Как найти систему неравенств определяющую треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Презентация к защите

Задача 1. Даны вершины треугольника А(-3;-2), В(1;8), С(5;3).

Найти: а) уравнения всех трех его сторон;

б) систему неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны;

в) внутренний угол А треугольника в градусах и минусах;

г) длину высоты, опущенной из вершины А;

д) площадь треугольника.

а) Уравнения сторон найдем по формуле прямой, проходящей через две данные точки

Уравнение стороны АВ: , или (АВ).

Уравнение стороны АС: или (АС)

б) Каждая из прямых, уравнения которых только это найдены, разделяет плоскость на две полуплоскости, определяемые соответствующими неравенствами.

Чтобы определить знаки этих неравенств, возьмем координаты какой-нибудь точки заведомо расположенной внутри треугольника АВС (см. рисунок 1). Такой точкой является, например точка N (0;1) подставляя координаты этой точки в уравнения граничных прямых (сторон) в силу того, что точка N не лежит ни на одной сторон, получим следующую систему неравенств. определяющих множество внутренних точек треугольника.

Система неравенств определяет множество точек, принадлежащих треугольнику АВС, включая его стороны.

в) Внутренний угол треугольника найдем, зная угловые коэффициенты сторон АВ и АС, образующих этот угол, по формуле .

Угловые коэффициенты прямых выложим по формуле .

Получим ; .

Тогда

. Угол определяем с помощью таблицы тангенсов или калькулятора

г) Длину высоты AD ^ BC (рис. 1) найдем как расстояние от данной точки А(-3;-2) до данной прямой ВС: 5х + 4у – 37 = 0 по формуле

, где А, В, С – коэффициенты прямой, — координаты данной точки.

Получим (мин. ед.)

д) Площадь треугольника можно вычислить несколькими способами.

Вычислить ее через координаты вершин треугольника по формуле .

Получим .

Итак, площадь треугольника SABC = 30 кв. ед.

Как задать треугольник системой неравенств

уравнение и длину высоты А D ; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.

1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:

2. Найдем длину высоты А D . Используем формулу расстояния от точки до прямой:

Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.

3. Составим уравнение высоты А D . Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k _BC =2/3. Из условия перпендикулярности k _AD =-1/ k _BC =-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.

Точка Е (1 /2,2).

5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ. k _BC =2/3, k _AB =-2/3.

6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде

AB : 2 x + 3 y = 7 ,

BC : 2 x — 3 y =- 11 ,

Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.

2 x — 3 y =- 2-6=-8>-11,

Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид

Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку .

Решение . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . Так как гипербола проходит через точку А (8; ), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. . Так, как = 1,25, то = 1,25, но , тогда = 1,5625 или .

Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b .

Решая эту систему, находим = 16 и = 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид .

Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы и центр окружности .

Решение . Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.

Уравнение параболы: ;

уравнение окружности: .

Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).

Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле

Получим , или .

Системы неравенств с двумя переменными

п.1. Алгоритм графического решения системы неравенств с двумя переменными

Найти на координатной плоскости множество решений системы неравенств: $$ left< begin < l >mathrm & \ mathrm & endright. $$ Множество решений – сегмент круга, отсекаемый отрезком AB. Сам отрезок в множество решений не входит.

п.2. Примеры

Пример 1. Найдите на координатной плоскости множество решений системы неравенств.

Выразим y(x) в явном виде

Строим прямые, заштриховываем области над ними, находим пересечение.

Выразим y(x) в явном виде

Заштриховываем область под первой параболой и над второй параболой.

Выразим y(x) в явном виде

Строим гиперболу и прямую. Заштриховываем области под гиперболой и над прямой.

Заштриховываем области вне первой окружности и внутри второй.

Находим пересечение – кольцо.

Пример 2. Задайте системой неравенств треугольник с вершинами
A(2; 3), B(4; 4), C(3; 0)
Уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника:

источники:

http://lms2.sseu.ru/courses/eresmat/course1/primz1/pr8.htm

http://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/sistemy-neravenstv-s-dvumya-peremennymi/

Источник

Пример решения
некоторых заданий из типовой работы
«Аналитическая геометрия на плоскости»

Даны вершины
,

треугольника АВС. Найти:

Уравнения всех
сторон треугольника;
Систему линейных
неравенств, определяющих треугольник
АВС;
Уравнения высоты,
медианы и биссектрисы треугольника,
проведенных из вершины А;
Точку пересечения
высот треугольника;
Точку пересечения
медиан треугольника;
Длину высоты,
опущенной на сторону АВ;
Угол А;
Сделать чертеж.

Решение:

Пусть вершины
треугольника имеют координаты: А
(1; 4), В
(5; 3), С
(3; 6). Сразу нарисуем чертеж:

1. Чтобы выписать
уравнения всех сторон треугольника,
воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через две заданные точки с
координатами (x₀,
y₀)
и (x₁,
y₁):

Таким образом,
подставляя вместо (x₀,
y₀)
координаты точки А,
а вместо (x₁,
y₁)
координаты точки В,
мы получим уравнение прямой АВ:

Полученное уравнение
будет уравнением прямой АВ,
записанным в общей форме. Аналогично
находим уравнение прямой АС:

И так же уравнение
прямой ВС:

2. Заметим, что
множество точек треугольника АВС
представляет собой пересечение трех
полуплоскостей, причем каждую полуплоскость
можно задать с помощью линейного
неравенства. Если мы возьмем уравнение
любой из сторон ∆АВС,
например АВ,
тогда неравенства

задают точки,
лежащие по разные стороны от прямой АВ.
Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где
лежит точка С. Подставим ее координаты
в оба неравенства:

и
.

Правильным будет
второе неравенство, значит, нужные точки
определяются неравенством

Аналогично поступаем
с прямой ВС, ее уравнение
.
В качестве пробной используем точку А
(1, 1):

значит, нужное
неравенство имеет вид:

Если проверим
прямую АС (пробная точка В), то получим:

значит, нужное
неравенство будет иметь вид

Окончательно
получаем систему неравенств:

Знаки «≤», «≥»
означают, что точки, лежащие на сторонах
треугольника, тоже включены во множество
точек, составляющих треугольник АВС.

3. а) Для того, чтобы
найти уравнение высоты, опущенной из
вершины А на
сторону ВС,
рассмотрим уравнение стороны ВС:

.
Вектор с координатами

перпендикулярен стороне ВС
и, значит, параллелен высоте. Запишем
уравнение прямой, проходящей через
точку А
параллельно вектору
:

Это уравнение
высоты, опущенной из т. А
на сторону ВС.

б) Найдем координаты
середины стороны ВС
по формулам:

Здесь

– это координаты т. В,
а

– координаты т. С.
Подставим и получим:

Прямая, проходящая
через эту точку и точку А
является искомой медианой:

в) Уравнение
биссектрисы мы будем искать, исходя из
того, что в равнобедренном треугольнике
высота, медиана и биссектриса, опущенные
из одной вершины на основание треугольника,
равны. Найдем два вектора

и

и их длины:

Тогда вектор

имеет такое же направление, что и вектор
,
а его длина

Точно так же единичный вектор

совпадает по направлению с вектором

Сумма векторов

есть вектор, который
совпадает по направлению с биссектрисой
угла А.
Таким образом, уравнение искомой
биссектрисы можно записать виде:

4) Уравнение одной
из высот мы уже построили. Построим
уравнение еще одной высоты, например,
из вершины В.
Сторона АС
задается уравнением

Значит, вектор

перпендикулярен АС,
и, тем самым, параллелен искомой высоте.
Тогда уравнение прямой, проходящей
через вершину В
в направлении вектора

(т. е. перпендикулярно АС),
имеет вид:

Известно, что
высоты треугольника пересекаются в
одной точке. В частности, эта точка
является пересечением найденных высот,
т.е. решением системы уравнений:

— координаты этой
точки.

5. Середина АВ
имеет координаты
.
Запишем уравнение медианы к стороне
АВ. Эта
прямая проходит через точки с координатами
(3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет
вид:

Заметим, что ноль
в знаменателе дроби в записи уравнения
прямой означает, что эта прямая проходит
параллельно оси ординат.

Чтобы найти точку
пересечения медиан достаточно решить
систему уравнений:

Точка пересечения
медиан треугольника имеет координаты
.

6. Длина высоты,
опущенной на сторону АВ,
равна расстоянию от точки С
до прямой АВ
с уравнением

и находится по формуле:

7. Косинус угла А
можно найти по формуле косинуса угла
между векторами

и
,
который равен отношению скалярного
произведения этих векторов к произведению
их длин:

Соседние файлы в папке Математика

Источник

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

vadim_voroncov,
Даны координаты вершин треугольника АВС А(-14,10) В(10,3) С(-8,27).

Я, конечно, не аналитический геометр ;-) , но все же:

1. Система неравенств определяет множество точек на плоскости, лежащих внутри треугольника с заданными уравнениями сторон.

2. Чтобы ее составить, надо уметь задавать множесто точек плоскости, лежащих по одну сторону от прямой (от стороны треугольника в данном случае) Например,
`y ge 2x + 1` — множество точек, лежащих «выше» прямой `y=2x + 1` + точки плоскости, принадлежащие самой прямой,
`y le -10x +6` — множество точек, лежащих «ниже» прямой `y=10x + 6` + точки прямой,
`y >= -10` — множество точек, лежащих «выше» прямой `y=-10` + точки прямой

Если объединить эти неравенства фигурной скобкой, то получим систему неравенств, задающую треугольник.

И это все предлагается также изобразить на чертеже.

3. Более подробные рассуждения и задачи на тему решения неравенств путем построения прямых есть, например, в Мордковиче-7 в темах «Линейная функция и ее график» и «Взаимное расположение графиков линейных функций»

Источник

2.9. Типовая задача с треугольником

Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в

сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на### доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не

будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия рассматривает треугольник совсем с другой стороны.

Типовая задача, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется

найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. И вам повезло – разберём всё! Или почти всё:

Задача 95

Даны вершины треугольника . Требуется:

1) составить уравнения сторон и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны ;
3) найти ;
4) составить прямой , проходящей через точку параллельно прямой ;
5) составить уравнение высоты и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника ;
7) составить уравнение медианы ;
найти точку пересечения .
и для особо опасных энтузиастов:
9) найти уравнение биссектрисы ;
10) найти центр тяжести треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

С чего начать решение? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и

самопроверки всегда строим чертёж на черновике, не устану это рекомендовать:

Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1

см (2 тетрадные клетки). Всё хорошо видно, и расстояния удобно измерять линейкой.

Вперёд без страха и сомнений:

1) Составим уравнения сторон и найдём их угловые

коэффициенты.
Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум

точкам.

Составим уравнение стороны по точкам :

Для проверки мысленно либо на черновике подставляем координаты каждой точки в полученное уравнение.

Теперь

найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:

Таким образом, угловой коэффициент:

Самостоятельно разбираемся со сторонами и сверяемся, что

получилось:

2) Найдём длину стороны . Используем соответствующую формулу для точек :

Сторону легко измерить обычной линейкой, хотя это не сильно строгая проверка

3) Найдём . Это Задача 31, повторим:

Используем формулу .
Найдём векторы:

Таким образом:
, и сам угол:
, ну что же, похоже на правду, желающие могут приложить транспортир, у кого

он есть.

Внимание! При выполнении этого пункта лучше не использовать формулы ориентированного угла

между прямыми, так как они всегда дают острый угол.

4) Составим уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой . Это стандартная задача, и мы ленимся отработать её вновь!

Из общего уравнения прямой вытащим направляющий вектор .

Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :

5) Составим уравнение высоты и найдём её длину.
Первую часть задания мы тоже решали:

Из уравнения стороны снимаем вектор нормали . Уравнение высоты

составим по точке и направляющему вектору :

Обратите внимание, что координаты точки нам не известны.

Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: . В данном случае , тогда: . Уравнение высоты составим по точке и угловому коэффициенту :

Длину высоты можно найти двумя способами.

Существует окольный путь:

а) находим – точку

пересечения высоты и стороны ;

б) находим длину отрезка по двум

известным точкам.

Но зачем? – ведь есть удобная формула расстояния от точки до прямой :

6) Вычислим площадь треугольника. Используем «школьную» формулу:

7) Уравнение медианы составим в два шага:

а) Найдём точку – середину стороны . Используем формулы координат середины отрезка.

Известны концы , и тогда середина:

б) Уравнение медианы составим по точкам :

– для проверки подставим координаты точек .

Найдём точку пересечения высоты и медианы:
в

Первое уравнение умножили на 5, складываем их почленно:
– подставим в первое уравнение:

9) Биссектриса делит угол пополам:

Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:

Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: .

Таким образом, . Координаты точки найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да,

параметр «лямбда» получился просто сказочным, ну а кому сейчас легко? Точки известны и понеслась нелёгкая:

Примечание: на последнем шаге я умножил числитель и знаменатель на сопряжённое выражение – чтобы использовать формулу и

избавиться от иррациональности в знаменателе.

Разбираемся со второй координатой:

аким образом:

И предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы составим по точкам по формуле :

обратите внимание на технику упрощений:

Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)

10) Найдём центр тяжести треугольника.

Но сначала поймём, что такое центр тяжести плоской фигуры. Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца

в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то

теоретически фигура не должна свалиться.

Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке.

Из пункта 7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу?

Напрашивается очевидный алгоритм: можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь

короче! Нужно только знать полезное свойство:

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в

отношении , считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо

отношение
Нам известны концы отрезка – точки и .
По формулам деления отрезка в данном отношении:

Таким образом, центр тяжести треугольника:
И заключительный пункт задачи, для освоения которого нужно уметь решать недавно разобранные линейные

неравенства:

11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.

Для удобства я перепишу найденные уравнения сторон:

Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится

вершина . Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим: