Вот как выглядят выпуклые и невыпуклые многоугольники:
Говоря простым языком, отличие выпуклых многоугольников в том, что:
Если провести отрезок через любые две точки выпуклого многоугольника, то она обязательно окажется в его «пределах» (будет стороной или диагональю).
А в невыпуклом многоугольнике подобный отрезок может оказаться снаружи, вне плоскости многоугольника.
_
Таким образом, зная определение выпуклого многоугольника, нетрудно догадаться, что углы 90 градусов бывают в четырёхугольниках (прямоугольник, квадрат), а углы 60 градусов — в треугольнике, причём равностороннем.
Это можно также посчитать исходя из формулы:
αn = 180°(n-2).
здесь α — величина угла, а n — число сторон.
αn = 180n — 360,
360 = 180n — αn,
360 = n(180 — α),
n = 360 / (180 — α).
Подставив вместо α градусы, которые даны в условии, получим:
1) угол 90: 360 / (180 — 90) = 360 / 90 = 4.
2) угол 60: 360 / (180 — 60) = 360 / 120 = 3.
3) угол 108: 360 / (180 — 108) = 360 / 72 = 5. (пятиугольник)
4) угол 120: 360 / (180 — 120) = 360 / 60 = 6 (шестиугольник)
Содержание материала
- Виды многоугольников
- Видео
- Многоугольник подробнее
- Диагональ многоугольника. Количество диагоналей
- Виды ломаной
- Определение
- Замечание
- Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника
- Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника
- Сумма углов многоугольника. Доказательство
- Сумма внешних углов выпуклого многоугольника
Виды многоугольников
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с ( small n ) вершинами называется ( small n- )угольником.
На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.
Видео
Многоугольник подробнее
Многоугольник – это замкнутая линия, которая образовывается, если взять ( displaystyle n) каких-либо точек ( displaystyle {{A}_{1}},text{ }{{A}_{2}},text{ }…,~{{A}_{n}}) и соединить их последовательно отрезками.
- Точки ( displaystyle {{A}_{1}},~{{A}_{2}},text{ }…,~{{A}_{n}}) — вершины многоугольника.
- Отрезки ( displaystyle {{A}_{1}}{{A}_{2}},~ {{A}_{2}}{{A}_{3}},text{ }…,text{ }{{A}_{n}}{{A}_{1}}) – стороны многоугольника.
При этом смежные стороны (имеющие общую вершину) не должны лежать на одной прямой, а несмежные стороны не должны иметь общих точек (то есть не должны пересекаться).
Многоугольник с ( displaystyle n) сторонами называют ( displaystyle n)-угольником.
Диагональ многоугольника. Количество диагоналей
Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.
Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан ( small n )-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим ( small n-1 ) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из ( small n-1 ) вычтем 2. Получим ( small n-3 ). Всего ( small n ) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет ( small n(n-3). ) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей ( small n- )мерного многоугольника:
.
Виды ломаной
-
Ломаная называется замкнутой, если начало первого отрезка совпадает с концом последнего.
-
Ломаная может пересекать сама себя, коснуться сама себя, налегать на себя. Если таких особенностей нет, то такая ломаная называется простой.
Определение
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым.
Замечание
Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.
Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника
| Величина | Рисунок | Формула | Описание |
| Периметр |  |
P = 6a | Выражение периметра через сторону |
| Площадь |  |
Выражение площади через сторону | |
| Площадь | S = 3ar | Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности | |
| Сторона |  |
Выражение стороны через радиус вписанной окружности | |
| Периметр |  |
Выражение периметра через радиус вписанной окружности | |
| Площадь |  |
Выражение площади через радиус вписанной окружности | |
| Сторона |  |
a = R | Выражение стороны через радиус описанной окружности |
| Периметр | P = 6R | Выражение периметра через радиус описанной окружности | |
| Площадь |  |
Выражение площади через радиус описанной окружности |
| Формулы для периметра правильного шестиугольника |
|
Выражение периметра через сторону
P = 6a Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Выражение периметра через радиус описанной окружности
P = 6R |
| Формулы для площади правильного шестиугольника |
|
Выражение площади через сторон
Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
S = 3ar Выражение площади через радиус вписанной окружности
Выражение площади через радиус описанной окружности
|
| Формулы для стороны правильного шестиугольника |
|
Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Выражение стороны через радиус описанной окружности
a = R |
Описанная и вписанная окружности правильного многоугольника
Докажем важную теорему о правильном многоуг-ке.
Для доказательства обозначим вершины произвольного правильного n-угольника буквами А1, А2, А3…Аn. Далее проведем биссектрисы углов ∠А1 и ∠А2. Они пересекутся в некоторой точке О. Соединим О с другими вершинами многоуг-ка отрезками ОА3, ОА4 и т. д.
∠А1 и ∠А2 одинаковы по определению правильного многоуг-ка:
Из этого факта вытекает два равенства:
Получается, что ОА3 – это также биссектриса ∠А3. Тогда, повторив все предыдущие рассуждения, мы можем доказать равенство, аналогичное (1):
Это равенство означает, что точка О равноудалена от вершин многоуг-ка. Значит, можно построить окружность с центром в О, на которой будут лежать все вершины многоуг-ка:
Естественно, существует только одна такая описанная окружность, ведь через любые три точки, в частности, через А1, А2 и А3, можно провести только одну окружность, ч. т. д.
Продолжим рассматривать выполненное нами построение с описанной окружностью. Ясно, что ∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4, …, равны, ведь у них одинаковы по 3 стороны. Опустим из О высоты ОН1, ОН2, ОН3… на стороны многоуг-ка.
Так как высоты проведены в равных треуг-ках, то и сами они равны:
Теперь проведем окружность, центр которой находится в О, а радиус – это отрезок ОН1. Он должен будет пройти и через точки Н2, Н3, … Нn. Причем отрезки ОН1, ОН2, ОН3 окажутся радиусами. Так как они перпендикулярны сторонам многоуг-ка, то эти самые стороны будут касательными к окружности (по признаку касательной). Стало быть, эта окружность является вписанной:
Ясно, что такая окружность будет единственной вписанной. Если бы существовала вторая вписанная окружность, то ее центр был бы равноудален от сторон многоуг-ка, а потому лежал бы в точке пересечения биссектрис углов ∠А1, ∠А2, ∠А3, то есть в точке О. Так как расстояние от О до А1А2 – это отрезок ОН1, то именно такой радиус был бы у второй окружности. Получается, что вторая окружность полностью совпала бы с первой, так как их центр находился бы в одной точке, и радиусы были одинаковы.
Примечание. Точка, которая центром и вписанной, и описанной окружности, именуется центром правильного многоуг-ка.
Ещё раз вернемся к приведенному доказательству и заметим, что высоты ОН1, ОН2, ОН3,… проведены в равнобедренных треуг-ках∆ОА1А2, ∆ОА2А3, ∆ОА3А4,… Следовательно, эти высоты являются ещё и медианами, то есть точки Н1, Н2, Н3,… – это середины сторон многоуг-ка.
Задание. Могут ли две биссектрисы, проведенные в правильном многоуг-ке, быть параллельными друг другу?
Решение. Центр правильного многоуг-ка находится в точке пересечения всех его биссектрис. То есть любые две биссектрисы будут иметь хотя бы одну общую точку. Параллельные же прямые общих точек не имеют. Получается, что биссектрисы не могут быть параллельными.
Ответ: не могут.
Примечание. Аналогичное утверждение можно доказать и для серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам правильного многоуг-ка.
Сумма углов многоугольника. Доказательство
А теперь давай все-таки разберемся, откуда же взялась формула суммы углом многоугольника ( displaystyle 180^circ(n-2)).
Зачем?
Понимаешь, приемчик, который мы сейчас применим, часто оказывается полезным при решении разных задач.
Несмотря на то, что теорема о сумме углов многоугольника верна для всякого многоугольника, доказательство красивое и простое только для выпуклых многоугольников.
Итак, давай разделим многоугольник на треугольники.
Вот так: из одной точки проведем все диагонали, что можно. Сколько их будет? Считаем:
Всего вершин: ( displaystyle n)
Из вершины ( displaystyle B) можем провести диагонали во все вершины, кроме:
- Самой вершины B
- Вершины A
- Вершины C
Значит всего диагоналей ( displaystyle (n-3)). А на сколько треугольников распался наш многоугольник?
Представь себе: на ( displaystyle n-2). Порисуй, посчитай – удостоверься, что треугольников оказывается ровно на один больше.
Итак, у нас ровно ( displaystyle n-2) треугольника. И сумма углов многоугольника просто равна сумме углов треугольников, на которые мы разбили многоугольник.
Чему равна сумма углов треугольника? Помнишь? Конечно ( displaystyle 180{}^circ ).
Ну вот, ( displaystyle n-2) треугольника, в каждом по ( displaystyle 180{}^circ ), значит:
Сумма углов многоугольника равна ( displaystyle 180{}^circ )( displaystyle (n-2))
Вот и доказали.
Что же из этого может оказаться полезным? Два момента:
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника
(angle OAD) — внешний угол многоугольника ABCDE при вершине А. (смежный с (angle BAE))
Возьмем по одному внешнему углу при каждой вершине многоугольника (A_1A_2A_3…A_n). Тогда их сумма будет равна:
(180^circ-A_1+180^circ-A_2+…+180^circ-A_n=ncdot180^circ-(A_1+A_2+…+A_n)=ncdot180^circ-(n-2)cdot180^circ=ncdot180^circ-ncdot180^circ+2cdot180^circ=360^circ)
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна (360^circ).
Теги
A polygon by definition is any geometric shape that is enclosed by a number of straight sides, and a polygon is considered regular if each side is equal in length. Polygons are classified by their number of sides. For example, a six-sided polygon is a hexagon, and a three-sided one is a triangle.
Regular Polygons
The number of sides of a regular polygon can be calculated by using the interior and exterior angles, which are, respectively, the inside and outside angles created by the connecting sides of the polygon. For a regular polygon the measure of each interior angle and each exterior angle is congruent. For example, a regular octagon has interior angles each equal to 125 degrees.
These relationships only hold true for convex polygons where the measure of each interior angle does not exceed 180 degrees.
Using Interior Angles
Subtract the interior angle from 180; then divide 360 by the difference of the angle and 180 degrees. For example, if the interior angle was 165, subtracting it from 180 would yield 15, and 360 divided by 15 equals 24, which is the number of sides of the polygon. Here is the general formula (it is important to note that this only works for the interior angles of a regular polygon):
text{# of sides}=frac{360^circ}{180^circ-text{interior angle}}
Using Exterior Angles
Divide 360 by the amount of the exterior angle to also find the number of sides of the polygon. For example, if the measurement of the exterior angle is 60 degrees, then dividing 360 by 60 yields 6. Six is the number of sides that the polygon has. This is a hexagon, so we can check this reasoning by finding the interior angle to be 120 degrees, which is the measure of the interior angle of a hexagon.
The general formula using the exterior angles of a regular polygon follows:
text{# of sides}=frac{360}{text{exterior angle}}
Tips
-
Subtracting the interior angle from 180 gives the exterior angle, and subtracting the exterior angle from 180 gives the interior angle because these angles are adjacent.
Irregular Polygons
Not all polygons have congruent angles and sides. The measure of the internal angles can vary depending on the measures of each side. Regardless of the polygon shape, the sum of exterior angles will always be 360 degrees. We can use this relationship to reason out a formula for an n-sided polygon with any side lengths.
The sum of the interior angles of a polygon can be related to the the number of sides through the polygon formula:
text{# of sides} = frac{text{sum of interior angles}}{180} + 2
We can try this formula with any quadrilateral. We know that the sum of the interior angles of any four sided polygon (like a square, rhombus, parallelogram, or trapezoid) is 360 degrees. Plugging this into the formula we can prove this known relationship:
text{# of sides} = frac{text{360}}{180} + 2 = 4 text{ sides}
Tips
-
This formula for any polygon works for either a convex or concave polygon.
Terminology of Polygons
As a helpful guide for reporting calculations, these are the general conventions for discussing polygons in geometry and trigonometry.
- Line segments make up each side of a polygon. They are straight lines of determined length.
- An apothem is a straight line from the center of a regular polygon to any side that forms a right angle with that side.
Naming polygons (3 — 10 sides):
- 3 sides – triangle
- 4 sides – square
- 5 sides – pentagon
- 6 sides – hexagon
- 7 sides – heptagon
- 8 sides – octagon
- 9 sides – nonagon
- 10 sides – decagon
Что такое выпуклый многогольник
Определение
Выпуклым называют многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящий через две его соседние вершины.
Или же другой вариант определения:
Определение
Выпуклым называют многоугольник, в котором соблюдается следующее условие: если выбрать две произвольных точки, лежащих внутри фигуры, и соединить их отрезком, то все точки этого отрезка так же будут лежать внутри многоугольника.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Примеры
Многоугольник (М_1) — выпуклый, а (М_2) — не выпуклый.
Сумма углов выпуклого многоугольника
(A_1A_2A_3…A_n) — выпуклый многоугольник. Найдем сумму его углов:
(angle A_nA_1A_2,;angle A_1A_2A_3,;angle A_{n-1}A_nA_1,;…)
Соединим вершину (А_1) с другими. Эти отрезки называются диагоналями. В таком случае образуется n-2 треугольника. Сумма всех их углов будет такой же, как и сумма углов исходного n-угольника. Сумма углов треугольника равна (180^circ), тогда сумма углов многоугольника равна (180^circ(n-2)).
Сумма углов выпуклого n-угольника равна (180^circ(n-2)).
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника
(angle OAD) — внешний угол многоугольника ABCDE при вершине А. (смежный с (angle BAE))
Возьмем по одному внешнему углу при каждой вершине многоугольника (A_1A_2A_3…A_n). Тогда их сумма будет равна:
(180^circ-A_1+180^circ-A_2+…+180^circ-A_n=ncdot180^circ-(A_1+A_2+…+A_n)=ncdot180^circ-(n-2)cdot180^circ=ncdot180^circ-ncdot180^circ+2cdot180^circ=360^circ)
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна (360^circ).
ответы
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
похожие вопросы 5