Как найти синус треугольника по двум углам

Я так понял, что задача сводится к тому, что нам неизвестен угол треугольника, и нам нужно его найти.

Для того чтобы найти синус угла, а затем и сам угол в произвольном треугольнике, необходимо знать длины двух сторон: стороны, противолежащей искомому углу, и какой-либо другой стороны — и ещё величину угла, противолежащего этой последней стороне.

А затем нужно применить теорему синусов.

Обозначим искомый (неизвестный) угол как A, противолежащую сторону — a, другую известную сторону — b, известный противолежащий этой стороне угол — B.

По теореме синусов: a/sin(A) = b/sin(B).

Отсюда: sin(A) = a * sin(B)/b;

A = arcsin[a * sin(B)/b].

Теорема синусов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Формула теоремы синусов:

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Из этой формулы мы получаем два соотношения:

На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:

  • bc sinα = ca sinβ

  • Из этих двух соотношений получаем:

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Все формулы для треугольника

    1. Как найти неизвестную сторону треугольника

    Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

    a , b , c — стороны произвольного треугольника

    α , β , γ — противоположные углы

    Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

    * Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

    Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

    2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

    Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

    a , b — катеты

    c — гипотенуза

    α , β — острые углы

    Формулы для катета, ( a ):

    Формулы для катета, ( b ):

    Формулы для гипотенузы, ( c ):

    Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

    3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

    Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

    b — сторона (основание)

    a — равные стороны

    α — углы при основании

    β — угол образованный равными сторонами

    Формулы длины стороны (основания), (b ):

    Формулы длины равных сторон , (a):

    4. Найти длину высоты треугольника

    Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

    Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

    H — высота треугольника

    a — сторона, основание

    b, c — стороны

    β , γ — углы при основании

    p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

    R — радиус описанной окружности

    S — площадь треугольника

    Формула длины высоты через стороны, ( H ):

    Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

    Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

    Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

    Как найти синус стороны треугольника

    Неверно введено число.

    Неверно задан треугольник.

    Стороны треугольника: теорема синусов

    Введите стороны треугольника :

    a =
    β = — в градусах
    γ = — в градусах

    Количество знаков после разделителя дроби в числах:

    Теория

    Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    Если известны одна сторона и два прилежащих угла, то с помощью теоремы синусов можно вычислить остальные две стороны треугольника. Например пусть известны сторона a и углы γ и β. С учетом того, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, угол α будет равен:

    Тогда остальные стороны вычисляются по следующим формулам:

    источники:

    http://www-formula.ru/2011-10-09-11-08-41

    http://www.math.by/geometry/leg2.html

    Определение синуса угла

    Синусом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

    Катетами являются стороны, которые образуют прямой угол в треугольнике, соответственно, гипотенузой является третья (самая длинная) сторона.

    Для простоты запоминания можно дать такое определение: синус угла — это отношение дальнего от рассматриваемого угла катета к гипотенузе.

    1.png

    В случае с рисунком, описанным выше: sin⁡α=acsinalpha=frac{a}{c}

    Задача 1

    В треугольнике, один из углов которого равен 90 градусам, известен катет при угле αalpha и равен он 3 см3text{ см}. Также дано произведение длин катетов и равно 12 см212text{ см}^2. Найдите синус угла αalpha.

    Решение

    Сначала нужно найти длину неизвестного нам катета. Для этого воспользуемся данным нам произведением. Обозначим неизвестный катет за xx. Тогда, по условию задачи:

    3⋅x=123cdot x=12

    x=123=4x=frac{12}{3}=4

    a=x=4a=x=4

    По теореме Пифагора найдем гипотенузу:

    a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

    42+32=c24^2+3^2=c^2

    25=c225=c^2

    c=5c=5

    sin⁡α=ac=45=0.8sinalpha=frac{a}{c}=frac{4}{5}=0.8

    Ответ

    0.80.8

    Задача 2

    Вычислите синус 45 градусов.

    Решение

    Для этого воспользуемся тригонометрической таблицей углов. Находим, что:

    sin⁡45∘=π4=0.785sin 45^circ=frac{pi}{4}=0.785

    Ответ

    0.7850.785

    Если в задаче известен косинус угла и нужно найти его синус, то наличие известных длин катетов и гипотенузы не обязательны. Достаточно просто воспользоваться основным тригонометрическим тождеством, которое имеет следующий вид:

    Основное тригонометрическое тождество

    sin⁡2α+cos⁡2α=1sin^2alpha+cos^2alpha=1

    αalpha — любой угол.

    Задача 3

    Квадрат косинуса угла в треугольнике равен 0.8. Найдите синус данного угла.

    Решение

    Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

    sin⁡2α+cos⁡2α=1sin^2alpha+cos^2alpha=1

    sin⁡2α+0.8=1sin^2alpha+0.8=1

    sin⁡2α=0.2sin^2alpha=0.2

    sin⁡α=0.2sinalpha=sqrt{0.2}

    sin⁡α≈0.447sinalphaapprox0.447

    Ответ

    0.4470.447

    Испытываете проблемы с вычислением синуса? Оформите задачу по математике на заказ у наших экспертов!

    Тест по теме «Вычисление синуса»

    Содержание:

    Теорема синусов, теорема косинусов:

    Теорема синусов

    Вы уже знаете, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона. Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу окружности, описан­ной около треугольника, т. е.
    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство:

    Пусть дан треугольник АВС, ВС = Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус его описанной окружности. Угол а может быть острым, тупым или прямым. Рассмотрим эти случаи отдельно.

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    1) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый (рис. 152, а). Проведя диаметр BD и отрезок DC, получим прямоугольный треугольник BCD, в котором Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Заметим, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Из прямоугольного треугольника BCD находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решеният. е. Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    2) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой (рис. 152, б). Проведем диаметр BD и отрезок DC. В четырехугольнике ABDC по свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из прямоугольного треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения как вписанный угол, опирающийся на диаметр) Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    3) Для Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения справедливость равенства Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения докажите самостоятельно, В силу доказанного Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема доказана.

    Теорема синусов дает возможность решать широкий круг задач.
    Так, пропорция Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения позволяет решить две следующие задачи:

    • зная две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них, найти синус угла, противолежащего другой стороне;
    • зная два угла треугольника и сторону, противолежащую одному из этих углов, найти сторону, противолежащую другому углу.

    С помощью формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияможно решить еще три задачи (рис. 153): 

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    • зная сторону треугольника и противолежащий ей угол, найти радиус окружности, описанной около треугольника;
    • зная угол треугольника и радиус описанной окружности, найти сторону треугольника, противолежащую данному углу;
    • зная сторону треугольника и радиус его описанной окружности, найти синус угла, противолежащего данной стороне.

    Повторение

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    В остроугольном треугольнике известны стороны Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти два других угла Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения округлив их значения до 1°, и третью сторону треугольника, округлив ее длину до 0,1.

    Решение:

    По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения При помощи калькулятора (таблиц). находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
     

    Замечание. Если бы по условию треугольник был тупоугольным с тупым углом Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то, зная Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вначале мы нашли бы острый угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения А за­тем, используя формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получили бы, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
     

    Пример:

    Доказать справедливость формулы площади треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — его стороны, R — радиус описанной окружности.

    Доказательство:

    Воспользуемся известной формулой площади треугольника: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Что и требовалось доказать.

    Замечание. Выведенная формула позволяет найти радиус описанной окружности треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
     

    Пример:

    Найти радиус R окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС = 10 и боковой стороной ВС =13 (рис. 154).

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Способ 1. Из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для этого в треугольнике АВС проведем высоту ВК, которая будет и медианой, откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпо теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Способ 2. Используем формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения из которой Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТак как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениято Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
     

    Замечание*. Напомним, что в главе II мы находили радиус R описанной окружности равнобедренного треугольника, проводя серединные перпендикуляры к его сторонам и используя подобие полученных прямоугольных треугольников. Также мы могли использовать формулу Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — боковая сторона, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — высота, проведенная к основанию Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения 

    Заменив Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения в формуле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — формулу радиуса описанной окружности для произвольного треугольника. Итак, мы имеем четыре формулы для нахождения радиуса R описанной окружности треугольника:

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема косинусов

    Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сум­ме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство:

    Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166).
    Проведем высоту ВН к стороне АС. Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    По основному тригонометрическому тождеству Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Справедливость теоремы для случаев, когда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана.
    Для сторон Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения теорема косинусов запишется так:

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Замечание. Если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то по теореме Пифагора Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов.
    С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

    • зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

    • зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

    Следствие:

    Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, най­ти его углы (косинусы углов). Из равенства Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует формула

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Для углов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияполучим:

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Пример:

    В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    По теореме косинусов

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Используя записанную выше формулу, можно сра­зу получить: 

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Следствие:

    С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
     

    Так, из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения с учетом того, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует:

    1. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения острый;
    2. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой;
    3. если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения прямой.

    При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
     

    Пример:

    Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения тупой и данный треугольник тупоугольный.

    Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

    1. остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    2. тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    3. прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Следствие:

    Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадра­тов всех его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство:

    Пусть в параллелограмме ABCD Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— острый, откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)
    Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку cos Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                   (2)

    Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения что и требовалось доказать.

    Данная формула дает возможность:

    • • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
    • • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

    Следствие:

    Медиану Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения треугольника со сторонами а, b и с можно найти по фор­муле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

     Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство:

    Рассмотрим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Утверждение доказано.

    Аналогично: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Формула медианы позволяет:

    • зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
    • зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
    • зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

    Пример:

    а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

    Решение:

    а) По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения б) Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то есть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения или Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника.
    Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

    Пример:

    Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Пусть в Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениястороны АВ = 6, ВС = 10 и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 171).
    Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и по условию Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — тупой, то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения. Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: 14.

    Пример:

    Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Обозначим стороны треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — медиана (рис. 172).
    По формуле медианы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Ответ: 24.

    Формула Герона

    Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а также по двум сторонам и углу между ними: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

    Теорема (формула Герона).

    Площадь треугольника со сторонами Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно найти по формуле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения— полупериметр треугольника.

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство:

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 183). Из основ­ного тригонометрического тождества Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Для Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения синус положительный. Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияИз теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Так какТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

    Решение треугольников

    Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

    Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

    Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
     

    Пример №1 (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними). 

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 184).

    Найти : Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
     

    Решение:

    Рис. 184
    1) По теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    2) По следствию из теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    3) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

    4) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Замечание. Нахождение угла Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениятребует выяснения того, острый или тупой угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
     

    Пример №2 (решение треугольника по стороне и двум  прилежащим к ней углам).

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(рис. 185).

    Найти: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    1) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    2) По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц).

    3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоре­мы синусов: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияили Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения(cos Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и sin Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениянаходим при помощи калькулятора или таблиц).

    Пример №3 (решение треугольника по трем сторонам).

    Дано: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 186).

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Найти: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи радиус R описанной окружности.

    Решение:

    1) По следствию из теоремы косинусов

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    2) Зная Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим при помощи калькулятора или таблиц.

    3) Аналогично находим угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

     4) Угол Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

     5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по фор­муле Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
     

    Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения затем нахождение по косинусу угла его синуса Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и, наконец, использование теоремы синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решениядля нахождения R.

    Пример №4

    Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

    Решение:

    Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Имеем: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Способ 2. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияпоскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
     

    Пример №5

    Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Проведем Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD — АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияСН = 8. Площадь трапеции Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: 76.
     

    Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

    Пример:

    Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найдем
    длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°.
    Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Так как в четырехугольнике АВМС Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения где R — радиус. Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треуголь­ников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

    Пример №6

    В прямоугольном треугольнике АВС известно: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Построим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения симметричный Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения относительно прямой АВ (см. рис. 190).
    Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то вокруг четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения можно описать окруж­ность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения вписан в эту окруж­ность, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме синусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Ответ: 8.

    Пример №7

    Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Способ 1. Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (диагона­ли квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диа­метр Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Пусть СО = х. По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    По свойству вписанного четырехугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Поскольку Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения.

     Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Способ 3. Достроим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Ответ: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
     

    Пример №8

    Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь­ник АВС, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Решение:

    Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и
    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — радиус вписанной окружности (рис. 193).
    Тогда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Применим формулу Герона:

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    С другой стороны, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Из уравнения Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения находим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения = 2. Откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см), Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см).
    Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

    Теорема Стюарта

    Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
     

    Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отре­зок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство:

    По теореме косинусов из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияи Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (см. рис. 194) следует:

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения                                     (1)

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения              (2)

    Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Сложим почленно полученные равенства:
    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Из последнего равенства выразим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема доказана.

    Следствие:

    Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство:

    По свойству биссектрисы треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Разделив сторону Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияс в отношении Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим: 

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения По теореме Стюарта Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Пример №9

    Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство:

    Пусть дан треугольник АВС, Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 196). Нужно доказать, что Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Выразим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и через Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения откуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    По формуле биссектрисы треугольника Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Из условия Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения следует: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (второй множитель при положительных Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения больше нуля). Утверждение доказано.

    Теорема Птолемея о вписанном четырехугольнике

    Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон, т. е.Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (рис. 197).

    Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения

    Доказательство:

    Из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения по теореме косинусов Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Так как Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения (по свойству вписанного четырехугольника) и Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияоткуда Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    Аналогично из Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения получим Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТогда  Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решенияТеорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения Теорема доказана.

    Запомните:

    1. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам про­тиволежащих углов. Отношение стороны треугольника к синусу проти­волежащего угла равно удвоенному радиусу его описанной окружности:Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    2. Радиус описанной окружности треугольника можно найти, используя формулы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    3. Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме ква­дратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    4. Пусть Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения — стороны треугольника и с — большая сторона. Если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник тупоугольный, если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения то треугольник остроугольный, если Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения, то треугольник прямоугольный.
    5. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    6. Формула Герона: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    7. Формула медианы: Теорема синусов и  теорема косинусов - определение и вычисление с примерами решения
    • Параллельность прямых и плоскостей
    • Перпендикулярность прямой и плоскости
    • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
    • Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве
    • Углы и расстояния в пространстве
    • Подобие треугольников
    • Решение прямоугольных треугольников
    • Параллелограмм

    Содержание материала

    1. Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
    2. Видео
    3. Теорема косинусов
    4. Формула Герона
    5. Решение треугольников
    6. Пример (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними).
    7. Пример (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам).
    8. Пример (решение треугольника по трем сторонам).
    9. Пример
    10. Пример
    11. Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов
    12. Пример
    13. Пример
    14. Пример
    15. Теорема Стюарта
    16. Пример

    Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

    Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

    Определения тригонометрических функций

    Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

    Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

    Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

    Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

    Приведем иллюстрацию. 

    В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А р

    В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

    Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

    Важно помнить!

    Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

    Видео

    Теорема косинусов

    Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны АВС  треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон ). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.

    Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольн

    Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сум­ме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е. 

    Доказательство:

    Доказательство:

    Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166). Проведем высоту ВН к стороне АС. Из  находим  откуда 
Из  по теореме Пифагора

    По основному тригонометрическому тождеству 
  Тог

    По основному тригонометрическому тождеству 
Тогда Справедливость теоремы для случаев, когда  или  ту

    Справедливость теоремы для случаев, когда 
 Замечание. Если , то по теореме Пифагора  Так к или 
 тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана. Для сторон 
 Замечание. Если , то по теореме Пифагора  Так к теорема косинусов запишется так:

    
Замечание. Если • зная две стороны и угол между ними, найти третью, то по теореме Пифагора • зная две стороны и угол между ними, найти третью Так как • зная две стороны и угол между ними, найти третью то 
 Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов. С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:

    • зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;

    • зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).

    Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые

    Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.

    Следствие:

    Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, най­ти его углы (косинусы углов). Из равенства  следует формула

    Для углов получим:

    Для углов получим:

    Пример:

    Пример:

    В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).

    По теореме косинусов

    По теореме косинусов

    Используя записанную выше формулу, можно сра­зу по

    Используя записанную выше формулу, можно сра­зу получить: 

    Следствие:

    Следствие:

    С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.  

    Так, из формулы  если  то  и угол  острый; если  то  и угол  тупой с учетом того, что  если  то  и угол  острый; если  то  и угол  тупой следует:

    1. если если  то  и угол  тупой; то если  то  и угол  тупой; и угол если  то  и угол  тупой; острый;
    2. если если  то  и угол  прямой. то если  то  и угол  прямой. и угол если  то  и угол  прямой. тупой;
    3. если  то  и угол  прямой.

    При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.  

    Пример:

    Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как Сформулируем правило определения вида треугольника то Сформулируем правило определения вида треугольника угол Сформулируем правило определения вида треугольника тупой и данный треугольник тупоугольный.

    Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:

    1. остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон: тупоугольным, если квадрат его большей стороны бол
    2. тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:прямоугольным, если квадрат его большей стороны ра
    3. прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон:

    Следствие:

    Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадра­тов всех его сторон: 

    Доказательство:

    Доказательство:

    Пусть в параллелограмме ABCD                                    (2)— острый, откуда                                    (2) — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из 

                                     (1) Из                                    (2) Поскольку cos                                    (2) то

    Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), пол                                   (2)

    Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим Данная формула дает возможность: что и требовалось доказать.

    Данная формула дает возможность:

    • • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
    • • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.

    Следствие:

    Медиану   треугольника со сторонами а, b и с можно найти по фор­муле  

     Доказательство:

    Доказательство:

    Рассмотрим Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольниAM  — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину: Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольни

    Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Аналогично: Аналогично:  Отсюда следует, что 
Утверждение доказано.

    Аналогично: Формула медианы позволяет:

    Формула медианы позволяет:

    • зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
    • зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
    • зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.

    Пример:

    а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3,  Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.

    Решение:

    а) По теореме косинусов  Отсюда  б) Пусть  По теореме косинусов  то есть  

    Пример: Отсюда Пример: б) Пусть Пример: По теореме косинусов Пример: то есть Пример:Пример: Отсюда Пример: или 
 так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника. Ответ: а) 7; б) 3 или 5.

    Пример:

    Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — 
Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.

    Решение:

    Решение:

    Пусть в АВ стороны АВ = 6, ВС = 10 и 
 (рис. 171). Поскольку Ответ: 14. то Ответ: 14. откуда 
Так как Ответ: 14. и по условию Ответ: 14. — тупой, то АС . Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:Ответ: 14.

    Ответ: 14.

    Пример:

    Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.

    Решение:

    Решение:

    Обозначим стороны треугольника  Пусть 
 — медиана (рис. 172). По формуле медианы  откуда  По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:
Ответ: 24.

    Формула Герона

    Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: Теорема (формула Герона). а также по двум сторонам и углу между ними: Теорема (формула Герона). Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.

    Теорема (формула Герона).

    Площадь треугольника со сторонами  можно найти по формуле  где — полупериметр треугольника.

    Доказательство:

    Доказательство:

    Тогда  (рис. 183). Из основ­ного тригонометрического тождества Тогда  следует, что Тогда  Для Тогда  синус положительный. Поэтому Тогда Из теоремы косинусов Тогда  откуда Тогда 

    Тогда 

    Так как

    Так какТеорема доказана.

    Теорема доказана.

    Решение треугольников

    Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.

    Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

    Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.  

    Пример (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними)

    Дано: (рис. 184).

    Дано: Найти : 
   (рис. 184).

    Найти : 
 

    Решение:

    Рис. 184 1) По теореме косинусов 2) По следствию из теоремы косинусов

    2) По следствию из теоремы косинусов 3) Угол  находим при помощи калькулятора или табли

    3) Угол 4) Угол 
 Замечание. Нахождение угла  по теореме  находим при помощи калькулятора или таблиц.

    4) Угол 
Замечание. Нахождение угла  по теореме синусов требует выяснения того, острый или тупой угол 
 

    Пример (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)

    Дано: (рис. 185).

    Дано: Найти: (рис. 185).

    Найти: Решение:

    Решение:

    1) Угол 2) По теореме синусов (sin  и sin  находим при пом

    2) По теореме синусов 3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинус(sin 3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинус и sin 3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинус находим при помощи калькулятора или таблиц).

    3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоре­мы синусов: или (cos и sin находим при помощи калькулятора или таблиц).

    Пример (решение треугольника по трем сторонам)

    Дано:  (рис. 186).

    Найти: и радиус R описанной окружности.

    Найти: Rи радиус R описанной окружности.

    Решение:

    1) По следствию из теоремы косинусов

    2) Зная  угол  находим при помощи калькулятора или

    2) Зная 3) Аналогично находим угол  угол 3) Аналогично находим угол  находим при помощи калькулятора или таблиц.

    3) Аналогично находим угол  4) Угол

     4) Угол  5) Радиус R описанной окружности треугольника мож

     5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по фор­муле Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нах где 
 

    Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов  затем нахождение по косинусу угла его синуса  и, наконец, использование теоремы синусов  Rдля нахождения R.

    Пример

    Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.

    Решение:

    Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим:  Тогда  Тогда 

     Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы  Тогда  Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы

    R Радиус R описанной окруж­ности найдем из формулы  Имеем: 
Ответ: 
Способ 2. Так как поскольку  то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов:  а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: 
 

    Пример

    Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.

    Решение:

    Решение:

    Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и  Проведем АВСК  (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD — АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:

     Так как СН = 8. Площадь трапеции

    Ответ: 76.
    Так как СН СН = 8. Площадь трапеции Ответ: 76.
   

    Ответ: 76.  

    Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов

    Пример:

    Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).

    Решение:

    Решение:

    Пусть Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будет
 Найдем длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°. Поэтому 
Так как в четырехугольнике АВМС AM , то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. R где R — радиус. Из Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будет по теореме косинусов Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будетОтвет: 
 Замечание. Вторым способом решения будет Из Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будет по теореме синусов Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будет откуда Ответ: 
 Замечание. Вторым способом решения будетОтвет: 
 Замечание. Вторым способом решения будет

    Ответ: 
Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треуголь­ников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.

    Пример

    В прямоугольном треугольнике АВС известно:  высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.

    Решение:

    Решение:

    Построим  симметричный АВ  относительно прямой АВ (см. рис. 190). Поскольку  то вокруг четырехугольника АВ  можно описать окруж­ность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник  вписан в эту окруж­ность,  По теореме синусов  откуда 
Ответ: 8.

    Пример

    Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС =  На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.

    Решение:

    Решение:

    Способ 1. Так как ADFB  (диагона­ли квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то АОВС  поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диа­метр Пусть СО = х. По теореме косинусов из  находим  Тогда Пусть СО = х. По теореме косинусов из  находим

    Пусть СО = х. По теореме косинусов из из  находим  находим из  находим

    из По свойству вписанного четырехугольника  Поскольку находим По свойству вписанного четырехугольника  Поскольку

    По свойству вписанного четырехугольника  Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гл Поскольку  Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гл то  Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая глоткуда находим  Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая глТогда  Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гл.

     Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):

    Способ 3. Достроим  до квадрата CMNK, как показано

    Способ 3. Достроим CMNK до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда 
Ответ: 
 

    Пример

    Точка О — центр окружности, вписанной в треуголь­ник АВС,  Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).

    Решение:

    Решение:

    Пусть 
 и 
 — радиус вписанной окружности (рис. 193). Тогда Отсюда  Применим формулу Герона:

    Отсюда  Применим формулу Герона:

    С другой стороны,  Из уравнения  находим  = 2. Отк

    С другой стороны,  Из уравнения  находим  = 2. Откуда  (см),  (см), 
 (см). Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.

    Теорема Стюарта

    Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.  

    Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отре­зок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула

    Доказательство:

    Доказательство:

    По теореме косинусов из                                      (1)и                                      (1) (см. рис. 194) следует:

                  (2)                                     (1)

    Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2              (2)

    Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на 
Сложим почленно полученные равенства:
 
  Из пос

    Сложим почленно полученные равенства: 
Из последнего равенства выразим 
Следствие:Теорема доказана.

    Следствие:

    Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)

    Доказательство:

    Доказательство:

    По свойству биссектрисы треугольника  По теореме Стюарта  Разделив сторону  По теореме Стюарта с в отношении  По теореме Стюарта  получим: 

     По теореме Стюарта

    Пример

    Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).

    Доказательство:

    Доказательство:

    Пусть дан треугольник АВС,  ВС = а и АС = b — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и По формуле биссектрисы треугольника  (рис. 196). Нужно доказать, что По формуле биссектрисы треугольника  Выразим По формуле биссектрисы треугольника  и через По формуле биссектрисы треугольника  и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому По формуле биссектрисы треугольника  откуда По формуле биссектрисы треугольника По формуле биссектрисы треугольника  откуда По формуле биссектрисы треугольника 

    По формуле биссектрисы треугольника 

    Из условия  следует:  Перенеся слагаемые в одну ст

    Из условия  следует:  Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим:  Отсюда  (второй множитель при положительных  больше нуля). Утверждение доказано.

    Теги

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить лепестковую диаграмму в excel по данным таблицы
  • Как найти упоминания в реестре
  • Как найти канал шансон
  • Ритуалы как найти потерянную вещь
  • Как найти где было короткое замыкание