Как найти сколько ребер в пирамиде

§ 14. Пирамида

14.1. Определение пирамиды и её элементов

Определение. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 95, 96).

Многоугольник называется основанием пирамиды, остальные грани — боковыми гранями пирамиды, их общая вершина — вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания, называются боковыми рёбрами пирамиды.

Пирамиду с основанием АВСDЕ и вершиной Р обозначают PABCDE.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды. Длину этого перпендикуляра также называют высотой пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник.

На рисунке 96 изображена четырёхугольная пирамида PABCD, у которой: четырёхугольник ABCD — основание пирамиды; точка Р — вершина пирамиды; отрезки РA, РВ, PC, PD — боковые рёбра пирамиды; отрезки АВ, ВС, CD, DA — стороны (рёбра) основания пирамиды; отрезок РО — высота пирамиды; треугольники РАВ, РВС, PCD, PDA — боковые грани пирамиды.

У n-угольной пирамиды имеется (n + 1) вершин, 2n рёбер и (n + 1) граней. Диагоналей пирамида не имеет. В пирамиде различают плоские углы при её вершине и двугранные углы при её рёбрах. Двугранным углом при ребре пирамиды называют содержащий пирамиду двугранный угол, образованный плоскостями граней, проходящими через данное ребро.

Треугольную пирамиду (рис. 97) называют также тетраэдром («тетраэдр» по-гречески означает «четырёхгранник»). Тетраэдр — это многогранник с наименьшим числом граней. Любая грань тетраэдра может быть принята за его основание; это отличает тетраэдр от всех остальных пирамид.

Любую пирамиду можно разбить на некоторое число тетраэдров, а любой выпуклый многогранник — на некоторое число пирамид. Для этого достаточно, например, взять любую точку внутри данного многогранника и соединить её отрезками со всеми его вершинами. Такое разбиение часто используется при нахождении объёмов многогранников.

14.2. Некоторые виды пирамид

Если все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

Доказательство. а) Пусть отрезок РО — высота пирамиды PABCDEF, все рёбра которой составляют с плоскостью основания угол ϕ (рис. 98). Тогда прямоугольные треугольники РОА, POB, POC, POD, РОЕ и POF, имея общий катет РО, равны между собой (по катету и острому углу ϕ). Из равенства этих треугольников следует: ОА = OВ = ОС = OD  = OE = OF, т. е. вершины основания пирамиды равноудалены от основания О её высоты РО. Это означает, что точка О — центр окружности, описанной около основания ABCDEF данной пирамиды.

б) Из ОА = OВ = ОС = OD = ОЕ = OF следует, что боковые рёбра РА, РВ, PC, PD, РЕ, PF пирамиды равны, как наклонные, имеющие равные проекции, т. е. РА = РВ = PC = PD  = РЕ = PF. Что и требовалось доказать. ▼

Вы самостоятельно можете доказать обратные утверждения.

1. Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около её основания, то: а) все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

2. Если все боковые рёбра пирамиды равны, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью её основания равные между собой углы.

Также имеет место следующее утверждение.

Если высота пирамиды пересекает её основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в её основание.

Доказательство. Пусть РО — высота пирамиды PABCDE, боковые грани которой образуют с плоскостью основания пирамиды двугранные углы, равные ϕ (рис. 99).

Проведём высоты РН1, РH2, РН3, PH4, РH5 боковых граней.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах получаем OH1 ⟂ AB, OH2 ⟂ BC, OH3 ⟂ CD, OH4 ⟂ DE, OH5 ⟂ EA, следовательно, ∠OH1P  = ∠ OH2P = ∠ OH3P = ∠ OH4P  = ∠ OH5P = ϕ. Поэтому △ OH1P  = △ OH2P = △ OH3P = △ OH4P  = △ OH5P (как прямоугольные с общим катетом OP и острым углом ϕ). Из равенства этих треугольников следует ОН1  = OH2 = OH3 = ОН4 = ОН5, т. е. точка О — основание высоты РО пирамиды — равноудалена от всех сторон многоугольника ABCDE. Это означает, что точка O является центром окружности, вписанной в основание ABCDE данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

Самостоятельно докажите обратное утверждение.

Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.

Перечислим ещё несколько часто встречающихся в задачах видов пирамид.

• Пирамида, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит в этой, перпендикулярной основанию, грани (рис. 100).

• Пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высотой такой пирамиды служит боковое ребро, общее для этих граней (рис. 101).

• Пирамида, две не соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней (рис. 102).

14.3. Правильная пирамида

Определение. Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр этого основания.

Из определения следует алгоритм построения изображения правильных пирамид, что, в свою очередь, доказывает существование таких пирамид.

Для построения изображения правильной пирамиды достаточно построить изображение соответствующего правильного многоугольника (основания пирамиды) и его центра. Затем из построенного центра провести перпендикуляр к плоскости многоугольника и выбрать на этом перпендикуляре (в качестве вершины пирамиды) любую точку, отличную от центра многоугольника. Соединив отрезками прямых эту точку со всеми вершинами многоугольника, получим изображение правильной пирамиды.

На рисунке 103, а, б, в построены изображения правильных пирамид: а) треугольной; б) четырёхугольной; в) шестиугольной.

Правильные пирамиды обладают замечательным свойством.

В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Доказательство. Рассмотрим правильную n-угольную пирамиду РА1А2…An. Пусть точка O — центр n-угольника A1A2A3…An; отрезок РО — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды (рис. 104).

Так как центр правильного многоугольника является центром окружности, описанной около этого многоугольника, то ОА1 = OA2 = OA3 = … = OAn (как радиусы описанной окружности). Тогда равны боковые рёбра пирамиды, как наклонные к плоскости её основания, имеющие равные проекции, т. е. PA1 = PA2 = PA3 = … = PAn.

Таким образом, имеем:

РА1 = РA2 = … = PAn (как боковые рёбра);

A1A2 = A2A3 = … = AnA1 (как стороны правильного n-угольника).

Следовательно, треугольники PA1A2, РA2A3, …, PAnA1 являются равнобедренными и по третьему признаку равенства треугольников равны между собой.

Это свойство правильной пирамиды можно доказать при помощи поворота пирамиды вокруг оси, содержащей её высоту.

Так как точка О — центр правильного n-угольника A1A2A3…An, лежащего в основании правильной пирамиды PA1A2…An, РО — перпендикуляр к плоскости её основания, то при вращении данной пирамиды вокруг оси ОР на угол, равный (где k = 1, 2, 3, …, n), происходит самосовмещение этой пирамиды: вершины основания пирамиды отображаются на его же вершины (основание совмещается с самим собой); вершина Р (как точка оси вращения) отображается на себя. Следовательно, боковые рёбра пирамиды отображаются на боковые рёбра, а боковые грани пирамиды — на её боковые грани. А так как вращение вокруг прямой — движение, то все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой, а грани являются равными равнобедренными (почему?) треугольниками. Утверждение доказано. ▼

Следствием доказанного выше является утверждение.

Все боковые рёбра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани — равные двугранные углы.

Докажите это предложение самостоятельно.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая к ребру её основания, называется апофемой пирамиды. На рисунке 104 отрезок РН — одна из апофем пирамиды.

Все апофемы правильной пирамиды равны вследствие равенства всех её боковых граней.

Имеют место признаки правильной пирамиды:

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, является правильной, если: а) все её боковые рёбра равны; б) все её боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы; в) все её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Докажите это самостоятельно.

 ЗАДАЧА (2.245). Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и образует с боковой гранью угол α. Через сторону основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противоположной грани и пересекающая её. Найти площадь сечения.

Дано: PABCD — правильная пирамида (рис. 105); РО — высота пирамиды, РО = h; ∠ OPF = α.

Найти: SADKM.

Решение. Первый способ. Пусть отрезок EF — средняя линия основания пирамиды. Тогда AD ⟂ EF, AD ⟂ PF ⇒ АD ⟂ (РEF) ⇒ (PEF) ⟂ (ADP) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Поэтому прямая PF является ортогональной проекцией прямой РO на плоскость ADP. Значит, ∠ OPF — угол между высотой PO и боковой гранью ADP пирамиды: ∠ OPF = α.

Далее имеем: AD ⟂ (PEF), ВС || AD ⇒ ВC ⟂ (PEF) ⇒ прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости PEF. Поэтому если FL ⟂ РЕ (в плоскости PEF), то BС ⟂ FL. Тогда FL ⟂ ВС, FL ⟂ PE ⇒ FL ⟂ (BCP) ⇒ (ADL) ⟂  (ВCР) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей); при этом (ADL) ∩ (ВСР) = МK, МK || AD, так как плоскости ВСР и АDL проходят через параллельные прямые ВС и AD. Значит, сечение ADKM — трапеция, у которой FL — высота (почему?), откуда

Sсеч = •FL.

Найдём AD, МK и FL.

В △ OPF (∠ POF = 90°):

OF = OP•tg α = h•tg α; PF =  =  = PE.

Поэтому

EF = 2FO = 2h•tg α = ВС.

В плоскости PEF получаем:

FL ⟂ РЕ, РО ⟂ EF ⇒ ∠ EFL = ∠ OPE = α.

Тогда в △ ЕFL: FL = ЕF•cos α = 2h•tg α•cos α = 2hsin α;

в △ PLF (∠ PLF = 90°, ∠ PFL = 90° – 2α):

PL = PF•sin (90° – 2α) = PF•cos 2α = .

Так как MK | | BC, то △ МKР ∾ △ ВСР, откуда

Таким образом,

AD = EF = 2h•tg α, FL = 2h•sin α, MK = 2h•tg α•cos 2α.

Тогда

Замечание. Отрезок MK можно найти следующим образом. Сечением данной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую MK параллельно основанию пирамиды, является квадрат MKD1A1 (см. рис. 105). F1 = A1D1 ∩ PF. У этого квадрата LF1 = MK. Найдём F1L.

В треугольнике LFF1 имеем ∠ FLF1 = α (LF1 || EF),

∠ F1FL = ∠ OFP – ∠ OFL = (90° – α) – α = 90° – 2α;

∠ FF1L = 180° – ∠ OFF1 = 90° + α. Тогда по теореме синусов

Значит, MK = LF1 = 2h•tg α•cos 2α.

Второй способ.  Пусть точки M1, K1, L1 — ортогональные проекции на плоскость основания соответственно точек М, K, L (рис. 105, 106). Так как плоскости АСР, BDP и EFP перпендикулярны плоскости основания пирамиды, то ортогональными проекциями прямых PC, РВ и РЕ на эту плоскость являются соответственно прямые АС, BD и EF. Следовательно, M1 ∈ BD, K1 ∈ AC, L1 ∈ EF, причём четырёхугольник ADK1M1 — равнобедренная трапеция.

Таким образом, трапеция ADK1M1 — ортогональная проекция сечения ADKM. Это означает, что SADKM = . Найдём . Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и M1K1 || AD, то OL1 = L1K1, OF = FD. Значит,

 = •L1F = •FL1 = .

Тогда

SADKM =  =  = 4h2•sin2 α•cos α.

Ответ: 4h2•sin2 α•cos α.

14.4.Площади боковой и полной поверхностей пирамиды

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. В этой связи различают боковую и полную поверхности пирамиды, а также их площади.

Площадью боковой поверхности пирамиды (обозначают Sбок) называется сумма площадей всех её боковых граней: Sбок = S1 + S2 + … + Sn, где S1, S2, …, Sn — площади боковых граней пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды (обозначают Sполн) называется сумма площадей всех её граней, т. е. сумма площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности.

Из определения следует: Sполн = Sбок + Sосн.

О площади боковой поверхности правильной пирамиды имеет место следующая теорема.

Теорема 18. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Доказательство. PA1A2…An — правильная пирамида, a — длина её апофемы (рис. 107).

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, у которых основаниями являются стороны правильного n-угольника A1A2…An, а высоты равны апофеме пирамиды, т. е.

РE1 = РE2 = PE3 = … = PEn = a.

Тогда

где Р — периметр основания пирамиды. Теорема доказана. ▼

Теорема 19. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ϕ и высота пересекает основание, то Sбок = .

Доказательство. Пусть отрезок PO — высота пирамиды РA1A2A3…An, все боковые грани которой образуют с плоскостью основания углы, равные ϕ (рис. 108); отрезки PH1, PH2, …, PHn — высоты боковых граней. Тогда (по теореме о трёх перпендикулярах) OH1 ⟂ A1A2, OH2 ⟂ A2A3, …, OHn ⟂ AnA1. Значит,

Так как точка О является центром круга, вписанного в основание пирамиды (почему?), то эта точка лежит внутри n-угольника A1A2A3…An. Поэтому n-угольник A1A2…An является объединением непересекающихся треугольников A1OA2, A2OA3, …, AnOA1. Эти треугольники являются ортогональными проекциями на плоскость основания пирамиды её соответствующих боковых граней. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника имеем:

Сложив почленно эти равенства, получим Sосн = Sбок•cos ϕ, откуда Sбок = . Теорема доказана. ▼

Так как все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы (пусть величина этих углов равна ϕ, см. рис. 107), то для площади боковой поверхности и площади основания правильной пирамиды также справедлива формула

Sбок = .

14.5. Свойства параллельных сечений пирамиды

Если плоскость α параллельна основанию пирамиды и пересекает её, то в сечении пирамиды получается некоторый многоугольник (рис. 109).

Теорема 20. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательство. 1) Пусть сечением пирамиды PABCD плоскостью α, параллельной плоскости β её основания, является четырёхугольник A1B1C1D1 (см. рис. 109).

Проведём высоту РО данной пирамиды и обозначим O1 = РО ∩ α.

Рассмотрим гомотетию с центром Р, при которой плоскость основания данной пирамиды отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия отображает основание ABCD пирамиды на её параллельное сечение — многоугольник А1В1С1D1, при этом вершины А, В, С, D основания пирамиды — на вершины соответственно A1, B1, C1, D1, а точку O — на точку O1 (почему?).

Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

 =  =  =  =  = k, (*)

где k — коэффициент гомотетии . Это означает, что параллельное сечение пирамиды делит её рёбра и высоту на пропорциональные части. А поскольку гомотетия является подобием, то многоугольник A1B1C1D1, являющийся параллельным сечением пирамиды, подобен её основанию ABCD.

Вследствие того, что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии, а k = РO1 : РО, где РO1 и РО — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

SA1B1C1D1 : SABCD = k2 = : PO2.

Теорема доказана. ▼

Следствие. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая её, отсекает пирамиду, подобную данной.

14.6. Усечённая пирамида

Плоскость α, параллельная основанию пирамиды PABCD и пересекающая её, делит эту пирамиду на два многогранника: пирамиду РA1B1C1D1 и многогранник ABCDA1B1C1D1 (см. рис. 109).

Многогранник ABCDA1B1C1D1 (рис. 110) называют усечённой пирамидой. Грани ABCD и A1B1C1D1, лежащие в параллельных плоскостях, называются соответственно нижним и верхним основаниями усечённой пирамиды, остальные грани — её боковыми гранями. Так как нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды гомотетичны (т. 20), то все её боковые грани — трапеции.

Таким образом, усечённой пирамидой называется часть полной пирамиды, заключённая между её основанием и параллельным ему сечением.

У n-угольной усечённой пирамиды 2n вершин, 3n рёбер, (n + 2) грани и n(n – 3) диагоналей.

Высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой усечённой пирамиды. На рисунке 110 отрезки О1О, B1K — высоты усечённой пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена из правильной пирамиды (рис. 111).

Из теоремы 20 следует, что основания правильной усечённой пирамиды — подобные правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций, соединяющие середины их оснований, называются апофемами усечённой пирамиды. Все её апофемы равны между собой.

Отрезок OO1, соединяющий центры оснований правильной усечённой пирамиды, является её высотой.

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей всех её боковых граней.

Для правильной усечённой пирамиды имеет место

Теорема 21. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему.

Для доказательства теоремы достаточно площадь одной из боковых граней пирамиды умножить на их число. В результате получим формулу Sбок = •h, где Р1, P2 — периметры нижнего и верхнего оснований усечённой пирамиды, h — её апофема.

Проведите доказательство теоремы самостоятельно.

Полная поверхность усечённой пирамиды — это объединение её оснований и боковой поверхности, поэтому для усечённой пирамиды

Sполн = Sбок + S1 + S2,

где S1 и S2 — площади большего и меньшего оснований этой пирамиды.

Для усечённой пирамиды, у которой все двугранные углы при рёбрах большего основания равны ϕ, справедливо: Sбок = . (Для вывода этой формулы достаточно учесть следующий факт: если R и r — радиусы окружностей, вписанных соответственно в большее и меньшее основания данной пирамиды, то S1 = 0,5•P1•R, S2 = 0,5•P2•r, cos ϕ = , где h — высота боковой грани этой пирамиды.)

14.7. Объём пирамиды

Лемма. Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство. Пусть пирамиды РАВС и P1A1B1C1 имеют высоты, равные H, и равновеликие основания с площадью S; их объёмы — соответственно V1 и V2. Докажем, что V1 = V2.

Расположим пирамиды РАВС и P1A1B1C1 так, чтобы их основания лежали в одной плоскости, а сами пирамиды были расположены по одну сторону от этой плоскости (рис. 112). Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований и пересекающая первую пирамиду, пересекает и вторую, причём по теореме о параллельных сечениях пирамиды площади этих сечений равны. Следовательно, на основании принципа Кавальери равны и объёмы этих пирамид. Лемма доказана. ▼

Теорема 22. Объём любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство. Пусть А1AВC — данная треугольная пирамида с вершиной A1 и основанием ABC (рис. 113). Дополним эту пирамиду до треугольной призмы ABCA1B1C1 с тем же основанием, одним из боковых рёбер которой является боковое ребро АA1 данной пирамиды. Это означает, что высота призмы равна высоте данной пирамиды.

Призма АВCA1B1C1 является объединением трёх треугольных пирамид с общей вершиной A1: A1ABC, A1BB1C1 и A1BCC1. Основания BB1C1 и BCC1 пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 равны, а высота у них общая. Значит, по лемме эти пирамиды имеют равные объёмы.

Будем считать точку В вершиной пирамиды A1BB1C1, a △ A1B1C1 — её основанием. Тогда эта пирамида равновелика пирамиде А1AВС, так как у них общая высота, а основания АВС и A1B1C1 равновелики (как основания призмы). Таким образом, призма ABCA1B1C1 является объединением трёх равновеликих пирамид, одной из которых является данная пирамида A1ABC. Это означает, что объём V пирамиды A1АВС составляет одну треть объёма призмы ABCA1B1C1, т. е. V =  Socн•Н, где Н — длина высоты призмы. Но построенная призма и данная пирамида имеют общую высоту, длина которой равна Н, следовательно, объём треугольной пирамиды вычисляется по формуле

V =  Sосн•H,

где Н — длина высоты данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

На рисунке 114 изображены треугольная призма ABCDEF и составляющие её три равновеликие треугольные пирамиды ABDF, ABCF и BDEF.

Для вычисления объёма n-угольной пирамиды PA1A2…An (рис. 115) разобьём её основание A1A2…An диагоналями A1A3, A1A4, …, A1An – 1 на треугольники с общей вершиной A1. Тогда данная пирамида разбивается в объединение пирамид PA1A2A3, PA1A3A4, …, PA1An – 1An с общей вершиной Р и общей высотой, которая равна высоте данной пирамиды. Основаниями этих пирамид являются треугольники разбиения основания данной пирамиды. Это означает (свойство 2 объёмов), что объём V пирамиды PA1A2…An равен сумме объёмов V1, V2, …, Vn – 2 треугольных пирамид соответственно PA1A2A3, PA1A3A4, …, PA1An – 1An.

Пусть длина высоты пирамиды равна Н, площадь её основания — S, а площади треугольников разбиения этого основания равны S1, S2, …, Sn – 2. Это означает, что S1 + S2 + … + Sn – 2 = S. Тогда получаем:

V = V1 + V2 + … + Vn – 2 =  H(S1 + S2 + … + Sn – 2) =  S•H.

Таким образом, объём любой пирамиды вычисляется по формуле

V = Sосн•H,

где Sосн — площадь основания, Н — длина высоты пирамиды.

Итак, доказана теорема.

Теорема 23. Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. ▼

14.8. Об объёме тетраэдра

У тетраэдра за основание можно принять любую его грань, на каждую из которых можно провести высоту тетраэдра из вершины, противоположной этой грани. Поэтому для объёма V одного и того же тетраэдра имеют место соотношения

V =  S1•h1 =  S2•h2 =  S3•h3 =  S4•h4,

где Sk и hk (k = 1, 2, 3, 4) — площадь грани и длина опущенной на неё высоты. Эти соотношения часто используют при решении задач.

Заметим, что не в любом тетраэдре все четыре высоты пересекаются в одной точке (для сравнения — все три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке). Тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим.

Интересен также тетраэдр (рис. 116, а), все грани которого равны. Такой тетраэдр называется равногранным. Его развёрткой является остроугольный треугольник (рис. 116, б).

Докажите самостоятельно, что в равногранном тетраэдре:

—скрещивающиеся рёбра попарно равны;

—все высоты равны;

—сумма плоских углов трёхгранного угла при каждой вершине тетраэдра равна 180°;

—двугранные углы при скрещивающихся рёбрах тетраэдра равны.

Не менее интересен следующий факт. Пусть дан тетраэдр A1C1BD. Проведём через каждое его ребро плоскость, параллельную скрещивающемуся с ним ребру. Проведённые шесть плоскостей при пересечении образуют некоторый параллелепипед АВСDA1В1C1D1 (рис. 117), параллельные грани ABCD и A1B1C1D1 которого содержат скрещивающиеся рёбра А1C1 и BD данного тетраэдра. Тогда расстояние между основаниями АВСD и А1В1С1D1 полученного параллелепипеда равно длине его высоты и равно расстоянию между скрещивающимися рёбрами А1C1 и BD данного тетраэдра.

Этот параллелепипед можно разбить на пять тетраэдров — данный тетраэдр A1С1ВD и ещё четыре тетраэдра: A1ABD; ВВ1A1C1; C1CBD; DD1A1C1. Объём каждого из четырёх последних тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания ABCD, т. е. шестой части объёма V полученного параллелепипеда.

Таким образом,

где ϕ — угол между диагоналями АС и BD параллелограмма ABCD. А так как AC || A1C1, то величина угла между скрещивающимися диагоналями A1С1 и BD тетраэдра А1С1BD также равна ϕ.

Мы получили: объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся рёбер, расстояния между ними и синуса угла между скрещивающимися прямыми, содержащими эти рёбра.

Отметим ещё несколько очевидных и менее очевидных свойств тетраэдров, связанных с их объёмами.

1. Объёмы тетраэдров с равными основаниями относятся как их высоты, опущенные на эти основания.

2. Объёмы тетраэдров с равными высотами относятся как площади их оснований.

3. Объёмы тетраэдров, имеющих равные трёхгранные углы, относятся, как произведения длин рёбер, образующих эти углы.

Используя рисунок 118, вы сможете легко доказать третье утверждение.

14.9. Объём усечённой пирамиды

Теорема 24. Объём усечённой пирамиды, у которой площади оснований равны S1 и S2, а высота — Н, вычисляется по формуле

V = H(S1 +  + S2).

Доказательство. Пусть дана усечённая пирамида (рис. 119), у которой S1 > S2, а высота OO1 = H. Дополним эту пирамиду до полной пирамиды с вершиной Р. Объём V данной усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и дополнительной пирамид.

Если длина высоты PO1 дополнительной пирамиды равна x, то высота PO полной пирамиды равна H + x.

Выразим х через S1, S2 и Н. По теореме 20 (o площадях параллельных сечений пирамиды) имеем

S1 : S2 = (H + x)2 : x2 ⇒ :  = (H + x) : x ⇒

⇒

x = .

Поэтому для объёма V усечённой пирамиды находим

что и требовалось доказать. ▼

План урока:

Понятие пирамиды

Правильная пирамида

Усеченная пирамида

Типичные задачи на пирамиды

Понятие пирамиды

Построим на некоторой плос-ти α произвольный многоугольник А₁А₂…А_n. Далее отметим в пространстве точку Р, не принадлежащую плос-ти α. Соединив точку Р с вершинами многоуг-ка получим многогранник, который именуется пирамидой (в различной литературе может использоваться сокращение пирам-а).

Та единственная точка Р, не находящаяся в одной плос-ти со всеми остальными вершинами, именуется вершиной пирам-ы. Многоугольник, образованный остальными вершинами – это основание пирамиды.

Основанием пирам-ы может быть многоугольник с любым количеством сторон. Если в основании лежит, например, пятиугольник, то и пирам-у называют пятиугольной. Если же в основании находится десятиугольник, то это будет уже десятиугольная пирам-а. В общем случае пирам-у, у которой в основании располагается n-угольник, именуется n-угольной. Ясно, что треугольная пирам-а и тетраэдр – это по сути одна и та же фигура.

Все грани пирам-ы, за исключением ее основания, именуются боковыми гранями. Понятно, что каждая боковая грань – это треугольник. Ребра пирамиды, выходящие из ее вершины, именуются боковыми ребрами пирамиды.

Посчитаем количество ребер, вершин и граней пирам-ы. Если она n-угольная, то у неё (n + 1) вершин (n точек в основании и ещё одна точка, не лежащая в основании). Также у нее (n + 1) граней, из них одна – это основание, а остальные n – боковые грани пирамиды (по одной на каждую сторону n-угольника). Наконец, у пирам-ы n ребер находятся в плос-ти основания, а ещё n ребер являются боковыми. Итого имеем 2n ребер. Теперь можно убедиться, что теорема Эйлера для пирам-ы выполняется:

Из вершины пирам-ы можно опустить перпендикуляр на плос-ть основания. Он будет именоваться высотой пирамиды.

Как и в случае с призмой, можно подсчитать площадь боковой поверхности призмы, которую обозначают как S_бок. Если же к ней ещё добавить и площадь основания (S_осн), то в сумме получится уже площадь полной поверхности призмы (S_полн). Эту связь между величинами можно представить в виде формулы:

Правильная пирамида

Особый интерес и в геометрии, и в реальной жизни представляют так называемые правильные пирамиды. Их отличают две особенности:

1) в их основании находится правильный многоугольник;

2) высота пирам-ы падает на основание в точке, являющейся центром этого правильного многоуг-ка.

Напомним, что центром правильного многоуг-ка считается центр описанной около него окружности, который одновременно является и центром вписанной окружности.

Действительно, опустим из вершины Р правильной пирам-ы высоту РО. Тогда О будет центром описанной окружности:

Примечание. На рисунках, показывающих объемные фигуры, окружности искажают свою форму и выглядят как эллипсы, то есть овалы.

Построим из О радиусы ОА₁, ОА₂, ОА₃,… Они все будут одинаковы, ведь это радиусы одной и той же окружности. Также заметим, что высота правильной пирамиды РО будет перпендикулярна каждому из этих радиусов, ведь она перпендикулярна и всей плос-ти. Это значит, что ∆РОА₁, ∆РОА₂, ∆РОА₃… – прямоугольные. При этом у них есть общий катет РО, а катеты ОА₁, ОА₂, ОА₃… одинаковы. Значит, эти треугольники равны. Отсюда и вытекает, что их гипотенузы, то есть боковые ребра РА₁, РА₂, РА₃…, также одинаковы, ч. т. д.

Заметим, что можно доказать и почти противоположное утверждение – если у пирам-ы боковые ребра одинаковы, а в основании находится правильный многоуг-к, то она является правильной. Для доказательства предположим, что ребра РА₁, РА₂, РА₂… одинаковы. Опустим из Р высоту, которая упадет в некоторую точку О. Теперь соединим эту точку с вершинами А₁, А₂, А₃… Получатся прямоугольные ∆РОА₁, ∆РОА₂, ∆РОА₃… У них есть общий катет (высота РО) и одинаковые гипотенузы. Значит, эти треугольники равны, и потому одинаковы отрезки ОА₁, ОА₂, ОА₃… Это значит, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка, и если из нее провести окружность радиусом ОА₁, то она также пройдет через остальные вершины многоуг-ка. То есть эта окружность окажется описанной. Это и означает, что точка О – центр многоуг-ка, и тогда вся пирам-а оказывается по определению правильной.

Из равенства боковых ребер напрямую вытекает и тот факт, что все боковые грани правильной пирам-ы – одинаковые равнобедренные треугольники. Высоты, проведенные в этих равнобедренных треугольниках к основанию правильной пирамиды, именуются апофемами.

Ещё раз уточним, что понятие апофемы применимо только к правильной пирам-е. У других пирамид тоже можно на боковых гранях провести высоты к основанию, но они просто не будут называться апофемами пирамиды.

Ясно, что раз в правильной пирам-е все боковые грани – равные друг другу равнобедренные треуг-ки, то и их высоты, то есть апофемы, одинаковы. Также можно утверждать, что каждая апофема делит ребра, на которое она падает, пополам, ведь высоты в равнобедренном треуг-ке – это ещё и медианы.

Апофема используется для вычисления площади боковой поверхности пирам-ы, так как существует такая теорема:

Докажем ее. Пусть у правильной n-угольной пирам-ы в основании находится многоуг-к со стороной а. Тогда его периметр Р вычисляется так:

Каждая боковая грань пирам-ы – это треугольник. Проведем на них апофемы, которые одновременно окажутся и высотами для этих треугольников. Если мы обозначим длину апофемы как d, то площадь каждой грани можно рассчитать по простейшей формуле площади треугольника:

Усечённая пирамида

Возьмем произвольную пирам-у, а далее секущую плоскость, которая будет параллельна основанию, причем она будет пересекать ребра РА₁, РА₂, РА₃… в точках В₁, В₂, В₃… соответственно. В результате, отбросив «верхушку» пирам-ы, мы получим новую фигуру, которая именуется усеченной пирамидой.

У усеченной пирам-ы уже не одна, а две грани считаются основаниями, и они параллельны друг другу. Большее из них именуют нижним основанием, а меньшее – верхним основанием.

Докажем, что боковые грани любой усеченной пирам-ы – это трапеции. Действительно, обозначим плос-ть верхнего основания как α, нижнее основание как β, а произвольную грань как γ:

Нам надо доказать, что А₁А₂В₂В₁ – это трапеция. Действительно, прямые А₁А₂ и В₁В₂ не могут скрещиваться, ведь они располагаются в единой плос-ти γ. Не могут они и пересекаться, ведь тогда точка их пересечения была бы общей для плос-тей α и β, а эти плос-ти параллельны. Остается один вариант: А₁А₂||В₁B₂. Две другие стороны грани, А₁В₁ и А₂В₂, будут пересекаться в точке Р, вершине исходной пирам-ы. Тогда по определению две четырехугольник А₁А₂В₂В₁ будет трапецией, ведь у него две стороны параллельны, а две другие – нет.

Отдельно отметим, что усеченная пирам-а, полученная из правильной пирам-ы, также называется правильной, а высоты ее боковых граней также именуются апофемами. Докажем одну теорему:

Действительно, пусть из правильной пирам-ы с вершиной в Р получена правильная усеченная пирамида с основаниями А₁А₂А₃…A_n и В₁В₂В₃…B_n:

Так как исходная пирам-а – правильная, то ее грани – равные равнобедренные треугольники, у которых одинаковы углы при основаниях:

Мы уже знаем, что грани А₁А₂В₂В₁ и А₂А₃В₃В₂ – трапеции. Раз у них одинаковы углы при основании, то можно утверждать, что эти трапеции – равнобедренные. Это значит, что любые два боковых ребра, находящиеся на одной грани, одинаковы. Значит, одинаковы вообще все боковые ребра. Получается, что все боковые грани – это равнобедренные трапеции с одинаковыми основаниями, боковыми сторонами и углами при основании. Этого достаточно для того, чтобы считать эти трапеции равными, ч. т. д.

Из этой теоремы вытекает тот факт, что стороны многоуг-ка, образующего верхнее основание, одинаковы. Более того, углы этого многоуг-ка равны таким же углам в нижнем основании. Например, ∠А₁А₂А₃ = ∠В₁В₂В₃. Действительно, мы знаем, что А₁А₂||В₁В₂ и А₂А₃||B₂B₃, и потому стороны углов ∠А₁А₂А₃ = ∠В₁В₂В₃ оказываются сонаправленными лучами.

Так как в нижнем многоуг-ке А₁А₂А₃…A_n все углы одинаковы (ведь он правильный), то и в верхнем многоуг-ке В₁В₂В₃…B_n также будут одинаковы углы. В итоге можно утверждать, что верхнее основание усеченной пирамиды является правильным многоуг-ком, также как и нижнее.

Отметим ещё один факт. При построении секущей плос-ти пирам-а делится на две части. Нижняя из них – это усеченная пирам-а, а верхняя – это обычная пирам-а, меньшая исходной. Докажем, что если исходная пирам-а РА₁А₂А₃…Р_n была правильной, то оставшаяся после отсечения «верхушка» также будет правильной пирам-ой. Мы уже выяснили, что ее основание В₁В₂В₃…В_n– правильный многоуг-к. Отрезки РА₁, РА₂, РА₃… одинаковы как боковые ребра исходной правильной пирам-ы. В свою очередь отрезки А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃ одинаковы как боковые ребра правильной усеченной пирам-ы. Но отсюда получается, что одинаковы также и отрезки РВ₁, РВ₂, РВ₃… Значит, в пирам-е РВ₁В₂В₃…В_n в основании лежит правильный многоуг-к, а ее боковые ребра одинаковы. Из этого вытекает, что эта пирам-а – правильная.

Ещё одна теорема позволяет вычислять площадь боковой поверхности правильной усеченной пирам-ы:

Действительно, каждая грань такой пирам-ы – это трапеция. Обозначим длину ее верхнего основания буквой а, а нижнего – буквой b.Тогда, если основания пирам-ы – это многоуг-ки с n сторонами, периметр этих оснований будет вычисляться так:

Теперь проведем на каждой боковой грани апофему, чья длина будет обозначаться как d. Тогда, используя формулы площади трапеции, сможем вычислить площадь грани:

Типичные задачи на пирамиды

Рассмотрим несколько задач, в которых фигурируют пирам-ы. Перед просмотром решения попытайтесь решить их самостоятельно.

Задание. Существует ли пирамида, у которой ровно 999 ребер?

Решение. Если в основании пирам-ы находится n-угольник, то у нее 2n ребер. Так как n– целое число, то 2n будет уже четным числом. То есть количество ребер у любой пирам-ы всегда четно. Поэтому не существует пирам-ы с 999 ребрами, ведь 999 – нечетное число.

Задание. Верно ли, что всякий правильный тетраэдр одновременно является и правильной пирам-ой? И наоборот, является ли каждая правильная треугольная пирам-а правильным тетраэдром?

Решение. Напомним, что правильный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все ребра одинаковы. Если одну из вершин тетраэдра принять за вершину пирам-ы, то получится, что в ее основании равносторонний треугольник, который, как мы знаем, является правильным многоуг-ком. Также окажется, что все боковые ребра пирам-ы также одинаковы. Это значит, что она – правильная.

Теперь посмотрим на произвольную правильную треугольную пирам-у. Будет ли она обязательно правильным тетраэдром? Нет, ведь ее боковые ребра могут отличаться по длине от ребер, находящихся в основании. Например, в основании может находиться равносторонний треуг-к со стороной 5 см, а боковое ребро правильной пирамиды может иметь длину 10 см. Таким образом, можно считать правильный тетраэдр лишь частным случаем правильной пирам-ы.

Задание. В основании пирам-ы находится ромб со стороной 5 см.Одна из его диагоналей имеет длину 8 см. Высота пирам-ы имеет длину 7 см и проходит через точку, в которой пересекаются диагонали ромба. Вычислите длину боковых ребер.

Решение.

Обозначим ромб в основании как АВСD, а вершину пирам-ы буквой Р. Пусть диагонали пересекаются в точке О, тогда РО – высота. Также пусть диагональ АС равна 8 см. По свойству ромба О будет серединой диагоналей, поэтому

Отрезок OD будет иметь ту же длину 3 см, ведь О – середина BD.

Так как высота РО перпендикулярна всем прямым в плос-ти основания, то ∆АОР, ∆ВОР, ∆СОР, ∆DOP – прямоугольные, и боковые ребра пирам-ы будут гипотенузами этих треугольников. Вычислим АР по теореме Пифагора:

Задание. В основании пирам-ы лежит квадрат, а одно из ее боковых ребер перпендикулярно основанию. Одна из боковых граней образует с плос-тью основания угол в 45°. Длина длиннейшего ребра пирам-ы составляет 12 см. Определите высоту пирам-ы и площадь ее боковой поверхности.

Решение.

Обозначим квадрат, находящийся в основании, как АВСD, а вершину пирам-ы как Р. Пусть ребро PD перпендикулярно основанию. Тогда PD⊥AD и PD⊥CD. Ясно, что PD как раз и является искомой нами высотой пирам-ы.

Теперь надо понять, какие углы в пирам-е составляют 45° и какое ребро равно 12 см. Грани ADP и СDP проходят через перпендикуляр PDк основанию, а потому они перпендикулярны основанию. Значит, угол в 45° с основанием образует либо грань АВР, либо грань СВР.

Заметим, что АВ⊥AD (это смежные стороны квадрата), а AD – это проекция ребра АР на основание. Тогда по теореме о трех перпендикулярах АВ⊥АР. Аналогично из того факта, что ВС⊥СD, вытекает, что ВС⊥СР. Также заметим, что ∆ADP и ∆СDP прямоугольные, имеют общий катет PD и одинаковые катеты AD и CD (это стороны квадрата). Значит, это равные треугольники, и

∠PAD = ∠PCD

Грань АВР пересекается c основанием по прямой АВ, причем AD⊥АВ и АР⊥АВ. Значит, ∠РАD – это угол между гранью АВР и основанием. Аналогично и ∠РСD является углом между гранью СВР и основанием. Но эти углы одинаковы. Значит, каждый из этих углов будет равен 45°, иначе в пирам-е не останется угла между плос-тями, который мог бы составлять 45°.

Ясно, что ребро АР длиннее ребра РD, ведь в прямоугольном ∆ADP АР – это гипотенуза, а РD катет (гипотенуза всегда длиннее катета). Теперь заметим, что ∆РАВ и ∆РСВ – также прямоугольные, ведь АВ⊥АР и ВС⊥СР. Но в них гипотенузой является уже РВ, то есть РВ длиннее АВ, ВС, АР и РС. Так как отрезки AD и AC равны АВ как стороны квадрата, получаем, что именно ребро РВ – длиннейшее в пирам-е, то есть его длина составляет 12 см.

В прямоугольном ∆ADP∠PAD = 45°. Это значит, что ∆ADP является прямоугольным и равнобедренным, то есть AD = PD. Обозначим искомую нами длину РD как x. Теперь проведем диагональ BD:

Её длину можно вычислить из ∆ADB:

Итак, высоту нашли, теперь нужно рассчитать боковую площадь. Но для этого предварительно найдем АР из ∆АРD:

Такую же длину имеет и РС, ведь ∆АРD и ∆СРD равны.

Мы уже выяснили, что каждая боковая грань – прямоугольный треугольник. Зная длины катетов, легко найдем площадь каждой грани:

Задание. В правильной шестиугольной пирам-е ребро при основании равно 3 см. Высота этой пирам-ы составляет 4 см. Вычислите длину апофемы этой пирам-ы, а также угол, который ее боковые грани образуют с основанием.

Решение.

Основание пирам-ы обозначим как АВСDEF, а вершину как Р. Пусть РО – высота, тогда О – центр описанной окружности. Напомним, что у правильного шестиугольника радиус описанной окружности совпадает с длиной его стороны, то есть

Теперь надо найти угол между гранью АВР и основанием. Они пересекаются по прямой АВ. РН⊥АВ, ведь РН – апофема. ОН – это проекция РН на основание. Так как АВ⊥РН, то по обратной теореме о трех перпендикулярах и ОН⊥АВ. Значит, ∠ОНР и является искомым углом между гранью АВР и основанием. Для его вычисления применим тригонометрию к ∆ОНР:

Задание. В правильной шестиугольной пирам-е все ребра имеют длину, равную единице. Найдите угол между прямыми АР и BD:

Решение. Для нахождения угла между АР и BD, у которых нет общей точки, можно вычислить угол между прямыми, которые будут им параллельны. Легко заметить, что АЕ||BD. Докажем это, рассмотрев основание пирам-ы:

Каждый угол правильного шестиугольника составляет 120°. В частности, это относится к ∠F и ∠С. ∆АFЕ – равнобедренный, ведь его стороны FE и AF одинаковы. Тогда и углы при основании будут одинаковыми. Найдем их:

Аналогично можно определить, что все углы четырехугольника АВDE прямые, то он представляет собой прямоугольник. Его противоположные стороны параллельны, в частности, АЕ||BD. Это означает, что искомый нами угол – это ∠РАЕ:

Для его вычисления необходимо вычислить длины сторон ∆РАЕ. Ребра РА и РЕ по условию равны единице. Длину ЕА найдем из ∆FAE, применив теорему косинусов:

Задание. В правильной шестиугольной пирам-е боковые ребра имеют длину 2, а ребра в основании равны 1. Вычислите угол между плос-тями РFA и PDE:

Решение. Сначала надо найти прямую, по которой эти две грани пересекаются. Мы видим одну их общую точку – Р. Продолжим ребра FA и ED до тех пор, пока они не пересекутся в некоторой точке К. Эта точка K также будет общей для плос-тей, проходящих через грани PFA и РЕD. Значит, они пересекаются по прямой РК:

Найдем углы в ∆КЕF, помня при этом, что все в шестиугольнике АВСDEF составляют по 120°:

Получили, что все углы в ∆КЕF составляют по 60°, то есть он равносторонний, и поэтому стороны KE и KF одинаковы. Но также одинаковы и грани FA и DE. Отсюда получаем и равенство отрезков АК и DK:

Теперь сравним ∆АРК и ∆KPD. КР – их общая сторона, АР = РD как боковые ребра правильной пирам-ы, и АК = DK. Получается, что эти треугольники равны.

Далее в ∆АРК опустим высоту АН. Из равенства ∆АРК и ∆KPD вытекает, что и HD будет высотой в ∆PHD, ведь в равных треугольниках высоты должны делить равные стороны в одном и том же отношении. Тогда по определению двугранного угла ∠AHD и будет искомым углом между гранями, ведь KP – линия их пересечения, АН⊥KP и DH⊥KP.

∆AKP – равнобедренный, ведь отрезки АК и АР оказались одинаковыми. Значит, АН не только высота, но и медиана. Поэтому

Отрезок AD окажется диаметром окружности, описанной около шестиугольника. Мы знаем, что радиус такой окружности равен длине стороны шестиугольника, то есть единице. Тогда диаметр будет вдвое больше:

Сегодня мы познакомились с ещё одним видом многогранника –пирамидой. Они нередко встречаются в задачах ЕГЭ, посвященных стереометрии. Особо часто используются правильные пирамиды, поэтому важно помнить их основные свойства.