Как найти синус в квадрате с диагоналями - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Учебник

Геометрия, 9 класс

Формулы площадей через синус угла

Основные свойства площадей фигур:

Равные фигуры имеют равные площади. Две фигуры состоящие из одинаковых кусков — равновеликие.
Аддитивность: Площадь фигуры, разрезанной на несколько частей, равна сумме площадей этих частей ;
Площадь прямоугольника равна произведению ширины на длину … произведение сторон.

Задача 1: В параллелограмме известны стороны $7$, $10$ и синус угла между ними $frac{1}{2}$. Найти площадь параллелограмма.

Решение: Опустим высоты $BH$ и $CK$ на основание $AD$ . Они помогут «увидеть» площадь.
Что есть синус $angle BAH$ в прямоугольном треугольнике $bigtriangleup ABH$? Отношение катета $BH$ к гипотенузе $AB$.
Формула синуса позволит выразить высоту $BH$ через сторону $AB$ и синус $frac{1}{2}$. Высота $CK$ такая же.
Параллелограмм $ABCD$ состоит из кусков: $bigtriangleup ABH$ и $4$-угольник $HBCD$. Площадь — сумма площадей кусков.
Прямоугольник $HBCK$ состоит из кусков $HBCD$ и $bigtriangleup DCK$. Площадь также «сумма кусков».
Треугольники $bigtriangleup ABH$ и $bigtriangleup DCK$ одинаковые. Значит, параллелограмм и прямоугольник равновеликие.
Площадь Параллелограмма $ABCD$ так же, как прямоугольника $HBCD$ равна высота на основание.
$S_{ABCD}=S_{ABH}+S_{HBCD}=S_{HBCD}+S_{DCK}=S_{HBCK}=BHcdot HK=ABcdotsin angle BADcdot AD=7cdotfrac{1}{2}cdot10$

Теорема «о площади параллелограмма и треугольника через синус угла»:

Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла параллелограмма:
Формулы $S=acdot bcdotsin angle BAD$ $S_{ABCD}=ABcdot BCcdotsin D$
Площадь треугольника равна половине произведения сторон треугольника на синус угла между ними.
Формулы $S=frac{1}{2}cdot acdot bcdotsin angle C$ $S_{bigtriangleup ABC}=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdotsin angle CBA$

Площадь треугольника также легко получить через площадь параллелограмма, равновеликого с двумя треугольниками, приставленными друг к другу по диагонали. Тогда площадь одного треугольника будет равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и с той же высотой.

Задача 2: Диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения на отрезки $3$, $5$ и $6$, $7$ . Синус угла между диагоналями $0,2$. Найти площади треугольников и всего четырехугольника.

Дано: $BO=3$ $OD=5$ $CO=6$ $AO=7$ … угол между $sinangle AOB=0,2$. Найти: $S_{ABCD}=?$.
Решение: Диагонали делят четырехугольник на 4 треугольника. Площадь = сумме 4-х площадей.
Аддитивность: $S_{ABCD}=S_{bigtriangleup AOB}+S_{bigtriangleup BOC}+S_{bigtriangleup COD}+S_{bigtriangleup AOD}$.
Площадь одного из них по формуле: $S_{bigtriangleup AOB}=frac{1}{2}cdot AOcdot OBcdot sin angle AOB=frac{1}{2}cdot 7 cdot 3cdot 0,2=2,1$
Каковы синусы остальных углов? Свойство: Синусы смежных углов равны: $sinangle BOC=sinangle COD=sinangle AOD=0,2$
Тогда, площади других треугольников $frac{1}{2}cdot 3 cdot 6cdot 0,2=1,8$ $frac{1}{2}cdot 6 cdot 5cdot 0,2=3$ $frac{1}{2}cdot 5 cdot 7cdot 0,2=3,5$
Площадь четырехугольника равна сумме этих площадей Ответ: $S_{ABCD}=2,1+1,8+3+3,5=10,4$

Теоретически, по-другому: Распишем получение площади $S_{ABCD}$ в буквах, без числовых значений:

$frac{1}{2}cdot OAcdot OBcdot sin angle AOB+frac{1}{2}cdot OBcdot OCcdot sin angle AOB+frac{1}{2}cdot OCcdot ODcdot sin angle AOB+frac{1}{2}cdot ODcdot OAcdot sin angle AOB$
Вынос за скобки множителей $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot sin angle AOBcdot left(OAcdot OB+OBcdot OC+OCcdot OD+ODcdot OAright)$
$S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot sin angle AOBcdot left(OBcdotleft(OA+OCright)+ODcdotleft(OA+OCright)right)=frac{1}{2}cdot sin angle AOBcdot AC cdot (OB+OD)$
Получаем $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot AC cdot BDcdot sin angle AOB$ $Rightarrow$ $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot (7+6) cdot (3+5)cdot 0,2=13cdot 0,8=10,4$

Задача 3: В треугольнике известны стороны $AB=10$ , $BC=12$ и угол $angle ABC=30$ . Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении 3 : 5, а точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении 2 : 3. Найти площади и отношение площадей треугольников $ABK$ и $MBC$.

Дано: $AB=10$, $BC=12$, $frac{AM}{MB}=frac{3}{5}$, $frac{BK}{KC}=frac{2}{3}$, $angle ABC=30$. Найти: $frac{S_{bigtriangleup ABK}}{S_{bigtriangleup MBC}}=?$
Точка делит отрезок в известном соотношении. Находим части как систему уравнений $frac{x}{y}=?$ $x+y=?$
$frac{AM}{MB}=frac{3}{5}$, аддитивность $AM+MB=AB=10$ $Rightarrow$ $frac{AM}{AB}=frac{3}{3+5}$ $Rightarrow$ $AM=frac{15}{4}$, $MB=frac{25}{4}$
$frac{BK}{KC}=frac{2}{3}$, $BK+KC=12$ из свойств пропорций $BK=frac{24}{5}$, $KC=frac{36}{5}$
Найдем площадь через синус $S_{bigtriangleup ABK}=frac{1}{2}cdot AB cdot BK cdot sin angle ABC = frac{1}{2}cdot 10 cdot frac{24}{5} cdot sin 30= 24 cdot 0,5=12$
В треугольнике $MBC$ тот же угол, $S_{bigtriangleup MBC}=frac{1}{2}cdot MB cdot BC cdot sin angle ABC = frac{1}{2}cdot frac{25}{4} cdot 12 cdot 0,5=frac{75}{4}$
отношение площадей треугольников $frac{S_{bigtriangleup ABK}}{S_{bigtriangleup MBC}}=frac{12}{frac{75}{4}}=frac{16}{25}$ Ответ: $frac{16}{25}$

Замечание, продолжение: Можно ли найти отношение площадей при неизвестных значениях сторон и угла?

Зная лишь как делят точки $M$ и $K$ стороны треугольника, на какие пропорции ?!
Дано только $frac{AM}{MB}=frac{3}{5}$, $frac{BK}{KC}=frac{2}{3}$. Выразим отрезки через стороны $AB$ и $BC$.
Выразим площади $S_{bigtriangleup ABK}$ , $S_{bigtriangleup MBC}$ также через стороны $AB$ и $BC$ и угол $angle ABC$.
Составим отношение площадей, выразим через стороны и угол. Что получится? Что можно сделать, ?

Теорема «о площади четырехугольника через диагонали и синус угла»:

Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:
Формулы $S=frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2 cdotsin angle alpha$ $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot AC cdot BDcdot sin angle AOB$
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. … диагонали перпендикулярны!
Формулы $S=frac{1}{2}cdot d_1 cdot d_2=frac{1}{2}cdot AC cdot BD$ $angle AOB=90$ $sin angle AOB=1$

Формулы площади треугольника:

$S=frac{acdot h_a}{2}=frac{acdot bcdotsin C}{2}$ $S=frac{bcdot h_b}{2}=frac{bcdot ccdotsin A}{2}$ $S=frac{ccdot h_c}{2}=frac{ccdot acdotsin B}{2}$.

$sin A=frac{h_b}{c}=frac{h_c}{b}$ $sin B=frac{h_a}{c}=frac{h_c}{a}$ $sin C=frac{h_b}{a}=frac{h_a}{b}$.

$S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ACcdot BCcdotsin C$ $S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ABcdot BCcdotsin B$ $S_{ABC}=frac{1}{2}cdot ACcdot ABcdotsin A$ .

Задача 4: В прямоугольнике диагонали $10$ и угол между ними $30$. Найти площадь.

Дано: $ABCD$ — прямоугольник , $AC=10$ , $angle AOB=30$ Найти: $S_{ABCD}$ .
Решение: В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются по середине $AO=OB=5$
$bigtriangleup AOB$ и $bigtriangleup COD$ равные $Rightarrow$ $S_1=S_3$ ;
$bigtriangleup BOC$ и $bigtriangleup AOD$ равные $Rightarrow$ $S_2=S_4$ .
Смежные, $angle BOC=180-angle AOB=150$. Найдем отношение $frac{S_1}{S_2}=frac{frac{1}{2}AOcdot OBcdotsin30}{frac{1}{2}BOcdot OCcdotsin150}$
$sin30=sinleft(180-30right)=sin150$. тогда $frac{S_1}{S_2}=frac{frac{1}{2}cdot5cdot5cdotsin150}{frac{1}{2}cdot5cdot5cdotsin150}=1$ Значит, $S_1=S_2$
Аналогично: $frac{S_3}{S_4}=frac{frac{1}{2}DOcdot OCcdotsin30}{frac{1}{2}AOcdot ODcdotsin150} =1$ $Rightarrow$ $S_3=S_4$, площади равные.
Диагонали рассекают прямоугольник на четыре равновеликих: треугольника $S_1=S_2=S_3=S_4$ .
… тогда, по свойству аддитивности площадей $S_1=S_2=S_3=S_4=frac{1}{4}S_{ABCD}$ .
$S_{AOB}=S_1=frac{1}{2}AOcdot OBcdot sin 30=frac{1}{2}cdot 5cdot 5cdot frac{1}{2}=frac{25}{4}$ $Rightarrow$ $S_{ABCD}=4cdotfrac{25}{4}$
Найдя площадь АОВ, нашли площадь прямоугольника умножением на 4. Ответ: $S_{ABCD}=25$

Задача 5: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.

Дано: ромб $ABCD$ , $BD=13$, высота $EB=12$ , Найти: $S_{ABCD}$ .
Решение: прямоугольный $bigtriangleup BED$, подобен тем, на которые ромб делится диагоналями:
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Одинаковый «состав» углов. Все прямоугольные,
Прямоугольный $bigtriangleup BED$, по Пифагору выразим катет $DE=sqrt{BD^2-BE^2}=5$
Диагонали в ромбе делятся пополам: $BO=OD=frac{BD}{2}=6,5$ $AO=frac{AC}{2}$ $AC=2cdot AO$
Для нахождения площади ромба нам нужно найти вторую диагональ.
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD$ $Rightarrow$ $frac{AO}{BE}=frac{OD}{ED}$ $Rightarrow$ $AO=frac{ODcdot BE}{ED}=frac{6,5cdot 12}{5}=15,6$ $AC=2cdot AO=31,2$
Ответ: Площадь ромба через диагонали: $S_{ABCD}=frac{1}{2}cdot ACcdot BD=0,5cdot 31,2cdot13=202,8$

Задача 6. Площадь равнобедренного треугольника равна $100$ , а угол при вершине $30^o$ 1) Найти его боковые стороны . 2) Найти тригонометрию $15^o$

Решение: 1) Известны площадь и угол, значит используем формулу площади через синус $30^o$ .
Пусть боковая сторона $a$ , $S=frac{1}{2}acdot acdotsin30$ , тогда $100=frac{1}{2}a^2cdotsin30$ $Leftrightarrow$ $100=frac{1}{2}a^2cdotfrac{1}{2}$ $Rightarrow$
$a=sqrt{400}=20$ Ответ: $a=20$
2) По теореме косинусов найдем основание $c=sqrt{a^2+a^2-2cdot acdot acdotfrac{sqrt{3}}{2}}=asqrt{2-sqrt{3}}$
Из вершины равнобедренного угла проведем биссектрису к основанию. По свойству равнобедренности
она будет и высотой $h$ (треугольник поделится на 2 прямоугольных с углами 15 градусов) и медианой,
а значит основание поделится пополам , как и угол 30 у вершины поделится по 15 градусов.
По прямоугольнему треугольнику (половинка): $sin15=frac{0,5cdot c}{a}=frac{0,5cdot acdotsqrt{2-sqrt{3}}}{a}=frac{sqrt{2-sqrt{3}}}{2}$
Площадь через основание $S=frac{1}{2}cdot ccdot h$, найдем высоту $h=frac{2cdot S}{c}=frac{2cdot0,5cdot a^2cdotsin30}{acdotsqrt{2-sqrt{3}}}=frac{a}{2cdotsqrt{2-sqrt{3}}}$
В прямоугольном треугольнике стороны $h$, $frac{c}{2}$, $a$. Тогда $cos15=frac{h}{a}=frac{frac{a}{2cdotsqrt{2-sqrt{3}}}}{a}=frac{1}{2cdotsqrt{2-sqrt{3}}}$

Интерактивные Упражнения

Источник

Синус в квадрате

Синус (sin) — это тригонометрическая функция, геометрически представляющая отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

sin 2 (x)=sin(x)*sin(x)

Значение синуса находится в диапазоне от -1 до +1.

Смотрите также калькулятор вычисления синуса угла.

Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления квадрата синуса (синуса в квадрате). С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить квадрат синуса любого угла.

Косинус в квадрате и синус в квадрате

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Поэтому для начала вспомним основные понятия прямоугольного треугольника:

Гипотенуза — сторона, которая всегда лежит напротив прямого угла (угла в 90 градусов). Гипотенуза — это самая длинная сторона треугольника с прямым углом.

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

Теперь переходим к косинусу и синусу угла альфа (∠α) (так можно назвать любой непрямой угол в треугольнике или использовать в качестве обозначение икс — «x», что не меняет сути).

Синус угла альфа (sin ∠α) — это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC

Косинус угла альфа (cos ∠α) — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе. Если снова смотреть по рисунку выше, то cos ∠ABC = AB / BC

И просто для напоминания: косинус и синус никогда не будут больше единицы, так как любой катит короче гипотенузы (а гипотенуза — это самая длинная сторона любого треугольника, ведь самая длинная сторона расположена напротив самого большого угла в треугольнике).

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Теперь переходим к основным тригонометрическим формулам: вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество:

sin 2 α + cos 2 α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Из тригонометрического тождества делаем выводы о синусе:

sin 2 α = 1 — cos 2 α

или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.

sin 2 α = (1 – cos(2α)) / 2

Из тригонометрического тождества делаем выводы о косинусе:

cos 2 α = 1 — sin 2 α

или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.

cos 2 α = (1 + cos(2α)) / 2

Эти две более сложные формулы синуса в квадрате и косинуса в квадрате называют еще «понижение степени для квадратов тригонометрических функций». Т.е. была вторая степень, понизили до первой и вычисления стали удобнее.

Добавить интересную новость

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

user->isGuest) »]) . ‘ или ‘ . Html::a(‘зарегистрируйтесь’, [‘/user/registration/register’], [‘class’ => »]) . ‘ , чтобы получать деньги $$$ за каждый набранный балл!’); > else user->identity->profile->first_name) || !empty(Yii::$app->user->identity->profile->surname))user->identity->profile->first_name . ‘ ‘ . Yii::$app->user->identity->profile->surname; > else echo ‘Получайте деньги за каждый набранный балл!’; > ?>—>

Формулы двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2 α , используя тригонометрические функции угла α . Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид n α записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin n α имеет то же значение, что и sin ( n α ) . При обозначении sin n α имеем аналогичную запись ( sin α ) n . Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n .

Ниже приведены формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α — c t g 2 α — 1 2 · c t g α

Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α . Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α , где t g 2 α имеет смысл, то есть α ≠ π 4 + π 2 · z , z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α , где c t g 2 α определен на α ≠ π 2 · z .

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Доказательство формул двойного угла

Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

sin ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинуса суммы cos ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β . Предположим, что β = α , тогда получим, что

sin ( α + α ) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos ( α + α ) = cos α · cos α — sin α · sin α = cos 2 α — sin 2 α

Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α .

Остальные формулы cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 приводят к виду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , при замене 1 на сумму квадратов по основному тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаем, что sin 2 α + cos 2 α = 1 . Так 1 — 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α — 2 · sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α и 2 · cos 2 α — 1 = 2 · cos 2 α — ( sin 2 α + cos 2 α ) = cos 2 α — sin 2 α .

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α . После преобразования получим, что t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделим выражение на cos 2 α , где cos 2 α ≠ 0 с любым значением α , когда t g α определен. Другое выражение поделим на sin 2 α , где sin 2 α ≠ 0 с любыми значениями α , когда c t g 2 α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:

t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α cos 2 α — sin 2 α cos 2 α = 2 · sin 2 α cos 2 α 1 — sin 2 α cos 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos = cos 2 α — sin 2 α sin 2 α 2 · sin α · cos α sin 2 α = cos 2 α sin 2 α — 1 2 · cos α sin α = c t g 2 α — 1 2 · c t g α

Примеры использования формул двойного угла

Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2 α для α = 30 ° , применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α = 30 ° , тогда 2 α = 60 ° . Проверим значения sin 60 ° = 2 · sin 30 ° · cos 30 ° , cos 60 ° = cos 2 30 ° — sin 2 30 ° .

Подставив значения, получим t g 60 ° = 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° и c t g 60 ° = c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° . .

Известно, что sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 и

sin 60 ° = 3 2 , cos 60 ° = 1 2 , t g 60 ° = 3 , c t g 60 ° = 3 3 , тогда отсюда видим, что

2 · sin 30 ° · cos 30 ° = 2 · 1 2 · 3 2 = 3 2 , cos 2 30 ° — sin 2 30 ° = ( 3 2 ) 2 — ( 1 2 ) 2 = 1 2 , 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° = 2 · 3 2 1 — ( 3 3 ) = 3

и c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° = ( 3 ) 2 — 1 2 · 3 = 3 3

Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α = 30 ° подтверждена.

Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2 α . В примере допускается применение формулы двойного угла 3 π 5 . Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α = 3 π 5 : 2 = 3 π 10 . Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь вид cos 3 π 5 = cos 2 3 π 10 — sin 2 3 π 10 .

Представить sin 2 α 3 через тригонометрические функции, при α 6 .

Заметим, что из условия имеем 2 α 3 = 4 · α 6 . Тогда использовав 2 раза формулу двойного угла, выразим sin 2 α 3 через тригонометрические функции угла α 6 . Применяя формулу двойного угла, получим sin 2 α 3 = 2 · sin α 3 · cos α 3 . После чего к функциям sin α 3 и cos α 3 применим формулы двойного угла: sin 2 α 2 = 2 · sin α 3 · cos α 3 = 2 · ( 2 · sin α 5 · cos α 6 ) · ( cos 2 α 6 — sin α 6 ) = = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6

Ответ: sin 2 α 3 = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6 .

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.

sin 3 α = sin ( 2 α + α ) = sin 2 α · cos α + cos 2 α · sin α = 2 · sin α · cos α · cos α + ( cos 2 α — sin 2 α ) · sin α = = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α

При замене cos 2 α на 1 — sin 2 α из формулы sin 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α , она будет иметь вид sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α .

Так же приводится формула косинуса тройного угла:

cos 3 α = cos ( 2 α + α ) = cos 2 α · cos α — sin 2 α · sin α = = ( cos 2 α — sin 2 α ) · cos α — 2 · sin α · cos α · sin α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α

При замене sin 2 α на 1 — cos 2 α получим формулу вида cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:

t g 3 α = sin 3 α cos 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α cos 3 α = = 3 · sin α cos α — sin 3 α cos 3 α 1 — 3 · sin 2 α cos 2 α = 3 · t g α — t g 3 α 1 — 3 · t g 2 α ; c t g 3 α = cos 3 α sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α sin 3 α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α sin 3 α = = cos 3 α sin 3 α — 3 · cos α sin α 3 · cos 2 α sin 2 α — 1 = c t g 3 α — 3 · c t g α 3 · c t g 2 α — 1

Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4 α как 2 · 2 α , тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза. Для выводы формулы 5 степени, представляем 5 α в виде 3 α + 2 α , что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования. Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.

Источник

Площадь прямоугольника через диагональ

В прямоугольнике диагонали равны между собой. Если известен угол α между диагоналями (длина диагоналей равна d), то площадь прямоугольника можно найти по формуле:

Sпр = 0,5 * d² * sinα.

Например, если угол между диагоналями равен 30°, а диагонали равны 5 см, то площадь будет равна:

Sпр = 0,5 * 25 * 0,5 = 6,25 см.

Если неизвестен угол между диагоналями, то будет нужно найти стороны прямоугольника. А затем воспользоваться формулой:

Sпр = a * b.

Как известно, диагональ прямоугольника делит его на 2 равных прямоугольных треугольника. Поэтому задача сводится к тому, чтобы найти катеты прямоугольного треугольника через гипотенузу.

Кроме длины диагонали требуется знать либо одну из сторон прямоугольника, либо отношение сторон, либо угол между стороной и диагональю.

1) Если известна диагональ (пусть она будет равна d) и одна из сторон (например, b), то выражаем неизвестную сторону из формулы:

a² + b² = c² -> a = √(c² — b²).

Sпр = a * b = √(c² — b²) * b.

Например, если диагональ d = 5 см и сторона b = 3 см, то a = √(25 — 9) = √16 = 4 см.

Площадь прямоугольника равна 3 * 4 = 12 см.

2) Если известно отношение сторон, то задача сводится к нахождению обеих сторон через составление уравнения.

Например, если стороны относятся как 2:3, а диагональ равна 13 см, то можно составить уравнение:

(2x)² + (3x)² = 4x² + 9x² = 169.

13x² = 169.

x = √13.

Значит, a = 2√13 см и b = 3√13 см.

Площадь прямоугольника равна 2√13 * 3√13 = 6 * 13 = 78 см.

3) Если известна диагональ и один из прилежащих к диагонали углов, то нужно воспользоваться формулами:

a = d * cosβ (β — прилежащий угол) и b = d * sinα (α — противолежащий угол).

Например, d = 10 см и угол α = 30°.

a = 10 * cos30° = 10√3 / 3.

b = 10 * sin30° = 5 см.

Площадь прямоугольника равна 5 * (10√3 / 3) ≈ 28,33 см.

Источник

Разбираемся с простыми понятиями: синус и косинус и вычисление косинуса в квадрате и синуса в квадрате.

Синус и косинус изучаются в тригонометрии (науке о треугольниках с прямым углом).

Оставшиеся две стороны в прямоугольном треугольнике называются катетами.

Также следует помнить, что три угла в треугольнике всегда имеют сумму в 180°.

— это отношение противолежащего катета (сторона, лежащая напротив соответствующего угла) к гипотенузе. Если смотреть по рисунку, то sin ∠ABC = AC / BC

sin²α + cos²α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Ниже представлены таблицы с формулами степеней (квадрат, куб, в 4-ой степени) прямых и обратных тригонометрических функций: синуса (sin), косинуса (cos), тангенса (tg) и котангенса (ctg).

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Формулы понижения степени являются одним из видов основных тригонометрических формул. Они выражают степени (2, 3, …) тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс через синус и косинус первой степени, но кратного угла (`alpha, 3alpha, …` или `2alpha, 4alpha, …`).

Содержание статьи:

Список всех тригонометрических формул понижения степени

Запишем данные тождества для тригонометрических функций от 2-й по 4-ю степень угла `alpha`, а также для угла `frac alpha 2` и для произведения синус на косинус. Для удобства разделим их на группы.

Для квадрата

Формулы этой группы, особенно две первые, наиболее нужны. Они применяются при решении тригонометрических уравнений, интегралов и т. д.

`sin^2 alpha=frac{1-cos 2alpha}2`
`cos^2 alpha=frac{1+cos 2alpha}2`

`tg^2 alpha=frac{1-cos 2alpha}{1+cos 2alpha}`

`ctg^2 alpha=frac{1+cos 2alpha}{1-cos 2alpha}`

Для куба

Тождества этой группы и следующих встречаются гораздо реже, но это не повод их не знать.

`sin^3 alpha=frac{3sin alpha-sin 3alpha}4`
`cos^3 alpha=frac{3cos alpha+cos 3alpha}4`

`tg^3 alpha=frac{3sin alpha-sin 3alpha}{3cos alpha+cos 3alpha}`

`ctg^3 alpha=frac{3sin alpha+sin 3alpha}{3cos alpha-cos 3alpha}`

Для 4-й степени

`sin^4 alpha=frac{3-4cos 2alpha+cos 4alpha}8`
`cos^4 alpha=frac{3+4cos 2alpha+cos 4alpha}8`

Для функций половинного угла

Это формулы половинного угла. Но когда они записаны именно в таком виде, то их можно отнести и к тодествам понижения степени.

` sin^2 frac alpha 2=frac{1-cos alpha}2`

` cos^2 frac alpha 2=frac{1+cos alpha}2`

`tg^2 frac alpha 2=frac{1-cos alpha}{1+cos alpha}`

`ctg^2 frac alpha 2=frac{1+cos alpha}{1-cos alpha}`

Для произведения синус на косинус

`sin^2 alpha cdot cos^2 alpha=frac{1-cos 4alpha}8`
`sin^3 alpha cdot cos^3 alpha=frac{3sin 2alpha-sin 6alpha}32`

`sin^4 alpha cdot cos^4 alpha=frac{3-4cos 4alpha+cos 8alpha}128`

`sin^5 alpha cdot cos^5 alpha=frac{10sin 2alpha-5sin 6alpha+sin 10alpha}512`

Доказательство

Теперь перейдем непосредственно к выводу формул понижения степени тригонометрических функций.

Чтобы доказать их для квадрата, нам понадобятся фождества двойного угла `cos 2alpha=1-2 sin^2 alpha` и `cos 2alpha=2 cos^2 alpha-1`.

Формулу понижения степени синуса в квадрате получим, разрешив первое равенство относительно ` sin^2 alpha`: `sin^2 alpha=frac{1-cos 2alpha}2`.

Аналогично и с косинусом в квадрате, получим тождество, разрешив второе равенство относительно ` cos^2 alpha`: `cos^2 alpha=frac{1+cos 2alpha}2`.

Формула понижения степени тангенса и котангенса автоматически выводится из определений этих функций. Поскольку `tg alpha=frac {sin alpha}{cos alpha}`, то `tg^2 alpha=frac {sin^2 alpha}{cos^2 alpha}=` `frac {frac{1-cos 2alpha}2}{frac{1+cos 2alpha}2}=frac{1-cos 2alpha}{1+cos 2alpha}`. Аналогично получим `ctg^2 alpha=frac {cos^2 alpha}{sin^2 alpha}=` `frac {frac{1+cos 2alpha}2}{frac{1-cos 2alpha}2}=frac{1+cos 2alpha}{1-cos 2alpha}`.

Для лучшего усвоения теоретического материала рекомендуем посмотреть видео, где подробно описывается процесс доказательстве первых двух формул:

Если формулы тройного угла `sin 3alpha=3 sin alpha-4sin^3 alpha` и
`cos 3alpha=4cos^3 alpha-3 cos alpha` разрешить относительно `sin 3alpha` и `cos 3alpha`, то получим формулы понижения степени для синуса и косинуса в кубе: `sin^3 alpha=frac{3sin alpha-sin 3alpha}4` и `cos^3 alpha=frac{3cos alpha+cos 3alpha}4`.

Доказать данной равности для синуса и косинуса можно, воспользовавшись два раза формулами понижения квадратов:

`sin^4 alpha=(sin^2 alpha)^2=(frac{1-cos 2alpha}2)^2=` `frac{1-2cos 2alpha+cos^2 2alpha}4=frac{1-2cos 2alpha+frac{1+cos 4alpha}2}4=` `frac{3-4cos 2alpha+cos 4alpha}8`;

`cos^4 alpha=(cos^2 alpha)^2=(frac{1+cos 2alpha}2)^2=` `frac{1+2cos 2alpha+cos^2 2alpha}4=frac{1+2cos 2alpha+frac{1+cos 4alpha}2}4=` `frac{3+4cos 2alpha+cos 4alpha}8`.

Общий вид формул понижения степени

Для четных показателей степени (n=1, 2, 3,…):

`sin^n alpha=frac {C_frac n 2^n}{2^n}+frac1{2^{n-1}} cdot sum_{k=0}^{frac n 2 -1} (-1)^{frac n 2 -k} cdot C_k^n cdot cos((n-2k) alpha)` и `cos^n alpha=frac {C_frac n 2^n}{2^n}+frac1{2^{n-1}} cdot sum_{k=0}^{frac n 2 -1} C_k^n cdot cos((n-2k) alpha)`.

Для нечетных показателей степени (n=3, 5, 7,…):

`sin^n alpha=frac1{2^{n-1}} cdot sum_{k=0}^{frac {n-1}2} (-1)^{frac {n-1} 2 -k} cdot C_k^n cdot sin((n-2k) alpha)` и `cos^n alpha=frac1{2^{n-1}} cdot sum_{k=0}^{frac {n-1}2} C_k^n cdot cos((n-2k) alpha)`.

Примеры решения задач с применением формул понижения степени

Пример 1. Воспользуйтесь формулой понижения степени для `cos^2 4alpha`.

Решение. Применив формулу `cos^2 alpha=frac{1+cos 2alpha}2`, получим `cos^2 4alpha=frac{1+cos 2cdot 4alpha}2=frac{1+cos 8alpha}2`.

Ответ. `cos^2 4alpha=frac{1+cos 8alpha}2`.

Пример 2. Используя выше указанные тождества, вычислить `sin^2 frac pi 8`.

Решение. Согласно формуле `sin^2 alpha=frac{1-cos 2alpha}2`, понизим степень синуса. Получим `sin^2 frac pi 8=frac{1-cos 2frac pi 8}2=frac{1-cos frac pi 4}2`. Поскольку `cos frac pi 4=frac {sqrt 2}2`, то `sin^2 frac pi 8=frac{1-cos frac pi 4}2=frac{1-frac {sqrt 2}2}2=frac{frac {2-sqrt 2}2}2=frac {2-sqrt 2}4`.

Ответ. `sin^2 frac pi 8=frac {2-sqrt 2}4`.

Отметим, что формулы понижения степени в тригонометрии чаще всего используются при решении уравнений и преобразовании выражений.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

Квадрат — синус — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Квадрат — синус

Cтраница 1

Квадраты синусов определяют на выходе вторую гармонику.
[1]

Преобразуя квадрат синуса, находим.
[2]

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла равна единице.
[3]

Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как известно, половине.
[4]

Формулы удвоения позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведения заменить линейными функциями от синуса и косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, так как они понижают порядок уравнения.
[5]

Для исследования суммы квадратов синусов этих углов воспользуйтесь теоремой косинусов.
[6]

Доказать, что сумма квадратов синусов трех углов, образуемых произвольным лучом с ребрами прямого трехгранного угла, равна двум.
[7]

Так как в выражении (5.21) присутствует квадрат синуса, то мгновенная мощность всегда является положительной величиной. Положительный знак мгновенной мощности отражает тот факт, что происходит, односторонний процесс поглощения энергии в цепи переменного тока.
[9]

Эту теорему можно сформулировать так: квадрат синуса любого угла плюс квадрат косинуса того же угла равен единице.
[10]

Для получения подобного ряда следует взять отношения квадрата синуса 6 — каждой из линий Кка дифракционной картины рент-генограммы к квадрату синуса 9i первой линии.
[11]

Для получения подобного ряда следует взять отношения квадрата синуса в — каждой из линий ХЛа дифракционной картины рентгенограммы к квадрату синуса 0Г первой линии.
[13]

Формула или закон, известный обычно как закон квадрата синуса сопротивления воздуха Ньютона, относится к силе, действующей на наклонную плоскую пластину, омываемую равномерным воздушным потоком.
[14]

Косинус двойного угла равен квадрату косинуса данного угла минус квадрат синуса того же угла.
[15]

Страницы:

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла

1. Формула стороны квадрата через диагональ

a — сторона квадрата

d — диагональ квадрата

Формула стороны квадрата, (a):

2. Формула стороны квадрата через радиус вписанной окружности

a — сторона квадрата

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

Формула стороны квадрата, (a):

3. Формула стороны квадрата через радиус описанной окружности

a — сторона квадрата

R — радиус описанной окружности

D — диаметр описанной окружности

d — диагональ

Формула стороны квадрата, (a):

4. Формула стороны квадрата через площадь и периметр

a — сторона квадрата

S — площадь квадрата

P — периметр квадрата

Формула стороны квадрата, (a):

5. Формула стороны квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

a — сторона квадрата

C — линия выходящая из угла на середину стороны квадрата

Формула стороны квадрата, (a):

Формула площади квадрата

Формула периметра квадрата

Все формулы по геометрии

Диагонали прямоугольника равны между собой. Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника ABC и ACD. Диагональ равна диаметру описанной окружности.

1. Формулы длины диагонали в прямоугольнике.

d — диагональ прямоугольника

a, b — стороны

α, β — углы полученные от деления, диагональю, прямого угла

Формула диагонали через стороны, (d):

Формулы диагонали через сторону и угол, (d):

Формулы величины углов через диагональ и стороны, (α, β):

2. Формулы углов между диагоналями в прямоугольнике.

d — диагонали прямоугольника

a, b — стороны

α, β — углы между диагоналями

Формулы углов между диагоналями через стороны и диагональ, (α, β ):

1. Формулы диагонали квадрата через стороны, площадь, периметр

a — сторона квадрата

S — площадь квадрата

P — периметр квадрата

d — диагональ квадрата

Формулы диагонали квадрата, (d ):

2. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

d — диагональ квадрата

Формула диагонали квадрата, (d ):

3. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности

R — радиус описанной окружности

D — диаметр описанной окружности

d — диагональ

Формула диагонали квадрата, (d ):

4. Формула диагонали квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

C — линия выходящая из угла на середину стороны квадрата

d — диагональ

Формула диагонали квадрата, (d ):

Формула площади квадрата

Формула периметра квадрата

Все формулы по геометрии

Таблица квадратов

Таблица квадратов или таблица возведения чисел во вторую степень. Интерактивная таблица квадратов и изображения таблицы в высоком качестве.

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Таблица квадратов

0²=0

1²=1

2²=4

3²=9

4²=16

5²=25

6²=36

7²=49

8²=64

9²=81

10²=100

11²=121

12²=144

13²=169

14²=196

15²=225

16²=256

17²=289

18²=324

19²=361

20²=400

21²=441

22²=484

23²=529

24²=576

25²=625

26²=676

27²=729

28²=784

29²=841

30²=900

31²=961

32²=1024

33²=1089

34²=1156

35²=1225

36²=1296

37²=1369

38²=1444

39²=1521

40²=1600

41²=1681

42²=1764

43²=1849

44²=1936

45²=2025

46²=2116

47²=2209

48²=2304

49²=2401

50²=2500

51²=2601

52²=2704

53²=2809

54²=2916

55²=3025

56²=3136

57²=3249

58²=3364

59²=3481

60²=3600

61²=3721

62²=3844

63²=3969

64²=4096

65²=4225

66²=4356

67²=4489

68²=4624

69²=4761

70²=4900

71²=5041

72²=5184

73²=5329

74²=5476

75²=5625

76²=5776

77²=5929

78²=6084

79²=6241

80²=6400

81²=6561

82²=6724

83²=6889

84²=7056

85²=7225

86²=7396

87²=7569

88²=7744

89²=7921

90²=8100

91²=8281

92²=8464

93²=8649

94²=8836

95²=9025

96²=9216

97²=9409

98²=9604

99²=9801

Теория

Квадрат числа – это результат умножения числа само на себя. Операция вычисления квадрата числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае во вторую:

6² = 6 × 6 = 36

Данное выражение читается: «возвести в квадрат число 6» или «6 в квадрате».

Скачать таблицу квадратов

Нажмите на картинку чтобы посмотреть в увеличенном виде.
Нажмите на надпись «скачать», чтобы сохранить картинку на свой компьютер. Изображение будет с высоким разрешением и в хорошем качестве.

Косинус в квадрате, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадрат косинуса можно выразить следующим образом

Эта формула называется формулой понижения степени косинуса.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2

Задание

Упростить выражение

Решение

Упростим выражение с помощью формулы квадрата косинуса:

Преобразуем каждый из членов разности следующим образом:

Тогда

Полученное выражение представляет собой правую часть формулы произведения синусов, т.е.

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Синусоидальная функция — исчисление

Эта статья о конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел. В статье представлена информация о функции, включая ее область, диапазон и ключевые данные, касающиеся построения графиков, дифференцирования и интеграции.
Просмотрите полный список определенных функций на этой вики

Определение

Эта функция, обозначаемая sin^2 , определяется как составная функция квадрата и функции синуса.Явно это карта:

Для краткости мы пишем как sin^2x .

Ключевые данные

Значение

Четная функция

пункт
Домен по умолчанию	все действительные числа, то есть все
диапазон	, т.е. абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, то есть
локальное максимальное значение и очки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются при нечетных целых числах, кратных .
местное минимальное значение и очки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых числах, кратных .
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных , со значением 1/2 в каждой точке.
производных	, то есть функция синусоидального угла.
вторая производная
$n^{th}$ производная	$2^{n-1}$ раз выражение, которое составляет или из , в зависимости от остатка мод
антипроизводных	$x mapsto frac{x}{2} - frac{sin(2x)}{4} + C$
среднее значение за период	1/2
выражение в виде синусоидальной функции плюс постоянная функция
важных симметрий	(следует из составной части четной функции с нечетной функцией четного, квадратная функция четная, а синус-функция нечетная) в более общем случае зеркально симметрично относительно любой вертикальной линии формы , целое число. Кроме того, половина поворота симметрии вокруг всех точек формы .
описание интервала на основе увеличения / уменьшения и вогнутого вверх / вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : увеличивается и вогнут до : увеличивается и вогнут : уменьшается и вогнут, : уменьшается и вогнут до
и серия Тейлор	Степенной ряд около 0 (что, следовательно, также ряд Тейлора) равен $sum_{k=1}^infty frac{(2)^{2k-1}(-1)^{k-1}x^{2k}}{(2k)!} = x^2 - frac{x^4}{3} + frac{2x^6}{45} - dots$ Это глобально сходящийся степенной ряд.

Серия

Персоны

У нас есть следующие важные личности, связанные с sin^2 :

График

Вот график на интервале , нарисованный в масштабе:

Вот крупным планом график между -pi и . Пунктирная горизонтальная линия показывает среднее значение 1/2 :

Красные пунктирные точки указывают точки перегиба, а черные пунктирные точки указывают локальные экстремальные значения.

Вот изображение, показывающее функцию (синяя) и функцию квадрата косинуса (фиолетовая) с пунктирной линией y = 1/2 . На рисунке показано, что :

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : цепное правило для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного угла косинуса

У нас есть:

$! frac{d}{dx}(sin^2x) = sin(2x)$

Мы можем сделать это двумя способами.

Используя цепное правило для дифференциации, мы имеем:

$! frac{d}{dx}[(sin x)^2] = 2sin x frac{d}{dx} (sin x) = 2sin x cos x$

По формуле синусоидального угла это то же самое, что и sin(2x) .

В качестве альтернативы, используя формулу косинуса двойного угла, мы переписываем:

$sin^2x = frac{1 - cos(2x)}{2}$

В отличии мы получаем:

$! frac{d}{dx}(sin^2x) = frac{-1}{2} frac{d}{dx}(cos(2x)) = frac{-1}{2} cdot 2 cdot (-sin(2x)) = sin(2x)$

Вторая производная

Снова дифференцируя производную, получаем:

$frac{d^2}{dx^2}(sin^2x) = frac{d}{dx}[sin(2x)] = frac{d}{d(2x)}[sin(2x)]frac{d(2x)}{dx} = 2cos(2x)$

График функции с производной

Заполните это позже

точек и интервалов интереса

Критические очки

Рассмотрим .Как было вычислено ранее, мы имеем:

! f

Это равно нулю точно в точках , где , то есть . Другими словами, критические точки встречаются при целых числах, кратных pi/2 .

Интервалы увеличения и уменьшения

Функция ! f положительна для с и отрицательна для с . Разделив на 2, получим:

Местные экстремальные значения

Из информации о интервалах увеличения и уменьшения мы заключаем, что:

Интервалы вогнутой вверх и вогнутой вниз

Вторая производная — это функция .Это положительно для и отрицательно для , где . Таким образом, мы получаем:

точек перегиба

Из определения интервалов, когда является вогнутой вверх и вогнутой вниз, мы обнаруживаем, что точки перегиба — это точки с -координатом, нечетным кратным pi/4 Значение функции во всех этих точках равно 1/2 .

Интеграция

Первый антидериватив

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : формула двойного угла косинуса, рекурсивный вариант интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы косинуса двойного угла

$! sin^2x = frac{1 - cos(2x)}{2}$

Теперь мы можем сделать интеграцию:

$! int sin^2x , dx = int frac{1 - cos(2x)}{2} , dx = int frac{1}{2} , dx - int frac{cos(2x)}{2} , dx = frac{x}{2} - frac{1}{2}int cos (2x) , dx$

Чтобы интегрировать cos(2x) , мы используем метод интегрирования линейного преобразования функции, чтобы получить .Подключив это, мы получаем:

$frac{x}{2} - frac{1}{2}left(frac{sin(2x)}{2}right) + C = frac{x}{2} - frac{sin(2x)}{4} + C$

Использование интеграции по частям

Мы переписываем и используем интеграцию по частям в его рекурсивной версии:

Теперь мы переписываем и получаем:

Если установить как выбор антидериватива, так что вышеупомянутое выполняется без каких-либо свободно плавающих констант, мы получим:

Переставляя, получаем:

Это дает:

$I = frac{x - sin x cos x}{2}$

Итак, общее антидеривативное выражение:

$frac{x - sin x cos x}{2} + C$

Используя формулу двойного угла синуса , мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для заданной непрерывной функции на связном множестве антипроизводные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях антипроизводные могут быть в точности равны, но это , вообще не обязательно .
См нулевой производной подразумевает локально постоянную

График функции с антидеривативным

На рисунке ниже мы изображаем sin^2 (синий) и функцию $x mapsto frac{x}{2} - frac{sin(2x)}{4}$ (фиолетовый). Это уникальный анти-производный, который принимает значение 0 в 0.Другие антипроизводные могут быть получены путем вертикального смещения фиолетового графика:

Черные точки соответствуют локальным крайним значениям для sin^2 , а красные точки соответствуют точкам перегиба для антипроизводных. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится в той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба для антидериватива соответствуют локальным экстремальным значениям для исходной функции. Дальше:

Определенные интегралы

Часть x/2 в антидеривативе означает, что линейная часть антипроизводного sin^2 имеет наклон 1/2 , и это связано с тем фактом, что sin^2 имеет среднее значение 1/2 на любом интервале длины, равном периоду.Фактически ясно, что функция является синусоидальной функцией около x = 1/2 .

Таким образом, имеем:

$int_a^{a + npi} sin^2x , dx = frac{npi}{2}$

, где — целое число.

Среднее значение для sin^2 за интервал длины, кратный периоду, составляет 1/2 . Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение sin^2 очень близко к 1/2, даже если оно не должно быть точно 1/2. В частности:

$! lim_{x to infty} frac{1}{x}int_a^{a + x} sin^2t , dt = frac{1}{2}$

Преобразованные версии

На основе интегрирования sin^2 мы также можем интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

$int sin^2(mx + varphi) , dx= frac{x}{2} - frac{sin(2(mx + varphi))}{4m} + C$

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также составляет 1/2 для любого интервала длины, кратного периоду pi/m .Кроме того, в течение достаточно длительного интервала среднее значение близко к 1/2:

$! lim_{x to infty} frac{1}{x}int_a^{a + x} sin^2(mt + varphi) , dt = frac{1}{2}$

Высшее антипроизводное

Антидифференцировать sin^2 можно более одного раза. Антипроизводное $n^{th}$ представляет собой сумму полинома степени и тригонометрической функции с периодом .

Силовая серия и серия Тейлор

Вычисление степенных рядов

Мы можем использовать личность:

$! sin^2x = frac{1 - cos(2x)}{2}$

вместе с степенным рядом для функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для sin^2 .

Степенной ряд для функции косинуса сходится к функции везде и имеет вид:

$! cos x = 1 - frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} - frac{x^6}{6!} + dots = sum_{k=0}^infty frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}$

Силовая серия для cos(2x) это:

$! cos(2x) = 1 - frac{(2x)^2}{2!} + frac{(2x)^4}{4!} - frac{(2x)^6}{6!} + dots = sum_{k=0}^infty frac{(-1)^k2^{2k}x^{2k}}{(2k)!}$

Силовая серия для это:

$! 1 - cos(2x) = frac{(2x)^2}{2!} - frac{(2x)^4}{4!} + frac{(2x)^6}{6!} - dots = sum_{k=1}^infty frac{(-1)^{k-1}2^{2k}x^{2k}}{(2k)!}$

Разделив на 2, мы получим степенной ряд за sin^2x :

$! sin^2x = frac{2^1x^2}{2!} - frac{2^3x^4}{4!} + frac{2^5x^6}{6!} - dots = sum_{k=1}^infty frac{(-1)^{k-1}2^{2k-1}x^{2k}}{(2k)!}$

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более явно:

$! sin^2 x = x^2 - frac{x^4}{3} + frac{2x^6}{45} - dots$

полиномов Тейлора как приближения

Обратите внимание, что, поскольку sin^2 является четной функцией, все ее полиномы Тейлора также являются четными полиномами.На рисунке ниже мы рассматриваем графики sin^2 и его второго, четвертого и шестого приближений Тейлора.

Предельные вычисления

Ноль порядка

Из степенных рядов получаем следующий предел:

$! lim_{x to 0} frac{sin^2x}{x^2} = 1$

Таким образом, порядок нуля sin^2 в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот предел может быть рассчитан многими способами:

Пределы высшего порядка

У нас есть предел:

$! lim_{x to 0} frac{x^2 - sin^2x}{x^4} = frac{1}{3}$

Этот предел может быть рассчитан многими способами:

диагоналей, отношений и свойств квадрата

- Классы
  - Класс 1 — 3
  - Класс 4 — 5
  - Класс 6 — 10
  - Класс 11 — 12
- КОНКУРСЫ
  - BBS
  - 000000000 Книги
    - NCERT Книги для 5 класса
    - NCERT Книги Класс 6
    - NCERT Книги для 7 класса
    - NCERT Книги для 8 класса
    - NCERT Книги для 9 класса
    - NCERT Книги для 10 класса
    - NCERT Книги для 11 класса
    - NCERT Книги для 12-го класса
  - NCERT Exemplar
    - NCERT Exemplar Class 8
    - NCERT Exemplar Class 9
    - NCERT Exemplar Class 10
    - NCERT Exemplar Class 11
    - NCERT Exemplar Class 12

Agaris Agard Agard Agard Agard Agard 2000 12000000

Решения RS Aggarwal класса 10
Решения RS Aggarwal класса 11
Решения RS Aggarwal класса 10

90 003 Решения RS Aggarwal класса 9

Решения RS Aggarwal класса 8
Решения RS Aggarwal класса 7
Решения RS Aggarwal класса 6

Решения RD Sharma
- Решения класса RD Sharma
- Решения класса 9 Шарма 7 Решения RD Sharma Class 8
- Решения RD Sharma Class 9
- Решения RD Sharma Class 10
- Решения RD Sharma Class 11
- Решения RD Sharma Class 12
ФИЗИКА
- Механика
- 000000 Электромагнетизм
ХИМИЯ
- Органическая химия
- Неорганическая химия
- Периодическая таблица
МАТС
- Теорема Пифагора
- Отношения и функции
- Последовательности и серии
- Таблицы умножения
- Детерминанты и матрицы
- Прибыль и убыток
- Полиномиальные уравнения
- Делительные дроби
000 ФОРМУЛЫ
- Математические формулы
- Алгебровые формулы
- Тригонометрические формулы
- Геометрические формулы
КАЛЬКУЛЯТОРЫ
- Математические калькуляторы
- S000
- S0003
- Pегипс Класс 6
- Образцы документов CBSE для класса 7
- Образцы документов CBSE для класса 8
- Образцы документов CBSE для класса 9
- Образцы документов CBSE для класса 10
- Образцы документов CBSE для класса 11
- Образец образца CBSE pers for Class 12
CBSE Документ с вопросами о предыдущем году
- CBSE Документы за предыдущий год Class 10
- CBSE Вопросы за предыдущий год Class 12
HC Verma Solutions
- HC Verma Solutions Класс 11 Физика
- Решения HC Verma Class 12 Physics
Решения Lakhmir Singh
- Решения Lakhmir Singh Class 9
- Решения Lakhmir Singh Class 10
- Решения Lakhmir Singh Class 8
Примечания
CBSE
Notes
Класс 8 Примечания CBSE
Класс 9 Примечания CBSE
Класс 10 Примечания CBSE
Класс 11 Примечания CBSE
Класс 12 Примечания CBSE

Примечания пересмотра

CBSE Редакция

CBSE

CBSE Class 10 Примечания к пересмотру

CBSE Class 11 Примечания к пересмотру 9000 4

Замечания по пересмотру CBSE класса 12

Дополнительные вопросы CBSE

Дополнительные вопросы CBSE 8 класса
Дополнительные вопросы CBSE 8 по естественным наукам
CBSE 9 класса Дополнительные вопросы
CBSE 9 дополнительных вопросов по науке CBSE

9000 Класс 10 Дополнительные вопросы по математике

CBSE Класс 10 Дополнительные вопросы по науке

Класс CBSE

Класс 3
Класс 4
Класс 5
Класс 6
Класс 7
Класс 8
Класс 9
Класс 10
Класс 11
Класс 12

Решения для учебников

Решения NCERT

Решения NCERT для класса 11
Решения NCERT для класса 11 Химия

Решения для класса 11 Биология

NCERT Решения для класса 11 Математика

9 0003 NCERT Solutions Class 11 Бухгалтерия

NCERT Solutions Class 11 Бизнес исследования

NCERT Solutions Class 11 Экономика

NCERT Solutions Class 11 Статистика

NCERT Solutions Class 11 Коммерция

NCERT Solutions для класса 12

NCERT Solutions для Класс 12 Физика
Решения NCERT для 12 класса Химия
Решения NCERT для 12 класса Биология
Решения NCERT для 12 класса Математика
Решения NCERT Класс 12 Бухгалтерский учет
Решения NCERT Класс 12 Бизнес исследования
Решения NCERT Класс 12 Экономика
NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 1
NCERT Solutions Class 12 Бухгалтерский учет Часть 2
NCERT Solutions Class 12 Микроэкономика
NCERT Solutions Class 12 Коммерция
NCERT Solutions Class 12 Макроэкономика

NCERT Solutions Для Класс 4

Решения NCERT для математики класса 4
Решения NCERT для класса 4 EVS

Решения NCERT для класса 5

Решения NCERT для математики класса 5
Решения NCERT для класса 5 EVS

Решения NCERT для класса 6

Решения NCERT для класса 6 Maths
Решения NCERT для класса 6 Science
Решения NCERT для класса 6 Общественные науки
Решения NCERT для класса 6 Английский

Решения NCERT для класса 7

Решения NCERT для класса 7 Математика
Решения NCERT для 7 класса Science
Решения NCERT для 7 класса Общественные науки
Решения NCERT для 7 класса Английский

Решения NCERT для 8 класса Математические решения

для 8 класса Математика
Решения NCERT для класса 8 Science
Решения NCERT для класса 8 Общественные науки
NCERT Solutio ns для класса 8 Английский

Решения NCERT для класса 9

Решения NCERT для класса 9 Общественные науки

Решения NCERT для класса 9 Математика

Решения NCERT для класса 9 Математика Глава 1
Решения NCERT Для класса 9 Математика 9 класса Глава 2
Решения NCERT для математики 9 класса Глава 3
Решения NCERT для математики 9 класса Глава 4
Решения NCERT для математики 9 класса Глава 5
Решения NCERT для математики 9 класса Глава 6
Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 7
Решения NCERT для математики 9 класса Глава 8
Решения NCERT для математики 9 класса Глава 9
Решения NCERT для математики 9 класса Глава 10
Решения NCERT для математики 9 класса Глава 11
Решения NCERT для Математика 9 класса Глава 12
Решения NCERT для математики 9 класса Глава 13
Решения NCERT для математики 9 класса Глава 14
Решения NCERT для математики класса 9 Глава 15

Решения NCERT для науки 9 класса

Решения NCERT для науки 9 класса Глава 1
Решения NCERT для науки 9 класса Глава 2
Решения NCERT для класса 9 Наука Глава 3
Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 4
Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 5
Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 6
Решения NCERT для 9 класса Наука Глава 7
Решения NCERT для 9 класса Научная глава 8
Решения NCERT для 9 класса Научная глава
Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 10
Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 12
Научные решения NCERT для 9 класса Научная глава 11
Решения NCERT для 9 класса Научная глава 13
Решения NCERT для 9 класса Научная глава 14
Решения NCERT для класса 9 Science Глава 15

Решения NCERT для класса 10

Решения NCERT для класса 10 Общественные науки

Решения NCERT для математики класса 10

Решения NCERT для математики класса 10 Глава 1
Решения NCERT для математики класса 10 Глава 2
решения NCERT для математики класса 10 глава 3
решения NCERT для математики класса 10 глава 4
решения NCERT для математики класса 10 глава 5
решения NCERT для математики класса 10 глава 6
решения NCERT для математики класса 10 Глава 7
решения NCERT для математики класса 10 глава 8
решения NCERT для математики класса 10 глава 9
решения NCERT для математики класса 10 глава 10
решения NCERT для математики класса 10 глава 11
решения NCERT для математики класса 10, глава 12
Решения NCERT для математики класса 10, глава 13
соль NCERT Решения для математики класса 10 Глава 14
Решения NCERT для математики класса 10 Глава 15

Решения NCERT для науки 10 класса

Решения NCERT для науки 10 класса Глава 1

Решения NCERT для науки 10 класса Глава 2

Решения NCERT для науки 10 класса, глава 3

Решения NCERT для науки 10 класса, глава 4

Решения NCERT для науки 10 класса, глава 5

Решения NCERT для науки 10 класса, глава 6

Решения NCERT для науки 10 класса, глава 7

Решения NCERT для науки 10 класса, глава 8

Решения NCERT для науки 10 класса, глава 9

Решения NCERT для науки 10 класса, глава 10

Решения NCERT для науки 10 класса, глава 11

Решения NCERT для науки 10 класса, глава 12

Решения NCERT для 10 класса Science Глава 9

Решения NCERT для 10 класса Science Глава 14

Решения NCERT для науки 10 класса Глава 15

Решения NCERT для науки 10 класса Глава 16

Программа NCERT

NCERT

Коммерция

Класс 11 Коммерческая программа Syllabus
Класс 11 бизнес-дисциплин Syllabus
Класс 11 Экономика Syllabus

Класс 12 коммерческий учебный план

Класс 12 Бухгалтерский учебный план
класс 12 бизнес-исследований S

18 ,

математика — самая быстрая реализация синуса, косинуса и квадратного корня в C ++ (не нужно быть очень точным)
Переполнение стека

Товары
Клиенты
Случаи использования

Переполнение стека
Публичные вопросы и ответы
Команды
Частные вопросы и ответы для вашей команды
предприятие
Частные вопросы и ответы для вашего предприятия
работы
Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
Талант
Нанимать технический талант
реклама
Связаться с разработчиками по всему миру

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице). или более сложный вариант формулы: синус квадрат альфа равен единице минус косинус двойного угла альфа и всё это делить на два.

Как вычислить тангенс в квадрате?

tg2(x)=tg(x)*tg(x)

Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку. На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления квадрата тангенса (тангенса в квадрате). С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить квадрат тангенса любого угла.

Как в Excel sin в квадрате?

Осталось возвести получившуюся функцию в квадрат, в этом случае можно использовать либо символ «^», либо функцию «Степень». Напишем в ячейке «А1» формулу =SIN(РАДИАНЫ(90))^2, а в ячейке «А2»: =СТЕПЕНЬ(SIN(РАДИАНЫ(90));2).

Как найти косинус тангенс и котангенс если известен синус?

Тригонометрические формулы

При известном синусе или косинусе числа можно найти его тангенс или котангенс: tg a = sin a/cos a.
Можно найти синус числа, если известен его косинус и наоборот: sin2 a + cos2 a = 1.
Найти тангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + tg2 a = 1/cos2 a.

Чему равен синус в квадрате 30 градусов?

значение угла α (градусов)	значение угла α в радианах (через число пи)	sin (синус)
15	π/12
30	π/6	1/2
45	π/4	√2/2
60	π/3	√3/2

Как найти косинус в квадрате?

или более сложный вариант формулы: косинус квадрат альфа равен единице плюс косинус двойного угла альфа и также делим всё на два.

Что такое тангенс?

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. … Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

Как написать синус в Excel?

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции SIN в Microsoft Excel.
…
Пример

Формула	Описание	Результат
=SIN(ПИ()/2)	Синус пи/2 радиан.	1,0
=SIN(30*ПИ()/180)	Синус угла 30 градусов.	0,5
=SIN(РАДИАНЫ(30))	Синус 30 градусов.	0,5

Как найти котангенс если известен синус?

Тангенс это отношение синуса к косинусу: Tg(a)=Sin(a)/Cos(a). Котангенс это отношение косинуса к синусу: Ctg(a)=Cos(a)/Sin(a).

Как найти синус?

Чтобы найти синус и косинус угла в прямоугольном треугольнике, нужно вспомнить определения. Синус угла равен отношению противоположного катета к гипотенузе. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Как перевести косинус на синус?

Перевод синуса в косинус и обратно выполняется посредством решения основного тригонометрического тождества sin2(x) + cos2(x) = 1. Смотрите также: — калькулятор вычисления синуса угла; — калькулятор вычисления косинуса угла.

Чему равен косинус от 0?

На тригонометрическом круге значения косинуса лежат на оси абсцисс (оси Ох). 0 градусов соответственно совпадает с числом 0. При проецировании этой точки на ось абсцисс получаем 1. Таким образом, косинус от 0 равен 1.

Чему равен косинус 30 градусов по таблице Брадиса?

Таблица Брадиса sin, cos

sin	0′	30′
	60′	30′
1°	0175	0262
2°	0349	0436
3°	0523	0610

Чему равен синус 90 градусов?

sin (90°) = sin (π/2) = 1.

Как написать косинус в Excel?

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции COS в Microsoft Excel.
…
Пример

Формула	Описание	Результат
=COS(1,047)	Косинус 1,047 радиан	0,5001711
=COS(60*ПИ()/180)	Косинус 60 градусов	0,5
=COS(РАДИАНЫ(60))	Косинус 60 градусов	0,5

Как в Excel sin в квадрате?

Как в Excel поставить степень над числом?

находишь закладку «вставка» выбираешь справа символ Ω, потом выделяешь число над которым необходимо вставить знак 5² (у меня 5) и выбираешь символ ², далее вставить и всё… Shurovik : Выделяете показатель степени и нажимаете комбинацию Ctrl+1.

Как пишется косинус в квадрате?

Косинус в квадрате, синус в квадрате

Для их вычисления следует запомнить основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1 (синус квадрат плюс косинус квадрат одного угла всегда равняются единице).

Как заставить Эксель посчитать в градусах?

Необходимо установить курсор в ячейку, которой будет присвоен результат; Выбрать в мастере функций «ГРАДУСЫ( )» или «РАДИАНЫ( )»; В появившемся окне указать значение или ячейку со значением, которое будет переводиться; Нажать кнопку «OK» или «Enter» на клавиатуре.

Как посчитать синус угла в Эксель?

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции SIN в Microsoft Excel.
…
Пример

Формула	Описание	Результат
=SIN(ПИ()/2)	Синус пи/2 радиан.	1,0
=SIN(30*ПИ()/180)	Синус угла 30 градусов.	0,5
=SIN(РАДИАНЫ(30))	Синус 30 градусов.	0,5

Как вычислить синус в квадрате?

sin2(x)=sin(x)*sin(x)

Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку. На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления квадрата синуса (синуса в квадрате). С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить квадрат синуса любого угла.

Как в Excel сделать верхний индекс?

На вкладке Главная в группе Шрифт нажмите кнопку вызова диалогового окна «параметры шрифта». Нажмите сочетание клавиш CTRL+1. В разделе эффектыустановите флажок надстрочный или подстрочный текст и нажмите кнопку ОК.

Как поставить цифру сверху в Экселе?

Нажмите на клавиатуре горячие клавиши Ctrl+1. Появится окно «Формат ячеек». В нем вам необходимо в области «Видоизменение» установить отметку напротив пункта «Надстрочный». Нажмите ОК.

Как правильно возвести в квадрат?

Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу приписываем 25.

Чему равен косинус в квадрате минус синус в квадрате?

Решение и ответ. косинус в квадрате плюс синус в квадрате равно единица. равен корню квадратному из выражения(единица минус синус квадрат).

Как посчитать cos 3?

cos3(x)=(cos(x))3

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления косинуса в третьей степени (косинуса в 3 степени).

Как найти cos 3?

Для определения приближенного значения косинуса 3 радиан опустим на ось Ох перпендикуляр из точки 3 радиана. Координата х точки, в которой пересечется этот перпендикуляр с осью Ох, будет значением косинуса от 3 радиан.

Как в Excel посчитать синус в градусах?

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции SIN в Microsoft Excel.
…
Пример

Формула	Описание	Результат
=SIN(ПИ()/2)	Синус пи/2 радиан.	1,0
=SIN(30*ПИ()/180)	Синус угла 30 градусов.	0,5
=SIN(РАДИАНЫ(30))	Синус 30 градусов.	0,5

Как сделать косинус в квадрате в Excel?

Осталось возвести косинус в квадрат, сделать это можно двумя вариантами: оператором «^» или функцией «Степень». Тогда пропишем следующие формулы в ячейке «А1»: =СТЕПЕНЬ(COS(РАДИАНЫ(45));2), а в «А2»: =COS(РАДИАНЫ(45))^2.

Как синус возвести в квадрат?

sin 2 (x)=sin(x)*sin(x)

Как поставить косинус в Экселе?

Формула расчета косинуса гиперболического имеет вид: cosh(x)=0,5*( ex+e-x).

Как в Excel посчитать косинус угла в градусах?

Это можно сделать двумя способами. Первый: умножить 136 на число пи и разделить произведение на 180. Второй: воспользоваться специальной функцией, которая переводит градусы в радианы.

Как в Excel посчитать в градусах?

Как в Excel поставить градусы с помощью сочетания клавиш

Поместить курсор мышки в ячейку, в которой необходимо установить символ.
Переключить клавиатуру на английскую раскладку сочетанием кнопок «Alt+Shift». …
Зажать кнопку «Alt», а затем на вспомогательной клавиатуре справа набрать поочередно цифры 0176;

Как пишется косинус в квадрате?

cos2α = 1 — sin2α

Как найти корень в Excel?

В Microsoft Excel символ крышки (^) действует как оператор экспоненты или возведения в степень. Например, чтобы возвести число 5 во 2 степень, введите =5^2 в ячейку, что эквивалентно 52. Чтобы найти квадратный корень из числа в ячейке A2, введите: =A2^(1/2) или =A2^0,5.

Как построить график в Excel?

Создание графика в Office 2010

Скопируйте данные листа-примера в пустой лист или откройте лист, содержащий данные, которые нужно отобразить на графике. …
Выделите данные, которые вы хотите отобразить на графике.
На вкладке Вставка в группе Диаграммы щелкните График.
Выберите тип График с маркерами.

Как найти синус через косинус?

Чему равен косинус икс в квадрате?

cos2х = 1 — 2sin²х.

Как написать число в квадрате в Excel?

Возведение в квадрат числа в отдельной ячейке

Щелкните внутри ячейки на листе.
Введите в ячейку =N^2, где N — это число, которое нужно возвести в квадрат. Например, чтобы вставить в ячейку A1 квадрат числа 5, введите в нее =5^2.
Нажмите клавишу ВВОД, чтобы получить результат.

Как найти косинус угла в Эксель?

В Excel косинус угла можно найти с помощью функции COS, если этот угол измеряется в радианах. Функция COS экономит вам много времени и, возможно, много царапает голову, поскольку вам больше не нужно помнить, какая сторона треугольника примыкает к противоположному углу, а какая – к гипотенузе.

Как записать TG в Excel?

Простые тригонометрические функции в программе «Excel» выглядят следующим образом: Косинус (cos) – COS() Синус (sin) – SIN() Тангенс (tg) – TAN()

Как вычислить арктангенс в Excel?

Способ 1: ручной ввод функции

Выделяем ячейку, в которой должен находиться результат расчета, и записываем формулу типа: =ATAN(число) Вместо аргумента «Число», естественно, подставляем конкретное числовое значение. …
Для вывода результатов расчета на экран нажимаем на кнопку Enter.

4 мар. 2017 г.

Источник

Площадь ромба можно вычислить разными способами.
Например, через половину произведения двух диагоналей
друг на друга, через синус и сторону в квадрате…

Также, площадь ромба равна площади параллелограмма.

Как следствие, так, как ромб является параллелограммом, с
равными сторонами, поэтому площадь ромба
можно найти через площадь параллелограмма.

Для ромба истинны и верны все свойства параллелограмма.
Формула площади ромба и формула
площади параллелограмма одинаковая.

Ромб — параллелограмм, у которого
все четыре стороны равны.

Формулировка площади ромба через параллелограмм:

Площадь ромба равна произведению
высоты на основание.

Формула площади ромба через параллелограмм:

( S = ah )

a — основание; h — высота;

Площадь ромба, можно также найти другим способом. Для
этого мысленно разделим ромба на четыре треугольника,
так чтобы каждая вершина была соединена с противоположной
вершиной. Получившиеся линии называют диагоналями. Если
известны длины двух диагоналей ромба, то можно найти площадь.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, кроме этого,
пересекаются под углом 90 градусов.

Формулировка площади ромба через две диагонали:

Площадь ромба равна половине произведения
одной диагонали на другую.

Формула площади ромба через две диагонали:

( S = frac{1}2d_1 d_2 )

d1 и d2 — диагонали;

В самых редких случаях, если известен синус и одна из сторон,
используют формулу площади ромба через синус и квадрат стороны.

Формулировка площади ромба через синус и сторону в квадрате:

Площадь ромба равна произведению квадрата стороны
на синус угла прилежащего к этой стороне.

Формула площади ромба через синус и сторону в квадрате:

( S = a^2sinalpha )

a — сторона; sin α — синус угла;

Рис. 1 — площадь ромба через площадь параллелограмма / основание и высоту.
Рис. 2 — площадь ромба через две диагонали
Рис. 3 — площадь ромба через синус и сторону в квадрате

Также, вы можете прочитать про свойства и признаки ромба.

Источник