Равнобедренные треугольники
Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.
6. В равнобедренном треугольнике:
— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;
— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;
— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.
7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.
8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
$∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.
Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
- Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:
- В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
- Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
- Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
$cos BOA= — cos BOC;$
$ctg BOA= — ctg BOC.$
В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.
Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)
Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.
Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:
Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:
Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то
Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:
В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A=<4>/<5>$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.
Воспользуемся теоремой синусов:
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности
Далее подставим числовые данные и найдем $R$
Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
Теорема синусов
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Доказательство теоремы синусов
Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:
Формула теоремы синусов:
Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
bc sinα = ca sinβ
Из этих двух соотношений получаем:
Теорема синусов для треугольника доказана.
Эта теорема пригодится, чтобы найти:
- Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
- Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Доказательство следствия из теоремы синусов
У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:
Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:
Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.
1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.
Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.
Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.
Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.
BA1 = 2R, где R — радиус окружности
Следовательно: R = α/2 sinα
Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.
Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.
Следовательно, ∠А1 = 180° — α.
Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:
Также известно, что sin(180° — α) = sinα.
В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα
Следовательно: R = α/2 sinα
Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Часто используемые тупые углы:
- sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
- sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
- sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.
3. Угол ∠А = 90°.
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Теорема о вписанном в окружность угле
Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.
Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.
Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.
Формула теоремы о вписанном угле:
Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).
Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.
Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.
ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:
Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.
Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.
Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.
Следовательно: α + γ = 180°.
Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.
Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле
Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:
sinγ = sin(180° — α)
Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα
Примеры решения задач
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.
Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.
-
Согласно теореме о сумме углов треугольника:
∠B = 180° — 45° — 15° = 120°
Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.
В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:
Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.
Ответ: угол составляет примерно 53,1°.
Запоминаем
Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
>
Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:
Синус угла. Таблица синусов.
Синус угла через градусы, минуты и секунды
Синус угла через десятичную запись угла
Как найти угол зная синус этого угла
У синуса есть обратная тригонометрическая функция — arcsin(y)=x
Пример sin(30°) = 1/2; arcsin(1/2) = 30°
Определение синуса
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Синусом угла α называется ордината точки B единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.
Периодичность синуса
Функция y = sin(x) периодична, с периодом 2π
http://skysmart.ru/articles/mathematic/teorema-sinusov
http://calc-best.ru/matematicheskie/trigonometriya/sinus-ugla
21
Июл 2013
Категория: 01 Геометрия
01. Равнобедренный треугольник. Вычисление углов и длин
2013-07-21
2022-12-02
Задача 1. В треугольнике Найдите
Решение: + показать
Задача 2. В треугольнике Найдите
Решение: + показать
Задача 3. В треугольнике Найдите
Решение: + показать
Задача 4. В треугольнике Найдите высоту
Решение: + показать
Ответ:
Задача 5. В тупоугольном треугольнике высота равна Найдите
Решение: + показать
Задача 6. В тупоугольном треугольнике высота равна Найдите косинус угла .
Решение: + показать
Задача 7. В тупоугольном треугольнике высота равна Найдите
Решение: + показать
Задача 8. В треугольнике Найдите высоту .
Решение: + показать
Задача 9. В равнобедренном треугольнике с основанием боковая сторона равна Найдите длину высоты
Решение: + показать
Задача 10. В равнобедренном треугольнике с основанием боковая сторона равна Найдите
Решение: + показать
Задача 11. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Боковая сторона треугольника равна Найдите площадь этого треугольника.
Решение: + показать
Задача 12. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна
Решение: + показать
Задача 13. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Боковая сторона треугольника равна Найдите площадь этого треугольника.
Решение: + показать
Задача 14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна а основание равно Найдите площадь этого треугольника.
Решение: + показать
Ответ:
Задача 15. В треугольнике Найдите высоту
Решение: + показать
Задача 16. В равностороннем треугольнике высота равна Найдите стороны этого треугольника.
Задача 17. В треугольнике угол равен Найдите высоту .
Решение: + показать
Задача 18. В треугольнике высота равна Найдите угол Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 19. В треугольнике угол равен Найдите угол Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 20. Один угол равнобедренного треугольника на больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Задача 21. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен Боковая сторона треугольника равна Найдите длину основания этого треугольника.
Решение: + показать
Задача 22. В треугольнике Внешний угол при вершине равен Найдите угол Ответ дайте в градусах.
Решение: + показать
Вы можете пройти тест по теме «Равнобедренный треугольник. Вычисление углов и длин».
Автор: egeMax |
комментариев 12
Содержание материала
- Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
- Видео
- Теорема косинусов
- Формула Герона
- Решение треугольников
- Пример (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними).
- Пример (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам).
- Пример (решение треугольника по трем сторонам).
- Пример
- Пример
- Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов
- Пример
- Пример
- Пример
- Теорема Стюарта
- Пример
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Синус угла (sin α) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (cosα) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (tg α) — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (ctg α) — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Видео
Теорема косинусов
Теорема косинусов позволяет выразить длину любой стороны треугольника через длины двух других его сторон и косинус угла между ними (например, длину стороны треугольника АВС (рис. 165) через длины сторон ). Теорему косинусов можно назвать самой «работающей» в геометрии. Она имеет многочисленные следствия, которые часто используются при решении задач.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, т. е.
Доказательство:
Докажем теорему для случая, когда в треугольнике АВС угол А и угол С острые (рис. 166). Проведем высоту ВН к стороне АС. Из находим откуда Из по теореме Пифагора
По основному тригонометрическому тождеству Тогда
Справедливость теоремы для случаев, когда или тупой или прямой, докажите самостоятельно. Теорема доказана. Для сторон теорема косинусов запишется так:
Замечание. Если , то по теореме Пифагора Так как то Таким образом, теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов. С помощью теоремы косинусов можно решить следующие задачи:
• зная две стороны и угол между ними, найти третью сторону треугольника;
• зная две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон, найти третью сторону (рис. 167) (в этом случае возможны два решения).
Рассмотрим следствия из теоремы косинусов, которые дают возможность решить еще целый ряд задач.
Следствие:
Теорема косинусов позволяет, зная три стороны треугольника, найти его углы (косинусы углов). Из равенства следует формула
Для углов получим:
Пример:
В треугольнике АВС стороны АВ = 8, ВС = 5, АС = 7. Найдем ZB (рис. 168).
По теореме косинусов
Используя записанную выше формулу, можно сразу получить:
Следствие:
С помощью теоремы косинусов можно по трем сторонам определить вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный.
Так, из формулы с учетом того, что следует:
- если то и угол острый;
- если то и угол тупой;
- если то и угол прямой.
При определении вида треугольника достаточно найти знак косинуса угла, лежащего против большей стороны, поскольку только больший угол треугольника может быть прямым или тупым.
Пример:
Выясним, каким является треугольник со сторонами a = 2, 6 = 3 и с = 4. Для этого найдем знак косинуса угла у, лежащего против большей стороны с. Так как то угол тупой и данный треугольник тупоугольный.
Сформулируем правило определения вида треугольника (относительно углов). Треугольник является:
- остроугольным, если квадрат его большей стороны меньше суммы квадратов двух других его сторон:
- тупоугольным, если квадрат его большей стороны больше суммы квадратов двух других его сторон:
- прямоугольным, если квадрат его большей стороны равен сумме квадратов двух других его сторон:
Следствие:
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
Доказательство:
Пусть в параллелограмме ABCD — острый, откуда — тупой (рис. 169). По теореме косинусов из (1) Из Поскольку cos то
(2)
Сложив почленно равенство (1) и равенство (2), получим что и требовалось доказать.
Данная формула дает возможность:
- • зная две соседние стороны и одну из диагоналей параллелограмма, найти другую диагональ;
- • зная две диагонали и одну из сторон параллелограмма, найти соседнюю с ней сторону.
Следствие:
Медиану треугольника со сторонами а, b и с можно найти по формуле
Доказательство:
Рассмотрим — медиана треугольника (рис. 170). Продлим медиану AM за точку М на ее длину:
Проведем отрезки BD и DC. Так как у четырехугольника ABDC диагонали AD и ВС точкой пересечения делятся пополам, то он — параллелограмм. По свойству диагоналей параллелограмма Отсюда следует, что Утверждение доказано.
Аналогично:
Формула медианы позволяет:
- зная три стороны треугольника, найти любую из его медиан;
- зная две стороны и медиану, проведенную к третьей стороне, найти третью сторону;
- зная три медианы, найти любую из сторон треугольника.
Пример:
а) Дан треугольник АВС, а = 5, 5 = 3, Найти сторону с. б) Дан треугольник АВС, а = 7, с = 8, а = 60°. Найти сторону Ь.
Решение:
а) По теореме косинусов
Отсюда б) Пусть По теореме косинусов то есть Отсюда или так как для наборов длин отрезков 7, 3, 8 и 7, 5, 8 выполняется неравенство треугольника. Ответ: а) 7; б) 3 или 5.
Пример:
Две стороны треугольника равны 6 и 10, его площадь — Найти третью сторону треугольника при условии, что противолежащий ей угол — тупой.
Решение:
Пусть в стороны АВ = 6, ВС = 10 и (рис. 171). Поскольку то откуда Так как и по условию — тупой, то . Для нахождения стороны АС применим теорему косинусов:
Ответ: 14.
Пример:
Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 5.
Решение:
Обозначим стороны треугольника Пусть — медиана (рис. 172). По формуле медианы откуда По обратной теореме Пифагора данный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 — прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов: Ответ: 24.
Формула Герона
Мы знаем, как найти площадь треугольника по основанию и высоте, проведенной к этому основанию: а также по двум сторонам и углу между ними: Теперь мы выведем формулу нахождения площади треугольника по трем сторонам.
Теорема (формула Герона).
Площадь треугольника со сторонами можно найти по формуле где — полупериметр треугольника.
Доказательство:
(рис. 183). Из основного тригонометрического тождества следует, что Для синус положительный. Поэтому Из теоремы косинусов откуда
Тогда
Так как
Теорема доказана.
Решение треугольников
Решением треугольника называется нахождение его неизвестных сторон и углов (иногда других элементов) по данным, определяющим треугольник.
Такая задача часто встречается на практике, например в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.
Рассмотрим алгоритмы решения трех задач.
Пример (решение треугольника по двум сторонам и углу между ними)
Дано: (рис. 184).
Найти :
Решение:
Рис. 184 1) По теореме косинусов
2) По следствию из теоремы косинусов
3) Угол находим при помощи калькулятора или таблиц.
4) Угол Замечание. Нахождение угла по теореме синусов требует выяснения того, острый или тупой угол
Пример (решение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)
Дано: (рис. 185).
Найти:
Решение:
1) Угол
2) По теореме синусов (sin и sin находим при помощи калькулятора или таблиц).
3) Сторону с можно найти с помощью теоремы косинусов или теоремы синусов: или (cos и sin находим при помощи калькулятора или таблиц).
Пример (решение треугольника по трем сторонам)
Дано: (рис. 186).
Найти: и радиус R описанной окружности.
Решение:
1) По следствию из теоремы косинусов
2) Зная угол находим при помощи калькулятора или таблиц.
3) Аналогично находим угол
4) Угол
5) Радиус R описанной окружности треугольника можно найти по формуле где
Замечание*. Вторым способом нахождения R будет нахождение косинуса любого угла при помощи теоремы косинусов затем нахождение по косинусу угла его синуса и, наконец, использование теоремы синусов для нахождения R.
Пример
Найти площадь S и радиус R описанной окружности треугольника со сторонами 9, 12 и 15.
Решение:
Способ 1. Воспользуемся формулой Герона. Обозначим а = 9, b = 12, с = 15. Получим:
Тогда
Радиус R описанной окружности найдем из формулы Имеем: Ответ: Способ 2. Так как поскольку то треугольник — прямоугольный по обратной теореме Пифагора. Его площадь равна половине произведения катетов: а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы:
Пример
Найти площадь трапеции с основаниями, равными 5 и 14, и боковыми сторонами, равными 10 и 17.
Решение:
Пусть в трапеции ABCD основания AD = 14 и ВС = 5, боковые стороны АВ = 10 и Проведем (рис. 187). Так как АВСК — параллелограмм, то СК = АВ = 10, АК = ВС = 5, откуда KD = AD — АК = 9. Найдем высоту СН треугольника KCD, которая равна высоте трапеции. Площадь треугольника KCD найдем по формуле Герона, обозначив его стороны а = 10, b = 17, с = 9. Получим:
Так как СН = 8. Площадь трапеции
Ответ: 76.
Примеры решения задач с использованием теоремы синусов и теоремы косинусов
Пример:
Внутри угла А, равного 60°, взята точка М, которая находится на расстоянии 1 от одной стороны угла и на расстоянии 2 от другой стороны. Найти расстояние от точки М до вершины угла А (рис. 189, а).
Решение:
Пусть Найдем длину отрезка AM. Сумма углов четырехугольника АВМС равна 360°. Поэтому Так как в четырехугольнике АВМС , то около него можно описать окружность по признаку вписанного четырехугольника (рис. 189, б). Поскольку прямой вписанный угол опирается на диаметр, то отрезок AM — диаметр этой окружности, т. е. где R — радиус. Из по теореме косинусов Из по теореме синусов откуда
Ответ: Замечание. Вторым способом решения будет продление отрезка ВМ до пересечения с лучом АС и использование свойств полученных прямоугольных треугольников. Рассмотрите этот способ самостоятельно.
Пример
В прямоугольном треугольнике АВС известно: высота СН = 2 (рис. 190). Найти гипотенузу АВ.
Решение:
Построим симметричный относительно прямой АВ (см. рис. 190). Поскольку то вокруг четырехугольника можно описать окружность, где АВ — диаметр этой окружности (прямой вписанный угол опирается на диаметр). Треугольник вписан в эту окружность, По теореме синусов откуда Ответ: 8.
Пример
Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами ВС = а и АС = На гипотенузе АВ как на стороне построен квадрат ADFB (рис. 191). Найти расстояние от центра О этого квадрата до вершины С прямого угла, т. е. отрезок СО.
Решение:
Способ 1. Так как (диагонали квадрата ADFB взаимно перпендикулярны), то поэтому четырехугольник АОВС является вписанным в окружность, ее диаметр Тогда
Пусть СО = х. По теореме косинусов из находим
из находим
По свойству вписанного четырехугольника Поскольку то откуда находим Тогда .
Способ 2. Используем теорему Птолемея, которая гласит: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон». Для нашей задачи получаем (см. рис. 191):
Способ 3. Достроим до квадрата CMNK, как показано на рисунке 192. Можно показать, что центр квадрата CMNK совпадет с центром квадрата ADFB, т. е. с точкой О (точки В и D симметричны относительно центров обоих квадратов). Тогда Ответ:
Пример
Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС, Найти стороны треугольника (см. задачу 232*).
Решение:
Пусть и — радиус вписанной окружности (рис. 193). Тогда
Отсюда Применим формулу Герона:
С другой стороны, Из уравнения находим = 2. Откуда (см), (см), (см). Ответ: 15 см; 20 см; 7 см.
Теорема Стюарта
Следующая теорема позволяет найти длину отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.
Теорема Стюарта. «Если а, b и с — стороны треугольника и отрезок d делит сторону с на отрезки, равные х и у (рис. 194), то справедлива формула
Доказательство:
По теореме косинусов из и (см. рис. 194) следует:
(1)
(2)
Умножим обе части равенства (1) на у, равенства (2) — на
Сложим почленно полученные равенства: Из последнего равенства выразим Теорема доказана.
Следствие:
Биссектрису треугольника можно найти по формуле (рис. 195)
Доказательство:
По свойству биссектрисы треугольника Разделив сторону с в отношении получим:
По теореме Стюарта
Пример
Доказать, что если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера—Лемуса).
Доказательство:
Пусть дан треугольник АВС, — биссектрисы, проведенные к сторонам ВС = а и АС = b соответственно, и (рис. 196). Нужно доказать, что Выразим и через и приравняем полученные выражения. Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому откуда откуда
По формуле биссектрисы треугольника
Из условия следует: Перенеся слагаемые в одну сторону равенства и разложив на множители (проделайте это самостоятельно), получим: Отсюда (второй множитель при положительных больше нуля). Утверждение доказано.
Теги
Как найти синус угла в равнобедренном треугольнике
Равнобедренным треугольником называется выпуклая геометрическая фигура из трех вершин и трех соединяющих их отрезков, два из которых имеют одинаковую длину. А синус — это тригонометрическая функция, которую можно использовать для численного выражения зависимости между соотношением длин сторон и величинами углов во всех треугольниках, включая и равнобедренные.
Если из исходных данных известна величина хотя бы одного угла (α) в равнобедренном треугольнике, это позволит найти и два других (β и γ), а значит и синус любого из них. Исходите из теоремы о сумме углов, которая утверждает, что в треугольнике она обязательно должна быть равна 180°. Если угол известной величины лежит между боковыми сторонами, величина каждого из двух других равна половине разности между 180° и известным углом. Значит, вы можете использовать в расчетах такое тождество: sin(β) = sin(γ) = sin((180°-α)/2). Если же известный угол примыкает к основанию треугольника, это тождество распадется на два равенства: sin(β) = sin(α) и sin(γ) = sin(180°-2*α).
Зная радиус (R) окружности, описанной около такого треугольника, и длину любой из сторон (например, а) можно не прибегая к вычислению тригонометрических функций рассчитать синус угла (α), лежащего напротив этой стороны. Используйте для этого теорему синусов — из нее вытекает, что нужная вам величина равна половине соотношения между длиной стороны и радиусом: sin(α) = ½*R/a.
Известные площадь (S) и длина боковой стороны (а) равнобедренного треугольника позволят рассчитать синус угла (β), лежащего напротив основания фигуры. Для этого удвойте площадь и поделите результат на возведенную в квадрат длину боковой стороны: sin(β) = 2*S/a². Если кроме длины боковой стороны известна и длина основания (b), квадрат можно заменить произведением длин этих двух сторон: sin(β) = 2*S/(a*b).
Если известны длины боковой стороны (а) и основания (b) равнобедренного треугольника, для вычисления синуса угла при основании (α) можно задействовать даже теорему косинусов. Из нее вытекает, что косинус этого угла равен половине отношения длины основания к длине боковой стороны: cos(α) = ½*b/a. Синус и косинус связаны таким равенством: sin²(α) = 1-cos²(α). Поэтому для вычисления синуса извлеките квадратный корень из разницы между единицей и четвертью соотношения квадратов длин основания и боковой стороны: sin(α) = √(1-cos2(α)) = √(1-¼*b²/а²).
В решении найден же угол смежного с ним угла — острого, но не тупого, которого нужно найти. Есть какие-то свойства? Откройте учебник, на теме формулы приведения. Там есть формула: sin(Пи-a)=sin(a). Всего то и «делов». Или запомните такое определение. Вдоль оси Х (по горизонтали вправо) направьте небольшой вектор с длиной, равной 1. Теперь поворачивайте этот вектор против часовой стрелки на требуемый Вам угол (хоть острый, хоть тупой, хоть в три полных оборота «с гаком». В любом случае синусом угла будет ОРДИНАТА конца вектора, а косинусом — АБСЦИССА. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим bezdelnik 8 лет назад В этом примере нужно сначала найти величину гипотенузы по теореме Пифагора. В решении без доказательства сказано гипотенуза равна 5. Гипотенуза равна корню квадратному из суммы квадратов катетов 9+16=25. Знаете ответ? |