Скалярное произведение векторов
Формула
Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.
Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$
По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $ |
| Решение |
|
В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$ Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$ |
| Пример 2 |
|
В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. |
| Решение |
|
В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): $$ overline{AB} = (-1 — 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$ $$ overline{AC} = (2 — 1; 1 — 3; -2 — (-2)) = (1; -2; 0) $$ Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение: $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$ |
| Ответ |
| $$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$ |
В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления скалярного произведения векторов
Формула
Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами, необходимо вычислить сумму произведений
соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, имеет место формула:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}$$
Если же векторы заданы в пространстве своими координатами: $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}$$
Примеры вычисления скалярного произведения векторов
Пример
Задание. Найти скалярное произведение векторов $bar{a}=(1 ;-3)$ и $bar{b}=(-2 ;-3)$
Решение. Векторы заданны на плоскости, поэтому для вычисления их скалярного произведения воспользуемся формулой
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}$$
Подставляя координаты заданных векторов, получим
$$(bar{a}, bar{b})=1 cdot(-2)+(-3) cdot(-3)=-2+9=7$$
Ответ. $(bar{a}, bar{b})=7$ lt /$>
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. В пространстве заданы точки
$A(-1 ;-2 ; 5), B(-3 ; 2 ; 1)$ и $C(0 ; 1 ;-1)$ . Найти скалярное произведение векторов
$overline{A B}$ и
$overline{A C}$
Решение. Найдем сначала координаты векторов
$overline{A B}$ и
$overline{A C}$ . Для этого из координат конца вычислим соответствующие
координаты начала, получим:
$$overline{A B}=(-3-(-1) ; 2-(-2) ; 1-5)=(-2 ; 4 ;-4)$$
$$overline{A C}=(0-(-1) ; 1-(-2) ;-1-5)=(1 ; 3 ;-6)$$
Далее воспользуемся формулой для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в пространстве:
$$(bar{a}, bar{b})=a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}$$
Получим
$$(overline{A B}, overline{A C})=(-2) cdot 1+4 cdot 3+(-4)(-6)=-2+12+24=34$$
Ответ. $(overline{A B}, overline{A C})=34$
Читать дальше: как найти векторное произведение векторов.
Два вектора
a→
и
b→
всегда образуют угол.
Угол между векторами может принимать значения от
0°
до
180°
включительно.
Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.
Векторы могут образовать:
1. острый угол;
2. тупой угол;
3. прямой угол (векторы перпендикулярны).
Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:
4. угол величиной
0°
(векторы сонаправлены);
5. угол величиной
180°
(векторы противоположно направлены).
Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен
0°
.
Угол между векторами записывают так:
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosa→b→ˆ
.
Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.
1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).
Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен
0°
, а косинус равен (1), скалярное произведение также будет положительным.
2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).
Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен
180°
. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен (-1).
Справедливы и обратные утверждения:
1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.
2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.
Особенный третий случай!
Обрати внимание!
3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен (0).
Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как
a→2
.
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1.
a→2≥0
, к тому же
a→2>0
, если
a→≠0→
.
2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения:
a→⋅b→=b→⋅a→
.
3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения:
a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→
.
4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения:
k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→
.
Использование скалярного произведения
Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми
Ознакомимся с ещё одним определением.
Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.
Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.
Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.
Если
a→x1;y1;z1
,
b→x2;y2;z2
, то
a→⋅b→=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2
.
Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.
Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что
cosα=a→⋅b→a→⋅b→
, то
.
Угол между прямой и плоскостью
Введём понятие о нормальном векторе плоскости.
Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла
β
между нормальным вектором
n→
данной плоскости и неким вектором
b→
равен синусу угла
α
между прямой и плоскостью, так как
α
и
β
вместе образуют угол в
90°
.
При нахождении косинуса угла между
n→
и
b→
можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор
b→
, и плоскостью.
Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.
Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами
Формула скалярного произведения векторов для плоских задач
В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by
Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач
В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz
Формула скалярного произведения n -мерных векторов
В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a1 ; a2 ; … ; an} и b = {b1 ; b2 ; … ; bn} можно найти воспользовавшись следующей формулой:
a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + … + an · bn
Свойства скалярного произведения векторов
-
Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:
a · a ≥ 0
-
Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:
a · a = 0 <=> a = 0
-
Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:
a · a = |a|2
-
Операция скалярного умножения коммуникативна:
a · b = b · a
-
Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
-
(αa) · b = α(a · b)
-
Операция скалярного умножения дистрибутивна:
(a + b) · c = a · c + b · c
Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов
Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.
Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a — 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.
Решение:
p · q = (a + 3b) · (5a — 3b) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =
= 5 |a|2 + 12 a · b — 9 |b|2 = 5 · 32 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 22 = 45 +36 -36 = 45.
Пример 4. Найти скалярное произведение векторов (a + 2i)·(b — 2j),если a = {1; 2} и b = {4; -8}.
Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j:
a = i + 2j
b = 4i — 8j
Тогда используя свойства ортов (i2 = 1, j2 = 1, i·j = 0)
(a + 2i)·(b — 2j) = (i + 2j + 2i)·(4i — 8j — 2j) = (3i + 2j)·(4i — 10j) = 12i2 — 30i·j + 12j·i — 20j2 = 12 — 0 + 0 — 20 = -8
Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач
Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.
Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов
Пример 6. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.
Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.
План урока:
Угол между векторами
Понятие скалярного произведения векторов
Скалярное произведение в координатах
Определение перпендикулярности векторов и прямых
Вычисление угла между векторами
Свойства скалярного произведения
Угол между векторами
Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.
Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.
На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между a и b, надо отложить их от одной и той же точки:
В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:
Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:
Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что
Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:
Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:
Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
Понятие скалярного произведения векторов
Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.
Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.
Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:
Угол между a и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:
Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.
Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:
Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?
Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.
Ответ: 8.
Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.
Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:
Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.
Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?
Решение.
Скалярное произведение в координатах
Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.
Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:
Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:
Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):
Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):
Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:
Если вектор а имеет координаты {x1; у1}, а координаты b– это {x2; у2},то координаты их разности a – b будут записываться в виде {х1 – х2;у1 – у2}. С учетом этого (2) примет вид
В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:
Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:
Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.
Определение перпендикулярности векторов и прямых
Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.
Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:
Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.
Задание. При каком значении переменной х вектора а{4; 5} и b{x; – 6} окажутся перпендикулярными?
Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:
Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:
Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).
Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:
Мы вычислили координаты векторов: АВ{1; 2} и CD{– 2; 1}. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:
Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.
Ответ: перпендикулярны.
Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями
Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:
Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.
Ответ: перпендикулярны.
В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.
Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями
Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:
Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:
В результате мы получили доказываемую нами формулу.
Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:
Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.
Вычисление угла между векторами
Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.
В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:
Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.
Задание. Вычислите угол между векторами а{3; 4} и b{8; 15}.
Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:
Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.
Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:
Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:
Свойства скалярного произведения
Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.
Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:
Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:
Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если
Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:
Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.
Тогда выражение (1) примет вид:
В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.