Как найти синусы углов произвольного треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Я так понял, что задача сводится к тому, что нам неизвестен угол треугольника, и нам нужно его найти.

Для того чтобы найти синус угла, а затем и сам угол в произвольном треугольнике, необходимо знать длины двух сторон: стороны, противолежащей искомому углу, и какой-либо другой стороны — и ещё величину угла, противолежащего этой последней стороне.

А затем нужно применить теорему синусов.

Обозначим искомый (неизвестный) угол как A, противолежащую сторону — a, другую известную сторону — b, известный противолежащий этой стороне угол — B.

По теореме синусов: a/sin(A) = b/sin(B).

Отсюда: sin(A) = a * sin(B)/b;

A = arcsin[a * sin(B)/b].

Источник

Содержание:

При изучении геометрии вы рассматривали отношения сторон в прямоугольном треугольнике и познакомились с понятиями синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла (рис. 28).

Построение синуса и косинуса произвольного угла

Построим точку

Рассмотрим прямоугольный треугольник в котором гипотенуза равна 1 (радиусу единичной окружности). По определению синуса и косинуса острого угла получим:

Таким образом, синус угла равен ординате точки а косинус угла равен абсциссе точки

Поскольку в тригонометрии рассматриваются углы то определим синус и косинус для любого угла

Определение синуса произвольного угла

Определение:

Синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол

Определение косинуса произвольного угла

Определение:

Косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол

Для того чтобы найти синус и косинус произвольного угла нужно:

Построить точку единичной окружности.
Найти ординату точки
Найти абсциссу точки

Найдите синус и косинус угла

Значения синуса и косинуса произвольного угла с помощью единичной окружности в основном можно указать только приближенно.

Однако для некоторых углов значения синуса и косинуса можно указать точно. Определим значения синуса и косинуса для углов, которые соответствуют точкам пересечения окружности с осями координат Найдем Углу соответствует точка имеющая координаты По определению синус угла равен ординате точки значит, Косинус угла равен абсциссе точки т.е. (рис. 31).

Пользуясь определением синуса и косинуса угла получим, что:

Так как ординаты и абсциссы точек единичной окружности изменяются от -1 до 1, то значения синуса и косинуса произвольного угла принадлежат промежутку

Например, выясним, может ли принимать значения, равные:

Значения синуса произвольного угла принадлежат отрезку значит, может принимать значения, равные и так как и Поскольку то не может принимать значения, равные

По определению синуса и косинуса угла синус угла равен ординате точки а косинус угла равен абсциссе этой точки. Значит, знаки и совпадают со знаками ординаты и абсциссы точки соответственно.

Пример №1

Определите знак выражения:

Решение:

а) Так как — угол второй четверти (рис. 32), а ординаты точек единичной окружности, находящихся во второй четверти, положительны, то

б) Так как — угол третьей четверти (см. рис. 32), а абсциссы точек единичной окружности, находящихся в третьей четверти, отрицательны, то

в) Так как — угол третьей четверти (см. рис. 32), а ординаты точек единичной окружности, находящихся в третьей четверти, отрицательны, то

г) Так как — угол первой четверти (см. рис. 32), а абсциссы точек единичной окружности, находящихся в первой четверти, положительны, то

Из геометрии нам известны значения синусов и косинусов острых углов (см. табл.).

С помощью этих значений можно находить значения синусов и косинусов некоторых других углов

Пример №2

Вычислите:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точку Поскольку известно, что а то ордината точки равна а абсцисса этой точки равна

Точки единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс (рис. 33), значит, их ординаты (синусы углов противоположны, а абсциссы (косинусы углов и равны. Таким образом, а

б) Так как то точки единичной окружности симметричны относительно оси ординат (рис. 34). Тогда их ординаты (синусы углов равны, а абсциссы (косинусы углов и противоположны. Значит,

в) Точки единичной окружности симметричны относительно начала координат (рис. 35), поскольку Тогда и их ординаты противоположны, и их абсциссы противоположны, т. е.

г) Поскольку то точки и единичной окружности совпадают (рис. 36), а значит, их координаты равны. Тогда

Пример №3

Вычислите:

Решение:

а) Так как то точка единичной окружности совпадает с точкой (рис. 37).

Поскольку

б) Точки единичной окружности симметричны относительно начала координат (см. рис. 37), а значит, их абсциссы (косинусы углов и отличаются только знаком. Так как

Пример №4

Постройте один из углов, если:

Решение:

а) Так как то на оси ординат отметим Проведем прямую, параллельную оси абсцисс, и найдем на единичной окружности точки ордината каждой из которых равна Отметим один из углов, соответствующих точкам или (рис. 38, а).

б) Так как то на оси абсцисс отметим 0,8. Проведем прямую, параллельную оси ординат, и найдем на единичной окружности точки и абсцисса каждой из которых равна 0,8. Отметим один из углов,соответствующих точкам или (рис. 38, б).

Заказать решение задач по высшей математике

Примеры заданий и их решения:

Пример №5

Точка единичной окружности имеет координаты Используя определение синуса и косинуса произвольного угла, найдите

Решение:

Синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол По условию ордината точки равна значит,

Косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол По условию абсцисса точки равна значит,

Пример №6

Если то угол может быть равен:

Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как синусом угла называется ордината точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол то нужно найти точку единичной окружности, ордината которой равна -1. Эта точка лежит на оси ординат, и из данных углов ей соответствует угол (рис. 39). Правильный ответ в).

Пример №7

Если то угол может быть равен:

Выберите правильный ответ.

Решение:

Так как косинусом угла называется абсцисса точки полученной поворотом точки единичной окружности вокруг начала координат на угол то нужно найти точку единичной окружности, абсцисса которой равна 0. Эта точка лежит на оси ординат, и из данных углов ей соответствует угол (рис. 40). Правильный ответ в).

Пример №8

Найдите значение выражения:

Решение:

а) Абсцисса точки соответствующей углу равна -1 (рис. 41), значит, Ордината точки соответствующей углу равна 1 (см. рис. 41), т. е. Значит,

б) ( рис. 42) тогда

Может ли быть равным:

Решение:

Поскольку

а) не может быть равным 1,2, так как

б) может быть равным 0,89, так как

в) не может быть равным так как

г) может быть равным так как

Пример №9

Определите знак выражения:

Решение:

а) так как — угол четвертой четверти, а косинус в четвертой четверти положителен;

б) так как — угол первой четверти, а косинус в первой четверти положителен;

в) так как угол второй четверти, а синус во второй четверти положителен;

г) так как 6 радиан — угол четвертой четверти, а синус в четвертой четверти отрицателен.

Пример №10

Сравните:

Решение:

а) Отметим на единичной окружности точки, соответствующие углам и сравним ординаты этих точек. Ордината точки больше ординаты точки (рис. 43), значит,

б) Сравним абсциссы точек единичной окружности Так как абсцисса точки больше абсциссы точки (рис. 44), то

Пример №11

С помощью единичной окружности найдите значение:

Решение:

а) Ордината точки равна ординате точки (рис. 45), поэтому

б) Абсцисса точки противоположна абсциссе точки (см. рис. 45), поэтому

Определение тангенса и котангенса произвольного угла
Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
Функция y=sin x и её свойства и график
Функция y=cos x и её свойства и график
Дробно-рациональные уравнения
Дробно-рациональные неравенства
Прогрессии в математике — арифметическая, геометрическая
Единичная окружность — в тригонометрии

Источник

Видеоурок: Синус, косинус, тангенс и котангенс угла

Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла

Синус, косинус произвольного угла

Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР, который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ. Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1.

Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ, то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным, если же он двигается против движения часовой стрелки — положительным.

Синусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является ордината точки Р вектора на окружности.

То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.

Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1, то sin(α) = y₀.

В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой — отрицательное.

Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР, является абсцисса точки Р вектора на окружности.

То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.

Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что

А так как R = 1, то cos(α) = x₀.

В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,

Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей — отрицательное.

Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу.

Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.

Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.

Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.

Котангенсом произвольного угла называется отношение косинуса к синусу.

Рассматривая прямоугольный треугольник — отношение прилежащего катета к противолежащему, то есть абсциссы к ординате.

Так как ордината находится в знаменателе дроби, то котангенс не может существовать при угле альфа, равном нулю градусов.

Котангенс принимает те же значения в четвертях единичной окружности, что и тангенс.

Все перечисленные функции являются периодичными. Косинус и синус имеют период 360 градусов, то есть 2Пи, а тангенс и котангенс 180 градусов, то есть Пи.

Источник

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Определение.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Например,

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

$[sin angle A = frac{{BC}}{{AB}}]$

Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно, синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

$[sin angle B = frac{{AC}}{{AB}}]$

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Вывод:

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

Например,

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

Тогда

$[sin angle A = frac{{BC}}{{AB}} = frac{3}{5}.]$

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Тогда

$[sin angle A = frac{{BC}}{{AB}} = frac{{21}}{{35}} = frac{3}{5}.]$

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.

Угол A в обоих треугольниках одинаков.

Источник

Для нахождения элементов в произвольном треугольнике используется теорема синусов или теорема косинусов.

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

asinA=bsinB=csinC

(в решении задачи одновременно пишутся две части, они образуют пропорцию).

Теорема синусов используется для вычисления:

неизвестных сторон треугольника, если даны два угла и одна сторона;
неизвестных углов треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

Так как один из углов треугольника может быть тупым, значение синуса тупого угла находится по формуле приведения

sin180°−α=sinα

Наиболее часто используемые тупые углы:

sin120°=sin180°−60°=sin60°=32;sin150°=sin180°−30°=sin30°=12;sin135°=sin180°−45°=sin45°=22.

Радиус описанной окружности

asinA=bsinB=csinC=2R

, где (R) — радиус описанной окружности.

Выразив радиус, получаем

R=a2sinA

, или

R=b2sinB

, или

R=c2sinC

Для вычисления элементов прямоугольного треугольника достаточно (2) данных величин (две стороны или сторона и угол).

Для вычисления элементов произвольного треугольника необходимо хотя бы (3) данных величины.

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Также теорема исполняется для любой стороны треугольника:

Теорема косинусов используется для вычисления:

неизвестной стороны треугольника, если даны две стороны и угол между ними;
вычисления косинуса неизвестного угла треугольника, если даны все стороны треугольника.

Значение косинуса тупого угла находится по формуле приведения

cos180°−α=−cosα

Наиболее часто используемые тупые углы:

cos120°=cos180°−60°=−cos60°=−12;cos150°=cos180°−30°=−cos30°=−32;cos135°=cos180°−45°=−cos45°=−22.

Если необходимо найти приблизительное значение синуса или косинуса другого угла или вычислить угол по найденному синусу или косинусу, то используется таблица или калькулятор.

Источники:

Источник