Как найти скалярное произведение векторов в параллелограмме

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Скалярное произведение векторов

Формула

Пусть даны векторы $ overline{a} = (a_x; a_y) $ и $ overline{b} = (b_x; b_y) $. Как найти скалярное произведение векторов? Для того, чтобы найти скалярное произведение векторов необходимо воспользоваться формулой: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y $$ Стоит заметить, что скалярное произведение записывается в скобках, в которых векторы записываются через запятую. Данное обозначение широко применяется в математике и его нужно запомнить.

Если в задаче векторы заданы тремя координатами (в пространстве), то найти скалярное произведение векторов нужно по другой формуле, основанной на предыдущей. Но с тем же смыслом: $$ (overline{a},overline{b}) = a_x cdot b_x + a_y cdot b_y + a_z cdot b_z $$

По сути скалярное произведение – это сумма произведений соответствующих координат данных векторов. Первая координата умножается на первую, вторая на вторую и затем произведения суммируются.

Примеры решений

Пример 1

Найти скалярное произведение векторов $ overline{a} = (-1;2) $ и $ overline{b} = (2;1) $

Решение

В данном примере векторы заданы двумя координатами, поэтому применяем первую формулу для плоской задачи. Умножаем соответствующие координаты, а потом складываем их: $$ (overline{a},overline{b}) = -1 cdot 2 + 2 cdot 1 = -2 + 2 = 0 $$ Произведение получилось равным нулю, а это кстати означает, что векторы оказались ортогональными (перпендикулярными) друг к другу. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ (overline{a},overline{b}) = 0 $$

Пример 2

В пространстве заданы начала и концы векторов: $$ A = (1;3;-2), B = (-1;4;1), C = (2; 1; -2) $$ Требуется найти скалярное произведение векторов $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $.

Решение

В примеры решения данной задачи даны только точки и сразу вычислить произведение векторов не представляется возможным. Сначала нужно найти сами векторы $ overline{AB} $ и $ overline{AC} $. Вычисляются они с помощью разности соответствующих координат точек (из конца вычитается начало вектора): $$ overline{AB} = (-1 — 1; 4-3; 1-(-2)) = (-2; 1; 3) $$ $$ overline{AC} = (2 — 1; 1 — 3; -2 — (-2)) = (1; -2; 0) $$ Теперь, когда необходимые векторы найдены, то вычисляем их произведение: $$ (overline{AB},overline{AC}) = -2 cdot 1 + 1 cdot (-2) + 3 cdot 0 = -2-2+0 = -4 $$

Ответ

$$ (overline{AB},overline{AC}) = -4 $$

В статье мы ответили на вопрос: «Как найти скалярное произведение векторов?», а так же привели формулы и примеры решений задач.

Содержание:

• Формула
• Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Формула

Для того чтобы найти скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами, необходимо вычислить сумму произведений
соответствующих координат этих векторов. Для случая, если векторы заданны на плоскости координатами $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, имеет место формула:

Если же векторы заданы в пространстве своими координатами: $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$ соответственно, то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

Примеры вычисления скалярного произведения векторов

Читать дальше: как найти векторное произведение векторов.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

   a · a ≥ 0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

   a · a = 0   <=>   a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

   a · a = |a|²

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

   a · b = b · a

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

   a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0   <=>   a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

   (a + b) · c = a · c + b · c

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

1. Скалярное произведение.

   Начать изучение
   

2. Ориентация прямой, плоскости и пространства.

   Начать изучение
   

3. Площадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда.

   Начать изучение
   

4. Смешанное произведение.

   Начать изучение
   

5. Выражение векторного и смешанного произведения через компоненты сомножителей.

   Начать изучение
   

6. Детерминанты второго и третьего порядков.

   Начать изучение
   

7. Условия коллинеарности и компланарности.

   Начать изучение
   

8. Площадь параллелограмма.

   Начать изучение
   

9. Двойное векторное произведение.

   Начать изучение
   

10. Биортогональный базис.

    Начать изучение
    

11. О векторных величинах.

    Начать изучение
    

Скалярное произведение.

Под углом между векторами мы понимаем угол между векторами, равными данным и имеющими общее начало. В некоторых случаях мы будем указывать, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается. Если такого указания не сделано, углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит (pi). Если угол прямой, то векторы называются ортогональными.

Скалярное произведение векторов (boldsymbol{a}) и (boldsymbol{b}) обозначается ((boldsymbol{a}), (boldsymbol{b})) или (boldsymbol{ab}). Таким образом, мы можем написать
$$
(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}) = |boldsymbol{a}||boldsymbol{b}| cos varphi,nonumber
$$
где (varphi) — угол между векторами (boldsymbol{a}) и (boldsymbol{b}).

Необходимо подчеркнуть следующее принципиальное обстоятельство: скалярное произведение может быть определено только после того, как будет выбрана определенная единица измерения длин векторов. Иначе приведенное выше определение не имеет смысла.

Скалярное умножение имеет следующие очевидные свойства.

• Коммутативность: для любых (boldsymbol{a}) и (boldsymbol{b}) выполнено ((boldsymbol{a, b}) = boldsymbol{b,a})).
• ((boldsymbol{a, a}) = |boldsymbol{a}|^{2}) для любого вектора (boldsymbol{a}).
• Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен 0.
• Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют равенствам
  $$
  begin{array}{c}
  (boldsymbol{e_{1}}, boldsymbol{e_{1}}) = (boldsymbol{e_{2}}, boldsymbol{e_{2}}) = (boldsymbol{e_{3}}, boldsymbol{e_{3}}) = 1,\
  (boldsymbol{e_{1}}, boldsymbol{e_{2}}) = (boldsymbol{e_{2}}, boldsymbol{e_{3}}) = (boldsymbol{e_{3}}, boldsymbol{e_{1}}) = 0.
  end{array}nonumber
  $$

Направляющие косинусы — это компоненты вектора (boldsymbol{a}^{0} = boldsymbol{a}/|boldsymbol{a}|). Их отличительная особенность состоит в том, что сумма их квадратов равна квадрату длины (boldsymbol{a}^{0}), то есть 1 (см. ниже формулу eqref{ref3}).

Легко показать, что такая же формула справедлива и для линейной комбинации любого числа векторов. Используя коммутативность скалярного умножения, мы получаем тождество
$$
(boldsymbol{a}, betaboldsymbol{b} + gammaboldsymbol{c}) = beta(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}) + gamma(boldsymbol{a}, boldsymbol{c}).nonumber
$$

Отметим, что требование ортонормированности базиса очень существенно. В произвольном базисе выражение скалярного произведения через компоненты гораздо сложнее. Поэтому в задачах, связанных со скалярным произведением, чаще всего используются ортонормированные базисы.

Если почему-либо все же надо вычислить скалярное произведение в неортонормированном базисе, следует перемножить разложения сомножителей по базису и, раскрыв скобки, подставить в полученное выражение известные скалярные произведения базисных векторов.

Теорема 1 позволяет выписать выражение длины вектора через его компоненты в ортонормированном базисе
$$
|boldsymbol{a}| = sqrt{alpha_{1}^{2} + alpha_{2}^{2} + alpha_{3}^{2}}label{ref3}
$$
а также выражение косинуса угла между векторами
$$
cos varphi = frac{(boldsymbol{a}, boldsymbol{b})}{|boldsymbol{a}||boldsymbol{b}|} = frac{alpha_{1}beta_{1} + alpha_{2}beta_{2} + alpha_{3}beta_{3}}{sqrt{alpha_{1}^{2} + alpha_{2}^{2} + alpha_{3}^{2}}sqrt{beta_{1}^{2} + beta_{2}^{2} + beta_{3}^{2}}}label{ref4}
$$
Используя формулу eqref{ref3}, мы можем вычислить расстояние между точками, если заданы их координаты в декартовой прямоугольной системе координат. В самом деле, пусть точки (A) и (B) имеют координаты ((x, y, z)) и ((x_{1}, y_{1}, z_{1})). Тогда расстояние между ними равно
$$
|overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_{1}-x)^{2} + (y_{1}-y)^{2} + (z_{1}-z)^{2}}label{ref5}
$$
Скалярное умножение тесно связано с понятием проекции вектора. Слово “проекция” употребляется в двух смыслах. Введем соответствующие определения.

Пусть задан вектор (overrightarrow{AB}) и некоторая прямая (l). Опустим из точек (A) и (B) перпендикуляры на прямую и обозначим их основания (A’) и (B’) (рис. 4.2). Вектор (overrightarrow{A’B’}) называется (ортогональной) векторной проекцией вектора (overrightarrow{AB}) на прямую (l) и обозначается Пр(_{l}overrightarrow{AB}).

Из определения сразу следует, что векторные проекции равных векторов на параллельные прямые равны между собой.

Пусть (boldsymbol{e}) — ненулевой вектор на прямой (l). Тогда (overrightarrow{A’B’} = alphaboldsymbol{e}) при некотором (alpha). Представим (overrightarrow{AB}) в виде (overrightarrow{AB} = overrightarrow{A’B″} = alphaboldsymbol{e} + boldsymbol{b}) и заметим, что вектор (boldsymbol{b} = overrightarrow{B’B″}) ортогонален (boldsymbol{e}). Поэтому после скалярного умножения на (boldsymbol{e}) получаем ((overrightarrow{AB}, boldsymbol{e}) = alpha(boldsymbol{e}, boldsymbol{e})). Находя отсюда (alpha), имеем
$$
mbox{Пр}_{l}overrightarrow{AB} = frac{(overrightarrow{AB}, boldsymbol{e})}{|boldsymbol{e}|^{2}}boldsymbol{e}.label{ref6}
$$
Хотя на вид это выражение зависит от (boldsymbol{e}), фактически оно не меняется при замене (boldsymbol{e}) любым ненулевым вектором (lambdaboldsymbol{e}), коллинеарным (boldsymbol{e}).

Проекцию (overrightarrow{A’B’}) можно представить в виде
$$
frac{(overrightarrow{AB}, boldsymbol{e})}{|boldsymbol{e}|} frac{boldsymbol{e}}{|boldsymbol{e}|}nonumber
$$
и заметить, что ((overrightarrow{AB}, boldsymbol{e})/|boldsymbol{e}|) — это компонента (overrightarrow{A’B’}) по вектору (boldsymbol{e}^{0} = boldsymbol{e}/|boldsymbol{e}|). Так как (|boldsymbol{e}^{0}| = 1), компонента по абсолютной величине равна длине (overrightarrow{A’B’}). Она положительна, если направление (overrightarrow{A’B’}) совпадает с направлением (boldsymbol{e}), и отрицательна в противоположном случае.

Величина ((overrightarrow{AB}, boldsymbol{e})/|boldsymbol{e}|) не меняется при замене (boldsymbol{e}) на сонаправленный вектор (lambdaboldsymbol{e}), (lambda > 0), и меняет знак при замене (boldsymbol{e}) на противоположно направленный вектор.

Прямая линия называется направленной прямой (употребляются также термины ориентированная прямая и ось), если на ней указано определенное направление. Подробнее это определение рассматривается в начале следующего раздела.

Из определения следует, что Пр(_{l}overrightarrow{AB} = |overrightarrow{AB}| cos varphi), где (varphi) — угол между (overrightarrow{AB}) и (boldsymbol{e}). Компоненты вектора в ортонормированном базисе равны его скалярным проекциям на оси координат.

---

Ориентация прямой, плоскости и пространства.

Выше мы дали определение ориентированной прямой (оси). Скажем о нем подробнее, с тем чтобы аналогично ввести определение ориентированной плоскости и ориентированного пространства.

Все базисы (ненулевые векторы) на прямой разделяются на два класса: векторы из одного класса направлены одинаково, а векторы из разных классов направлены противоположно. Говорится, что прямая ориентирована или что на ней задана ориентация, если из двух классов базисов выбран один. Базисы выбранного класса называются положительно ориентированными или положительными.

Задать ориентацию можно, указав какой-либо базис и считая положительно ориентированными все базисы того же класса. Однако то, что прямая ориентирована, не означает, что на ней выбран какой-то определенный базис.

Два базиса на плоскости называются одинаково ориентированными, если в обоих базисах кратчайший поворот от первого вектора ко второму производится в одну сторону, и противоположно ориентированными в противном случае. Например, на рисунке ниже, базисы в левой части ориентированы одинаково, а на правой части — противоположно. Если фиксировать какой-то базис, то любой другой ориентирован с ним либо одинаково, либо противоположно, и, таким образом, все базисы распадаются на два класса: любые два базиса одного класса ориентированы одинаково, базисы разных классов ориентированы противоположно.

Ориентацию можно задать, выбрав базис и считая положительно ориентированными все базисы одного с ним класса. Но, конечно, задание ориентации не предполагает выбор определенного базиса.

В планиметрии часто ориентируют плоскость, считая положительными те базисы, у которых кратчайший поворот от первого вектора ко второму производится против часовой стрелки. Для плоскости в пространстве это соглашение не имеет смысла, так как видимое направление поворота зависит от того, с какой стороны смотреть на плоскость. Но если выбрать одно из полупространств, ограничиваемых плоскостью, и смотреть на повороты именно из него, то класс базиса определяется видимым направлением поворота.

Представим себе, что на рис. 4.4 концы векторов лежат в плоскости рисунка, а их общее начало — за плоскостью. Тогда поворот от вектора (boldsymbol{e}_{1}) к вектору (boldsymbol{e}_{2}) и затем к (boldsymbol{e}_{3}) для правого базиса нам виден против часовой стрелки, а для левого — по часовой стрелке.

Далее мы всегда будем выбирать правую ориентацию пространства, считая положительными правые базисы. Но важно помнить, что выбор ориентации мог бы быть противоположным.

Если пространство ориентировано, то ориентацию любой плоскости в нем можно задать, указав ориентацию прямой, перпендикулярной этой плоскости. При этом положительным базисом (boldsymbol{a}), (boldsymbol{b}) на плоскости считается такой, который вместе с положительным базисом (boldsymbol{n}) на прямой составляет положительный базис пространства (boldsymbol{a}), (boldsymbol{b}), (boldsymbol{n}). Это — внешний способ задания ориентации. Говорится, что ориентация плоскости определяется нормальным вектором (boldsymbol{n}).

Аналогично, в ориентированном пространстве можно внешним образом задать ориентацию прямой линии. Для этого нужно задать ориентацию плоскости, перпендикулярной этой прямой. Положительным базисом на прямой будет такой базис, который вместе с положительным базисом плоскости составляет положительный базис пространства.

---

Площадь ориентированного параллелограмма, объем ориентированного параллелепипеда.

Если прямая ориентирована, то длине ненулевого вектора на ней можно приписать знак: считать длину положительной, если вектор ориентирован положительно, и отрицательной в противоположном случае. Именно так мы приписываем знак длине векторной проекции, когда определяем скалярную проекцию. Обобщим это определение.

Рассмотрим параллелограмм, построенный на двух векторах так, что две его смежные стороны являются векторами с общим началом. Параллелограмм называется ориентированным, если пара векторов, на которой он построен, упорядочена. На ориентированной плоскости параллелограмм считается положительно или отрицательно ориентированным, смотря по тому, как ориентирована определяющая его пара векторов.

На ориентированной плоскости принято считать площадь ориентированного параллелограмма числом со знаком: она равна площади параллелограмма (положительна), если параллелограмм ориентирован положительно, и равна той же площади со знаком минус, если отрицательно. Мы будем обозначать площадь ориентированного параллелограмма, построенного на векторах (boldsymbol{a}) и (boldsymbol{b}), через (S_{pm}(boldsymbol{a}, boldsymbol{b})).

Рассмотрим теперь параллелепипед, построенный на трех векторах так, что три его ребра, исходящие из одной вершины, являются векторами с общим началом. Параллелепипед называется ориентированным, если эти три ребра упорядочены. В ориентированном пространстве ориентация параллелепипеда положительна или отрицательна смотря по тому, какую тройку образуют векторы, на которых он построен.

В ориентированном пространстве объем ориентированного параллелепипеда — число со знаком: объем положительно ориентированного параллелепипеда считается положительным, а отрицательно ориентированного — отрицательным.

При выбранной нами правой ориентации пространства положительными считаются объемы ориентированных параллелепипедов, построенных на правых тройках векторов.

---

Смешанное произведение.

Если пространство ориентировано, мы можем ввести следующее определение.

Смешанное произведение векторов (boldsymbol{a}), (boldsymbol{b}) и (boldsymbol{c}) обозначается ((boldsymbol{a}), (boldsymbol{b}), (boldsymbol{c})).

При перестановке сомножителей в смешанном произведении, самое большее, может измениться только ориентация тройки векторов. Поэтому абсолютная величина смешанного произведения не зависит от порядка сомножителей. Для любых векторов (boldsymbol{a}), (boldsymbol{b}) и (boldsymbol{c}) мы получаем, сравнивая ориентации троек векторов (см. рис. 14),
$$
(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c}) = (boldsymbol{c}, boldsymbol{a}, boldsymbol{b}) = (boldsymbol{b}, boldsymbol{c}, boldsymbol{a}) = -(boldsymbol{b}, boldsymbol{a}, boldsymbol{c}) = -(boldsymbol{c}, boldsymbol{b}, boldsymbol{a}) = -(boldsymbol{a}, boldsymbol{c}, boldsymbol{b}).label{ref7}
$$
Следующее предложение устанавливает связь между скалярным произведением и смешанным произведением.

Опишем еще раз, как вектор (boldsymbol{d}) определяется по (boldsymbol{b}) и (boldsymbol{c}).

1. Если (boldsymbol{b}) и (boldsymbol{c}) коллинеарны, то (boldsymbol{d} = 0).
2. Если (boldsymbol{b}) и (boldsymbol{c}) не коллинеарны, то:
   • (|boldsymbol{d}| = S = |boldsymbol{b}||boldsymbol{c}|sin varphi), где (varphi) — угол между (boldsymbol{b}) и (boldsymbol{c});
   • вектор (boldsymbol{d}) ортогонален векторам (boldsymbol{b}) и (boldsymbol{c});
   • тройка векторов (boldsymbol{b}), (boldsymbol{c}), (boldsymbol{d}) имеет положительную ориентацию.

При нашем выборе ориентации пространства — это правая тройка.

Подчеркнем, что векторное произведение, как и смешанное, определено только для ориентированного пространства. Разумеется, необходим также выбор единицы измерения длин.

Векторное произведение векторов (boldsymbol{b}) и (boldsymbol{c}) обозначают ([boldsymbol{b}, boldsymbol{c}]) или (boldsymbol{b} times boldsymbol{c}). Используя это обозначение, мы можем записать формулу eqref{ref8} в виде
$$
(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c}) = (boldsymbol{a}, [boldsymbol{b}, boldsymbol{c}])label{ref10}
$$
Благодаря этому равенству смешанное произведение и получило свое название.

Получим теперь свойство линейности смешанного и векторного произведений по каждому из сомножителей. Применяя предложение 2 к скалярному произведению ((lambdaboldsymbol{a}_{1} + muboldsymbol{a}_{2}, [boldsymbol{b}, boldsymbol{c}])), мы получим
$$
(lambdaboldsymbol{a}_{1} + muboldsymbol{a}_{2}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c}) = lambda (boldsymbol{a}_{1}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c}) + mu(boldsymbol{a}_{2}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c}).label{ref12}
$$
Из равенств eqref{ref7} следуют аналогичные тождества для остальных сомножителей. Например, для второго сомножителя
$$
(boldsymbol{a}, lambdaboldsymbol{b}_{1} + muboldsymbol{b}_{2}, boldsymbol{c}) = lambda (boldsymbol{a}, boldsymbol{b}_{1}, boldsymbol{c}) + mu(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}_{2}, boldsymbol{c}).label{ref13}
$$
Действительно, мы можем переставить интересующий нас сомножитель на первое место, раскрыть скобки, а затем выполнить обратную перестановку.

Линейность векторного произведения по второму сомножителю можно получить из свойства антикоммутативности.

---

Выражение векторного и смешанного произведения через компоненты сомножителей.

Если заданы разложения векторов (boldsymbol{a}) и (boldsymbol{b}) по векторам некоторого базиса (boldsymbol{e_{1}}), (boldsymbol{e_{2}}), (boldsymbol{e_{3}}), то мы можем раскрыть скобки:
$$
[boldsymbol{a}, boldsymbol{b}] = [(alpha_{1}boldsymbol{e}_{1} + alpha_{2}boldsymbol{e}_{2} + alpha_{3}boldsymbol{e}_{3}), (beta_{1}boldsymbol{e}_{1} + beta_{2}boldsymbol{e}_{2} + beta_{3}boldsymbol{e}_{3})] =\= (alpha_{1}beta_{2}-alpha_{2}beta_{1})[boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}] + (alpha_{2}beta_{3}-alpha_{3}beta_{2})[boldsymbol{e}_{2}, boldsymbol{e}_{3}] +\+(alpha_{3}beta_{1}-alpha_{1}beta_{3})[boldsymbol{e}_{3}, boldsymbol{e}_{1}].label{ref14}
$$
Здесь использовалась антикоммутативность векторного умножения и то, что векторное произведение двух одинаковых сомножителей — нулевой вектор. В примере 1 были сосчитаны попарные векторные произведения векторов ортонормированного базиса. Поэтому из формулы eqref{ref14} следует следующая теорема.

Если базис ориентирован отрицательно, перед правой частью этой формулы следует поставить знак минус.

Избежать постоянной заботы об ориентации базисов можно двумя способами. Можно договориться при правой ориентации пространства, если не оговорено противное, использовать только правые базисы. Такого соглашения мы и будем придерживаться.

Второй способ состоит в том, чтобы не фиксировать заранее ориентацию пространства, а выбирать ее так, чтобы используемый базис был ориентирован положительно. При таком подходе векторное произведение всегда вычисляется по формуле eqref{ref15}, но приходится следить за тем, как векторное произведение направлено. Этот подход принят, например, в литературе по физике.

---

Детерминанты второго и третьего порядков.

Найденные нами формулы достаточно громоздки. Для их более компактной записи употребляются детерминанты (или определители) второго и третьего порядков.

Рассмотрим четыре числа (alpha_{1}), (alpha_{2}), (beta_{1}), (beta_{2}). Из них можно составить таблицу, называемую матрицей второго порядка:
$$
begin{Vmatrix}
alpha_{1}& alpha_{2}\
beta_{1}& beta_{2}
end{Vmatrix}.nonumber
$$

Теперь выражение векторного произведения в правом ортонормированном базисе перепишется так:
$$
[boldsymbol{a}, boldsymbol{b}] =
begin{vmatrix}
alpha_{2}& alpha_{3}\
beta_{2}& beta_{3}
end{vmatrix}
boldsymbol{e_{1}} +
begin{vmatrix}
alpha_{3}& alpha_{1}\
beta_{3}& beta_{1}
end{vmatrix}
boldsymbol{e_{2}} +
begin{vmatrix}
alpha_{1}& alpha_{2}\
beta_{1}& beta_{2}
end{vmatrix}
boldsymbol{e_{3}}.nonumber
$$

Из компонент трех векторов можно составить таблицу — матрицу третьего порядка
$$
begin{Vmatrix}
alpha_{1}& alpha_{2}& alpha_{3}\
beta_{1}& beta_{2}& beta_{3}\
gamma_{1}& gamma_{2}& gamma_{3}
end{Vmatrix}.nonumber
$$

Число
$$
alpha_{1}
begin{vmatrix}
beta_{2}& beta_{3}\
gamma_{2}& gamma_{3}
end{vmatrix}
+ alpha_{2}
begin{vmatrix}
beta_{3}& beta_{1}\
gamma_{3}& gamma_{1}
end{vmatrix}
+ alpha_{3}
begin{vmatrix}
beta_{1}& beta_{2}\
gamma_{1}& gamma_{2}
end{vmatrix},
$$
или, что то же самое,
$$
alpha_{1}
begin{vmatrix}
beta_{2}& beta_{3}\
gamma_{2}& gamma_{3}
end{vmatrix}
— alpha_{2}
begin{vmatrix}
beta_{1}& beta_{3}\
gamma_{1}& gamma_{3}
end{vmatrix}
+ alpha_{3}
begin{vmatrix}
beta_{1}& beta_{2}\
gamma_{1}& gamma_{2}
end{vmatrix},nonumber
$$
называется детерминантом этой матрицы или детерминантом третьего порядка и обозначается
$$
begin{vmatrix}
alpha_{1}& alpha_{2}& alpha_{3}\
beta_{1}& beta_{2}& beta_{3}\
gamma_{1}& gamma_{2}& gamma_{3}
end{vmatrix}.nonumber
$$

По теореме 3 в новых обозначениях
$$
(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c}) =
begin{vmatrix}
alpha_{1}& alpha_{2}& alpha_{3}\
beta_{1}& beta_{2}& beta_{3}\
gamma_{1}& gamma_{2}& gamma_{3}
end{vmatrix}
(boldsymbol{e_{1}}, boldsymbol{e_{2}}, boldsymbol{e_{3}}).label{ref16}
$$

В частности, в правом ортонормированном базисе
$$
(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c}) =
begin{vmatrix}
alpha_{1}& alpha_{2}& alpha_{3}\
beta_{1}& beta_{2}& beta_{3}\
gamma_{1}& gamma_{2}& gamma_{3}
end{vmatrix}.label{ref17}
$$

При помощи теоремы 2 и определения детерминанта можно получить следующее выражение векторного произведения через компоненты сомножителей в правом ортонормированном базисе:
$$
(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c}) =
begin{vmatrix}
boldsymbol{e_{1}}& boldsymbol{e_{2}}& boldsymbol{e_{3}}\
alpha_{1}& alpha_{2}& alpha_{3}\
beta_{1}& beta_{2}& beta_{3}
end{vmatrix}.label{ref18}
$$

Детерминанты тесно связаны с системами линейных уравнений, решения которых удобно записывать с их помощью. Дадим этому геометрическую иллюстрацию.

Пусть дана система из трех уравнений
$$
left{
begin{array}{l}
a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1},\
a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2},\
a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3}.
end{array}
right.nonumber
$$

Выберем в пространстве некоторый базис и рассмотрим векторы (boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2}, a_{3})), (boldsymbol{b}(b_{1}, b_{2}, b_{3})), (boldsymbol{c}(c_{1}, c_{2}, c_{3})) и (boldsymbol{d}(d_{1}, d_{2}, d_{3})). Тогда система является координатной записью векторного равенства
$$
xboldsymbol{a} + yboldsymbol{b} + zboldsymbol{c} = boldsymbol{d}.label{ref19}
$$
Поэтому решение системы (x,y,z) — коэффициенты разложения (boldsymbol{d}) по (boldsymbol{a}, boldsymbol{b}) и (boldsymbol{c}). Мы можем быть уверены, что система имеет единственное решение, если (boldsymbol{a}), (boldsymbol{b}) и (boldsymbol{c}) не компланарны, то есть ((boldsymbol{a}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c}) neq 0). Предположим, что это условие выполнено, и найдем решение. Для этого умножим обе части равенства eqref{ref19} скалярно на векторное произведение ([boldsymbol{b}, boldsymbol{c}]). Мы получим (x(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c}) = (boldsymbol{d}, boldsymbol{b}, boldsymbol{c})), и, следовательно, (x) равен отношению детерминантов
$$
begin{vmatrix}
d_{1}& d_{2}& d_{3}\
b_{1}& b_{2}& b_{3}\
c_{1}& c_{2}& c_{3}
end{vmatrix}
mbox{и}
begin{vmatrix}
a_{1}& a_{2}& a_{3}\
b_{1}& b_{2}& b_{3}\
c_{1}& c_{2}& c_{3}
end{vmatrix}.nonumber
$$
Аналогично находятся и остальные неизвестные.

Остановимся на следующих свойствах детерминантов. Из равенств eqref{ref7} следует, что детерминант меняет знак при перестановке каких-либо двух строк матрицы. Формула eqref{ref12} означает, что
$$
begin{vmatrix}
lambda a_{1}’ + mu a_{1}″& lambda a_{2}’ + mu a_{2}″& lambda a_{3}’ + mu a_{3}″\
b_{1}& b_{2}& b_{3}\
c_{1}& c_{2}& c_{3}
end{vmatrix} =\= lambda
begin{vmatrix}
a_{1}’& a_{2}’& a_{3}’\
b_{1}& b_{2}& b_{3}\
c_{1}& c_{2}& c_{3}
end{vmatrix}
+ mu
begin{vmatrix}
a_{1}″& a_{2}″& a_{3}″\
b_{1}& b_{2}& b_{3}\
c_{1}& c_{2}& c_{3}
end{vmatrix}.nonumber
$$

---

Условия коллинеарности и компланарности.

Следующие предложения дают условия на компоненты векторов в произвольном базисе, необходимые и достаточные для компланарности или коллинеарности векторов.

---

Площадь параллелограмма.

Если в пространстве заданы два неколлинеарных вектора, имеющих общее начало, то площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, может быть найдена через их компоненты в ортонормированном базисе по формуле
$$
S = |[boldsymbol{a}, boldsymbol{b}]| = sqrt{(alpha_{2}beta_{3}-alpha_{3}beta_{2})^{2} + (alpha_{3}beta_{1}-alpha_{1}beta_{3})^{2} + (alpha_{1}beta_{2}-alpha_{2}beta_{1})^{2}}.label{ref21}
$$
Еще одно выражение для площади параллелограмма мы получим, если заметим, что
$$
|[boldsymbol{a}, boldsymbol{b}]|^{2} = |boldsymbol{a}|^{2}|boldsymbol{b}|^{2} sin^{2} varphi = |boldsymbol{a}|^{2}|boldsymbol{b}|^{2} (1-cos varphi).nonumber
$$
В результате
$$
S^{2} =
begin{vmatrix}
|boldsymbol{a}|^{2}& (boldsymbol{a}, boldsymbol{b})\
(boldsymbol{a}, boldsymbol{b})& |boldsymbol{b}|^{2}
end{vmatrix}.label{ref22}
$$

Найдем теперь площадь ориентированного параллелограмма на ориентированной плоскости. Можно считать, что ориентация плоскости определена вектором (boldsymbol{n}), перпендикулярным плоскости и составляющим правую тройку с положительным базисом на плоскости. Более того, будем предполагать, что (|boldsymbol{n}| = 1).

Пусть дан ориентированный параллелограмм, построенный на векторах (boldsymbol{a}) и (boldsymbol{b}). Рассмотрим скалярную проекцию Пр(_{boldsymbol{n}}[boldsymbol{a}, boldsymbol{b}]). Так как ([boldsymbol{a}, boldsymbol{b}]) и (boldsymbol{n}) коллинеарны, проекция по модулю равна (|[boldsymbol{a}, boldsymbol{b}]|), то есть площади параллелограмма. Она положительна, если ([boldsymbol{a}, boldsymbol{b}]) и (boldsymbol{n}) сонаправлены, и отрицательна в противном случае. Но вектор ([boldsymbol{a}, boldsymbol{b}]) сонаправлен с (boldsymbol{n}), если пара векторов (boldsymbol{a}), (boldsymbol{b}) на плоскости ориентирована положительно. Поэтому Пр(_{n}[boldsymbol{a}, boldsymbol{b}]) равна площади ориентированного параллелограмма, построенного на (boldsymbol{a}) и (boldsymbol{b}). По определению проекции
$$
S_{pm}(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}) = (boldsymbol{n}, boldsymbol{a}, boldsymbol{b})nonumber
$$
(напомним, что (|boldsymbol{n}| = 1)). На плоскости выберем произвольный (не обязательно положительный) базис (boldsymbol{e_{1}}), (boldsymbol{e_{2}}). Примем (boldsymbol{n}) за третий базисный вектор и выразим смешанное произведение через координаты сомножителей:
$$
S_{pm}(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}) =
begin{vmatrix}
0& 0& 1\
alpha_{1}& alpha_{2}& 0\
beta_{1}& beta_{2}& 0
end{vmatrix}
(boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}, boldsymbol{n}).nonumber
$$
Вычисляя детерминант, находим, что он равен (alpha_{1}beta_{2}-alpha_{2}beta_{1}), и получаем окончательное выражение
$$
S_{pm}(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}) =
begin{vmatrix}
alpha_{1}& alpha_{2}\
beta_{1}& beta_{2}
end{vmatrix}
S_{pm}(boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}).label{ref23}
$$

Эта формула сходна с формулой eqref{ref16}. По существу это та же формула, написанная для двумерного пространства. Если ((boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2})) — положительный ортонормированный базис, то
$$
S_{pm}(boldsymbol{a}, boldsymbol{b}) = alpha_{1}beta_{2}-alpha_{2}beta_{1}.label{ref24}
$$

Для площади неориентированного параллелограмма в ортонормированном базисе мы получаем формулу
$$
S = |alpha_{1}beta_{2}-alpha_{2}beta_{1}|.label{ref25}
$$
которая следует и из eqref{ref21}.

---

Двойное векторное произведение.

---

Биортогональный базис.

Из утверждения 6 вытекает, что (boldsymbol{e^{*}}_{1}, boldsymbol{e^{*}}_{2}, boldsymbol{e^{*}}_{3}), не компланарны и действительно образуют базис. Название “биортогональный” связано с тем, что векторы обоих базисов, имеющие разные номера, ортогональны: ((boldsymbol{e}_{i}, boldsymbol{e^{*}}_{j}) = 0) при (i neq j). Кроме того, ((boldsymbol{e}_{i}, boldsymbol{e^{*}}_{i}) = 1) для всех (i).

Нетрудно проверить, что ортонормированный базис совпадает со своим взаимным.

Числа ((boldsymbol{a}, boldsymbol{e}_{1})), ((boldsymbol{a}, boldsymbol{e}_{2})) и ((boldsymbol{a}, boldsymbol{e}_{3})) однозначно определяют вектор а с помощью векторов базиса (boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}, boldsymbol{e}_{3}). Они называются ковариантными координатами вектора а в базисе (boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}, boldsymbol{e}_{3}). По отношению к базису (boldsymbol{e^{*}}_{1}, boldsymbol{e^{*}}_{2}, boldsymbol{e^{*}}_{3}) — это обычные координаты вектора. Обычные координаты, чтобы подчеркнуть их отличие от ковариантных координат, называют контрвариантными координатами.

---

О векторных величинах.

В приложениях математики часто рассматриваются величины, изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил и так далее. Векторам, изображающим такие величины, приписывается размерность. Не вдаваясь в существо дела, мы ограничимся изложением формальных правил действий с размерностями.

С формальной точки зрения, размерность — это одночлен, составленный из какого-то набора символов. Такие одночлены перемножаются и делятся, как обычные одночлены. Имеют место следующие правила действий с векторными величинами:

• Модуль векторной величины имеет ту же размерность, что и сама величина.
• Складывать векторные величины можно только в том случае, когда их размерности совпадают. При этом размерность суммы та же, что и у слагаемых.
• При умножении векторной величины на скалярную их размерности перемножаются.
• Скалярное, векторное и смешанное произведения имеют размерность, равную произведению размерностей сомножителей. Это легко следует из первого правила, определений скалярного и векторного произведений и формулы eqref{ref10}.

Для того чтобы изобразить векторную величину на чертеже, мы должны условиться о масштабе: сколькими единицами длины (например, см) мы будем изображать одну единицу данной размерности (например, км, м/с, Н).

Если в векторном произведении сомножители имеют размерность длины, то произведение имеет размерность площади. Масштаб для изображения единиц площади выбирается так, чтобы одна единица площади изображалась одной линейной единицей. При этом длина векторного произведения будет численно равна площади параллелограмма, построенного на сомножителях.

Поскольку единица длины у нас выбрана и не меняется, указанное соглашение ни к каким противоречиям привести не может. Однако оно не так безобидно, как может показаться. Именно, два математика, пользующиеся этим соглашением, но разными единицами длины (например, француз, пользующийся сантиметрами, и англичанин — дюймами), для одних и тех же векторов нарисуют несовпадающие векторные произведения. Как связаны длины этих произведений, если дюйм равен примерно 2,5 см?

Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10,
можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного
произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве
аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений
которых необходимо найти. В MathCAD
скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего
оператора панели инструментов Matrix