Как найти скалярное произведение векторов без координат

Скалярное произведение векторов

Формула

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $

Решение

В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$ Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$

Пример 2

В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $.

Решение

В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): $$ overline{AB} = (-1 — 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$ $$ overline{AC} = (2 — 1; 1 — 3; -2 — (-2)) = (1; -2; 0) $$ Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение: $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$

Ответ

$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами, необходимо вычислить сумму произведений
соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, имеет место формула:

Если же векторы заданы в пространстве своими координатами: $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Читать дальше: как найти векторное произведение векторов.

Скалярное произведение

Скалярное произведение — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат. Используется в определении длины векторов и угла между ними.
$$ c = |overline a||overline b|cos(theta )$$

Обычно для скалярного произведения векторов $overline a$ и $overline b$ используется одно из следующих обозначений:

$$ c= (overline a,overline b) = overline acdotoverline b$$

Скалярным произведением двух векторов $overline a$ и $overline b$ будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов $overline a$ и $overline b$.

Для плоскости:
Скалярное произведение векторов $overline a = (a_x, a_y)$ и $overline b = (b_x, b_y)$ можно найти воспользовавшись следующей формулой:
$$ overline acdotoverline b = a_x b_x + a_y b_y $$

Для пространства:
Скалярное произведение двух векторов в пространстве $overline a = (a_x, a_y, a_z)$ и $overline b = (b_x, b_y, b_z)$ можно найти воспользовавшись следующей формулой:
$$ overline acdotoverline b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $$

Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого численно равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой. Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Определение:
Векторным произведением вектора $overline a$ на вектор $overline b$ в трёхмерном евклидовом пространстве называется вектор $overline c$, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора $overline c$ равна произведению длин векторов $overline a$ и $overline c$ на синус угла между ними (т. е. площади параллелограмма, образованного векторами $overline a$ и $overline b$
  $$ | overline c| = | overline a| cdot | overline b|cdot sin (theta ),$$
• вектор $overline c$ ортогонален каждому из векторов $overline a$ и $overline b$;
• вектор $overline c$ направлен так, что тройка векторов $(overline a,overline b,overline c)$ является правой.

Понятие правой и левой тройки векторов:
Совместим начала векторов в одной точке. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов $(overline a,overline b,overline c)$ в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора $overline c$ кратчайший поворот от вектора $overline a$ к вектору $overline b$ виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Название правой и левой тройки пошло от определения направления тройки с помощью руки человека:

Правая тройка. Указательный палец к среднему пальцу двигается против часовой стрелки.

Векторное произведение обозначают:

$$overline c = overline a times overline b = [overline a, overline b]$$

Получение координат вектора $overline c$:
Если два вектора $overline a$ и $overline {b}$ представлены в правом ортонормированном базисе координатами $ overline a=(a_x,a_y,a_z), overline b=(b_x,b_y,b_z)$, то их векторное произведение имеет координаты:

$$ overline a timesoverline b = (a_yb_z — a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x).$$

Для запоминания этой формулы удобно использовать мнемонический определитель:
$$overline a timesoverline b = begin{vmatrix}
i & j & k \
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
end{vmatrix}, $$

где $i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)$.

Псевдоскалярное произведение двух векторов

Псевдоскалярным (или косым) произведением векторов $overline{a}$ и $overline{b}$ на плоскости называют число

$$c = | overline a| cdot | overline b|cdot sin (theta ),$$

где $theta$ — угол вращения (против часовой стрелки) от $overline{a}$ к $overline{b}$. Приставка «псевдо» означает, что объект может менять или не менять знак при отражениях пространства.

Псевдоскалярное произведение обозначают так:
$$c = overline a wedge overline b.$$

Если хотя бы один из векторов нулевой, то полагают $overline a wedge overline b = 0$.

Геометрически псевдоскалярное произведение векторов представляет собой ориентированную площадь параллелограмма, натянутого на эти вектора.

С его помощью удобно работать с площадями многоугольников, выражать условия коллинеарности векторов и находить углы между ними.

Псевдоскалярное произведение существует только для 2-мерных векторов, его аналогом в трехмерном пространстве является смешанное произведение.

Основные свойства:

1. Линейность: $overline a wedge (lambda overline b + muoverline c ) = lambdaoverline awedgeoverline b + muoverline a wedge overline c$. Где $lambda, mu$ — произвольные вещественные числа.
2. Антикоммутативность: $overline a wedgeoverline b = -overline bwedgeoverline a$.
3. Ориентированная площадь треугольника ABC выражается формулой $S = (overline{AB}wedgeoverline{AC}) / 2$, а его площадь равна модулю этой величины.
4. $overline a wedge overline b = 0$ — необходимое и достаточное условие коллинеарности ненулевых векторов на плоскости.
5. Пусть заданы вектора $overline a = (a_1, a_2), overline b = (b_1, b_2)$. Тогда их псевдоскалярное произведение равно $overline a wedgeoverline b = a_1b_2 — a_2b_1$.

Использование в геометрических задачах

Пример 1. Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому достаточно посчитать косое произведение векторов $overline{P_1P_2}$ и $overline{P_1M}$ и по его знаку сделать вывод.

Пример 2. Определить, принадлежит ли точка отрезку.

Пусть точки $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2)$ — концы заданного отрезка. Необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через $P_1, P_2$. Далее нужно определить лежит ли точка между точками $P_1$ и $P_2$. Для этого используем скалярное произведение векторов $overline{MP_1}, overline{MP_2}$. Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. $overline{P_1P_2} wedge overline{P_1M} = 0$ – косое произведение (точка лежит на прямой);
2. $(overline{MP_1}, overline{MP_2}) ≤ 0$ – скалярное произведение (точка лежит между $P_1$ и $P_2$).

Пример 3. Определить, пересекаются ли две прямые (прямые не совпадают).

Если прямые заданы точками $P_1(x_1, y_1), P_2(x_2, y_2), M_1(x_3, y_3), M_2(x_4, y_4)$, то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов $overline{P_1P_2}$ и $overline{M_1M_2}$: если оно равно нулю, то прямые параллельны, иначе — пересекаются.

Пример 4. Определить, пересекаются ли два отрезка.

Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Необходимо проверить, лежат ли концы каждого из отрезков по разные стороны относительного концов другого отрезка. Применим косое произведение векторов. Посмотрим на первый рисунок: $overline{P_1P_2}wedge overline{P_1M_2} * overline{P_1P_2}wedge overline{P_1M_1} < 0$ и $overline{M_1M_2}wedge overline{M_1P_1} * overline{M_1M_2}wedge overline{M_1P_2} < 0$. Важно обратить внимание на строгое неравенство, потому что возможен случай, при котором произведение равно нулю, но отрезки не пересекаются (отрезки лежат на одной прямой, но не имеют общих точек). Поэтому необходимо проверить, принадлежит ли хотя бы один конец каждого отрезка другому.

Еще примеры:

• https://foxford.ru/wiki/informatika/primenenie-skalyarnogo-i-vektornogo-proizvedeniya
• https://habr.com/en/post/147691/

Скалярное произведение векторов (далее в тексте СП). Дорогие друзья! В состав экзамена по математике входит группа задач на решение векторов. Некоторые задачи мы уже рассмотрели. Можете посмотреть их в категории «Векторы».  В целом, теория векторов несложная, главное последовательно её изучить. Вычисления и действия с векторами в школьном курсе математики просты, формулы не сложные.  Загляните в справочник. В этой статье мы разберём задачи на СП векторов (входят в ЕГЭ). Теперь «погружение» в теорию:

Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала

И ещё:

*Длина вектора (модуль) определяется следующим образом:

Данные  формулы необходимо запомнить!!!

Покажем угол между векторами:

Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 180⁰ (или в радианах от 0 до Пи).

Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.

Возможны случаи:

1. Если угол между векторами острый (от 0⁰ до 90⁰), то косинус угла будет иметь положительное значение.

2. Если угол между векторами тупой (от 90⁰ до 180⁰), то косинус угла будет иметь отрицательное  значение.

*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат будет положительным.

При  180^о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице,  и соответственно результат будет отрицательным.

Теперь ВАЖНЫЙ МОМЕНТ!

При 90^о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и СП равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.

Сформулируем утверждение:  скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.

Итак, формулы СП векторов:

Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:

Рассмотрим задачи:

27724 Найдите скалярное произведение векторов a и b.

Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:

Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть

Как найти координаты вектора изложено в этой статье.

Вычисляем:

Ответ: 40

Найдём координаты векторов и воспользуемся формулой:

Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит

Вычисляем скалярное произведение:

Ответ: 40

Найдите угол между векторами a и b. Ответ дайте в градусах.

Пусть координаты векторов имеют вид:

Для нахождения угла между векторами используем формулу скалярного произведения векторов:

Косинус угла между векторами:

Следовательно:

Координаты данных векторов равны:

Подставим их в формулу:

Угол между векторами равен 45 градусам.

Ответ: 45

Посмотреть решение

Посмотреть решение

27710. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов АВ и AD.

Посмотреть решение

27719. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов AB и BO.

Посмотреть решение

27719. Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов AB и АС.

Посмотреть решение

На этом  всё! Успехов вам! 

С уважением, Александр Крутицких.

На уроке физкультуры: — Так, парни, кто из вас курит? Честно! Не врать! Так. … значит, ты… и ты. … Понятно… Значит, так: мы с вами покурим, остальным — пять кругов по стадиону.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

   a · a ≥ 0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

   a · a = 0   <=>   a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

   a · a = |a|²

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

   a · b = b · a

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

   a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

   (a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов