Как найти скалярное произведение суммы векторов

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами, необходимо вычислить сумму произведений
соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, имеет место формула:

Если же векторы заданы в пространстве своими координатами: $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Читать дальше: как найти векторное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов

Формула

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Угол между векторами

Рассмотрим два данных вектора $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$. Отложим от произвольно выбранной точки $O$ векторы $overrightarrow{a}=overrightarrow{OA}$ и $overrightarrow{b}=overrightarrow{OB}$, тогда угол $AOB$ называется углом между векторами $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ (рис. 1).

Отметим здесь, что если векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ сонаправлены или один из них является нулевым вектором, тогда угол между векторами равен $0^0$.

Обозначение: $widehat{overrightarrow{a},overrightarrow{b}}$

Понятие скалярного произведения векторов

Математически это определение можно записать следующим образом:

Скалярное произведение может равняться нулю в двух случаях:

1. Если один из векторов будет нулевым вектором (Так как тогда его длина равна нулю).

2. Если векторы будут взаимно перпендикулярны (то есть $cos{90}^0=0$).

Отметим также, что скалярное произведение больше нуля, если угол между этими векторами острый (так как ${cos left(widehat{overrightarrow{a},overrightarrow{b}}right) } >0$), и меньше нуля, если угол между этими векторами тупой (так как ${cos left(widehat{overrightarrow{a},overrightarrow{b}}right) }

С понятием скалярного произведения связано понятие скалярного квадрата.

Вычисление скалярного произведения по координатам векторов

Помимо стандартного способа нахождения значения скалярного произведения, который вытекает из определения, существует еще один способ.

Рассмотрим его.

Пусть векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ имеют координаты $left(a_1,b_1right)$ и $left(a_2,b_2right)$, соответственно.

Доказательство.

1. Пусть один из векторов будет нулевым вектором. К примеру, $overrightarrow{a}=(0,0)$.

   Тогда $overrightarrow{a}overrightarrow{b}=0$. С другой стороны $a_1a_2+b_1b_2=0cdot a_2+0cdot b_2=0$, значит

   [overrightarrow{a}overrightarrow{b}=a_1a_2+b_1b_2]

2. Оба вектора не будут нулевыми векторами.

   Отложим от произвольной точки $O$ векторы $overrightarrow{OA}$ и $overrightarrow{OB}$ (рис. 2).

   

   Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

   По теореме косинусов, получим:

   [{AB}^2={OA}^2+{OB}^2-2OAcdot OBcosO]

   Так как $overrightarrow{AB}=overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}$, получим

   [{|overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}|}^2={|overrightarrow{OA}|}^2+{|overrightarrow{OB}|}^2-2left|overrightarrow{OA}right||overrightarrow{OB}|] [overrightarrow{OA}overrightarrow{OB}=frac{1}{2}left({|overrightarrow{OA}|}^2+{|overrightarrow{OB}|}^2-{|overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}|}^2right)]

   Так как векторы $overrightarrow{OA}$ и $overrightarrow{OB}$ имеют координаты $left(a_1,b_1right)$ и $left(a_2,b_2right)$, соответственно, то $overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}=left(a_2-a_1,b_2-b_1right)$. Тогда равенство примет вид

   [overrightarrow{OA}overrightarrow{OB}=frac{1}{2}left(a^2_1+b^2_1+a^2_2+b^2_2-{(a_2-a_1)}^2-{(b_2-b_1)}^2right)=a_1a_2+b_1b_2]

Теорема доказана.

Эта теорема имеет несколько следствий:

Следствие 1: Векторы $overrightarrow{a}$ и $overrightarrow{b}$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $a_1a_2+b_1b_2=0$

Следствие 2: Косинус угла между векторами равен $cosalpha =frac{a_1a_2+b_1b_2}{sqrt{a^2_1+b^2_1}cdot sqrt{a^2_2+b^2_2}}$

Свойства скалярного произведения векторов

Для любых трех векторов и действительного числа $k$ справедливо:

1. ${overrightarrow{a}}^2ge 0$

   Данное свойство следует из определения скалярного квадрата (определение 2).

2. Переместительный закон: $overrightarrow{a}overrightarrow{b}=overrightarrow{b}overrightarrow{a}$.

   Данное свойство следует из определения скалярного произведения (определение 1).

3. Распределительный закон:

   $left(overrightarrow{a}+overrightarrow{b}right)overrightarrow{c}=overrightarrow{a}overrightarrow{c}+overrightarrow{b}overrightarrow{c}$.
   end{enumerate}

   По теореме 1, имеем:

   [left(overrightarrow{a}+overrightarrow{b}right)overrightarrow{c}=left(a_1+a_2right)a_3+left(b_1+b_2right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+b_1b_3+b_2b_3==overrightarrow{a}overrightarrow{c}+overrightarrow{b}overrightarrow{c}]

4. Сочетательный закон: $left(koverrightarrow{a}right)overrightarrow{b}=k(overrightarrow{a}overrightarrow{b})$.
   end{enumerate}

   По теореме 1, имеем:

   [left(koverrightarrow{a}right)overrightarrow{b}=ka_1a_2+kb_1b_2=kleft(a_1a_2+b_1b_2right)=k(overrightarrow{a}overrightarrow{b})]

Пример задачи на вычисление скалярного произведения векторов

Почему скалярное произведение векторов называется именно скалярным и что представляет собой? Чем оно отличается от результатов других операций над векторами? Что такое скаляр? Скаляр — это число.

И скалярное произведение векторов — это тоже число. Этим оно и отличается от уже рассмотренной суммы векторов, и от векторного произведения векторов, которое ещё предстоит рассмотреть.

Скалярное произведение векторов: теория и решения задач

В отличие от скалярного произведения, сумма векторов — это вектор, и векторное произведение — тоже вектор.

Определение 1. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения векторов согласно определению 1. Можно встретить и другое название этой операции: внутреннее произведение.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом. На этом уроке будем решать распространённые задачи не только на непосредственное вычисление скалярного произведения, но и на выяснение ортогональности (перпендикулярности) векторов, вида угла (тупой, острый, прямой) между векторами, вычисление скалярного произведения векторов, которые даны в координатах, вычисление длин диагоналей параллелограма, построенного на вектора.

Но все по порядку. Перед каждым видом задач будем обращать внимание на то, что на этот счёт гласит теория. По ходу урока вам пригодится онлайн-калькулятор для проверки решения задач на скалярное произведение векторов.

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены «на блюдечке с голубой каёмочкой», то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Решение:

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.

Определение 2. Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

•    (2)
• или
•    (3)

Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.

Определение скалярного произведения векторов через координаты

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами.

Определение 3. Скалярное произведение векторов — это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат.

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами и, то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

Пример 2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору. Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:

Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению длины вектора на проекцию вектора на ось, параллельную вектору (в соответствии с формулой ). Находим длину вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

Составляем уравнение и решаем его:

Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

и

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три.

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом — после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.

Свойства скалярного произведения векторов

1. переместительное свойство: от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется).
2. сочетательное относительно числового множителя свойство: скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель).
3. распределительное относительно суммы векторов свойство: скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор).
4. скалярный квадрат вектора больше нуля), если — ненулевой вектор, и , если — нулевой вектор.

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие. На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла — φ1 и φ2.

Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения.

Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π, то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ1:

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами — прямой (90 градусов или π/2), если скалярное произведение этих векторов равно нулю. Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.
2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое — меньше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно.
3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое — больше π/2) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно.

Источник: https://function-x.ru/vectors_scalar.html