Как найти сколько вершин в пирамиде

Содержание

• — Сколько высот в пирамиде?
• — Сколько вершины у пирамиды?
• — Сколько боковых рёбер у пирамиды?
• — Что является вершиной пирамиды?
• — Как найти Апофему в пирамиде?
• — Сколько ребер может быть в пирамиде?
• — Как узнать сколько вершин у пирамиды?
• — Сколько вершин у восьмиугольной пирамиды?
• — Сколько вершин у куба?
• — Сколько у пятиугольной пирамиды ребер основания боковых ребер всего ребер?
• — Сколько боковых рёбер у четырехугольной пирамиды?
• — Сколько вершин у 6 угольной пирамиды?
• — Чем являются пирамиды?
• — Как найти объём пирамиды?
• — Чем являются боковые грани правильной пирамиды?

Сколько высот в пирамиде?

Одна высота, четыре ребра, а апофем может быть много!

Сколько вершины у пирамиды?

А) Усечённая пирамида имеет 12 вершин.

Сколько боковых рёбер у пирамиды?

Пятиугольная пирамида
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	6 граней 10 рёбер 6 вершин Χ = 2
Грани	5 треугольников 1 пятиугольник

Что является вершиной пирамиды?

вершина пирамиды — общая точка боковых граней, не лежащая в плоскости основания; основание — грань, которой не принадлежит вершина пирамиды; боковые грани — треугольные грани, сходящиеся в вершине; боковые ребра — рёбра, являющиеся сторонами двух боковых граней (и, соответственно, не являющиеся сторонами основания);

Как найти Апофему в пирамиде?

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина которой проецируется в центр основания, называется правильной пирамидой. Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

Сколько ребер может быть в пирамиде?

Вывод: число ребер пирамиды всегда четное.

Как узнать сколько вершин у пирамиды?

Пирамида и ее свойства

Грани имеют одну общую вершину — вершину пирамиды — и их число будет равно числу сторон, образующих основание.

Сколько вершин у восьмиугольной пирамиды?

9, из которых 8 — боковые. У пирамиды сколько вершин, столько и граней. sikringbp и 12 других пользователей посчитали ответ полезным!

Сколько вершин у куба?

Куб
Тип	правильный многогранник
Комбинаторика
Элементы	6 граней 12 рёбер 8 вершин Χ = 2
Грани	квадраты

Сколько у пятиугольной пирамиды ребер основания боковых ребер всего ребер?

Всего ребер у пятиугольной пирамиды — 10 (пять в основании и 5 боковых). Боковая грань — плоскость, проходящая через ребро основания и вершину пирамиды, значит, боковых граней пять. Всего граней шесть (5 боковых и одна грань — основание пирамиды).

Сколько боковых рёбер у четырехугольной пирамиды?

Удлинённая четырёхугольная пирамида
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	9 граней 16 рёбер 9 вершин Χ = 2
Грани	4 треугольника 5 квадратов

Сколько вершин у 6 угольной пирамиды?

а) У шестиугольной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Значит, вершин у нее 7 — 6 в основании и одна вверху. Граней также 7 — шесть боковых граней плюс основание.

Чем являются пирамиды?

Еги́петские пирами́ды — древние каменные сооружения пирамидальной формы, расположенные в Египте. Количество объектов, идентифицируемых как египетские пирамиды, варьируется от 118 до 138 (по данным ноября 2008 года). … Пирамида Хеопса является самой большой пирамидой в Египте и входит в число Семи чудес света.

Как найти объём пирамиды?

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Чем являются боковые грани правильной пирамиды?

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, – многоугольник, а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой. Грани, отличные от основания, называются боковыми.

Интересные материалы:

Что произошло в 1113 году на Руси?
Что произошло в 1157 году?
Что произошло в 1788 году?
Что произошло в 1791 году в России?
Что произошло в 1881 году в Казахстане?
Что произошло в 1915 году в Армении?
Что произошло в 1970 году в России?
Что произошло в 394 году нашей эры?
Что произошло в освоении космоса с 1969 года?
Что произошло в России в 1240 году?

1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании пирамиды?
2) У пирамиды 1800 ребер. Какая это пирамида?
3) У пирамиды 28 граней. Сколько у нее вершин?
4) Существует ли пирамида, у которой 1999 ребер?
5) Сумма числа ребер и вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

Сколько у пирамиды вершин ребер граней если в ее основании лежит четырехугольник

14.1. Определение пирамиды и её элементов

Определение. Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной (рис. 95, 96).

Многоугольник называется основанием пирамиды, остальные грани — боковыми гранями пирамиды, их общая вершина — вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами её основания, называются боковыми рёбрами пирамиды .

Пирамиду с основанием АВСDЕ и вершиной Р обозначают PABCDE .

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость её основания, называется высотой пирамиды . Длину этого перпендикуляра также называют высотой пирамиды.

Пирамида называется n-угольной, если её основанием является n-угольник .

На рисунке 96 изображена четырёхугольная пирамида PABCD, у которой: четырёхугольник ABCD — основание пирамиды; точка Р — вершина пирамиды; отрезки РA, РВ, PC, PD — боковые рёбра пирамиды; отрезки АВ, ВС, CD, DA — стороны (рёбра) основания пирамиды; отрезок РО — высота пирамиды; треугольники РАВ, РВС, PCD, PDA — боковые грани пирамиды.

У n- угольной пирамиды имеется ( n + 1) вершин, 2 n рёбер и ( n + 1) граней. Диагоналей пирамида не имеет. В пирамиде различают плоские углы при её вершине и двугранные углы при её рёбрах. Двугранным углом при ребре пирамиды называют содержащий пирамиду двугранный угол, образованный плоскостями граней, проходящими через данное ребро.

Треугольную пирамиду (рис. 97) называют также тетраэдром ( « тетраэдр» по-гречески означает «четырёхгранник» ) . Тетраэдр — это многогранник с наименьшим числом граней. Любая грань тетраэдра может быть принята за его основание; это отличает тетраэдр от всех остальных пирамид.

Любую пирамиду можно разбить на некоторое число тетраэдров, а любой выпуклый многогранник — на некоторое число пирамид. Для этого достаточно, например, взять любую точку внутри данного многогранника и соединить её отрезками со всеми его вершинами. Такое разбиение часто используется при нахождении объёмов многогранников.

14.2. Некоторые виды пирамид

Если все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью основания равные углы, то : а ) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды ; б ) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

Доказательств о. а) Пусть отрезок РО — высота пирамиды PABCDEF, все рёбра которой составляют с плоскостью основания угол ϕ (рис. 98). Тогда прямоугольные треугольники РОА, POB, POC, POD, РОЕ и POF, имея общий катет РО, равны между собой (по катету и острому углу ϕ ) . Из равенства этих треугольников следует: ОА = OВ = ОС = OD = OE = OF, т. е. вершины основания пирамиды равноудалены от основания О её высоты РО. Это означает, что точка О — центр окружности, описанной около основания ABCDEF данной пирамиды.

б) Из ОА = OВ = ОС = OD = ОЕ = OF следует, что боковые рёбра РА, РВ, PC, PD, РЕ, PF пирамиды равны, как наклонные, имеющие равные проекции, т. е. РА = РВ = PC = PD = РЕ = PF. Что и требовалось доказать. ▼

Вы самостоятельно можете доказать обратные утверждения.

1. Если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около её основания, то: а) все боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы; б) все боковые рёбра пирамиды равны между собой.

2. Если все боковые рёбра пирамиды равны, то: а) основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды; б) все боковые рёбра пирамиды составляют с плоскостью её основания равные между собой углы.

Также имеет место следующее утверждение.

Если высота пирамиды пересекает её основание и все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в её основание.

Доказательств о. Пусть РО — высота пирамиды PABCDE, боковые грани которой образуют с плоскостью основания пирамиды двугранные углы, равные ϕ (рис. 99).

Проведём высоты РН 1 , РH 2 , РН 3 , PH 4 , РH 5 боковых граней.

Тогда по теореме о трёх перпендикулярах получаем OH 1 ⟂ AB, OH 2 ⟂ BC, OH 3 ⟂ CD, OH 4 ⟂ DE, OH 5 ⟂ EA, следовательно, ∠ OH 1 P = ∠ OH 2 P = ∠ OH 3 P = ∠ OH 4 P = ∠ OH 5 P = ϕ . Поэтому △ OH 1 P = △ OH 2 P = △ OH 3 P = △ OH 4 P = △ OH 5 P (как прямоугольные с общим катетом OP и острым углом ϕ ) . Из равенства этих треугольников следует ОН 1 = OH 2 = OH 3 = ОН 4 = ОН 5 , т. е. точка О — основание высоты РО пирамиды — равноудалена от всех сторон многоугольника ABCDE. Это означает, что точка O является центром окружности, вписанной в основание ABCDE данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

Самостоятельно докажите обратное утверждение.

Если вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды, то боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы.

Перечислим ещё несколько часто встречающихся в задачах видов пирамид.

• Пирамида, ровно одна боковая грань которой перпендикулярна плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит в этой, перпендикулярной основанию, грани (рис. 100).

• Пирамида, две соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высотой такой пирамиды служит боковое ребро, общее для этих граней (рис. 101).

• Пирамида, две не соседние боковые грани которой перпендикулярны плоскости основания. Высота такой пирамиды лежит на прямой пересечения плоскостей этих граней (рис. 102).

14.3. Правильная пирамида

Определение. Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр этого основания.

Из определения следует алгоритм построения изображения правильных пирамид, что, в свою очередь, доказывает существование таких пирамид.

Для построения изображения правильной пирамиды достаточно построить изображение соответствующего правильного многоугольника (основания пирамиды) и его центра. Затем из построенного центра провести перпендикуляр к плоскости многоугольника и выбрать на этом перпендикуляре (в качестве вершины пирамиды) любую точку, отличную от центра многоугольника. Соединив отрезками прямых эту точку со всеми вершинами многоугольника, получим изображение правильной пирамиды.

На рисунке 103, а, б, в построены изображения правильных пирамид: а) треугольной; б) четырёхугольной; в) шестиугольной.

Правильные пирамиды обладают замечательным свойством.

В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Доказательств о. Рассмотрим правильную n- угольную пирамиду РА 1 А 2 . A n . Пусть точка O — центр n- угольника A 1 A 2 A 3 . A n ; отрезок РО — перпендикуляр к плоскости основания пирамиды (рис. 104).

Так как центр правильного многоугольника является центром окружности, описанной около этого многоугольника, то ОА 1 = OA 2 = OA 3 = . = OA n (как радиусы описанной окружности). Тогда равны боковые рёбра пирамиды, как наклонные к плоскости её основания, имеющие равные проекции, т. е. PA 1 = PA 2 = PA 3 = . = PA n .

Таким образом, имеем:

РА 1 = РA 2 = . = PA n (как боковые рёбра);

A 1 A 2 = A 2 A 3 = . = A n A 1 (как стороны правильного n- угольника).

Следовательно, треугольники PA 1 A 2 , РA 2 A 3 , . PA n A 1 являются равнобедренными и по третьему признаку равенства треугольников равны между собой.

Это свойство правильной пирамиды можно доказать при помощи поворота пирамиды вокруг оси, содержащей её высоту.

Так как точка О — центр правильного n- угольника A 1 A 2 A 3 . A n , лежащего в основании правильной пирамиды PA 1 A 2 . A n , РО — перпендикуляр к плоскости её основания, то при вращении данной пирамиды вокруг оси ОР на угол, равный (где k = 1, 2, 3, . n ), происходит самосовмещение этой пирамиды: вершины основания пирамиды отображаются на его же вершины (основание совмещается с самим собой); вершина Р (как точка оси вращения) отображается на себя. Следовательно, боковые рёбра пирамиды отображаются на боковые рёбра, а боковые грани пирамиды — на её боковые грани. А так как вращение вокруг прямой — движение, то все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой, а грани являются равными равнобедренными (почему?) треугольниками. Утверждение доказано. ▼

Следствием доказанного выше является утверждение.

Все боковые рёбра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы, а все боковые грани — равные двугранные углы.

Докажите это предложение самостоятельно.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая к ребру её основания, называется апофемой пирамиды. На рисунке 104 отрезок РН — одна из апофем пирамиды.

Все апофемы правильной пирамиды равны вследствие равенства всех её боковых граней.

Имеют место признаки правильной пирамиды:

Пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, является правильной, если: а) все её боковые рёбра равны; б) все её боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы; в) все её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Докажите это самостоятельно.

 ЗАДАЧА (2.245). Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и образует с боковой гранью угол α . Через сторону основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противоположной грани и пересекающая её. Найти площадь сечения.

Дан о: PABCD — правильная пирамида (рис. 105); РО — высота пирамиды, РО = h ; ∠ OPF = α .

Решени е. Первый спосо б . Пусть отрезок EF — средняя линия основания пирамиды. Тогда AD ⟂ EF, AD ⟂ PF ⇒ АD ⟂ ( РEF ) ⇒ ( PEF ) ⟂ ( ADP ) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей). Поэтому прямая PF является ортогональной проекцией прямой РO на плоскость ADP. Значит, ∠ OPF — угол между высотой PO и боковой гранью ADP пирамиды: ∠ OPF = α .

Далее имеем: AD ⟂ ( PEF ), ВС || AD ⇒ ВC ⟂ ( PEF ) ⇒ прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости PEF. Поэтому если FL ⟂ РЕ (в плоскости PEF ) , то BС ⟂ FL. Тогда FL ⟂ ВС, FL ⟂ PE ⇒ FL ⟂ ( BCP ) ⇒ ( ADL ) ⟂ ( ВCР ) (по признаку перпендикулярности двух плоскостей); при этом ( ADL ) ∩ ( ВСР ) = МK , МK || AD, так как плоскости ВСР и АDL проходят через параллельные прямые ВС и AD. Значит, сечение ADKM — трапеция, у которой FL — высота (почему?), откуда

S сеч = • FL.

Найдём AD, МK и FL.

В △ OPF ( ∠ POF = 90 ° ):

OF = OP • tg α = h • tg α ; PF = = = PE.

EF = 2 FO = 2 h • tg α = ВС.

В плоскости PEF получаем:

FL ⟂ РЕ, РО ⟂ EF ⇒ ∠ EFL = ∠ OPE = α .

Тогда в △ ЕFL : FL = ЕF • cos α = 2 h • tg α • cos α = 2 h sin α ;

в △ PLF ( ∠ PLF = 90 ° , ∠ PFL = 90 ° – 2 α ):

PL = PF • sin (90 ° – 2 α ) = PF • cos 2 α = .

Так как MK | | BC, то △ МKР ∾ △ ВСР, откуда

= ⇒ MK = = =
= 2 h tg α • cos 2 α .

AD = EF = 2 h • tg α , FL = 2 h • sin α , MK = 2 h • tg α • cos 2 α .

S сеч = • FL = • 2 h • sin α =
= = 4 h 2 • sin 2 α • cos α .

Замечание. Отрезок MK можно найти следующим образом. Сечением данной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую MK параллельно основанию пирамиды, является квадрат MKD 1 A 1 (см. рис. 105). F 1 = A 1 D 1 ∩ PF. У этого квадрата LF 1 = MK. Найдём F 1 L .

В треугольнике LFF 1 имеем ∠ FLF 1 = α ( LF 1 || EF ) ,

∠ F 1 FL = ∠ OFP – ∠ OFL = (90 ° – α ) – α = 90 ° – 2 α ;

∠ FF 1 L = 180 ° – ∠ OFF 1 = 90 ° + α . Тогда по теореме синусов

= ⇒
⇒ LF 1 = = .

Значит, MK = LF 1 = 2 h • tg α • cos 2 α .

Второй спосо б . Пусть точки M 1 , K 1 , L 1 — ортогональные проекции на плоскость основания соответственно точек М, K, L (рис. 105, 106). Так как плоскости АСР, BDP и EFP перпендикулярны плоскости основания пирамиды, то ортогональными проекциями прямых PC, РВ и РЕ на эту плоскость являются соответственно прямые АС, BD и EF. Следовательно, M 1 ∈ BD, K 1 ∈ AC, L 1 ∈ EF, причём четырёхугольник ADK 1 M 1 — равнобедренная трапеция.

Таким образом, трапеция ADK 1 M 1 — ортогональная проекция сечения ADKM. Это означает, что S ADKM = . Найдём . Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и M 1 K 1 || AD, то OL 1 = L 1 K 1 , OF = FD. Значит,

= • L 1 F = • FL 1 = .

S ADKM = = = 4 h 2 • sin 2 α • cos α .

Ответ: 4 h 2 • sin 2 α • cos α .

1 4.4. Площади боковой и полной поверхностей пирамиды

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. В этой связи различают боковую и полную поверхности пирамиды, а также их площади.

Площадью боковой поверхности пирамиды (обозначают S бок ) называется сумма площадей всех её боковых граней: S бок = S 1 + S 2 + . + S n , где S 1 , S 2 , . S n — площади боковых граней пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды (обозначают S полн ) называется сумма площадей всех её граней, т. е. сумма площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности.

Из определения следует: S полн = S бок + S осн .

О площади боковой поверхности правильной пирамиды имеет место следующая теорема.

Теорема 18. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.

Доказательств о. PA 1 A 2 . A n — правильная пирамида, a — длина её апофемы (рис. 107).

Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, у которых основаниями являются стороны правильного n- угольника A 1 A 2 . A n , а высоты равны апофеме пирамиды, т. е.

РE 1 = РE 2 = PE 3 = . = PE n = a.

S бок = S △ PA 1 A 2 + S △ PA 2 A 3 + . + S △ PA n A 1 =
= A 1 A 2 • PE 1 + A 2 A 3 • PE 2 + . + A n A 1 • PE n =
= a • ( A 1 A 2 + A 2 A 3 + . + A n A 1 ) = P • a,

где Р — периметр основания пирамиды. Теорема доказана. ▼

Теорема 19. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ϕ и высота пересекает основание, то S бок = .

Доказательств о. Пусть отрезок PO — высота пирамиды РA 1 A 2 A 3 . A n , все боковые грани которой образуют с плоскостью основания углы, равные ϕ (рис. 108); отрезки PH 1 , PH 2 , . PH n — высоты боковых граней. Тогда (по теореме о трёх перпендикулярах) OH 1 ⟂ A 1 A 2 , OH 2 ⟂ A 2 A 3 , . OH n ⟂ A n A 1 . Значит,

∠ OH 1 P = ∠ OH 2 P = ∠ OH 3 P = .
. = ∠ OH n P = ϕ .

Так как точка О является центром круга, вписанного в основание пирамиды (почему?), то эта точка лежит внутри n- угольника A 1 A 2 A 3 . A n . Поэтому n- угольник A 1 A 2 . A n является объединением непересекающихся треугольников A 1 OA 2 , A 2 OA 3 , . A n OA 1 . Эти треугольники являются ортогональными проекциями на плоскость основания пирамиды её соответствующих боковых граней. По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника имеем:

S △ A 1 OA 2 = S △ A 1 PA 2 • cos ϕ ,
S △ A 2 OA 3 = S △ A 2 PA 3 • cos ϕ ,
.
S △ A n OA 1 = S △ A n PA 1 • cos ϕ .

Сложив почленно эти равенства, получим S осн = S бок • cos ϕ , откуда S бок = . Теорема доказана. ▼

Так как все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные двугранные углы (пусть величина этих углов равна ϕ , см. рис. 107), то для площади боковой поверхности и площади основания правильной пирамиды также справедлива формула

S бок = .

14 . 5 . Свойства параллельных сечений пирамиды

Если плоскость α параллельна основанию пирамиды и пересекает её, то в сечении пирамиды получается некоторый многоугольник (рис. 109).

Теорема 20. Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то: 1) боковые рёбра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается многоугольник, подобный основанию; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Доказательств о. 1) Пусть сечением пирамиды PABCD плоскостью α , параллельной плоскости β её основания, является четырёхугольник A 1 B 1 C 1 D 1 (см. рис. 109).

Проведём высоту РО данной пирамиды и обозначим O 1 = РО ∩ α .

Рассмотрим гомотетию с центром Р , при которой плоскость основания данной пирамиды отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия отображает основание ABCD пирамиды на её параллельное сечение — многоугольник А 1 В 1 С 1 D 1 , при этом вершины А, В, С, D основания пирамиды — на вершины соответственно A 1 , B 1 , C 1 , D 1 , а точку O — на точку O 1 (почему?).

Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

= = = = = k, (*)

где k — коэффициент гомотетии . Это означает, что параллельное сечение пирамиды делит её рёбра и высоту на пропорциональные части. А поскольку гомотетия является подобием, то многоугольник A 1 B 1 C 1 D 1 , являющийся параллельным сечением пирамиды, подобен её основанию ABCD .

Вследствие того, что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии, а k = РO 1 : РО , где РO 1 и РО — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

S A 1 B 1 C 1 D 1 : S ABCD = k 2 = : PO 2 .

Следствие. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая её, отсекает пирамиду, подобную данной.

14.6. Усечённая пирамида

Плоскость α , параллельная основанию пирамиды PABCD и пересекающая её, делит эту пирамиду на два многогранника: пирамиду РA 1 B 1 C 1 D 1 и многогранник ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (см. рис. 109).

Многогранник ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 110) называют усечённой пирамидой. Грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , лежащие в параллельных плоскостях, называются соответственно нижним и верхним основаниями усечённой пирамиды , остальные грани — её боковыми гранями . Так как нижнее и верхнее основания усечённой пирамиды гомотетичны (т. 20), то все её боковые грани — трапеции.

Таким образом, усечённой пирамидой называется часть полной пирамиды, заключённая между её основанием и параллельным ему сечением.

У n- угольной усечённой пирамиды 2 n вершин, 3 n рёбер, ( n + 2) грани и n ( n – 3) диагоналей.

Высотой усечённой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой усечённой пирамиды. На рисунке 110 отрезки О 1 О, B 1 K — высоты усечённой пирамиды.

Усечённая пирамида называется правильной, если она получена из правильной пирамиды (рис. 111).

Из теоремы 20 следует, что основания правильной усечённой пирамиды — подобные правильные многоугольники, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Высоты этих трапеций, соединяющие середины их оснований, называются апофемами усечённой пирамиды . Все её апофемы равны между собой.

Отрезок OO 1 , соединяющий центры оснований правильной усечённой пирамиды, является её высотой .

Площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей всех её боковых граней.

Для правильной усечённой пирамиды имеет место

Теорема 21. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров её оснований на апофему .

Для доказательства теоремы достаточно площадь одной из боковых граней пирамиды умножить на их число. В результате получим формулу S бок = • h , где Р 1 , P 2 — периметры нижнего и верхнего оснований усечённой пирамиды, h — её апофема.

Проведите доказательство теоремы самостоятельно.

Полная поверхность усечённой пирамиды — это объединение её оснований и боковой поверхности, поэтому для усечённой пирамиды

S полн = S бок + S 1 + S 2 ,

где S 1 и S 2 — площади большего и меньшего оснований этой пирамиды.

Для усечённой пирамиды, у которой все двугранные углы при рёбрах большего основания равны ϕ , справедливо: S бок = . (Для вывода этой формулы достаточно учесть следующий факт: если R и r — радиусы окружностей, вписанных соответственно в большее и меньшее основания данной пирамиды, то S 1 = 0,5 • P 1 • R , S 2 = 0,5 • P 2 • r, cos ϕ = , где h — высота боковой грани этой пирамиды.)

14 . 7 . Объём пирамиды

Лемма. Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики .

Доказательств о. Пусть пирамиды РАВС и P 1 A 1 B 1 C 1 имеют высоты, равные H , и равновеликие основания с площадью S ; их объёмы — соответственно V 1 и V 2 . Докажем, что V 1 = V 2 .

Расположим пирамиды РАВС и P 1 A 1 B 1 C 1 так, чтобы их основания лежали в одной плоскости, а сами пирамиды были расположены по одну сторону от этой плоскости (рис. 112). Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований и пересекающая первую пирамиду, пересекает и вторую, причём по теореме о параллельных сечениях пирамиды площади этих сечений равны. Следовательно, на основании принципа Кавальери равны и объёмы этих пирамид. Лемма доказана. ▼

Теорема 22. Объём любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательств о. Пусть А 1 AВC — данная треугольная пирамида с вершиной A 1 и основанием ABC (рис. 113). Дополним эту пирамиду до треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 с тем же основанием, одним из боковых рёбер которой является боковое ребро АA 1 данной пирамиды. Это означает, что высота призмы равна высоте данной пирамиды.

Призма АВCA 1 B 1 C 1 является объединением трёх треугольных пирамид с общей вершиной A 1 : A 1 ABC, A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 . Основания BB 1 C 1 и BCC 1 пирамид A 1 BB 1 C 1 и A 1 BCC 1 равны, а высота у них общая. Значит, по лемме эти пирамиды имеют равные объёмы.

Будем считать точку В вершиной пирамиды A 1 BB 1 C 1 , a △ A 1 B 1 C 1 — её основанием. Тогда эта пирамида равновелика пирамиде А 1 AВС, так как у них общая высота, а основания АВС и A 1 B 1 C 1 равновелики (как основания призмы). Таким образом, призма ABCA 1 B 1 C 1 является объединением трёх равновеликих пирамид, одной из которых является данная пирамида A 1 ABC. Это означает, что объём V пирамиды A 1 АВС составляет одну треть объёма призмы ABCA 1 B 1 C 1 , т. е. V = S ocн • Н, где Н — длина высоты призмы. Но построенная призма и данная пирамида имеют общую высоту, длина которой равна Н, следовательно, объём треугольной пирамиды вычисляется по формуле

V = S осн • H ,

где Н — длина высоты данной пирамиды. Теорема доказана. ▼

На рисунке 114 изображены треугольная призма ABCDEF и составляющие её три равновеликие треугольные пирамиды ABDF, ABCF и BDEF .

Для вычисления объёма n- угольной пирамиды PA 1 A 2 . A n (рис. 115) разобьём её основание A 1 A 2 . A n диагоналями A 1 A 3 , A 1 A 4 , . A 1 A n – 1 на треугольники с общей вершиной A 1 . Тогда данная пирамида разбивается в объединение пирамид PA 1 A 2 A 3 , PA 1 A 3 A 4 , . PA 1 A n – 1 A n с общей вершиной Р и общей высотой, которая равна высоте данной пирамиды. Основаниями этих пирамид являются треугольники разбиения основания данной пирамиды. Это означает (свойство 2 объёмов), что объём V пирамиды PA 1 A 2 . A n равен сумме объёмов V 1 , V 2 , . V n – 2 треугольных пирамид соответственно PA 1 A 2 A 3 , PA 1 A 3 A 4 , . PA 1 A n – 1 A n .

Пусть длина высоты пирамиды равна Н, площадь её основания — S, а площади треугольников разбиения этого основания равны S 1 , S 2 , . S n – 2 . Это означает, что S 1 + S 2 + . + S n – 2 = S. Тогда получаем:

V = V 1 + V 2 + . + V n – 2 = H ( S 1 + S 2 + . + S n – 2 ) = S • H.

Таким образом, объём любой пирамиды вычисляется по формуле

V = S осн • H ,

где S осн — площадь основания, Н — длина высоты пирамиды.

Итак, доказана теорема.

Теорема 23. Объём любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. ▼

14.8. Об объёме тетраэдра

У тетраэдра за основание можно принять любую его грань, на каждую из которых можно провести высоту тетраэдра из вершины, противоположной этой грани. Поэтому для объёма V одного и того же тетраэдра имеют место соотношения

V = S 1 • h 1 = S 2 • h 2 = S 3 • h 3 = S 4 • h 4 ,

где S k и h k ( k = 1, 2, 3, 4) — площадь грани и длина опущенной на неё высоты. Эти соотношения часто используют при решении задач.

Заметим, что не в любом тетраэдре все четыре высоты пересекаются в одной точке (для сравнения — все три высоты любого треугольника пересекаются в одной точке). Тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке, называется ортоцентрическим.

Интересен также тетраэдр (рис. 116, а ), все грани которого равны. Такой тетраэдр называется равногранным. Его развёрткой является остроугольный треугольник (рис. 116, б ).

Докажите самостоятельно, что в равногранном тетраэдре:

— скрещивающиеся рёбра попарно равны;

— все высоты равны;

— сумма плоских углов трёхгранного угла при каждой вершине тетраэдра равна 180 ° ;

— двугранные углы при скрещивающихся рёбрах тетраэдра равны.

Не менее интересен следующий факт. Пусть дан тетраэдр A 1 C 1 BD . Проведём через каждое его ребро плоскость, параллельную скрещивающемуся с ним ребру. Проведённые шесть плоскостей при пересечении образуют некоторый параллелепипед АВСDA 1 В 1 C 1 D 1 (рис. 117), параллельные грани ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 которого содержат скрещивающиеся рёбра А 1 C 1 и BD данного тетраэдра. Тогда расстояние между основаниями АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 полученного параллелепипеда равно длине его высоты и равно расстоянию между скрещивающимися рёбрами А 1 C 1 и BD данного тетраэдра.

Этот параллелепипед можно разбить на пять тетраэдров — данный тетраэдр A 1 С 1 ВD и ещё четыре тетраэдра: A 1 ABD ; ВВ 1 A 1 C 1 ; C 1 CBD ; DD 1 A 1 C 1 . Объём каждого из четырёх последних тетраэдров равен одной трети высоты h параллелепипеда, умноженной на половину площади его основания ABCD , т. е. шестой части объёма V полученного параллелепипеда.

V A 1 C 1 BD = V – 4 • V = V = h • S ABCD = h • AC • BD • sin ϕ =
= h • A 1 C 1 • BD • sin ϕ ,

где ϕ — угол между диагоналями АС и BD параллелограмма ABCD . А так как AC || A 1 C 1 , то величина угла между скрещивающимися диагоналями A 1 С 1 и BD тетраэдра А 1 С 1 BD также равна ϕ .

Мы получили: объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин любых двух его скрещивающихся рёбер, расстояния между ними и синуса угла между скрещивающимися прямыми, содержащими эти рёбра.

Отметим ещё несколько очевидных и менее очевидных свойств тетраэдров, связанных с их объёмами.

1. Объёмы тетраэдров с равными основаниями относятся как их высоты, опущенные на эти основания.

2. Объёмы тетраэдров с равными высотами относятся как площади их оснований.

3. Объёмы тетраэдров, имеющих равные трёхгранные углы, относятся, как произведения длин рёбер, образующих эти углы.

Используя рисунок 118, вы сможете легко доказать третье утверждение.

14.9. Объём усечённой пирамиды

Теорема 24. Объём усечённой пирамиды, у которой площади оснований равны S 1 и S 2 , а высота — Н , вычисляется по формуле

V = H ( S 1 + + S 2 ) .

Доказательств о. Пусть дана усечённая пирамида (рис. 119), у которой S 1 > S 2 , а высота OO 1 = H. Дополним эту пирамиду до полной пирамиды с вершиной Р. Объём V данной усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и дополнительной пирамид.

Если длина высоты PO 1 дополнительной пирамиды равна x , то высота PO полной пирамиды равна H + x .

Выразим х через S 1 , S 2 и Н. По теореме 20 (o площадях параллельных сечений пирамиды) имеем

S 1 : S 2 = ( H + x ) 2 : x 2 ⇒ : = ( H + x ) : x ⇒
⇒ x = .

Поэтому для объёма V усечённой пирамиды находим

V = S 1 ( H + x ) – S 2 • x = ( S 1 • H + ( S 1 – S 2 ) • x ) =
= = ( S 1 H + ( + ) H ) =
= H ( S 1 + + S 2 ) ,

Сколько вершин и граней у пирамиды?

Сколько вершины у пирамиды?

А) Усечённая пирамида имеет 12 вершин.

Сколько вершин ребер и граней у треугольной пирамиды?

Удлинённая треугольная пирамида
Элементы	7 граней 12 рёбер 7 вершин Χ = 2
Грани	4 треугольника 3 квадрата
Конфигурация вершины	1(33) 3(3.42) 3(32.42)
Двойственный многогранник	удлинённая треугольная пирамида

Сколько вершин у правильной четырехугольной пирамиды?

Удлинённая четырёхугольная пирамида
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	9 граней 16 рёбер 9 вершин Χ = 2
Грани	4 треугольника 5 квадратов

Сколько вершин рёбер граней у пирамиды с квадратным основанием?

Квадратная пирамида
Элементы	8 рёбер 5 вершин
Грани	4 треугольников 1 квадратов
Конфигурация вершины	4 вида (32.4) 1 вида (34)
Двойственный многогранник	самодвойственна

Как узнать сколько вершин у пирамиды?

Пирамида и ее свойства

Грани имеют одну общую вершину — вершину пирамиды — и их число будет равно числу сторон, образующих основание.

Сколько вершин у пятиугольной усеченной пирамиды?

Имеет 10 рёбер и 6 вершин. Если основание пятиугольной пирамиды — правильный пятиугольник, а боковые грани — равнобедренные треугольники, пирамида является правильной и имеет группу симметрии C5v.

Сколько вершин у 6 угольной пирамиды?

а) У шестиугольной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Значит, вершин у нее 7 — 6 в основании и одна вверху. Граней также 7 — шесть боковых граней плюс основание.

Какая фигура лежит в основании правильной четырёхугольной пирамиды?

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат. Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).

Сколько вершин у 6 угольной призмы?

Шестиугольная призма — призма с шестиугольным основанием. У этого многогранника 8 граней, 18 рёбер и 12 вершин.

Как найти объем правильной четырехугольной пирамиды?

Формула для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды: V = 1 3 h ⋅ a 2 <3>h cdot a^2> V=31h⋅a2, где h — высота пирамиды, a — длина стороны основания пирамиды. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Как найти площадь поверхности пирамиды четырехугольной?

Площадь правильной четырехугольной пирамиды равна сумме площадей основания — квадрата пирамиды и площади четырех треугольников боковых граней.

Сколько граней у треугольной пирамиды ответ у треугольной пирамиды грани граней?

Ответ или решение1

Ответ: у треугольной пирамиды всего 4 грани — 3 боковых и основание.

Сколько у прямоугольной пирамиды вершин ребер и граней?

У прямоугольной пирамиды и пирамиды с квадратным основанием насколько я понимаю одинаковое количество и ребер, и граней, и вершин. Поэтому у них 5 вершин, 8 ребер и 5 граней.

Сколько граней у пирамиды с 12 ребрами?

7 граней. mitgliedd1 и 33 других пользователей посчитали ответ полезным!

Сколько ребер у тетради?

а) прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер, 8 вершин. б) тетраэдр имеет: 4 грани, 6 ребер, 4 вершины.

Сколько у пирамиды : 1) вершин ; 2) ребер ; 3) граней, если в ее основании лежит :а) треугольник ;б) четырехугольник?

Математика | 5 — 9 классы

Сколько у пирамиды : 1) вершин ; 2) ребер ; 3) граней, если в ее основании лежит :

Утреугольнойпирамиды : вершин — 4, ребер — 6, граней — 4

учетырехугольнойпитамиды : вершин — 5, ребер — 8, граней — 5.

Раскрасьте основание пирамиды голубым карандашом, а невидимые грани — красным карандашом В основании пирамиды лежит ?

Раскрасьте основание пирамиды голубым карандашом, а невидимые грани — красным карандашом В основании пирамиды лежит ?

Поэтому пирамида называется?

Сколько ребер, граней, вершин у куба?

Сколько ребер, граней, вершин у куба?

Быстреее : Сколько боковых ребер у шестиугольной призмы?

Быстреее : Сколько боковых ребер у шестиугольной призмы?

Сколько боковых граней?

Сколько у такой призмы вершин?

У пятиугольной пирамиды?

У пятиугольной пирамиды.

У пирамиды 12 ребер, сколько у нее вершин, сколько ребер?

У пирамиды 12 ребер, сколько у нее вершин, сколько ребер?

«СКОЛЬКО У ПЯТИУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ РЕБЕР ОСНОВАНИЯ?

«СКОЛЬКО У ПЯТИУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ РЕБЕР ОСНОВАНИЯ?

СКОЛЬКО У НЕ БОКОВЫХ ГРАНЕЙ?

ОТВЕТЬТЕ НА ТЕ ЖЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ СЕМИУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ.

Сколько граней ребер и вершин?

Сколько граней ребер и вершин.

У пирамиды 11 вершин?

У пирамиды 11 вершин.

Сколько граней и ребер у данной пирамиды?

Ответьте пожалуйста на 6) вопрос сумма числа вершин, ребер и граней пирамиды равна26?

Ответьте пожалуйста на 6) вопрос сумма числа вершин, ребер и граней пирамиды равна26.

Какая это пирамида?

Сколько у 5тиугольной пиромиды ребер основания?

Сколько у 5тиугольной пиромиды ребер основания?

Сколько у неё боковых граней?

Ответьте на та же вопросы для 7угольной пирамиды.

Вы открыли страницу вопроса Сколько у пирамиды : 1) вершин ; 2) ребер ; 3) граней, если в ее основании лежит :а) треугольник ;б) четырехугольник?. Он относится к категории Математика. Уровень сложности вопроса – для учащихся 5 — 9 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Математика, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

24 — 7 = 17ч — время пути 510 / 17 = 30км в час — скорость сближения 30 — 19 = 11км в час — скорость лодки 17 — 2 = 15ч — за два часа до встречи 30 * 15 = 450км — проехали вместе 510 — 450 = 60км — было между ними за два часа до встречи.

А) Наиб. Координата — В(0. 5) Б) Наибольший модуль — А( — 3) В) Наименьший модуль — В(0. 5) Г) на 4 влево : А( — 7), модуль увеличился на 4 В( — 3. 5), модуль увеличился на 3 С( — 5. 5), модуль увеличился на 4 D( — 5, 3 / 4), модуль увеличился н..

Содержание

• — Сколько вершин в 4 угольной пирамиде?
• — Сколько вершин ребер и граней в усеченной пирамиде?
• — Как найти Апофему в пирамиде?
• — Что является ребрами пирамиды?
• — Сколько вершин у 6 угольной пирамиды?
• — Сколько вершин ребер и граней имеет n угольная призма?
• — Сколько вершин у восьмиугольной усеченной пирамиды?
• — Сколько граней у пирамиды с квадратным основанием?
• — Сколько граней у 3 треугольной пирамиды?

Квадратная пирамида
Тип	Многогранник Джонсона J1
Свойства	выпукла Группа вращений= C4, [4]+, (44)
Комбинаторика
Элементы	8 рёбер 5 вершин

Сколько вершин в 4 угольной пирамиде?

У удлинённой четырёхугольной пирамиды 9 вершин.

Сколько вершин ребер и граней в усеченной пирамиде?

Усечённая пирамида имеет 16 вершин, 24 ребра, 10 граней.

Как найти Апофему в пирамиде?

Зная общую площадь поверхности пирамиды (S) и периметр ее основания (p) тоже можно вычислить апофему (f), но только для многогранника правильной формы. Удвойте площадь поверхности и разделите результат на периметр: f = 2*S/p.

Что является ребрами пирамиды?

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами пирамиды.

Сколько вершин у 6 угольной пирамиды?

а) У шестиугольной пирамиды в основании лежит шестиугольник. Значит, вершин у нее 7 — 6 в основании и одна вверху. Граней также 7 — шесть боковых граней плюс основание.

Сколько вершин ребер и граней имеет n угольная призма?

Граф n—угольной призмы имеет 2n вершин и 3n рёбер. Графы являются регулярными кубическими графами. Поскольку призма имеет симметрии, переводящие любую вершину в любую другую, графы призм являются вершинно-транзитивными графами.

Сколько вершин у восьмиугольной усеченной пирамиды?

Восьмиугольная призма

Однородная восьмиугольная призма
Тип	Призматический однородный многогранник U76(f)
Свойства	выпуклый, зоноэдр
Комбинаторика
Элементы	24 ребра 16 вершин Χ = 2

Сколько граней у пирамиды с квадратным основанием?

У прямоугольной пирамиды и пирамиды с квадратным основанием насколько я понимаю одинаковое количество и ребер, и граней, и вершин. Поэтому у них 5 вершин, 8 ребер и 5 граней.

Сколько граней у 3 треугольной пирамиды?

Треугольная пирамида — это многогранник, основанием которого является треугольник. Если основанием треугольной пирамиды является треугольник, то у нее 3 боковых грани и основание. Соответственно, всего 4 грани.

Интересные материалы:

Как подать заявку на перевыпуск карты Приватбанка?
Как подать заявление на перевод пенсии на карту мир?
Как подать заявление о перечислении пенсии на карту мир?
Как подать заявление о переводе пенсии на карту?
Как поделиться картой в кошельке?
Как подключить 3ds к карте?
Как подключить банковскую карту к NFC?
Как подключить бонусы спасибо на вторую карту?
Как подключить интернет через сим карту на айпаде?
Как подключить к карте 3D Secure?