Как найти сколько информации содержит текст

Все мы привыкли к тому, что все вокруг можно измерить. Мы можем определить массу посылки, длину стола, скорость движения автомобиля. Но как определить количество информации, содержащееся в сообщении? Ответ на вопрос в статье.

Итак, давайте для начала выберем сообщение. Пусть это будет «Принтер — устройство вывода информации.«. Наша задача — определить, сколько информации содержится в данном сообщении. Иными словами — сколько памяти потребуется для его хранения.

Для решения задачи нам нужно определить, сколько информации несет один символ сообщения, а потом умножить это значение на количество символов. И если количество символов мы можем посчитать, то вес символа нужно вычислить. Для этого посчитаем количество различных символов в сообщении. Напомню, что знаки препинания, пробел — это тоже символы. Кроме того, если в сообщении встречается одна и та же строчная и прописная буква — мы считаем их как два различных символа. Приступим.

В слове Принтер 6 различных символов (р встречается дважды и считается один раз), далее 7-й символ пробел и девятый — тире. Так как пробел уже был, то после тире мы его не считаем. В слове устройство 10 символов, но различных — 7, так как буквы  с, т и о повторяются. Кроме того буквы т и р уже была в слове Принтер. Так что получается, что в слове устройство 5 различных символов. Считая таким образом дальше мы получим, что в сообщении 20 различных символов.

Далее вспомним формулу, которую называют главной формулой информатики:

2ⁱ=N

Подставив в нее вместо N количество различных символов, мы узнаем, сколько информации несет один символ в битах. В нашем случае формула будет выглядеть так:

2ⁱ=20

Вспомним степени двойки и поймем, что i находится в диапазоне от 4 до 5 (так как 2⁴=16, а 2⁵=32). А так как бит — минимальная единица измерения информации и дробным быть не может, то мы округляем i в большую сторону до 5. Иначе, если принять, что i=4, мы смогли бы закодировать только 2⁴=16 символов, а у нас их 20. Поэтому получаем, что i=5, то есть каждый символ в нашем сообщении несет 5 бит информации.

Осталось посчитать сколько символов в нашем сообщении. Но теперь мы будем считать все символы, не важно повторяются они или нет. Получим, что сообщение состоит из 39 символов. А так как каждый символ — это 5 бит информации, то, умножив 5 на 39 мы получим:

5 бит x 39 символов = 195 бит

Это и есть ответ на вопрос задачи — в сообщении 195 бит информации. И, подводя итог, можно написать алгоритм нахождения объема информации в сообщении:

• посчитать количество различных символов.
• подставив это значение в формулу 2i=N найти вес одного символа (округлив в большую сторону)
• посчитать общее количество символов и умножить это число на вес одного символа.

Автор:

Задачи на определение информационного объема текста

Проверяется умение оценивать количественные параметры информационных объектов.

Теоретический материал:

N = 2ⁱ , где N – мощность алфавита (количество символов в используемом
алфавите),

i – информационный объем одного символа (информационный
вес символа), бит

I = K*i, где I – информационный объем текстового документа (файла),

K – количество символов в тексте

Задача 1.

Считаем количество символов в заданном тексте (перед и после тире – пробел, после знаков препинания, кроме последнего – пробел, пробел – это тоже символ). В результате получаем – 52 символа в тексте.

Дано:

i = 16 бит

K = 52

I — ?

Решение:

I = K*i

I = 52*16бит = 832бит (такой ответ есть — 2)

Ответ: 2

Задача 2.

Дано:

K = 16*35*64 – количество символов в статье

i = 8 бит

I — ?

Решение: Чтобы перевести ответ в Кбайты нужно разделить результат на 8 и на 1024 (8=2³, 1024=2¹⁰)

I=16*35*64*8 бит==35Кбайт Ответ: 4

Задача 3.

Пусть x – это количество строк на каждой странице, тогда K=10*x*64 – количество символов в тексте рассказа.

Дано:

I = 15 Кбайт

K =10*x*64

i = 2 байта

x — ?

Решение:

Переведем информационный объем текста из Кбайт в байты.

I = 15 Кбайт = 15*1024 байт (не перемножаем)

Подставим все данные в формулу для измерения количества информации в тексте.

I = K*i

15*1024 = 10*x*64*2

Выразим из полученного выражения x

x = – количество строк на каждой странице – 4

Ответ: 4

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5.

Задача 6.

Задача 7.

Задачи взяты с сайта fipi.ru из открытого банка заданий (с.1-7)

Мы ежедневно работаем с информацией из разных источников. При этом каждый из нас имеет некоторые интуитивные представления о том, что означает, что один источник является для нас более информативным, чем другой. Однако далеко не всегда понятно, как это правильно определить формально. Не всегда большое количество текста означает большое количество информации. Например, среди СМИ распространена практика, когда короткое сообщение из ленты информационного агентства переписывают в большую новость, но при этом не добавляют никакой «новой информации». Или другой пример: рассмотрим текстовый файл с романом Л.Н. Толстого «Война и мир» в кодировке UTF-8. Его размер — 3.2 Мб. Сколько информации содержится в этом файле? Изменится ли это количество, если файл перекодировать в другую кодировку? А если заархивировать? Сколько информации вы получите, если прочитаете этот файл? А если прочитаете его второй раз?

По мотивам открытой лекции для Computer Science центра рассказываю о том, как можно математически подойти к определению понятия «количество информации».

В классической статье А.Н. Колмогорова «Три подхода к определению понятия количества информации» (1965) рассматривают три способа это сделать:

• комбинаторный (информация по Хартли),

• вероятностный (энтропия Шеннона),

• алгоритмический (колмогоровская сложность).

Мы будем следовать этому плану.

Комбинаторный подход: информация по Хартли

Мы начнём самого простого и естественного подхода, предложенного Хартли в 1928 году.

Пусть задано некоторое конечное множество . Количеством информации в будем называть .

Можно интерпретировать это определение следующим образом: нам нужно битов для описания элемента из .

Почему мы используем биты? Можно использовать и другие единицы измерения, например, триты или байты, но тогда нужно изменить основание логарифма на 3 или 256, соответственно. В дальшейшем все логарифмы будут по основанию 2.

Этого определения уже достаточно для того, чтобы измерить количество информации в некотором сообщении. Пусть про стало известно, что . Теперь нам достаточно битов для описания , таким образом нам сообщили битов информации.

Пример

Загадано целое число от до . Нам сообщили, что делится на . Сколько информации нам сообщили?

Воспользуемся рассуждением выше.

(Тот факт, что некоторое сообщение может содержать нецелое количество битов, может показаться немного неожиданным.)

Можно ещё сказать, что сообщение, уменшающее пространство поиска в раз приносит битов информации. В данном примере пространство поиска уменьшилось в 1000/166 раз.

Интересно, что одного этого определения уже достаточно для того, чтобы решать довольно нетривиальные задачи.

Применение: цена информации

Загадано целое число от до . Разрешается задавать любые вопросы на ДА/НЕТ. Если ответ на вопрос «ДА», то мы должны заплатить рубль, если ответ «НЕТ» — два рубля. Сколько нужно заплатить для отгадывания числа ?

Любой вопрос можно сформулировать как вопрос о принадлежности некоторому множеству, поэтому мы будем считать, что все вопросы имеют вид «?» для некоторого множества .

Каким образом нужно задавать вопросы? Нам бы хотелось, чтобы вне зависимости от ответа цена за бит информации была постоянной. Другими словами, в случае ответа «НЕТ» и заплатив два рубля мы должны узнать в два больше информации, чем при ответе «ДА». Давайте запишем это формально.

Потребуем, чтобы

Пусть , тогда . Подставляем и получаем, что

Это эквивалентно квадратному уравнению Положительный корень этого уравнения . Таким образом, при любом ответе мы заплатим рублей за бит информации, а в сумме мы заплатим примернорублей (с точностью до округления).

Осталось понять, как выбирать такие множества . Будем выбирать в качестве непрерывные отрезки прямой. Пусть нам известно, что принадлежит отрезку (изначально это отрезок ). В следующего множества возмём отрезок , где. Тогда за каждый заплаченный рубль текущий отрезок будет уменьшаться в раз. Когда длина отрезка станет меньше единицы, мы однозначно определим . Поэтому цена отгадывания не будет превосходить

Приведённое рассуждение доказывает только верхнюю оценку. Можно доказать и нижнюю оценку: для любого способа задавать вопросы будет такое число , для отгадывания которого придётся заплатить не менее рублей.

Вероятностный подход: энтропия Шеннона

Вероятностный подход, предложенный Клодом Шенноном в 1948 году, обобщает определение Хартли на случай, когда не все элементы множества являются равнозначными. Вместо множества в этом подходе мы будем рассматривать вероятностное распределение на множестве и оценивать среднее по распределению количество информации, которое содержит случайная величина.

Пусть задана случайная величина , принимающая различных значений с вероятностями . Энтропия Шеннона случайной величины определяется как

(По непрерывности тут нужно доопределить .)

Энтропия Шеннона оценивает среднее количество информации (математическое ожидание), которое содержится в значениях случайной величины.

При первом взгляде на это определение, может показаться совершенно непонятно откуда оно берётся. Шеннон подошёл к этой задаче чисто математически: сформулировал требования к функции и доказал, что это единственная функция, удовлетворяющая сформулированным требованиям.

Я попробую объяснить происхождение этой формулы как обобщение информации по Хартли. Нам бы хотелось, чтобы это определение согласовывалось с определением Хартли, т.е. должны выполняться следующие «граничные условия»:

Будем искать в виде математического ожидания количества информации, которую мы получаем от каждого возможного значения .

Как оценить, сколько информации содержится в событии ? Пусть — всё пространство элементарных исходов. Тогда событие соответствует множеству элементарных исходов меры . Если произошло событие , то размер множества согласованных с этим событием элементарных исходов уменьшается с до , т.е. событие сообщает нам битов информации. Тут мы пользуемся тем, что количество информации в сообщении, которое уменьшает размер пространство поиска в раз приносит битов информации.

Примеры

Свойства энтропии Шеннона

Для случайной величины , принимающей значений с вероятностями , выполняются следующие соотношения.

• .

• распределение вырождено.

• .

• распределение равномерно.

Чем распределение ближе к равномерному, тем больше энтропия Шеннона.

Энтропия пары

Понятие энтропии Шеннона можно обобщить для пары случайных величин. Аналогично это обощается для тройки, четвёрки и т.д.

Пусть совместно распределённые случайные величины и принимают значения и , соответственно. Энтропия пары случайных величин и определяется следующим соотношением:

Примеры

Рассмотрим эксперимент с выбрасыванием двух игральных кубиков — синего и красного.

Свойства энтропии Шеннона пары случайных величин

Для энтропии пары выполняются следующие свойства.

Условная энтропия Шеннона

Теперь давайте научимся вычислять условную энтропию одной случайной величины относительно другой.

Условная энтропия относительно определяется следующим соотношением:

Примеры

Рассмотрим снова примеры про два игральных кубика.

Свойства условной энтропии

Условная энтропия обладает следующими свойствами

Взаимная информация

Ещё одна информационная величина, которую мы введём в этом разделе — это взаимная информация двух случайных величин.

Информация в о величине (взаимная информация случайных величин и ) определяется следующим соотношением

Примеры

И снова обратимся к примерам с двумя игральными кубиками.

Свойства взаимной информации

Выполняются следующие соотношения.

• . Т.е. определение взаимной информации симметрично и его можно переписать так:

• Или так: .

• и .

• .

• .

Все информационные величины, которые мы определили к этому моменту можно проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера.

Мы пойдём дальше и рассмотрим информационную величину, зависящую от трёх случайных величин.

Пусть , и совместно распределены. Информация в о при условии определяется следующим соотношением:

Свойства такие же как и обычной взаимной информации, нужно только добавить соответствующее условие ко всем членам.

Всё, что мы успели определить можно удобно проиллюстрировать при помощи трёх кругов Эйлера.

Из этой иллюстрации можно вывести все определения и соотношения на информационные величины.

Мы не будем продолжать дальше и рассматривать четыре случайные величины по трём причинам. Во-первых, рисовать четыре круга Эйлера со всеми возможными областями — это непросто. Во-вторых, для двух и трёх случайных величин почти все возможные соотношения можно вывести из кругов Эйлера, а для четырёх случайных величин это уже не так. И в третьих, уже для трёх случайных величин возникают неприятные эффекты, демонстрирующие, что дальше будет хуже.

Рассмотрим треугольник в пересечении всех трёх кругов , и . Этот треугольник соответствуют взаимной информации трёх случайных величин . Проблема с этой информационной величиной заключается в том, что ей не удаётся придать какой-то «физический» смысл. Более того, в отличие от всех остальных величин на картинке может быть отрицательной!

Рассмотрим пример трёх случайных величин равномерно распределённых на . Пусть и будут независимы, а . Легко проверить, что . При этом . В то же время . Получается следующая картинка.

Мы знаем, что . При этом . Получается, что , а , т.е. для таких случайных величин.

Применение энтропии Шеннона: кодирование

В этом разделе мы обсудим, как энтропия Шеннона возникает в теории кодирования. Будем рассматривать коды, которые кодируют каждый символ по отдельности.

Пусть задан алфавит . Код — это отображение из в . Код называется однозначно декодируемым, если любое сообщение, полученное применением к символам некоторого текста, декодируется однозначно.

Код называется префиксным (prefix-free), если нет двух символов и таких, что является префиксом .

Префиксные коды являются однозначно декодируемыми. Действительно, при декодировании префиксного кода легко понять, где находятся границы кодов отдельных символов.

Теорема [Шеннон]. Для любого однозначно декодируемого кода существует префиксный код с теми же длинами кодов символов.

Таким образом для изучения однозначно декодируемых кодов достаточно рассматривать только префиксные коды.

Задача об оптимальном кодировании.
Дан текст . Нужно найти такой код , что

Пусть . Обозначим через частоту, с которой символ встречается в . Тогда выражение выше можно переписать как

Следующая теорема могла встречаться вам в курсе алгоритмов.

Теорема [Хаффман]. Код Хаффмана, построенный по , является оптимальным префиксным кодом.

Алгоритм Хаффмана по набору частот эффективно строит оптимальный код для задачи оптимального кодирования.

Связь с энтропией

Имеют место две следующие оценки.

Теорема [Шеннон]. Для любого однозначно декодируемого кода выполняется

Теорема [Шеннон]. Для любых значений существует префиксный код , такой что

Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на символах текста . Получим, что . Таким образом, эти две теоремы задают оценку на среднюю длину кода символа при оптимальном кодировании, т.е. и для кодирования Хаффмана.

Следовательно, длину кода Хаффмана текста можно оценить, как

Применение энтропии Шеннона: шифрования с закрытым ключом

Рассмотрим простейшую схему шифрования с закрытым ключом. Шифрование сообщения с ключом шифрования выполняется при помощи алгоритма шифрования . В результате получается шифрограмма . Зная получатель шифрограммы восстанавливает исходное сообщение : .

Мы будем анализировать эту схему с помощью аппарата энтропии Шеннона. Пусть и являются случайными величинами. Противник не знает и , но знает , которая так же является случайной величиной.

Для совершенной схемы шифрования (perfect secrecy) выполняются следующие соотношения:

1. , т.е. шифрограмма однозначно определяется по ключу и сообщению.

2. , т.е. исходное сообщение однозначно восстанавливается по шифрограмме и ключу.

3. , т.е. в отсутствие ключа из шифрограммы нельзя получить никакой информации о пересылаемом сообщении.

Теорема [Шеннон]. , даже если условие нарушается (т.е. алгоритм использует случайные биты).

Эта теорема утверждает, что для совершенной схемы шифрования длина ключа должна быть не менее длины сообщения. Другими словами, если вы хотите зашифровать и передать своему знакомому файл размера 1Гб, то для этого вы заранее должны встретиться и обменяться закрытым ключом размера не менее 1Гб. И конечно, этот ключ можно использовать только однажды. Таким образом, самая оптимальная совершенная схема шифрования — это «одноразовый блокнот», в котором длина ключа совпадает с длиной сообщения.

Если же вы используете ключ, который короче пересылаемого сообщения, то шифрограмма раскрывает некоторую информацию о зашифрованном сообщении. Причём количество этой информации можно оценить, как разницу между энтропией сообщения и энтропией ключа. Если вы используете пароль из 10 символов при пересылке файла размера 1Гб, то вы разглашаете примерно 1Гб – 10 байт.

Это всё звучит очень печально, но не всё так плохо. Мы ведь никак не учитываем вычислительную мощь противника, т.е. мы не ограничиваем количество времени, которое противнику потребуется на выделение этой информации.

Современная криптография строится на предположении об ограниченности вычислительных возможностей противника. Тут есть свои проблемы, а именно отсутствие математического доказательства криптографической стойкости (все доказательства строятся на различных предположениях), так что может оказаться, что вся эта криптография бесполезна (подробнее можно почитать в статье о мирах Рассела Импальяццо, которая переведена на хабре), но это уже совсем другая история.

Доказательство. Нарисуем картинку для трёх случайных величин и отметим то, что нам известно.

• .

• , следовательно , а значит .

• (по свойству взаимной информации), следовательно , а значит .

• . Таким образом,

В доказательстве мы действительно не воспользовались тем, что .

Алгоритмический подход: колмогоровская сложность

Подход Шеннона хорош для случайных величин, но если мы попробуем применить его к текстам, то выходит, что количество информации в тексте зависит только от частот символов, но не зависит от их порядка. При таком подходе получается, что в «Войне и мире» и в тексте, который получается сортировкой всех знаков в «Войне и мире», содержится одинаковое количество информации. Колмогоров предложил подход, позволяющий измерять количество информации в конкретных объектах (строках), а не в случайных величинах.

Внимание. До этого момента я старался следить за математической строгостью формулировок. Для того, чтобы двигаться дальше в том же ключе, мне потребовалось бы предположить, что читатель неплохо знаком с математической логикой и теорией вычислимости. Я пойду более простым путём и просто буду махать руками, заметая под ковёр некоторые подробности. Однако, все утверждения и рассуждения дальше можно математически строго сформулировать и доказать.

Нам потребуется зафиксировать способ описания битовой строки. Чтобы не углубляться в рассуждения про машины Тьюринга, мы будем описывать строки на языках программирования. Нужно только сделать оговорку, что программы на этих языках будут запускаться на компьютере с неограниченным объёмом оперативной памяти (иначе мы получили бы более слабую вычислительную модель, чем машина Тьюринга).

Сложностью строки относительно языка программирования называется длина кратчайшей программы, которая выводит .

Таким образом сложность «Войны и мира» относительноя языка Python — это длина кратчайшей программы на Python, которая печатает текст «Войны и мира». Естественным образом сложность отсортированной версии «Войны и мира» относительно языка Python получится значительно меньше, т.к. её можно предварительно закодировать при помощи RLE.

Сравнение языков программирования

Дальше нам потребуется научиться любимой забаве всех программистов — сравнению языков программирования.

Будем говорить, что язык не хуже языка программирования и обозначать , если существует константа такая, что для для всех выполняется

Исходя из этого определения получается, что язык Python не хуже (!) этого вашего Haskell! И я это докажу. В качестве константы мы возьмём длину реализации интепретатора Haskell на Python. Таким образом, любая программа на Haskell переделывается в программу на Python просто дописыванием к ней интерпретатора Haskell на Python.

Соломонов и Колмогоров пошли дальше и доказали существования оптимального языка программирования.

Теорема [Соломонова-Колмогорова]. Существует способ описания (язык программирования) такой, что для любого другого способа описания выполняется .

И да, некоторые уже наверное догадались, что  — это JavaScript. Или любой другой Тьюринг полный язык программирования.

Это приводит нас к следующему определению, предложенному Колмогоровым в 1965 году.

Колмогоровской сложностью строки будем называть её сложность относительно оптимального способа описания и будем обозначать .

Важно понимать, что при разных выборах оптимального языка программирования колмогоровская сложность будет отличаться, но только на константу. Для любых двух оптимальных языков программирования и выполняется и , т.е. существует такая константа , что Это объясняет, почему в этой науке аддитивные константы принято игнорировать.

При этом для конкретной строки и конкретного выбора колмогоровская сложность определена однозначно.

Свойства колмогоровской сложности

Начнём с простых свойств. Колмогоровская сложность обладает следующими свойствами.

Первое свойство выполняется потому, что мы всегда можем зашить строку в саму программу. Второе свойство верно, т.к. из программы, выводящей строку , легко сделать программу, которая выводит эту строку дважды.

Примеры

Несжимаемые строки

Важнейшее свойство колмогоровской сложности заключается в существовании сложных (несжимаемых строк). Проверьте себя и попробуйте объяснить, почему не бывает идеальных архиваторов, которые умели бы сжимать любые файлы хотя бы на 1 байт, и при этом позволяли бы однозначно разархивировать результат.

В терминах колмогоровской сложности это можно сформулировать так.

Вопрос. Существует ли такая длина строки , что для любой строки колмогоровская сложность меньше ?

Следующая теорема даёт отрицательный ответ на этот вопрос.

Теорема. Для любого существует такой, что .

Доказательство. Битовых строк длины всего . Число строк сложности меньше не превосходит число программ длины меньше , т.е. таких программ не больше чем

Таким образом, для какой-то строки гарантированно не хватит программы.

Верна и более сильная теорема.

Теорема. Существует такое, что для слов длины верно

Другими словами, почти все строки длины имеют почти максимальную сложность.

Колмогоровская сложность: вычислимость

В этом разделе мы поговорим про вычислимость колмогоровской сложности. Я не буду давать формально определение вычислимости, а буду опираться на интуитивные предствления читателей.

Теорема. Не существует программы, которая по двоичной записи числа выводит строку , такую что .

Эта теорема говорит о том, что не существует программы-генератора, которая умела бы генерировать сложные строки по запросу.

Доказательство. Проведём доказетельство от противного. Пусть такая программа существует и . Тогда с одной стороны сложность не меньше , а с другой стороны мы можем описать при помощи битов и кода программы.

Это приводит нас к противоречию, т.к. при достаточно больших значениях неизбежно станет больше, чем .

Как следствие мы получаем невычислимость колмогоровской сложности.

Следствие. Отображение не является вычислимым.

Опять же, предположим, что это нет так и существует программа , которая по строку вычисляет её колмогоровскую сложность. Тогда на основе программы можно реализовать программу из теоремы выше: она будет перебирать все строки длины не более и находить лексикографически первую, для которой сложность будет не меньше . А мы уже доказали, что такой программы не существует.

Связь с энтропией Шеннона

Теорема. Пусть длины содержит единиц и нулей, тогда

Я надеюсь, что вы уже узнали энтропию Шеннона для случайной величины с двумя значениями с вероятностями и .

Для колмогоровской сложности можно проделать весь путь, который мы проделали для энтропии Шеннона: определить условную колмогоровскую сложность, сложность пары строк, взаимную информацию и условную взаимную информацию и т.д. При этом формулы будут повторять формулы для энтропии Шеннона с точностью до . Однако это тема для отдельной статьи.

Применение колмогоровской сложности: бесконечность множества простых чисел

Начнём с довольно игрушечного применения. С помощью колмогоровской сложности мы докажем следующую теорему, знакомую нам со школы.

Теорема. Простых чисел бесконечно много.

Очевидно, что для доказательства этой теоремы никакая колмогоровская сложность не нужна. Однако на этом примере я смогу продемонстрировать основные идеи применения колмогоровской сложности в более сложных ситуациях.

Доказательство. Проведём доказательство от обратного. Пусть существует всего простых чисел: . Тогда любое натуральное раскладывается на степени простых:

т.е. определяется набором степеней . Каждое , т.е. задаётся битами. Поэтому любое можно задать при помощи битов (помним, что — это константа).

Теперь воспользуемся теоремой о существовании несжимаемых строк. Как следствие, мы можем заключить, что существуют -битовые числа сложности не менее (можно взять сложную строку и приписать в начало единицу). Получается, что сложное число можно задать при помощи небольшого числа битов.

Противоречие.

Применение колмогоровской сложности: алгоритмическая случайность

Колмогоровская сложность позволяет решить следующую проблему из классической теории вероятностей.

Пусть в лаборатории живёт обезьянка, которую научили печатать на печатной машинке так, что каждую кнопку она нажимает с одинаковой вероятность. Вам предлагается посмотреть на лист печатного текста и сказать, верите ли вы, что его напечатала эта обезьянка. Вы смотрите на лист и видите, что это первая страница «Гамлета» Шекспира. Поверите ли вы? Очевидно, что нет. Хорошо, а если это не Шекспир, а, скажем, текст детектива Дарьи Донцовой? Скорей всего тоже не поверите. А если просто какой-то набор русских слов? Опять же, очень сомневаюсь, что вы поверите.

Внимание, вопрос. А как объяснить, почему вы не верите? Давайте для простоты считать, что на странице помещается 2000 знаков и всего на машинке есть 80 знаков. Вы можете резонно заметить, что вероятность того, что обезьянка случайным образом породила текст «Гамлета» порядка , что астрономически мало. Это верно.

Теперь предположим, что вам показали текст, который вас устроил (он с вашей точки зрения будет похож на «случайный»). Но ведь вероятность его появления тоже будет порядка . Как же вы определяете, что один текст выглядит «случайным», а другой — не выглядит?

Колмогоровская сложность позволяет дать формальный ответ на этот вопрос. Если у текста отстутствует короткое описание (т.е. в нём нет каких-то закономерностей, которые можно было бы использовать для сжатия), то такую строку можно назвать случайной. И как мы увидели выше почти все строки имеют большую колмогоровскую сложность. Поэтому, когда вы видите строку с закономерностями, т.е. маленькой колмогоровской сложности, то это соответствует очень редкому событию. В противоположность наблюдению строки без закономерностей. Вероятность увидеть строку без закономерностей близка к 1.

Это обобщается на случай бесконечных последовательностей. Пусть . Как определить понятие случайной последовательности?

(неформальное определение)
Последовательность случайна по Мартину–Лёфу, если каждый её префикс является несжимаемым.

Оказывается, что это очень хорошее определение случайных последовательностей, т.к. оно обладает ожидаемыми свойствами.

Свойства случайных последовательностей

• Почти все последовательности являются случайными по Мартину–Лёфу, а мера неслучайных равна .

• Всякая случайная по Мартину-Лёфу последовательность невычислима.

• Если случайная по Мартин-Лёфу, то

Заключение

Если вам интересно изучить эту тему подробнее, то я рекомендую обратиться к следующим источникам.

• Верещагин Н.К., Щепин Е.В. Информация, кодирование и предсказание. МЦНМО. (нет в свободном доступе, но pdf продаётся за копейки)

• В.А. Успенский, А.Х. Шень, Н.К. Верещагин. Колмогоровская сложность и алгоритмическая случайность.

• Курс «Введение в теорию информации» А.Е. Ромащенко в Computer Science клубе.

Если вам интересны подобные материалы, подписывайтесь в соцсетях на CS клуб и CS центр, а так же на наши каналы на youtube: CS клуб, CS центр.

Информационный объем текста складывается из информационных весов составляющих его символов.

Современный компьютер может обрабатывать числовую, текстовую, графическую, звуковую и видео информацию. Все эти виды информации в компьютере представлены в двоичном коде, т. е. используется всего два символа 0 и 1. Связано это с тем, что удобно представлять информацию в виде последовательности электрических импульсов: импульс отсутствует (0), импульс есть (1).

Такое кодирование принято называть двоичным, а сами логические последовательности нулей и единиц — машинным языком.

Какой длины должен быть двоичный код, чтобы с его помощью можно было закодировать васе символы клавиатуры компьютера?

Достаточный алфавит

В алфавит мощностью 256 символов можно поместить практически все символы, которые есть на клавиатуре. Такой алфавит называется достаточным.

Т.к. 256 = 2 8 , то вес 1 символа – 8 бит.

Единице в 8 бит присвоили свое название — байт.

1 байт = 8 бит.

Таким образом, информационный вес одного символа достаточного алфавита равен 1 байту.

Для измерения больших информационных объемов используются более крупные единицы измерения информации:

Единицы измерения количества информации:

1 килобайт = 1 Кб = 1024 байта

1 мегабайт = 1 Мб = 1024 Кб

1 гигабайт = 1 Гб = 1024 Гб

Информационный объем текста

Книга содержит 150 страниц.
На каждой странице — 40 строк.
В каждой строке 60 символов (включая пробелы).
Найти информационный объем текста.

1. Количество символов в книге:

60 * 40 * 150 = 360 000 символов.

2. Т.к. 1 символ весит 1 байт, информационный объем книги равен

3. Переведем байты в более крупные единицы:

360 000 / 1024 = 351,56 Кб

351,56 / 1024 = 0,34 Мб

Ответ: Информационный объем текста 0,34 Мб.

Задача:

Информационный объем текста, подготовленного с помощью компьютера, равен 3,5 Кб. Сколько символов содержит этот текст?

Информационный объем текста 3,5 Мб. Найти количество символов в тексте.

1. Переведем объем из Мб в байты:

3,5 Мб * 1024 = 3584 Кб

3584 Кб * 1024 = 3 670 016 байт

2. Т.к. 1 символ весит 1 байт, количество символов в тексте равно

SEO-анализ текста от Text.ru — это уникальный сервис, не имеющий аналогов. Возможность подсветки «воды», заспамленности и ключей в тексте позволяет сделать анализ текста интерактивным и легким для восприятия.

SEO-анализ текста включает в себя:

С помощью данного онлайн-сервиса можно определить число слов в тексте, а также количество символов с пробелами и без них.

Возможность нахождения поисковых ключей в тексте и определения их количества полезна как для написания нового текста, так и для оптимизации уже существующего. Расположение ключевых слов по группам и по частоте сделает навигацию по ключам удобной и быстрой. Сервис также найдет и морфологические варианты ключей, которые выделятся в тексте при нажатии на нужное ключевое слово.

Данный параметр отображает процент наличия в тексте стоп-слов, фразеологизмов, а также словесных оборотов, фраз, соединительных слов, являющихся не значимыми и не несущими смысловой нагрузки. Небольшое содержание «воды» в тексте является естественным показателем, при этом:

• до 15% — естественное содержание «воды» в тексте;
• от 15% до 30% — превышенное содержание «воды» в тексте;
• от 30% — высокое содержание «воды» в тексте.

Процент заспамленности текста отражает количество поисковых ключевых слов в тексте. Чем больше в тексте ключевых слов, тем выше его заспамленность:

• до 30% — отсутствие или естественное содержание ключевых слов в тексте;
• от 30% до 60% — SEO-оптимизированный текст. В большинстве случаев поисковые системы считают данный текст релевантным ключевым словам, которые указаны в тексте.
• от 60% — сильно оптимизированный или заспамленный ключевыми словами текст.

Данный параметр показывает количество слов, состоящих из букв различных алфавитов. Часто это буквы русского и английского языка, например, слово «стол», где «о» — буква английского алфавита. Некоторые копирайтеры заменяют в русских словах часть букв на английские, чтобы обманным путем повысить уникальность текста. SEO-анализ текста от Text.ru успешно выявляет такие слова.

SEO-анализ текста доступен через API. Подробнее в API-проверке.

К огда человек только начинает учиться копирайтингу, автор испытывает уйму сложностей даже в таких простых вещах, как определение объёма текста. Кажется: сущая мелочь, но и с ней надо уметь справиться.

Как узнать объём текста? Предлагаю вашему вниманию несколько удобных вариантов.

Редактор Word (или другая программа для работы с текстом). Когда вы набираете символы в Office, внизу страницы ведётся подсчёт слов и символов с пробелами.

• Чтобы посчитать объём текста частично, выделите нужный фрагмент мышкой и снова посмотрите на параметры внизу листа. Удобно, правда?

Чтоб увидеть всю статистику, кликните на надпись внизу, и перед глазами появится табличка, как на картинке (изображение увеличивается).

Подсчёт объёма текста в Word

TextAnalyzer. Об этом сервисе для вебмастеров я уже писала. Онлайн-инструмент выручает меня в работе над SEO-статьями. Закиньте контент в редактор, кликните на кнопку, и всего через две секунды вы сможете узнать объём текста (с пробелами и без).

Также посчитать объём текста легко в Istio.com, Content Watch, 1y.ru, text.ru или других сервисах для «сеошников», копирайтеров, журналистов.

Как видите, узнать объём текста не составляет никакого труда. В следующий раз расскажу в блоге о том, как определить объём текста с учётом ключевых слов. Этот материал будет полезен тем, кто осваивает SEO-копирайтинг. Удачи начинающим авторам!

Если к этим задачам добавить задачи на соотношение величин, записанных в разных единицах измерения, с использованием представления величин в виде степеней двойки мы получим 9 типов задач.
Рассмотрим задачи на все типы. Договоримся, что при переходе от одних единиц измерения информации к другим будем строить цепочку значений. Тогда уменьшается вероятность вычислительной ошибки.

Задача 3. Компьютер имеет оперативную память 512 Мб. Количество соответствующих этой величине бит больше:

1) 10 000 000 000бит 2) 8 000 000 000бит 3) 6 000 000 000бит 4) 4 000 000 000бит Решение: 512*1024*1024*8 бит=4294967296 бит.
Ответ: 4.

Задача 4. Определить количество битов в двух мегабайтах, используя для чисел только степени 2.
Решение: Поскольку 1байт=8битам=2³битам, а 1Мбайт=2¹⁰Кбайт=2²⁰байт=2²³бит. Отсюда, 2Мбайт=2²⁴бит.
Ответ: 2²⁴бит.

Задача 5. Сколько мегабайт информации содержит сообщение объемом 2²³бит?
Решение: Поскольку 1байт=8битам=2³битам, то
2²³бит=2²³*2²³*2³бит=2¹⁰2¹⁰байт=2¹⁰Кбайт=1Мбайт.
Ответ: 1Мбайт

Задача 6. Один символ алфавита «весит» 4 бита. Сколько символов в этом алфавите?
Решение:
Дано:

i=4	По формуле N=2i находим N=24, N=16
Найти: N — ?

Ответ: 16

Задача 7. Каждый символ алфавита записан с помощью 8 цифр двоичного кода. Сколько символов в этом алфавите?
Решение:
Дано:

i=8	По формуле N=2i находим N=28, N=256
Найти:N — ?

Ответ: 256

Задача 8. Алфавит русского языка иногда оценивают в 32 буквы. Каков информационный вес одной буквы такого сокращенного русского алфавита?
Решение:
Дано:

N=32	По формуле N=2i находим 32=2i, 25=2i,i=5
Найти: i— ?

Ответ: 5

Задача 9. Алфавит состоит из 100 символов. Какое количество информации несет один символ этого алфавита?
Решение:
Дано:

N=100	По формуле N=2i находим 32=2i, 25=2i,i=5
Найти: i— ?

Ответ: 5

Задача 10. У племени «чичевоков» в алфавите 24 буквы и 8 цифр. Знаков препинания и арифметических знаков нет. Какое минимальное количество двоичных разрядов им необходимо для кодирования всех символов? Учтите, что слова надо отделять друг от друга!
Решение:
Дано:

N=24+8=32	По формуле N=2i находим 32=2i, 25=2i,i=5
Найти: i— ?

Ответ: 5

Задача 11. Книга, набранная с помощью компьютера, содержит 150 страниц. На каждой странице — 40 строк, в каждой строке — 60 символов. Каков объем информации в книге? Ответ дайте в килобайтах и мегабайтах
Решение:
Дано:

K=360000	Определим количество символов в книге 150*40*60=360000. Один символ занимает один байт. По формуле I=K*iнаходим I=360000байт 360000:1024=351Кбайт=0,4Мбайт
Найти: I— ?

Ответ: 351Кбайт или 0,4Мбайт

Задача 12. Информационный объем текста книги, набранной на компьютере с использованием кодировки Unicode, — 128 килобайт. Определить количество символов в тексте книги.
Решение:
Дано:

I=128Кбайт,i=2байт	В кодировке Unicode один символ занимает 2 байта. Из формулыI=K*i выразимK=I/i,K=128*1024:2=65536
Найти: K— ?

Ответ: 65536

Задача 13.Информационное сообщение объемом 1,5 Кб содержит 3072 символа. Определить информационный вес одного символа использованного алфавита
Решение:
Дано:

I=1,5Кбайт,K=3072	Из формулы I=K*i выразимi=I/K,i=1,5*1024*8:3072=4
Найти: i— ?

Ответ: 4

Задача 14.Сообщение, записанное буквами из 64-символьного алфавита, содержит 20 символов. Какой объем информации оно несет?
Решение:
Дано:

N=64, K=20	По формуле N=2i находим 64=2i, 26=2i,i=6. По формуле I=K*i I=20*6=120
Найти: I— ?

Ответ: 120бит

Задача 15. Сколько символов содержит сообщение, записанное с помощью 16-символьного алфавита, если его объем составил 1/16 часть мегабайта?
Решение:
Дано:

N=16, I=1/16 Мбайт	По формуле N=2i находим 16=2i, 24=2i,i=4. Из формулы I=K*i выразим K=I/i, K=(1/16)*1024*1024*8/4=131072
Найти: K— ?

Ответ: 131072

Задача 16. Объем сообщения, содержащего 2048 символов,составил 1/512 часть мегабайта. Каков размер алфавита, с помощью которого записано сообщение?
Решение:
Дано:

K=2048,I=1/512 Мбайт	Из формулы I=K*i выразим i=I/K, i=(1/512)*1024*1024*8/2048=8. По формулеN=2iнаходим N=28=256
Найти: N— ?

Ответ: 256