса разности углов (cos{(alpha
-beta)}=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)

Рассмотрим (triangle AOB: angle AOB=alpha-beta). По теореме косинусов:

(AB^2=AO^2+BO^2-2AOcdot BOcdot
cos(alpha-beta)=1+1-2cos(alpha-beta) (1))  (т.к. (AO=BO=R) – радиус окружности)

По формуле расстояния между двумя точками на плоскости:

Отсюда и получается наша формула.

(blacktriangleright) Вывод остальных формул суммы/разности углов:

Остальные формулы с легкостью выводятся с помощью предыдущей формулы, свойств четности/нечетности косинуса/синуса и формул приведения (sin x=cos(90^circ-x)) и (cos x=sin (90^circ-x)):

1) (cos(alpha+beta)=cos(alpha-(-beta))=cosalphacos(-beta)+sinalphasin(-beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)

3) (sin(alpha-beta)=sin(alpha+(-beta))=sinalphacos(-beta)+sin(-beta)cosalpha=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha)

4) (mathrm{tg},(alphapmbeta)=dfrac{sin (alphapmbeta)}{cos
(alphapmbeta)}=dfrac{sinalphacosbetapmsinbetacosalpha}{cosalphacosbetampsinalphasinbeta}=)

разделим числитель и знаменатель дроби на (cosalphacosbetane
0)
(при (cosalpha=0 Rightarrow
mathrm{tg},(alphapmbeta)=mp mathrm{ctg},beta), при (cosbeta=0 Rightarrow
mathrm{tg},(alphapmbeta)=pm mathrm{ctg},alpha)):

(=dfrac{mathrm{tg},alphapmmathrm{tg},beta}{1mpmathrm{tg},alphacdot
mathrm{tg},beta})

Таким образом, данная формула верна только при (cosalphacosbetane 0).

5) Аналогично, только делением на (sinalphasinbetane 0), выводится формула котангенса суммы/разности двух углов.

(blacktriangleright) Вывод формул двойного и тройного углов:

Данные формулы выводятся с помощью предыдущих формул:

1) (sin
2alpha=sin(alpha+alpha)=sinalphacosalpha+sinalphacosalpha=2sinalphacosalpha)

2) (cos2alpha=cos(alpha+alpha)=cosalphacosalpha-sinalphasinalpha=cos^2alpha-sin^2alpha)

Используя основное тригонометрическое тождество (sin^2alpha+cos^2alpha=1), получим еще две формулы для косинуса двойного угла:

2.1) (cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=cos^2alpha-(1-cos^2alpha)=2cos^2alpha-1)

2.2) (cos2alpha=cos^2alpha-sin^2alpha=(1-sin^2alpha)-sin^2alpha=1-2sin^2alpha)

3) (mathrm{tg},2alpha=dfrac{sin2alpha}{cos2alpha}=dfrac{2sinalphacosalpha}{cos^2alpha-sin^2alpha}=)

разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alphane 0) (при (cosalpha=0 Rightarrow mathrm{tg},2alpha=0)):

(=mathrm{tg},2alpha=dfrac{2mathrm{tg},alpha}{1-mathrm{tg}^2,alpha})

Таким образом, эта формула верна только при (cosalphane 0), а также при (cos2alphane 0) (чтобы существовал сам (mathrm{tg},2alpha)).

4) (mathrm{ctg},2alpha=dfrac{cos^2alpha-sin^2alpha}{2sinalphacosalpha}=dfrac{mathrm{ctg}^2,alpha-1}{2mathrm{ctg},alpha})

По тем же причинам при (sinalphane 0, sin2alphane 0).

6) Аналогично выводится, что (cos3alpha=cos(alpha+2alpha)=4cos^3alpha-3cosalpha)

(blacktriangleright) Вывод формул понижения степени:

Данные формулы — просто по-другому записанные формулы двойного угла для косинуса:

1) (cos2alpha=2cos^2alpha-1 Rightarrow
cos^2alpha=dfrac{1+cos2alpha}2)

2) (cos2alpha=1-2sin^2alpha Rightarrow
sin^2alpha=dfrac{1-cos2alpha}2)

Заметим, что в данных формулах степень синуса/косинуса равна (2) в левой части, а в правой части степень косинуса равна (1).

(blacktriangleright) Вывод формул произведения функций:

1) Сложим формулы косинуса суммы и косинуса разности двух углов:

(cos(alpha-beta)=cosalphacosbeta+sinalphasinbeta)

(cos(alpha+beta)=cosalphacosbeta-sinalphasinbeta)

Получим: (cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2cosalphacosbeta
Rightarrow
cosalphacosbeta=dfrac12Big(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)Big))

2) Если вычесть из формулы косинуса суммы косинус разности, то получим:

(sinalphasinbeta=dfrac12Big(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)Big))

3) Сложим формулы синуса суммы и синуса разности двух углов:

(sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+sinbetacosalpha)

(sin(alpha-beta)=sinalphacosbeta-sinbetacosalpha)

Получим: (sinalphacosbeta=dfrac12Big(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)Big))

(blacktriangleright) Вывод формул суммы/разности функций:

Обозначим (alpha+beta=x, alpha-beta=y). Тогда: (alpha=dfrac{x+y}2, beta=dfrac{x-y}2). Подставим эти значения в предыдущие три формулы:

1) (2cos{dfrac{x+y}2}cos{dfrac{x-y}2}=cos x+cos y)

Получили формулу суммы косинусов.

2) (2sin {dfrac{x+y}2}sin {dfrac{x-y}2}=cos y-cos x)

Получили формулу разности косинусов.

3) (2sin {dfrac{x+y}2}cos {dfrac{x-y}2}=sin y+sin x)

Получили формулу суммы синусов.

4) Формулу разности синусов можно вывести из формулы суммы синусов:

(sin x-sin y=sin x+sin(-y)=2sin {dfrac{x-y}2}cos
{dfrac{x+y}2})

5) (mathrm{tg},alphapmmathrm{tg},beta=dfrac{sinalpha}{cosalpha}pmdfrac{sinbeta}{cosbeta}=dfrac{sinalphacosbetapmsinbetacosalpha}{cosalphacosbeta}=dfrac{sin(alphapmbeta)}{cosalphacosbeta})

Аналогично выводится формула суммы котангенсов.

(blacktriangleright) Вывод формул выражения синуса и косинуса через тангенс половинного угла:

1) (sin2alpha=dfrac{sin2alpha}1=dfrac{2sinalphacosalpha}{sin^2alpha+cos^2alpha}=)

(разделим числитель и знаменатель дроби на (cos^2alphane 0) (при (cosalpha=0) и (sin2alpha=0)):)

(=dfrac{2mathrm{tg},alpha}{1+mathrm{tg}^2,alpha})

2) Так же, только делением на (sin^2alpha), выводится формула для косинуса.

(blacktriangleright) Вывод формул вспомогательного угла:

Данные формулы выводятся с помощью формул синуса/косинуса суммы/разности углов.

Рассмотрим выражение (asin x+bcos x). Домножим и разделим это выражение на (sqrt{a^2+b^2},):

(asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}left(dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}sin x+
dfrac b{sqrt{a^2+b^2}}cos x right)=sqrt{a^2+b^2}big(a_1sin x+b_1cos xbig))

Заметим, что таким образом мы добились того, что (a_1^2+b_1^2=1),
 
т.к. (left(dfrac a{sqrt{a^2+b^2}}right)^2+left(dfrac
b{sqrt{a^2+b^2}}right)^2=dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1)

Таким образом, можно утверждать, что существует такой угол (phi), для которого, например, (cos phi=a_1, sin phi=b_1). Тогда наше выражение примет вид:

(sqrt{a^2+b^2},big(cos phi sin x+sin phicos
xbig)=sqrt{a^2+b^2},sin (x+phi)) (по формуле синуса суммы двух углов)

Значит, формула выглядит следующим образом: [{large{asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2},sin (x+phi),}} quad text{где } cos phi=dfrac
a{sqrt{a^2+b^2}}] Заметим, что мы могли бы, например, принять за (cos phi=b_1, sin phi=a_1) и тогда формула выглядела бы как [asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2},cos (x-phi)]

(blacktriangleright) Рассмотрим некоторые частные случаи формул вспомогательного угла:

(a) sin xpmcos x=sqrt2,left(dfrac1{sqrt2}sin
xpmdfrac1{sqrt2}cos xright)=sqrt2, sin
left(xpmdfrac{pi}4right))

(b) sqrt3sin xpmcos x=2left(dfrac{sqrt3}2sin xpm
dfrac12cos xright)=2, sin left(xpmdfrac{pi}6right))

(c) sin xpmsqrt3cos x=2left(dfrac12sin
xpmdfrac{sqrt3}2cos
xright)=2,sinleft(xpmdfrac{pi}3right))

Categories:

• Образование
• Наука
• Мода
• Cancel

синус суммы углов

 Ещё немного тригонометрии. Сейчас появилась мода некотрые формулы тригонометрии и на 4 ехиды багрута ( 4 единицы — приличный уровень сложности изучения математики на аттестат зрелости) не выводить. Формулу в зубы — и вперёд. Я понимаю, что так, конечно, легче. Самый простой и естественный вывод формулы синуса суммы двух углов использует понятие вектора, его проекций и скалярного произведения векторов.  А вектора почему-то в программу на 4 единицы не включены. Самые «продвинутые» вообще используют для вывода формулы комплексные числа. За это, мне кажется, надо бить канделябрами, поскольку, если не ошибаюсь. при обосновании теории векторов и комплексных чисел как раз и использовались эти тригонометрические функции. Впрочем, возможно, я и ошибаюсь — тогда канделябрами надо бить меня.
 Ну так можно обойтись и без векторов. Причём получается не намного хуже. Вот один из вариантов.

АС принимаем равной единице для упрощения выкладок. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных. Дальше всё просто.